Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1: Bài 3 - ThS. Vũ Quỳnh Anh

Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 3: Các khái niệm cơ bản và các phép toán tuyến tính đối với ma trận được biên soạn nhằm thông tin đến các bạn kiến thức bao gồm các khái niệm cơ bản về ma trận; các dạng ma trận; các phép toán tuyến tính đối với ma trận; các phép biến đổi ma trận.

BÀI À CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH ĐỐI VỚI MA TRẬN Ậ ThS Vũ Quỳnh Anh Trường Đại học Kinh tế quốc dân v1.0014105205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Tổng hợp lương nhân viên Bảng tổng hợp lương ba tháng đầu năm 2014 nhân viên phận kỹ thuật công ty cho sau: Tháng Họ tên Lương Phụ cấp T ầ Quang Trần Q Ba B 981 750 4.981.750 Nguyễn Thu Hà Làm thêm Tổng số Ngày thường Ngày nghỉ 300 000 300.000 250 000 250.000 200 000 200.000 731 750 5.731.750 3.662.500 300.000 350.000 350.000 4.662.500 Phạm Quang Trung 3.400.000 100.000 300.000 150.000 3.950.000 Lê Thị Uyên 3.315.000 100.000 450.000 200.000 4.065.000 v1.0014105205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Tổng hợp lương nhân viên Bảng tổng hợp lương ba tháng đầu năm 2014 nhân viên phận kỹ thuật công ty cho sau: Tháng Họ tên Lương Phụ cấp Trần Quang Ba 4.525.250 Nguyễn Thu Hà Làm thêm Tổng số Ngày thường Ngày nghỉ 500.000 150.000 200.000 5.375.250 3.575.500 300.000 350.000 250.000 4.475.500 Phạm Quang Trung 3.315.000 100.000 400.000 250.000 4.065.000 Lê Thị Uyên 3.200.000 100.000 200.000 150.000 3.650.000 v1.0014105205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Tổng hợp lương nhân viên Bảng tổng hợp lương ba tháng đầu năm 2014 nhân viên phận kỹ thuật công ty cho sau: Tháng Họ tên Lương Phụ cấp g Ba Trần Quang 4.420.500 Nguyễn Thu Hà Làm thêm Tổng số Ngày thường Ngày nghỉ 300.000 350.000 250.000 5.320.500 3.608.000 300.000 400.000 350.000 4.658.000 Phạm Quang Trung 3.300.000 100.000 350.000 150.000 3.900.000 Lê Thị U Uyên ê 115 000 3.115.000 100 000 100.000 400 000 400.000 150 000 150.000 765 000 3.765.000 Sử dụng ma trận, tổng hợp lương tháng đầu năm người phận trên? v1.0014105205 MỤC TIÊU • Sinh viên nắm khái niệm ma trận; • Biết thực phép tốn tuyến tính ma trận; • Nắm tính chất phép tốn tuyến tính ma trận áp ụ g ợ tính chất vào tập; ập; dụng • Biết xác định ma trận từ phương trình ma trận có phép tốn tuyến tính ma trận v1.0014105205 NỘI DUNG Các khái niệm ma trận Các dạng g ma trận ậ Các phép toán tuyến tính ma trận Các phép biến đổi ma trận v1.0014105205 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MA TRẬN 1.1 Khái niệm ma trận 1.2 Đẳng g thức ma trận ậ 1.3 Ma trận không ma trận đối 1.4 Hệ vectơ dòng hệ vectơ cột ma trận v1.0014105205 1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN Định nghĩa: Ma trận cấp mn bảng số gồm mn số thực, thực xếp thành m dòng n cột, ký hiệu  a11 a A   21   am1 a12 a1n  a22 a2n    aij mn   am2 amn  Các số aij gọi phần tử ma trận Ví dụ: Ma trận  3  A   ma trận cấp 23    Phần tử a12 = a23 = v1.0014105205 1.2 ĐẲNG