Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1: Bài 5 - ThS. Vũ Quỳnh Anh

Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo giúp sinh viên nắm được cách nhân hai ma trận, các tính chất của phép nhân; định nghĩa và các tính chất của ma trận phụ hợp, nghịch đảo; ma trận phụ hợp, ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông; ma trận nghịch đảo trong việc giải phương trình ma trận.

BÀI PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ThS Vũ Quỳnh Anh Trường Đại học Kinh tế quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Tính doanh thu cửa hàng Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên gạo Tám Thái Lan với giá tương ứng 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg 19.000 đồng/1kg Trong tháng đầu năm, cửa hàng bán số lượng cụ thể sau: Đơn vị: kg Tháng Loại gạo Bắc Hương 345 340 350 Tám Điện Biên 315 330 370 Tám Thái Lan 430 425 425 Hãy sử dụng ma trận, tính doanh thu cửa hàng tháng v1.0014105206 MỤC TIÊU • Sinh viên nắm cách nhân hai ma trận, tính chất phép nhân • Nắm định nghĩa tính chất ma trận phụ hợp, nghịch đảo • Tính ma trận phụ hợp, ma trận nghịch đảo ma trận vng • Biết sử dụng ma trận nghịch đảo việc giải phương trình ma trận v1.0014105206 NỘI DUNG Phép nhân ma trận với ma trận Ma trận nghịch đảo Ứng dụng ma trận nghịch đảo v1.0014105206 PHÉP NHÂN MA TRẬN VỚI MA TRẬN 1.1 Định nghĩa phép nhân hai ma trận 1.2 Các tính chất phép nhân hai ma trận v1.0014105206 1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Cho ma trận A cấp mn B cấp np A = (aij)mn B =(bjk)np Tích A với B ma trận cấp mp ký hiệu: AB = (cik)mp xác định sau:  b1k  b  d c c ik  A i Bk  (ai1,ai2 ,,ain )  2k   ai1b1k  ai2b2k    ainbnk     bnk  v1.0014105206 VÍ DỤ Cho ma trận:  2  A  ,     2    B   4   3    Tính AB Giải: c13  c c A B  (c ik )23   11 12  23 33  c 21 c 22 c 23  v1.0014105206 VÍ DỤ  2  c11  A1dB1c  1 2  4   2  12   18 2   3 c12  A1dBc2  1 2        3     2  c21   3  4   8    14 2   3 c22   3    12    21  3     1 c13  A1dB3c  1 2    1    4    18  AB     14 21 8   1 c23   3      12  8    4 v1.0014105206 VÍ DỤ  2  Cho ma trận A   ,  3   2    B   4   3    Tính BA’ Giải:  2 B A '     3   2            v1.0014105206             2 3    8             15     11     CHÚ Ý Tồn tích AB số cột A số dịng B Tồn hai tích AB BA A có cấp mn B phải có cấp nm Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn, nói chung AB ≠ BA A nhân với A A ma trận vng v1.0014105206 10 VÍ DỤ  3    Tính ma trận nghịch đảo ma trận: A     2    Giải: 3 • Tính d  A   ( 6   12)  ( 27   8)  12  33  21  2 suy tồn ma trận nghịch đảo A • Tính A* (Xem ví dụ trước)  8 2 11   8 2 11  1    A*   7 7   A 1  A*   7 7  d 21   5 1      5 1  v1.0014105206 22 VÍ DỤ  2  5 Cho ma trận A    2  2 5  3  4 Tìm phần tử nằm dịng 1, cột ma trận A–1 A 1 d  A  41   A 141  A 21 A 22 A 23 A 24 A 31 A 32 A 33 A 34 A 41  A  A 43   A 44  A 41 d A 41  ( 1)5 5 v1.0014105206  A 11  1  A 12  A*  d d  A 13   A 14 2 9 2 1  A14  41 23 VÍ DỤ  1   2   Cho ma trận A    2 3     1 m  Tìm m để ma trận A khả nghịch Khi đó, tìm phần tử nằm dịng cột ma trận nghịch đảo ma trận A Giải: A  1 2 2 1 m 1 2 7 14 1 6 7 14   7 5  14  7m 3 7 5 7 m  7 m  Ma trận A khả nghịch |A| = 14 – 7m ≠ ↔ m ≠ v1.0014105206 24 VÍ DỤ Phần tử dòng cột ma trận nghịch đảo ma trận A là: 1 1 A 42   A 24   ( 1)6  2  A 14  7m 1 m v1.0014105206 25 2.4 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO • Tính chất 1: Nếu ma trận A có nghịch đảo (A–1)–1 = A |A–1|= |A|–1 • Tính chất 2: Nếu hai ma trận vuông cấp A, B có ma trận nghịch đảo thì: (AB)–1 = B–1A–1 v1.0014105206 26 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Giải phương trình ma trận: AX = B • Trong A, B hai ma trận cho trước, A vng khơng suy biến • Khi ma trận phải tìm X tính theo cơng thức: X = A1B • Tương tự, A ma trận vuông không