Toán cc 1 môn toán cho các nhà kinh tế

 Hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử ẩn liên tiếp... TOÁN CAO CẤP 1 11PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP Đối với hệ phương trình 1 lập 2 bảng số:... PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP+ H

TOÁN CAO CẤP 1 1

TOÁN CAO CẤP 1

Giảng viên: Nguyễn Thị Quỳnh Lan

Email: lannq@neu.edu.vn

 Giáo trình Toán cao cấp cho các

TOÁN CAO CẤP 1 3

Mathematical Economics

Tác giả: Alpha C Chiang

Tác giả: Michael Hoy, John Livenois, ( Massachusetts Institute of

Technology )

 Học thuộc và hiểu chính xác các khái

niệm, các định lý và biết áp dụng chính

xác phần lý thuyết vào các bài tập.

hoàn chỉnh và tính toán chính xác đến đáp số.

( Buổi 12, sau chương 2)

- Bài thi cuối học kỳ: 70%

 Chương 1: Không gian véc tơ n

TOÁN CAO CẤP 1 7

CHIỀU

 Hệ phương trình tuyến tính và

phương pháp khử ẩn liên tiếp.

n chiều.

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

x 1 , x 2 ,…, x n : các ẩn số

+ Nghiệm của hệ pt: Một bộ n số có thứ tự (c 1 , c 2 , , c n ) là một nghiệm của hệ pt nếu

trình của hệ ta nhận được các đẳng thức.

+ Giải hệ pt: Tìm tất cả các nghiệm của hệ

(1), hoặc chứng minh hệ vô nghiệm.

TOÁN CAO CẤP 1 11

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

Đối với hệ phương trình (1) lập 2 bảng số:

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

TOÁN CAO CẤP 1 13

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

2) Hệ phương trình tt thuần nhất

Hệ pt tt có tất cả các hệ số tự do bằng 0 được gọi là hệ pt tt thuần nhất, có dạng:

a11.x1 + a12.x2+…+ a1n.xn = 0

a21.x1 + a22.x2+…+ a2n.xn = 0

……… (2)

am1.x1 + am2.x2+…+ amn.xn = 0

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

+ Hai hệ pt tt có các ẩn số như nhau là

tương đương với nhau nếu tập hợp nghiệm

TOÁN CAO CẤP 1 15

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

+ Phép biến đổi tương đương: Phép biến

đổi một hệ pt tt thành một hệ pt tt mới

tương đương với nó gọi là phép biến đổi

tương đương.

+ 3 phép biến đổi sơ cấp đối với hệ pt

i) Đổi chỗ 2 phương trình cho nhau.

ii) Nhân 2 vế của một phương trình với một

số khác 0.

iii) Cộng vào hai vế của 1 phương trình

tích của 1 phương trình khác với 1 số.

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

Định lý: 3 phép biến đổi sơ cấp đối với

hệ phương trình tuyến tính là các phép

biến đổi tương đương.

II Phương pháp khử ẩn liên tiếp

1) Hệ tam giác, hệ hình thang

+ Hệ tam giác: là hệ phương trình tuyến

tính có dạng đặc biệt như sau:

trong đó a ii ≠ 0 với i=1,2, ,n.

i,j=1,2, ,n

- Hệ tam giác có số ẩn=số phương trình.

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

Cách giải: Giải từ phương trình cuối lên

phương trình đầu; Do a ii ≠ 0, i=1,2, ,n

nên mỗi pt đều có nghiệm duy nhất

Kết luận: Hệ tam giác luôn có nghiệm

duy nhất.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình

a) 2x1 + x2 – x3 = 5

– x2 –3x3 = 1

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

2) Hệ hình thang

Hệ hình thang là hệ pt tt có dạng đặc biệt như sau:

a11.x1 + a12.x2+ + a1s.xs+…+ a1n.xn = b1

a22.x2+…+ a2s xs+…+ a2n.xn = b2

(4) ………

ass.xs+…+ asn.xn = bs

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

Giải hệ (5) ta nhận được nghiệm duy nhất của

Kết luận:Hệ hình thang có vô số nghiệm.

