Bài tập Toán cho các nhà kinh tế 2

TẬP ĐỀ LƯU HÀNH NỘI BỘ! §Ị Sè 1 Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn: lim  x  cos x  sin x x 0 Câu 2: (1,25 điểm) Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc với phần dư dạng Peano: f  x   ln  x  1 x 1 Câu 3: (2,5 điểm) Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm thị trường với hàm cầu ngược p  2620  11,5Q a) Tính hệ số co giãn cầu theo giá mức giá p  10 nêu ý nghĩa; b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa biết hàm chi phí cận biên MC  5Q  2Q  120 Câu 4: (1,25 điểm) Cho hàm ẩn z  x, y  xác định phương trình: x  y  z  2x  4y  2z   Tìm đạo hàm riêng cấp 1, cấp viết biểu thức vi phân toàn phần cấp hàm z  x, y  Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử hàm lợi ích mua sắm hàng hóa người tiêu dùng U  x10,5 x 0,6 Trong đó, x1 , x lượng hàng hóa thứ thứ Xác định cấu mua sắm để tối đa hóa lợi ích, biết giá hàng hóa thứ tương ứng p1  15, p  18 ngân sách dành cho mua sắm cố định m  330 Câu 6: (1,25 điểm) Một cơng ty có hàm lợi nhuận cận biên cho   x   1000x 2e 0,2x , với x lượng sản phẩm bán Tìm hàm tổng lợi nhuận biết cơng ty có lợi nhuận 2000 USD x  Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân: 1  e xy y x    y x  e xy  y'  §Ị Sè Câu 1: (1,25 điểm) Tìm đạo hàm riêng điểm  2,0  hàm số x 1  ; víi y 2x  1.arctan y w  ; víi   x,y  , y0  x,y  , y0 Câu 2: (1,25 điểm) Xác định khoảng tăng, giảm tìm cực trị hàm số: y  x  2x x x2 3 Câu 3: (1,25 điểm) Cho hàm ẩn y  y  x  xác định từ phương trình  y Chứng tỏ hàm số y  y  x  nghiệm phương trình vi phân: 2x.y   3xy  1 y  y 0 x Câu 4: (1,25 điểm) Như ta biết, giá trị quỹ vốn thời điểm t lượng đầu tư tích lũy đến thời điểm t Giả sử hàm đầu tư dự án cho I  t   100000t.e  t ,  t  24 ( t tính theo tháng), lập hàm quỹ vốn K  t  theo thời gian t , biết thời điểm ban đầu t  , quỹ vốn có 120000 USD Câu 5: (1,25 điểm) Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm hai trị trường khác (được phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên: MC  10,5  0,1.Q  Q  Q1  Q  cầu thị trường sản phẩm công ty: Thị trường 1: p1  72  0,3.Q1 ; Thị trường 2: p  54  0,15.Q Xác định sản lượng giá bán trên thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa Câu 6: (1,25 điểm) Một nhà máy sản xuất thùng container dự định sản xuất thùng hình hộp chữ nhật với thể tích 12m3 có đáy nắp hình vng Biết chi phí để sản xuất nắp mặt bên 2USD / m , chi phí để sản xuất đáy 3USD / m Hỏi chiều thùng container để tối thiểu hóa chi phí sản xuất? Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân: x.y  3y  2x y §Ị Sè Câu 1: (1,25 điểm) Tính đạo hàm hàm số y  x  x   4x 3  Câu 2: (1,25 điểm) Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số y    t  4t  8.dt     Câu 3: (1,25 điểm) Tính tích phân: I    2x  3 e 2x 2018 dx Câu 4: (1,25 điểm) Viết công thức khai triển Maclaurin hàm số đến lũy thừa bậc x với phần dư dạng peano f  x   ln  x  3x   Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm số w  f  x, y  có tất đạo hàm riêng cấp liên tục, chứng minh hàm số  x2 x y  u  f  sin ,   y y x  thỏa mãn điều kiện x u u y  x y Câu 6: (1,25 điểm) Một công ty nhận thấy lợi nhuận P họ (tính theo triệu USD) xác định bởi: P  x, y   5x  3y  48x  4y  2xy  290 Với x lượng tiền đầu tư cho quảng cáo (tính theo triệu USD) y lượng hàng bán (tính theo nghìn sản phẩm) Tìm giá trị lớn lợi nhuận P giá trị a n lợi nhuận P lớn 1 Câu 7: (1,25 điểm) Một doanh nghiệp có hàm sản suất Q  30K L3 Giả sử giá thuê đơn vị tư $96, giá thuê đơn vị lao động $15 doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $4800 Xác định lượng tư lao động sử dụng để doanh nghiệp thu sản lượng tối đa Nếu ngân sách dành cho sản suất tăng thêm 1% sản lượng tối đa thay đổi nào? Tại sao? Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân:  3x  2xy  y  1 dx   x  2xy  3y  3 dy  §Ị Sè x   x Câu 1: (1,25 điểm) Cho hàm số f  x     2a  1 x  b  x  a) Tìm a, b cho hàm số liên tục điểm x  ; b) Tìm a, b cho hàm số khả vi điểm x  Câu 2: (1,25 điểm) Biết hàm cầu đảo sản phẩm doanh nghiệp độc quyền p  600  4Q hàm chi phí mức sản lượng Q TC  Q3  10Q  440Q  20 Tính nêu ý nghĩa hệ số co dãn cầu theo giá mức giá doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận Câu 3: (1,25 điểm) Lập công thức đạo hàm hàm lũy thừa f (x)  x  theo định nghĩa Câu 4: (1,25 điểm) Một công ty sản xuất bán ô tô điện vừa giới thiệu mẫu ô tô điện mới, biết hàm cung cận biên công ty mẫu có dạng: MS  S  p   100p  20  p  ,  p  19 Với S  p  lượng xe đặt hàng giá p (nghìn USD/chiếc) Tìm hàm cung S  p  biết công ty bán 2000 giá 19 (nghìn USD) Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm số y  y  x  dạng hàm ẩn hàm cấp hàm số Câu 6: (1,25 điểm) Tìm cực trị hàm số x y e 2 arctan y x , tính đạo w  3x  3y  11z  12x  12y  20z  6yz  20 Câu 7: (1,25 điểm) Một nhà máy sản xuất bán loại bảng viết cho trường học, gồm loại phổ thông loại đặc biệt Biết lợi nhuận hàng tuần cho   x, y    x  2y  xy  140x  210y  4300 với x lượng bảng loại bản, y lượng bảng loại đặc biệt bán tuần Nhà máy sản xuất bán 90 bảng tuần Giả sử x y khơng âm, hỏi có bảng loại sản xuất bán tuần để lợi nhuận hàng tuần lớn nhất, lợi nhuận lớn bao nhiêu? Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân  arcsin x  y  dx   3y  x y  dy  §Ị Sè Câu 1: (1,25 điểm) Cho hàm số y  x.sin 2x , tính y Câu 2: (1,25 điểm) Khai triển Taylor hàm số y  x  3.tan  x  1 x x  đến số hạng chứa với phần dư dạng peano Câu 3: (1,25 điểm) Cho hàm cung nhà sản xuất hàm cầu người tiêu dùng loại hàng hóa p  15  Q d , p  Qs Hãy tính thặng dư nhà sản xuất PS Câu 4: (1,25 điểm) Xác định khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: y  2x  1  x   Câu 5: (1,25 điểm) Một nhà máy sản xuất loại kính râm, kính cho nam bán với giá $17, kính cho nữ bán với giá $21 Tổng doanh thu (tính theo nghìn USD) có x (nghìn) kính cho nam y (nghìn) kính cho TR  x, y   17x  21y Chi phí để sản xuất x (nghìn) kính cho nam y (nghìn) kính cho nữ TC  x, y   4x  4xy  2y  11x  25y  Tìm lượng kính loại cần sản xuất bán để đạt lợi nhuận tối đa Câu 6: (2,5 điểm) Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  10K 0,6 L0,5 (Q sản lượng, K tư bản, L lao động) Giá thuê tư $18, giá thuê lao động $12 ngân sách dùng cho sản xuất $1980 a) Tính giá trị sản phẩm vật cận biên tư mức sử dụng K  50 (đơn vị tư bản), L  60 (đơn vị lao động) cho biết ý nghĩa số đó; b) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, xác định lượng tư lượng lao động cần dùng sản xuất để đem lại sản lượng tối đa cho doanh nghiệp với ngân sách sản xuất cho Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân: x y  4x  xy  y §Ị Sè sin 3x Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn lim x 0  tan 5t.dt tan 4x  arcsin 2t.dt Câu 2: (1,25 điểm) Cho hàm ẩn y  y  x  xác định phương trình x  y3  3xy   Viết