THỨC MA TRẬN • Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi • Ma trận A ma trận B ký hiệu A = B aij  bij  A   aij  B   bij  A  B  i  1,m; mn mn   j  1,n v1.0014105205 1.3 MA TRẬN KHÔNG VÀ MA TRẬN ĐỐI • Ma trận khơng cấp mn: Là ma trận có tất phần tử 0 Kí hiệu 0mn • Ma trận đối: Cho A = (aij)mn Ký ý hiệu: ệ – A = ((–aij)mn gọi ma trận đối ma trận A v1.0014105205 10 3.2 PHÉP NHÂN MA TRẬN VỚI SỐ Tích ma trận A với số α ma trận cấp mn, ký hiệu αA xác định sau: α A   α  a ij m n • Muốn nhân số với ma trận, ta lấy số nhân vào phần tử ma trận v1.0014105205 20 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN Với A, A B, B C ma trận cấp mn, n O ký hiệu ma trận không cấp mn; ,  số bất kỳ, ta có: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) C) A + O = A A +(− A) = O 1A = A α (A + B) = αA + αB (α + β)A = αA + βA ((αβ)A β) = α(βA) (β ) v1.0014105205 21 3.3 PHÉP TRỪ MA TRẬN Phép trừ hai ma trận: Cho A B hai ma trận cấp, cấp hiệu ma trận A ma trận B ký hiệu: A – B, xác định sau: A – B = A + (−B) v1.0014105205 22 VÍ DỤ Thực phép toán:  1   3 5   3           15  6     3   2 4          10  12      15     0 0  3        0 0    10    12  15     v1.0014105205 23 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI MA TRẬN 4.1 Các phép biến đổi sơ cấp 4.2 Phép p chuyển y vịị ma trận ậ v1.0014105205 24 4.1 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP • Đổi chỗ hai dịng (cột) ma trận trận • Nhân dịng (cột) với số khác • Lấy số k nhân vào dòng (cột) cộng vào dòng (cột) khác v1.0014105205 25 4.2 PHÉP CHUYỂN VỊ MA TRẬN • Ma trận chuyển vị: Từ ma trận A, A ta đổi cột thành dòng theo thứ tự tương ứng ma trận gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu: A’ • Phép biến đổi ma trận A thành ma trận A’ gọi phép chuyển vị ma trận  3   3    A  A '       3   3    v1.0014105205 26 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Gọi A, A B, B C theo thứ tự ma trận lương tháng 1, 2, phận đó Ma trận tổng hợp lương D tổng ba ma trận trên: v1.0014105205  4981750  3662500 A  3400000   3315000 300000 250000 200000 5731750   300000 350000 350000 4662500  100000 300000 150000 3950000   100000 450000 200000 4065000   4525250  3575500 B  3315000   3200000 500000 300000 100000 100000 150000 350000 400000 200000 200000 250000 250000 150000 5375250  4475500  4065000   3650000  27 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Gọi A, A B, B C theo thứ tự ma trận lương tháng 1, 2, phận đó Ma trận tổng hợp lương D tổng ba ma trận trên:  4420500  3608000 C  3300000   3115000 300000 350000 250000 5320500   300000 400000 350000 4658000  100000 350000 150000 3900000   100000 400000 150000 3765000   13927500 1100000 750000 650000  10846000 900000 1100000 950000 D  A BC    10015000 300000 1050000 550000   9630000 300000 1050000 500000 v1.0014105205 16427500   13796000  11915000   11480000  28 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Vậ ta Vậy t có: ó TỔNG HỢP LƯƠNG NHÂN VIÊN BỘ PHẬN KỸ THUẬT THÁNG ĐẦU NĂM 2014: Họ tên Lương Phụ cấp