Chú ý:- Hệ hình thang có s phương trình được chọn s

ẩn chính.

- Có thể chọn các ẩn chính khác nhau, nhưng phải nhận

TOÁN CAO CẤP 1 23

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

Ví dụ: Giải các phương trình sau

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

d) 3x1 – 2x2 + x3 – x4 = -6

TOÁN CAO CẤP 1 25

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

2) Phương pháp khử ẩn liên tiếp

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

TOÁN CAO CẤP 1 27

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

hệ (6) và tiếp tục quá trình khử ẩn Không

các phương trình từ phương trình thứ 3 trở đi

Cứ tiếp tục quá trình khử ẩn như vậy, chúng ta đưa hệ (1) về hệ mới là 1 trong 3 dạng sau:

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

- Hệ phương trình mới chứa phương

trình dạng (7); kết luận hệ (1) vô nghiệm.

- Hệ phương trình mới là hệ tam giác;

kết luận hệ (1) có nghiệm duy nhất.

- Hệ phương trình mới là hệ hình thang; kết

luận hệ (1) có vô số nghiệm.

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

Ví dụ: Giải các phương trình sau

TOÁN CAO CẤP 1 31

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

Định lý: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số ẩn lớn hơn số phương trình

luôn có vô số nghiệm.

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

1) Giải và biện luận hệ phương trình sau:

Với những giá trị nào của m thì hệ phương trình có

nghiệm? (hoặc:Chứng tỏ rằng hệ phương trình

TOÁN CAO CẤP 1 33

VÉC TƠ N CHIỀU.

I.Véc tơ n chiều

1) Các khái niệm cơ bản

● Véc tơ đối của véc tơ X: là véc tơ n chiều,

ký hiệu –X và xác định như sau:

-X=(-x1,-x2,…,-xn)

VÉC TƠ N CHIỀU.

● Véc tơ không n chiều: là véc tơ n

chiều có tất cả các thành phần đều bằng

● Hai véc tơ bằng nhau: Xét hai véc tơ

cùng chiều:

X=(x1,x2,…,xn)

Y=(y1,y2,…,yn)

X=Y ⇔ x i =y i , i=1,2, ,n.

VÉC TƠ N CHIỀU.

II Không gian véc tơ n chiều

● Không gian véc tơ n chiều: Tập hợp

tất cả các véc tơ n chiều trên đó có xác định 2 phép toán: phép cộng 2 véc tơ và phép nhân véc tơ với một số thỏa mãn 8

tính chất nêu ở trên gọi là không gian véc

tơ n chiều

● Chú ý: Phép cộng 2 véctơ và phép

nhân véc tơ với 1 số là 2 phép toán đặc

2) Biểu diễn tuyến tính

● Trong R n xét hệ véc tơ

X 1 ,X 2 ,…,X m (1)

Véc tơ n chiều X được gọi là biễu diễn

tuyến tính qua các véc tơ X1,X 2 ,…,X m nếu

tồn tại các số k 1 ,k 2 , ,k m sao cho

X=k 1 X 1 +k 2 X 2 +…+k m X m (2)

(X là tổ hợp tuyến tính của X 1 ,X 2 ,…,X m)

b) Xác định k để véc tơ X biễu diễn tuyến tính qua các véc tơ

TOÁN CAO CẤP 1 43

● Nhận xét: Hệ thức (2) là hệ PTTT m

ẩn số, n phương trình.

nghiệm thì véc tơ X không biễu diễn tuyến tính qua X1 ,X 2 ,…,X m .

