Toán cc 1 môn toán cho các nhà kinh tế

TOÁN CAO CẤP Giảng viên: Nguyễn Thị Quỳnh Lan Email: lannq@neu.edu.vn TỐN CAO CẤP 1 Giáo trình tài liệu tham khảo  Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Tác giả: Lê Đình Thúy, Nguyễn Thị Quỳnh Lan  Toán học cao cấp, tập 1- Phần Đại số hình học giải tích Tác giả: Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh TỐN CAO CẤP Giáo trình tài liệu tham khảo  Fundamental Methods of Mathematical Economics Tác giả: Alpha C Chiang  Mathematics for Economics Tác giả: Michael Hoy, John Livenois, ( Massachusetts Institute of Technology ) TOÁN CAO CẤP PHƯƠNG PHÁP HỌC  Học thuộc hiểu xác khái niệm, định lý biết áp dụng xác phần lý thuyết vào tập  Làm tập vào vở: Viết đầy đủ, hồn chỉnh tính tốn xác đến đáp số  u cầu mơn học: Nhanh, xác TOÁN CAO CẤP CÁCH ĐÁNH GIÁ HỌC PHẦN  Thời lượng giảng lớp: tín (30 tiết )  Cách đánh giá học phần: - Tham dự giảng, chuẩn bị bài, làm tập: 10% - Bài kiểm tra kỳ: 20% ( Buổi 12, sau chương 2) - Bài thi cuối học kỳ: 70% TỐN CAO CẤP Nội dung mơn Tốn cao cấp  Chương 1: Không gian véc tơ n chiều  Chương 2: Ma trận định thức  Chương 3: Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính  Chương 4: Dạng toàn phương (Tự đọc – Tham khảo ) TỐN CAO CẤP Ch.1 KHƠNG GIAN VÉC TƠ N CHIỀU TOÁN CAO CẤP NỘI DUNG CHƯƠNG  Hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp  Véc tơ n chiều không gian véc tơ n chiều  Các mối liên hệ tuyến tính Rn  Cơ sở không gian véc tơ  Hạng sở hệ véc tơ TỐN CAO CẤP §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP I Hệ phương trình tuyến tính 1)Khái niệm hệ phương trình tt Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số, m phương trình có dạng a11.x1 + a12.x2+…+ a1n.xn = b1 a21.x1 + a22.x2+…+ a2n.xn = b2 …………………………………………… (1) am1.x1 + am2.x2+…+ amn.xn = bm aij, bi số thực cho trước TOÁN CAO CẤP §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP x1, x2,…, xn : ẩn số aij : hệ số ẩn xj pt thứ i bi : hệ số tự pt thứ i + Nghiệm hệ pt: Một n số có thứ tự (c1, c2, , cn) nghiệm hệ pt thay x1=c1, x2 =c2, , xn=cn vào phương trình hệ ta nhận đẳng thức + Giải hệ pt: Tìm tất nghiệm hệ (1), chứng minh hệ vô nghiệm TỐN CAO CẤP 10 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ● Ghi nhớ: i) Ký hiệu d=det A A A* = d E A* A = d E n-1 Nếu d≠ det A* = d ii) Nếu d=0 A A* = E= 0nxn A* A = E =0nxn TOÁN CAO CẤP 179 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Xét hệ phương trình tuyến tính AX=0 Từ hệ thức AA* =0nxn Ta có c c A (A1 ,A2 , c , An ) =( 0nx1,0nx1,…,0nx1) c A Aj = 0nx1 , j=1,2,…,n Do đó, cột ma trận A* nghiệm hệ phương trình A X =0 TỐN CAO CẤP 180 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Xét hệ phương trình tuyến tính X’A* = Từ hệ thức A A* =0nxn Ta có d Ai A= 01xn , i=1,2,…,n Do đó, dòng ma trận A nghiệm của hệ phương trình tuyến tính nhất: X’A* = TỐN CAO CẤP 181 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ví