Trần Quang Ba 13.927.500 Nguyễn Thu Hà Là thêm Làm thê Tổng số Ngày thường Ngày nghỉ 1.100.000 750.000 650.000 16.427.500 10.846.000 900.000 1.100.000 950.000 13.796.000 Phạm Quốc Trung 10.015.000 300.000 1.050.000 550.000 11.915.000 Lê Thị Uyên 630 000 9.630.000 300 000 300.000 050 000 1.050.000 500 000 500.000 11 480 000 11.480.000 v1.0014105205 29 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 4  1  2 3 1   Cho ma trận: A    5     4 5  Đặt C = 5A ─ 4A’ Phần tử C23 bằng: A B B C –15 D –16 Trả lời: • Đáp án là: A • Ta có: c23 = 5.a a23 – 4.a a’23 = 5.(–3) (–3) – 4.(–5) (–5) = v1.0014105205  2 4   1 5  '  A   3     1 5  30 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  1 3    Cho hai ma trận: A   4  ,  3 1     3    B   1 4   3    Đặt D = –2A + 3B Dd2 bằng: A (–7, 7, 4) B (–7, B ( 6, –4) 4) C (7, 6, 4) D (7, 6, –4) Trả lời: • Đáp án là: B (–7, 6, –4) • Giải thích: Dd2  2A d2  3Bd2  2  4    1 4    4 6    3 12 12    7 4  v1.0014105205 31 BÀI TẬP  1 3  Cho ma trận: A   4  ,    3 1     1 3    B   4   3 1    Tìm ma trận X thỏa mãn: 2X – A = 5B Giải: Từ đẳng g thức suy y ra: 2X = A + 5B  1  2X    3   6    12  18  v1.0014105205 3 2  1 3   1     4    4     3 1   3 1     18 27   6 18 1  18 24   X   12 18 2 6 12   18 6 3   5 15 25     4    10 15 20  1   15 5 10  27   3 9 27 /     24    12  12   9 3  32 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Ma trận cấp mn bảng số gồm mn số thực, thực xếp thành m dịng n cột cột • Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi • ậ đối ma trận ậ A ợ kýý hiệu ệ –A Ma trận • Ký hiệu Adi để véctơ dòng thứ i ma trận A ký hiệu Acj để véctơ cột thứ j ma trận A • Ma trận vng ma trận có số dịng số cột • Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo • Ma trận đơn vị ma trận đường chéo có tất phần tử thuộc đường chéo bằ 1, ký hiệu hiệ E h ặ En • Ma trận có dòng (cột) (ma trận cấp 1n) gọi ma trận dịng (cột) v1.0014105205 33 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Muốn cộng hai ma trận, trận ta lấy phần tử vị trí tương ứng cộng với nhau • Muốn nhân ma trận với số, ta lấy số nhân vào tất phần tử ma trận • Muốn trừ hai ma trận, ta lấy phần tử ma trận trước trừ phần tử vị trí tương g ma trận ậ sau ứng • Có phép biến đổi ma trận là:  Đổi chỗ hai dòng (cột)  Nhân dòng (cột) với số khác  Cộng vào dịng (cột) tích dòng (cột) khác với số k tùy chọn  Phép chuyển vị ma trận v1.0014105205 34 ...  36 62500 A  34 00000   33 15000 30 0000 250000 200000 5 731 750   30 0000 35 0000 35 0000 4662500  100000 30 0000 150000 39 50000   100000 450000 200000 4065000   4525250  35 75500 B  33 15000... trên:  4420500  36 08000 C  33 00000   31 15000 30 0000 35 0000 250000 532 0500   30 0000 400000 35 0000 4658000  100000 35 0000 150000 39 00000   100000 400000 150000 37 65000   139 27500 1100000... 250.000 200 000 200.000 731 750 5. 731 .750 3. 662.500 30 0.000 35 0.000 35 0.000 4.662.500 Phạm Quang Trung 3. 400.000 100.000 30 0.000 150.000 3. 950.000 Lê Thị Uyên 3. 315.000 100.000 450.000 200.000 4.065.000