khai triển Maclaurin đến bậc hai hàm số với phần dư dạng Penano Câu 3: (1,25 điểm) Một hãng có hàm lợi nhuận cận biên M    x   9000  3000x x  6x  10  Tìm hàm tổng lợi nhuận hãng biết hãng đạt lợi nhuận 1500 USD bán sản phẩm Câu 4: (2,5 điểm) Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  30K L3 a) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất doanh nghiệp; b) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất cho doanh nghiệp phải bỏ chi phí nhỏ sản xuất Q0  6000 đơn vị sản phẩm, cho biết giá thuê tư lao động w K  3; w L  12 Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm biến  xy  x  2y   , 3x  y  2 f  x, y    3x  y  , 3x  y  0 Tính đạo hàm riêng f yx  0,0  Câu 6: (1,25 điểm) Tính zxy điểm dừng hàm ẩn z  z  x, y  , z  xác định phương trình x  3y  z3  2x  12y  2z  14  Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân  2xy  y  dx  xdy  §Ị Sè Câu 1: (2,5 điểm) Cho hàm số f  x    3x  1 x  a) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số f  x  ; b) Viết khai triển Maclaurin hàm số f  x  đến lũy thừa bậc với phần dư dạng Peano Câu 2: (1,25 điểm) Tìm đạo hàm riêng theo biến y hàm số:  x  3y3  xy x  y   f  x, y    x  xy  y  x  y   Câu 3: (1,25 điểm) Thời gian (tính theo giờ) để nhà máy thực kế hoạch sản xuất cho T  x, y   x  16y  32xy  40 Với x lượng nghìn USD sử dụng cho quản trị chất lượng y lượng nghìn USD sử dụng cho tư vấn Tìm lượng tiền sử dụng cho quản trị chất lượng tư vấn cho thời gian tiêu tốn cho sản xuất nhất, số bao nhiêu? Câu 4: (2,5 điểm) Người tiêu dùng lựa chọn túi hàng gồm loại sản phẩm với hàm lợi ích tiêu dùng: U  50 x 0,6 y 0,4 , x lượng hàng hóa A, y lượng hàng hóa B a) Hãy xác định lượng cầu mặt hàng người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích, biết giá hàng hóa A $6, giá hàng hóa B $8 thu nhập dành cho tiêu dùng $140 b) Nếu thu nhập dành cho tiêu dùng tăng thêm $1 lợi ích tiêu dùng tối đa thay đổi nào? Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm cung nhà sản xuất hàm cầu người tiêu dùng 1800 loại hàng hóa p  , p  Qs  Qd  a) Tìm điểm cân thị trường; b) Tính thặng dư nhà sản xuất PS thặng dư người tiêu dùng CS Câu 6: (1,25 điểm) Tìm nghiệm phương trình vi phân y   2x  y   2y  4x  thỏa mãn điều kiện: y    §Ị Sè Câu 1: (1,25 điểm) Như ta biết, đạo hàm điểm hàm số hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm đó, nghĩa f   x   k, k  tan  - với  góc tạo tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x với trục hoành Ox Câu hỏi đặt có phải hàm số có đạo hàm điểm mà ta vẽ tiếp tuyến với đồ thị hàm số hay khơng? Nếu có, chứng minh; Nếu không đưa phản ví dụ Câu 2: Giả sử hàm cầu sản phẩm doanh nghiệp độc quyền hàm chi phí cận biên doanh nghiệp là: p  100  Q  300000 , MC  6Q  326Q  230 Q a) (0,75 điểm) Lập hàm lợi nhuận  doanh nghiệp biết chi phí cố định doanh nghiệp FC  174000 ; (chi phí cố định chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ kể không sản xuất đơn vị sản phẩm nào) b) (0,5 điểm) Hãy tìm mức sản lượng Q0 giá p cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, lợi nhuận tối đa doanh nghiệp bao nhiêu? Câu 3: (1,25 điểm) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số: x2 w tan  xy3  z x  y  2z  Câu 4: (1,25 điểm) Tính tích phân: I  ln 2x   3x  5 dx Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Q  500.K 0,25 L0,35 Hãy tính hệ số co dãn riêng mức sản lượng Q theo lượng tư K mức sử dụng yếu tố đầu