dụ: a) Cho ma trận  −2  A= ÷  −6  i) Tính det A*, det(-5A*), det (4A’A*), det(-6A*A -1 -1 ii) Tính A ; (A*) -1 -1 iii) Tính (5A) ; (2A*) TỐN CAO CẤP -1 ) 182 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO b) Cho ma trận 2   ÷ B =  −1 ÷ ÷ -1  i) Tính det B*, det (B*) , det(-5B*), −  -1  det [(-5B*)(2B’)] , det(-6B*B ) -1 -1 ii) Tính phần tử dịng cột ma trận (B*) ; (5B*) -1 -1 iii) Tính phần tử dịng cột ma trận B ; (2B) TOÁN CAO CẤP 183 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO III Ứng dụng để giải phương trình ma trận Xét phương trình ma trận dạng: Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình AX = B (1) XC= D (2) Hoặc A,B,C, D ma trận cho trước Hai ma trận A,C - ma trận hệ số TỐN CAO CẤP 184 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ● Phương pháp chung: Dựa vào cấp ma trận A,B ( PT (1) ) C,D ( PT (2)) để xác định cấp ma trận X; Sau ký hiệu phần tử ma trậnX ẩn số phải tìm, thực phép nhân ma trận, đồng đẳng thức ma trận ta nhận hệ phương trình Nếu hệ phương trình có nghiệm ( có nhiều nghiệm) tìm X; Nếu hệ phương trình vơ nghiệm khơng có X ( phương trình ma trận vơ nghiệm ) TỐN CAO CẤP 185 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ví dụ: a) Giải phương trình ma trận  −2   −2   ÷X =  ÷ − −     3x2 + A cấp 2x3 , X cấp mxn, B cấp 2x2, suy X cấp  x1  X =  x2 x  x4 ữ x5 ữ x6 ữ 3ì2 TON CAO CP 186 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO +  x1 x   −2    −2  ÷  −3 ÷  x x ÷ = ữ -2x1+x2+3x3 =1 2ì3 xx1=-4+2x3 2ì2 ữ x 3ì2 x2= -3x1+2x2+4x3 =3 -7+x3 -2x4+x5+3x6 =-2 -3x4+2x5+4x6 =-5 x4=-11+2x6 x5=-19+x6 TOÁN CAO CẤP 187 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Phương trình ma trận có vơ số nghiệm  −4 + 2x  X =  −7 + x  x  b) Giải phương trình : ↔ Xmxn C2x2 =D3x2 → X3x2 −11 + 2x  ÷ −19 + x ÷ ÷ x6   −2   −1   ÷ X =  −4 ÷ ÷  −3   −5 10 ÷   TỐN CAO CẤP 188 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ● Trường hợp riêng: Xét phương trình ma trận dạng: AX = B (1) XC= D (2) Hoặc A,C n ma trận vng khơng suy biến Khi tồn -1 -1 A ,C , phương trình ma trận (1), (2) ln có nghiệm nhất: -1 (1) ↔ X = A B -1 (2) ↔ X = D C TỐN CAO CẤP 189 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ví dụ: Giải phương trình 1 2  −2   ÷ X =  −2 ÷ ÷ Giải: Phương trình − có3nghiệm    −3 −4 ÷   1 2 −1  −2   ÷ X =  −2 ÷ ÷  −3 −4 ÷ −3    TỐN CAO CẤP 190 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1 2  −4   ÷ X =  −2 ÷  ÷  −3 −4 ÷  −2     11 −8  1 ÷ X =  −2 ÷ 2 ÷ − 27 20   TỐN CAO CẤP 191 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO b) Giải phương trình :  −4   −1   ÷ X =  −8 ÷ ÷  −3   −3 ÷   ↔ Xmxn C2x2 =D3x2 c) Giải phương trình  −4   −1   ÷ X =  −8 ÷ ÷  −3   −3 ÷   TỐN CAO CẤP 192 §3 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Giải: b) Phương trình có vơ số nghiệm:  −2 − 3x  X =  −4 − 3x  − 3x  c) Phương trình vơ nghiệm TỐN CAO CẤP x2  ÷ x4 ÷ x6 ÷  193