● Tính chất:

1) Véc tơ không biễu diễn tuyến tính qua một hệ véc tơ bất kỳ CM: 0n = 0.X 1 +0.X 2 +…+0.X m

2) Tính bắc cầu: Nếu véc tơ X biễu diễn

tuyến tính qua X 1 ,X 2 ,…,X m ; đồng thời các

véc tơ X i biểu diễn tuyến tính qua

Y 1 ,Y 2 , ,Y p khi đó X biểu diễn tuyến tính

qua Y 1 ,Y 2 , ,Y p

TOÁN CAO CẤP 1 45

3) Nếu véc tơ X biễu diễn tuyến tính qua

một hệ con của một hệ véc tơ thì nó biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đó.

II Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

TOÁN CAO CẤP 1 49

iii) Xét m=2: hệ 2 véc tơ n chiều: X1 ,X 2

Hệ X 1 ,X 2 là phụ thuộc tuyến tính nếu

tồn tại 2 số k 1 ,k 2 không đồng thời bằng

không sao cho

Ví dụ: 1) Các hệ véc tơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

2) Ví dụ: Hệ véc tơ sau là độc lập tuyến

TOÁN CAO CẤP 1 55

Định lý: Trong R mọi hệ véc tơ có số

véc tơ lớn hơn n đều là phụ thuộc tuyến

III Các định lý cơ bản về hệ véc tơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

● Định lý 1 Một hệ véc tơ có từ 2 véc tơ

trở lên là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và

chỉ khi trong hệ véc tơ có ít nhất một véc

tơ biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ

còn lại.

TOÁN CAO CẤP 1 57

● Hệ quả Một hệ véc tơ chứa véc tơ

không là hệ phụ thuộc tuyến tính.

TOÁN CAO CẤP 1 59

● Định lý 3 Trong R n xét 2 hệ véc tơ

X 1 ,X 2 ,…,X m (4)

và Y 1 ,Y 2 , , Y p (5)

Giả sử m>p và mọi véc tơ của hệ (4) đều

biểu diễn tuyến tính qua hệ (5) khi đó hệ

(4) là phụ thuộc tuyến tính.

● Hệ quả 1 Nếu hệ (4) độc lập tuyến

tính và các véc tơ của hệ (4) đều biểu diễn

tuyến tính qua các véc tơ của hệ (5), khi

đó m≤ p.

● Hệ quả 2. Nếu cả hai hệ (4)và (5) là

độc lập tuyến tính và mỗi véc tơ của hệ

này đều biểu diễn tuyến tính qua các véc

tơ của hệ kia và ngược lại thì m=p.

●

TOÁN CAO CẤP 1 61

● Định nghĩa cơ sở của R n Trong R n một

của R n Khi đó mọi véc tơ X∊ R n đều biểu

diễn tuyến tính duy nhất qua P 1 ,P 2 , ,P n ;

tức là tồn tại duy nhất n số a 1 ,a 2 , , a n

sao cho: X=a 1 P 1 +a 2 P 2 +…+a n P n

TOÁN CAO CẤP 1 63

● Tọa độ của véc tơ trong cơ sở Bộ n số

(a 1 ,a 2 , ,a n ) trong định lý trên được gọi là

tọa độ của véc tơ X trong cơ sở P1 ,P 2 , ,P n.

● Ví dụ. 1) Cho các véc tơ

P 1 =(-1,2,-3)

P2=(3,3,-2)

P3=(4,2,1)

a) Chứng minh rằng hệ véc tơ P1,P2,P3 là một cơ sở của R 3

b) Tìm tọa độ của véc tơ X=(5,2,4) trong cơ sở P 1 ,P 2 ,P 3

2) Cho 2 véc tơ trong R 3 :

II.Không gian con và cơ sở của không

gian con

●Không gian con của R n Một tập hợp

L ⊂R n, L ≠ Ø được gọi là không gian con

của R n nếu tập hợp L đóng đối với các

phép toán: Phép cộng 2 véc tơ và phép

nhân véc tơ với 1 số theo nghĩa sau:

+ Đóng đối với phép cộng:

Với ∀X,Y ∊L thì X+Y ∊ L

+ Đóng đối với phép nhân với 1 số:

Với ∀ X ∊ L và ∀λ∊ R thì λX ∊ L

TOÁN CAO CẤP 1 67

Nhận xét: Một tập hợp L ⊂R, L ≠ Ø

không là không gian con của Rn nếu nó

không đóng đối với 1 trong 2 phép toán.