vào  K , L0  nêu ý nghĩa giá trị hệ số co dãn Câu 6: (1,25 điểm) Lợi nhuận (tính theo nghìn USD) mà hãng sản xuất thu từ việc sản xuất x (tấn) thép y (tấn) nhôm cho P  x, y   36xy  x  8y3 Tìm lượng thép nhơm cho lợi nhuận hãng tối đa, tính lợi nhuận tối đa đó? Câu 7: (1,25 điểm) Mỗi sản phẩm sản xuất máy A máy B, biết chi phí để sản xuất x sản phẩm máy A y sản phẩm máy B cho hàm số: Chi phí sản xuất x sản phẩm máy A: C A  x   10  x2 ; Chi phí sản xuất y sản phẩm máy B: C B  y   200  y3 ; Tổng chi phí cho C  x, y   C A  x   C B  y  Nên sản xuất sản phẩm máy để tối thiểu hóa tổng chi phí cần sản xuất 10100 sản phẩm? Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân  xy  y  dx   x  1 dy  §Ị Sè Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn lim  e 2x  1 5x x  Câu 2: (1,25 điểm) Giả sử hàm doanh thu cận biên hàm tổng chi phí doanh nghiệp là: MR  100  2Q, TC  2Q3  163Q  230Q  173000 Hãy tìm mức sản lượng Q0 cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, lợi nhuận tối đa doanh nghiệp bao nhiêu? Câu 3: (1,25 điểm) Cho f  t  hàm khả vi  thỏa mãn f 1  2,f  1  3 x3 w  f  2x  y   x sin f  xy  y Hãy tính w x 1,1  Câu 4: (1,25 điểm) Tính tích phân I  e  3x dx Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Q  4500.K 0,25 L0,35 , biết doanh nghiệp sử dụng L  300 đơn vị lao động, tìm mức sử dụng tư K cho sản lượng vật cận biên tư  K , L0  MPPK  250 Câu 6: (1,25 điểm) Tìm cực trị hàm số u  x  4x y  10x  5y  z  16y  2z  41 Câu 7: (1,25 điểm) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm cực trị hàm u  3x  2y  10 với điều kiện ràng buộc 2x  y  15  2x  3y  dx   3x  y  dy  Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân §Ị Sè 10 Câu 1: (1,25 điểm) Khai triển Maclaurin hàm số sau đến x với phần dư Peano: f  x   e 4x cos x Câu 2: (1,25 điểm) Tìm điểm cực trị hàm số sau ye 0,2x x  x  13   e0,2t  0,5  t  1,6 dt Câu 3: (2,5 điểm) Một doanh nghiệp phân phối sản phẩm độc quyền thị trường với hai hàm cầu là: Q1  1440  20p1 , Q  900  10p biết hàm chi phí TC  0,05Q  3Q  111, Q  Q1  Q a) Hãy xác định mức cầu Q1 ,Q mức giá p1 , p2 để doanh nghiệp thu lợi nhuận lớn trường hợp phân biệt giá hai thị trường b) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức cầu để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa trường hợp không phân biệt giá hai thị trường, tức p1  p Câu 4: (1,25 điểm) Cho hàm số f  x, y  có đạo hàm riêng hàm hợp g  x, y   f  y  5x ,10x  2y  Hãy chứng minh: 2y.gx  x, y   15x gy  x, y   Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử tồn hàm ẩn y  f  x  xác định lân cận điểm x  , y  cho phương trình 4y3  x  2y  10x  12 Hãy tính đạo hàm cấp hai f    Câu 6: (1,25 điểm) Một cơng ty có hàm cầu cận biên người tiêu dùng sản phẩm 2000p D  p   Tìm hàm cầu biết lượng cầu 13000 giá sản 25  p phẩm USD Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân y  2y  x ln  4x  3 x §Ị Sè 11 Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn lim 1  x  x  e x x 0 Câu 2: (2,5 điểm) a) Hàm cầu ngắn hạn dầu thô Mỹ năm 2008 xấp xỉ hàm Q  D  p   2431129.p 0,06 (Nguồn: 2003 OPEC Review) với p giá thùng dầu thô Q biểu diễn lượng tiền tiêu dùng dầu thô tương ứng (lượng cầu thể qua giá trị tiền lượng tiêu dùng dầu thơ) Tính nêu ý nghĩa hệ số co giãn cầu giá 40 USD/thùng b) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số sau đoạn  2,0 : f  x    x  1 arcsin  x  1   x  2x  Câu 3: (1,25 điểm) Tích phân