suy biến phương trình ma trận YA = B có nghiệm nhất: Y =B A1 v1.0014105206 27 VÍ DỤ  2    A   2 ,  5     2    B   2   1   Giải phương trình ma trận AX = B YA = B Giải: Giải phương trình ma trận AX = B  13 11    A*     2 14 10    • Ta có: A  38 • Phương trình có nghiệm là:  13 11    A 1   38    2 14 10   13 11   2   58 27 33  1          X  A 1  B  40 35    38   38        2 14 10   1  32 104 46  v1.0014105206 28 VÍ DỤ (tiếp theo) Giải phương trình ma trận YA = B → Y = B.A–1 Phương trình có nghiệm là:  2   13 11   17 52 67  1  65 20 17  Y  B.A 1   2         1 38  2 14 10  38  36 14 10        v1.0014105206 29 CHÚ Ý Giải phương trình AX = B mà A ma trận vuông suy biến A ma trận hình chữ nhật: • Từ cấp A, B suy cấp X Giả sử X = (xij) • Nhân AX Cho AX = B suy hệ phương trình tuyến tính • Giải hệ phương trình suy kết luận v1.0014105206 30 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG • Lập ma trận A ma trận giá mặt hàng theo dòng B số lượng mặt hàng tháng C ma trận doanh thu tháng • Ta có:  345 A  18 20 19  ,B   315  430   C  AB   20680 20795 • 340 350  330 370  425 425  21775  Vậy doanh thu tháng cửa hàng là:  Tháng 1: 20.680.000 đồng  Tháng 2: 20.795.000 đồng  Tháng 3: 21.775.000 đồng v1.0014105206 31 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  1 3   3      B   1 4  Cho ma trận: A   4  ,  3 1   3      Các phần tử dòng ma trận AB là: A (7, –5, 1) B (7, 5, –1) C (–7, 5, –1) D (–7, –5, 1) Trả lời: • Đáp án là: A (7, –5, 1) • Giải thích: Các phần tử dịng ma trận C=A.B là:  C11 = Ad1 Bc1 =  C12 =Ad1 Bc2 = –5  C13 = Ad1 Bc3 = v1.0014105206 32 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  1 3  Cho ma trận: A   4     3 1    Phần tử nằm dòng cột ma trận nghịch đảo ma trận A là: A 1/3 B –1/3 C –2/3 D 2/3 Trả lời: • Đáp án là: C –2/3 • Giải thích: Phần tử dịng cột ma trận nghịch đảo A có giá trị d = –12, A12 = v1.0014105206 A12 d 33 BÀI TẬP  3  3 3  3   Cho hai ma trận: A   2 3  , B     5      1 Tính phần tử cột ma trận AB 3 m 4 3 3 2  5  1 Giải: Đặt C = AB Các phần tử cột AB C12, C22, C32 C12 = Ad1.Bc2 = ─ + ─ ─ 3m = ─3 ─ 3m C22 =Ad2 Bc2 = – + + m = + m C32 = Ad3 Bc2 = + ─15 – 5m = ─10 – 5m  3  3m     Cc2    m   10  5m    v1.0014105206 34 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Tích ma trận A ma trận B ma trận cấp mp, ký hiệu AB = (cij)mp xác định sau: cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj • Tồn tích AB số cột ma trận đứng trước (ma trận A) số dòng ma trận đứng sau (ma trận B); • Ma trận AB có số dòng số dòng ma trận A số cột số cột ma trận B; • Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: AX = XA = E • Ký hiệu A−1 để ma trận nghịch đảo ma trận A v1.0014105206 35 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • •  A11  Ma trận phụ hợp ma trận A: A *   A12    A1n A 21  A n1  A 22  A n2       A 2n  A nn  Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo là: d = |A| ≠ Khi ma trận nghịch đảo ma trận A xác định theo cơng thức: A* d Phương trình ma trận AX = B trường hợp ma trận A vuông có ma trận nghịch đảo có nghiệm tính theo cơng thức: X = A–1B A 1  • • Phương trình ma trận YA = B trường hợp ma trận A vng có ma trận nghịch đảo có nghiệm tính theo cơng thức: Y = BA−1 v1.0014105206 36 ... ma trận doanh thu tháng • Ta có:  3 45 A  18 20 19  ,B   3 15  430   C  AB   20680 207 95 • 340 350  330 370  4 25 4 25  217 75  Vậy doanh thu tháng cửa hàng là:  Tháng 1: 20.680.000... Loại gạo Bắc Hương 3 45 340 350 Tám Điện Biên 3 15 330 370 Tám Thái Lan 430 4 25 4 25 Hãy sử dụng ma trận, tính doanh thu cửa hàng tháng v1.00141 052 06 MỤC TIÊU • Sinh viên nắm cách nhân hai ma trận,... AB là: A (7, ? ?5, 1) B (7, 5, –1) C (–7, 5, –1) D (–7, ? ?5, 1) Trả lời: • Đáp án là: A (7, ? ?5, 1) • Giải thích: Các phần tử dịng ma trận C=A.B là:  C11 = Ad1 Bc1 =  C12 =Ad1 Bc2 = ? ?5  C13 = Ad1