Không đóng đối với phép cộng:

● Ví dụ. 1) Trong R n

- L 1 ={0 n } : không gian con nhỏ nhất

- L 2 =R n : không gian con lớn nhất

7) Trong R n cho m véc tơ

X 1 ,X 2 ,…, X m

Ký hiệu tập hợp

ℒ ={X∊ R n | X là tổ hợp tuyến tính của

X 1 ,X 2 ,…, X m } ⊂ Rn

- ℒ là một không gian con của R 3 ;

- ℒ được gọi là không gian con sinh

bởi các véc tơ X 1 ,X 2 ,…, X m

● Cơ sở của không gian con của R n Giả

sử L là một không gian con của Rn Khi

+ Mọi véc tơ của không gian con L đều

biểu diễn tuyến tính qua G1,G2,…, Gr

Dựa vào định nghĩa chứng minh được:

- Hệ 1 véc tơ: G=(1,-2) là 1 cơ sở của L3

- Hệ 1 véc tơ H=(-2,4) cũng là cơ sở của L3

2) Xét không gian con

Nhận xét: Không gian con L của R n có

nhiều cơ sở khác nhau, nhưng số véc tơ

của các cơ sở bằng nhau.

Định nghĩa: Số véc tơ trong một cơ sở

của không gian con L được gọi là số chiều

của không gian con đó, ký hiệu là dimL.

(dim: dimension)

Ví dụ: dim L3=1, dim L4= 2

dim L6=2, dim R 3 =3 , dimL1=0

TOÁN CAO CẤP 1 77

Giả sử L là một không gian con của Rn

và dimL =r

1) Trong L mọi hệ véc tơ có số véc tơ lớn

hơn r đều là hệ phụ thuộc tuyến tính

Nói cách khác, số chiều của một KG con là

số véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của

KG con đó

2) Trong KG con L mọi hệ véc tơ gồm r véc

tơ và độc lập tuyến tính là 1 cơ sở của

TOÁN CAO CẤP 1 79

I.Khái niệm cơ sở, hạng của hệ véc tơ

Hệ véc tơ (2) được gọi là cơ sở của hệ

(1) nếu nó thỏa mãn

+ Hệ (2) là độc lập tuyến tính

+ Mọi véc tơ của hệ (1) đều biểu diễn

tuyến tính qua hệ (2).

TOÁN CAO CẤP 1 81

Chú ý:

Các véc tơ của hệ (2) luôn biễu diễn

tuyến tính qua chính hệ đó Do đó khi

kiểm tra các véc tơ của hệ (1) biễu diễn

tuyến tính qua hệ (2) ta chỉ cần kiểm tra đối với các véc tơ thuộc hệ (1) mà không

thuộc hệ (2).

Ví dụ: Tìm 1 cơ sở của các hệ véc tơ sau:a)

X1=(-2 ,1 ,-3 ,5 )

X2=(6 ,-3 ,9 ,-15 )

b) Y1=(-1 ,2 ,5,-3 )

Y2=(-3 ,1 ,-2,4 )

Nhận xét: Một hệ véc tơ có thể có nhiều

cơ sở khác nhau nhưng số véc tơ trong

các cơ sở bằng nhau.

số véc tơ của một cơ sở của hệ véc tơ đó

và ký hiệu

hạng (X 1 ,X 2 , ,X m )= s

hoặc r(X1,X2, ,Xm)= s (r : rank )

Nhận xét:

r(X1,X2,…,Xm) ≤ m

và r(X1,X2,…,Xm) ≤ n

hay r(X 1 ,X 2 ,…,X m ) ≤ min(m,n)

TOÁN CAO CẤP 1 87

II Các định lý cơ bản về hạng của hệ véc

tơ.