suy rộng I  dx  1  x x Câu 4: (1,25 điểm) Cho f  t  hàm khả vi  , viết biểu thức vi phân toàn phần hàm biến w  x, y   f  3x  2y  e   f xy Câu 5: (1,25 điểm) Tìm cực trị hàm số miền x  0, y  0, z  u  x  y3  z  3xy  3xz  3yz  Câu 6: (1,25 điểm) Giả sử doanh nghiệp hoạt động thị trường cạnh tranh có hàm sản xuất Q  120.K 0,4 L0,6 Doanh nghiệp nhận hợp đồng 12000 sản phẩm, tháng đến hẹn giao hàng Cho biết giá bán sản phẩm p , giá thuê tư lao động (trong tháng) là: w K  8, w L  12 Bạn lập kế hoạch sử dụng yếu tố đầu vào cho doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân cấp  8x  3y.cos x  dx  3sin x.dy  §Ị Sè 12 Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn lim  3x  sin 2x  2x x 0 Câu 2: (1,25 điểm) Viết khai triển Maclaurin hàm số f  x   e 2x sin phần dư dạng Peano  Câu 3: (1,25 điểm) Tính tích phân  arc cot   2x  dx  2x   4x  x đến lũy thừa x với Câu 4: (1,25 điểm) Cho hàm số f  x   9x  acr tan  sin 2x   cos 2x Tìm miền giá trị hàm số chứng minh hàm số có hàm số ngược f 1  x  xác định x   3 Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  30K L Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất cho doanh nghiệp phải bỏ chi phí nhỏ sản xuất Q0 = 6000 đơn vị sản phẩm, cho biết giá thuê tư lao động w K  3; w L  12 Câu 6: (1,25 điểm) Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm thị trường có hàm cầu Q  40  p Biết hàm sản xuất ngắn hạn doanh nghiệp Q  9L giá thuê đơn vị lao động $9 Tìm mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa? Câu 7: (1,25 điểm) Một hãng máy tính sản xuất mẫu máy tính cầm tay, cầu mẫu máy tính cầm tay cho Q1  78  6p1  3p ; Q  66  3p1  6p Với p1 , p giá mẫu máy tính (tính theo đơn vị chục USD), Q1 ,Q lượng máy tính (tính theo đơn vị trăm chiếc) Hãy lập hàm tổng doanh thu TR hãng theo biến p1 , p tìm mức giá bán p1 , p2 cho doanh thu hãng máy tính tối đa, doanh thu tối đa bao nhiêu? Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân e3y  x dx  y.dy  §Ị Sè 13 Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn lim 1  x sin x  cot 2x x 0 Câu 2: (1,25 điểm) Cho hàm số y  x  e x , chứng minh hàm số liên tục điểm x  khơng khả vi điểm Câu 3: (1,25 điểm) Cho f  u  hàm biến khả vi, viết biểu thức vi phân toàn phần cấp hàm w  xy.ln f  x  y x   Câu 4: (1,25 điểm) Tính tích phân suy rộng I  dx  4x  4x   Câu 5: (1,25 điểm) Một công ty phát triển loại thức uống mới, chi phí (tính theo USD) để sản xuất lô thức uống cho TC  x, y   2200  27x  72xy  8y Với x số kilogram đường lô y số gram hương liệu lơ Tìm lượng đường hương liệu cho chi phí sản xuất lơ tối thiểu, chi phí tối thiểu bao nhiêu? Câu 6: (2,5 điểm) Một doanh nghiệp hoạt động thị trường cạnh tranh có hàm sản xuất Q  200.K 0,2 L0,5 Biết giá thuê đơn vị tư bản, giá thuê đơn vị lao động giá bán sản phẩm tương ứng w K  5, w L  2, p  a) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất doanh nghiệp; b) Tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa biết kế hoạch sản xuất doanh nghiệp sản xuất 10000 sản phẩm; Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân e 2x  y dx  y dy  x §Ị Sè 14 Tại hội thao chào mừng tân sinh viên năm NEU, nội dung hội thao đua thể lực kết hợp với trí tuệ nhằm cổ vũ cho phong trào rèn luyện thể thao nâng cao khả ứng dụng mơn Tốn vào thực tế cho sinh viên, câu câu thi bạn tham gia đua cách giải toán thực tế đặt hội thao Câu 1: (2,5 điểm) LÊN KẾ HOẠCH TRƯỚC CUỘC ĐUA Ban tổ chức công bố trước sơ đồ đường đua với điểm xuất phát A đích đến địa điểm D (Xem hình bên) Trong đó, giai đoạn đầu vận động viên phải chạy từ A, vượt qua rừng tới B bên bờ sông, sau bơi từ B vượt sơng sang điểm C bên bờ sông, từ C theo đường xe đạp tới D 10 km x A y B Đường C Sông D Rừng Biết khoảng cách từ A tới bờ sông km, sông rộng 0,8 km với bờ đường thẳng song song Biết vận tốc chạy vận động viên rừng 10km/h, vận tốc bơi sông 8km/h, vận tốc đạp xe đường 35 km/h a) Thiết lập thời gian T  T  x, y  để vận động viên từ A tới D theo x, y, với x, y giá trị gợi ý hình trên; b) Tìm x, y (vị trí điểm B, C) để thời gian hồn thành đua Câu 2: (1,25 điểm) TÌM NÚT BẤM TRONG PHỊNG Khi vận động viên tới địa điểm đích D họ phải vào phòng bị bao tường có hình dạng đường tròn với phương trình x  y  30 , biết nhiệt độ phòng có dạng T(x, y)  x  y  3xy  15x  15y  60 Để kết thúc đua vận động viên phải bấm vào nút để xác nhận „ĐÃ VỀ ĐÍCH”, nút khơng thể nhìn thấy mắt thường lại biết chân tường nơi có nhiệt độ thấp Bạn xác định tọa độ nút ấn để giúp vận động viên kết thúc đua Câu 3: (1,25 điểm) GDP Mỹ (tính theo tỷ USD) cho P  x   567  x  36x 0,6  104  (Nguồn: U.S Bureau for Economic Analysis) với x số năm từ năm 1960 (ví dụ - đến năm 1965 tương ứng với x  ) Sử dụng P  x  để ước tính lượng GDP Mỹ tăng từ năm 2009 tới năm 2010 Câu 4: (1,25 điểm) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số y   x  3x   e12x Câu 5: (1,25 điểm) Cho f  t  hảm khả vi  với f   9   , tính dw  2,3 với số gia riêng x  0,1; y  0, w  f  3x  xy  y3   Câu 6: (1,25 điểm) Tính tích phân suy rộng I  x dx  4x Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân  4x  y  dx  xdy  §Ị Sè 15 Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn lim  e 2x   x  2x x 0 Câu 2: (1,25 điểm) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số y    x  1 e  x  3x 1 Câu 3: (1,25 điểm) Hãy tính w x  0,0  , w y  0,0  với:  x  3xy  2y3 x  y   2 w   x  5y  x  y   Câu 4: (1,25 điểm) Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Q  500K 0,3L0,5 a) Hãy tính giá trị sản phẩm vật cận biên tư MPPK mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất K  350, L  270 (đơn vị) cho biết ý nghĩa số này; b) Hãy tính hệ số co giãn  QL mức sản lượng Q theo mức sử dụng lao động L mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất K  350, L  270 (đơn vị) cho biết ý nghĩa số  Câu 5: (1,25 điểm) Tính tích phân: I  e 2x dx e 2x  3e 2x Câu 6: (1,25 điểm) Tìm cực trị hàm số z  8x  y3  12x  16xy  6x  8y  Câu 7: (1,25 điểm) Cho biết hàm sản xuất doanh nghiệp Q  50K 0,3L0,4 Tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất cho doanh nghiệp tốn chi phí để sản xuất Q0  7000 (sản phẩm), biết giá thuê đơn vị tư w K  , giá thuê đơn vị lao động w L  ; Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân dy  2y tan 2x  e3x  cos 2x dx ... số Câu 6: (1 ,25 điểm) Tìm cực trị hàm số x y e 2 arctan y x , tính đạo w  3x  3y  11z  12x  12y  20 z  6yz  20 Câu 7: (1 ,25 điểm) Một nhà máy sản xuất bán loại bảng viết cho trường học,... L  27 0 (đơn vị) cho biết ý nghĩa số  Câu 5: (1 ,25 điểm) Tính tích phân: I  e 2x dx e 2x  3e 2x Câu 6: (1 ,25 điểm) Tìm cực trị hàm số z  8x  y3  12x  16xy  6x  8y  Câu 7: (1 ,25 điểm)... xuất cho doanh nghiệp phải bỏ chi phí nhỏ sản xuất Q0  6000 đơn vị sản phẩm, cho biết giá thuê tư lao động w K  3; w L  12 Câu 5: (1 ,25 điểm) Cho hàm biến  xy  x  2y   , 3x  y  2 f 