Định lý 1 Hạng của một hệ véc tơ bằng

r khi và chỉ khi trong hệ véc tơ tồn tại

một hệ con r véc tơ, độc lập tuyến tính

và mọi hệ con có số véc tơ lớn hơn r đều

phụ thuộc tuyến tính

Nói cách khác, hạng của một hệ véc tơ là

số véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của

hệ véc tơ đó.

Hệ quả 1 Một hệ véc tơ là phụ thuộc

tuyến tính khi và chỉ khi hạng của hệ véc

tơ nhỏ hơn số véc tơ của hệ.

Suy ra

Một hệ véc tơ là độc lập tuyến tính khi

và chỉ khi hạng của hệ véc tơ bằng số

véc tơ của hệ

Hệ quả 2 Nếu hạng của một hệ véc tơ

bằng r thì mọi hệ con gồm r véc tơ và

độc lập tuyến tính là cơ sở của hệ đó

X 1 ,X 2 ,…,X m (X)

Y 1 ,Y 2 ,…,Y p (Y)

Nếu các véc tơ của hệ (X) đều biểu diễn

tuyến tính qua các véc tơ của hệ (Y) thì

qua X 1 , X 2 ,…, X m khi và chỉ khi hạng của

hai hệ véc tơ (1) và (3) bằng nhau.

Trong Rn xét hệ véc tơ

X1, X2,…, Xm (1)

Ba phép biến đổi sơ cấp đối với hệ véc tơ:

véc tơ khác ( trong hệ ) với một số.

TOÁN CAO CẤP 1 93

với một hệ véc tơ không làm thay đổi

hạng của hệ véc tơ đó.

sau: ( dùng 3 phép biến đổi sơ cấp )

X1=(-3, 1, -2, -1 )

X2=( 0, -4, -13, 9 )

X3=( 2, -2, -3, 4 )

X4=(7, -5, -4, 9 )

1) Hệ véc tơ: X 1 ,X 2 , ,X m độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tt ?

Cách 1: k1 X 1 +k 2 X 2 + +k m X m =0

- Đưa về hệ tam giác hệ véc tơ đltt →hệ véc tơ đltt

- Đưa về hệ hình thang hệ véc tơ pttt →hệ véc tơ đltt

Cách 2: Tìm hạng của hệ véc tơ

1) r(X 1 ,X 2 , ,X m ) = m hệ véc tơ độc lậptt ↔ hệ véc tơ độc lậptt

2) r(X 1 ,X 2 , ,X m ) < m hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính ↔ hệ véc tơ độc lậptt

TOÁN CAO CẤP 1 95

2) X biễu diễn tuyến tính qua X1 ,X 2 ,.,X m ?

Cách 1: Xét hệ thức

X= k 1 X 1 +k 2 X 2 + k m X m

- Hệ phương trình có nghiệm thì X biễu diễn tuyến tính qua X1 ,X 2 ,.,X m

- Hệ phương trình vô nghiệm thì X không biễu diễn tuyến tính qua X1 ,X 2 ,.,X m

Cách 2:

- r(X1 ,X 2 , ,X m )=r(X 1 ,X 2 , ,X m ,X) ↔ X biễu diễn tuyến tính qua X1 ,X 2 ,…,X m

- r(X 1 ,X 2 , ,X m )≠r(X 1 ,X 2 , ,X m ,X) ↔ X không biễu diễn tuyến tính qua X1 ,X 2 , ,X m

3) Cơ sở, số chiều, hạng:

L 1 =R n: vô số phần tử, cơ sở , số chiều là

n (số phần tử của cơ sở)

L 2 = L⊂ R n - không gian con: có vô số

phần tử, cơ sở và số chiều dim L =r ( số

phần tử của cơ sở)

L 3 ={X 1 ,X 2 , ,X m }: hữu hạn phần tử,cơ sở

hạng (X 1 ,X 2 , ,X m )=r ( số phần tử của cơ sở)

TOÁN CAO CẤP 1 97

- Cơ sở: Hệ con độc lập tuyến tính cực đại.

Mọi véc tơ đều biểu diễn tuyến tính duy

nhất qua cơ sở.

- Số chiều của KG, hạng của hệ véc tơ: Số véc tơ của cơ sở ( là r )

+ Mọi hệ véc tơ có số véc tơ lớn hơn r đều phụ thuộc tuyến tính.

+ Hệ con gồm r véc tơ, đltt là cơ sở.

4) Các mối liên hệ của các véc tơ:

TOÁN CAO CẤP 1 99

iii) Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng của hệ véc tơ:

+ Ba phép biến đổi sơ cấp

+ Thêm, bớt 1 véc tơ biễu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại

TOÁN CAO CẤP 1 105

TRẬN

có dạng đặc biệt như sau:

( A: ma trận tam giác trên )

TOÁN CAO CẤP 1 107

TRẬN

● Ma trận đường chéo: là ma trận

vuông có dạng đặc biệt như sau:

● Ma trận đơn vị cấp n: là ma trận

vuông cấp n có dạng đặc biệt như sau:

a ij =0 với mọi i ≠ j , a ii =1 i,j=1,2, ,n 1 0 0

0 1 0 E

m m 1

y y Y

●Nhận xét:

Với 8 tính chất của các phép toán như

trên thì việc tính toán cộng, trừ các ma

trận, nhân 1 số với ma trận tương tự như

(hoặc dòng) tương ứng của ma trận

A’ – được gọi là trận chuyển vị của A.

TOÁN CAO CẤP 1 115

TRẬN

Nếu A=(a ij ) mxn và A’=(a’ ij ) mxn , thì ta có

a’ij=aji với mọi i,j

I Hoán vị của n số tự nhiên đâu tiên

● Định nghĩa Xét 1 hoán vị của N* là

hoán vị Nếu số các cặp nghịch thế trong

hoán vị là số chẵn thì ta nói hoán vị đó là

hoán vị chẵn Trong trường hợp ngược

lại thì hoán vị đó là hoán vị lẻ.

TOÁN CAO CẤP 1 119

Ký hiệu φ( λ 1 , λ 2 ,…, λ n )=h

là số cặp nghịch thế trong hoán vị

λ1,λ2, , λn.

● Định lý Trong một hoán vị nếu ta đổi

chỗ 2 số cho nhau và giữ nguyên các số

còn lại thì tính chẵn lẻ của hoán vị thay

đổi.

● Hệ quả Nếu n ≥2 thì trong n! hoán vị

của tập N* có một nửa là hoán vị chẵn,

một nửa là hoán vị lẻ

Ví dụ:

a) N*={1,2} có 2 hoán vị khác nhau là 12 và 21

φ(12)=0 nên 12 là hoán vị chẵn.

φ(21)=1 nên 21 là hoán vị lẻ

TOÁN CAO CẤP 1 123

Do tập N* có n! các hoán vị khác nhau nên từ ma trận A ta có n! tích dạng (1)

khác nhau, bởi vậy từ ma trận A ta lập

2) Áp dụng định nghĩa cho các trường

III Các tính chất của định thức

1) Định thức của ma trận A bằng định

thức của ma trận chuyển vị của nó.

det A=det A’

hoặc |A|= | A’|

Nhận xét: Do tính chất này, trong tính

định thức vai trò dòng, cột như nhau;

Do đó các tính chất của định thức đúng

với dòng thì cũng đúng với cột.