Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1: Bài 4 - ThS. Vũ Quỳnh Anh

Mời các bạn cùng tham khảo Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 4: Định thức để nắm chi tiết nội dung kiến thức về khái niệm định thức và kí hiệu; tính các định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3; các tính chất cơ bản của định thức; các phương pháp tính định thức.

BÀI ĐỊNH THỨC ThS Vũ Quỳnh Anh Trường Đại học Kinh tế quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Mở rộng khái niệm định thức biết • Trong chương trình tốn phổ thơng, ta biết ký hiệu cách tính định thức ma trận vng cấp 2: 1  1    5   11 • Có ma trận vng cấp cấp sau:  3  A   2 1 , 3    1  2 3 B  2  3 1  1  2 Định thức ma trận tính nào? v1.0014105206 MỤC TIÊU • Sinh viên nắm định nghĩa tính chất định thức • Biết cách tính định thức theo phương pháp nêu • Biết cách áp dụng tính chất định thức vào tập v1.0014105206 NỘI DUNG Khái niệm định thức kí hiệu Tính định thức cấp 1, cấp cấp Các tính chất định thức Các phương pháp tính định thức v1.0014105206 KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC VÀ KÝ HIỆU Cho A ma trận vuông cấp n, ta gán cho A số thực cố định gọi định thức A, ký hiệu det(A) |A| định nghĩa theo n sau: • n = 1, A ma trận vng cấp 1: A = (a) det(A) = a • n=2  a a12  A   11   a21 a22  • det(A)  a11 a12 a21 a22  a11a22  a12a21 Tổng quát A ma trận vng cấp n Xóa dịng thứ i cột thứ j A, ta ma trận cấp n – 1, định thức ma trận ký hiệu Mij Ký hiệu: Aij = (–1)i+j Mij Định thức ma trận A xác định theo công thức sau: det(A) = a11A11 + a12A12 + … + a1jA1j + … + a1nA1n Số Mij gọi phần bù Aij gọi phần bù đại số phần tử aij ma trận A v1.0014105206 TÍNH CÁC ĐỊNH THỨC CẤP 1, CẤP VÀ CẤP • n=1 A = (a) det(A) = a Định thức ma trận có số số • n=2 a a a a  A   1   A  1  a 1a 2  a a a 21 a 22  a 12 a 22  Định thức cấp tích số đường chéo trừ tích số đường chéo phụ • n=3  a11 a12 a13    A   a21 a22 a23  a a a   31 32 33   A  a11a22a33  a12a23 a31  a13a21a32  (a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 )   T1  T2  T3  v1.0014105206  T  T5  T6  CÁCH NHỚ ĐỊNH THỨC CẤP  a11 a12  A   a21 a22 a a 32  31 • a13   a23  a33 33 Cách det  A    T1  T2  T3   Phần Dương v1.0014105206 •   T4  T5  T6  Cột Cột Cách 2: T1 T2 T3 T4 T5 T6  Phần Âm VÍ DỤ 2 Tính định thức cấp sau: d  4 m Giải: Ta tính d theo quy tắc đường chéo: 2 d 4  ( 12  24  3m)  (2  54  8m) m  36  3m  56  8m  92  5m v1.0014105206 VÍ DỤ Tính định thức cấp sau: d  Giải: 1 2 3 2 3 Theo định nghĩa, ta có: d  3.A 11  1.A 12  2.A 13  2.A 14 3 A 11  ( 1)2  (4  30)  ( 9  6)  26  15  11 3 3 A 12  ( 1)3 2    18   30    9   40    (16  37)  21 3 v1.0014105206 VÍ DỤ 2 3 A 13  ( 1)4 2  ( 12  6)  ( 6  8)  6   8 1 3 A 14  ( 1)5 2    20         (18  8)  10 1 d  3.A 11  1.A 12  2.A 13  2.A 14  33  21  16  20  50 v1.0014105206 10 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC |A’| = |A| Nếu dịng định thức có tất phần tử định thức Nếu định thức ta đổi chỗ hai dòng giữ ngun dịng cịn lại định thức đổi dấu Nếu định thức có hai dịng giống định thức Nếu nhân tất phần tử dòng định thức với số k định thức k nhân với định thức cũ Nếu định thức có hai dịng tỷ lệ định thức v1.0014105206 11 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC a11  ai1  bi1 a12  ai2  bi2   an1  an2     a1n a11   ain  bin  ai1  ann  an1 a12  ai2  a12  bi2    a1n a11   ain  bi1   a1n  bin  an2    ann  an2    ann  an1 Nếu ta lấy số k đem nhân vào dòng cộng vào dịng khác định thức định thức khơng thay đổi Hệ vectơ dịng định thức phụ thuộc tuyến tính định thức 10 Định thức khác hệ vectơ dịng định thức độc lập tuyến tính • Từ tính chất suy ra: Nếu A ma trận vng cấp n det(kA) = kndet(A) • Chú ý: Mọi tính chất với cột định thức v1.0014105206 12 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 4.1 Phương pháp khai triển 4.2 Phương pháp biến đổi dạng tam giác v1.0014105206 13 4.1 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC Định lý: Định thức cấp n tổng n số hạng, số hạng tích phần tử dịng (hoặc cột) với phần bù đại số phần tử a11 a12  a1n    d  ai1  ai2    an1 an2  ain   ann = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + aijAij + … + ainAin (Công thức khai triển định thức theo dòng i) = a1jA1j + a2jA2j + … + aijAij + … + anjAnj (Công thức khai triển định thức theo cột j) v1.0014105206 14 4.1 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC Tính định thức d 1 2 3 2 1 3 21 1 2  3 7 5 3 c2  a12 A 12  0.A 22  0.A 32  0.A 42  a12 A 12  ( 1)( 1)3 M12   7 5 Dịng bị xóa Cột bị xóa = (–70 + – 84) – (–84 + – 20) = –154 + 104 = –50 v1.0014105206 15 4.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỊNH THỨC VỀ DẠNG TAM GIÁC Dùng tính chất định thức, biến đổi định thức dạng tam giác Khi định thức tích phần tử đường chéo a 11 a 12 a 1n a 22 a 2n  a 1a 2  a n n 0 a nn d Ví dụ: d 3 1  2 1 5 5  7 1 5 18   (  1)    v1.0014105206 16 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG • Tính d theo quy tắc đường chéo để tính nhẩm định thức cấp 3, ta có: 3 A  2 1  (16   2)  (12  12  2)  23  22  • Biến đổi định thức khai triển theo cột thứ hai ta có: B  1 2 3 3 2 1 2  1  3 4 0 1 2 3  1A 13  1 ( 1)4 4 1 c3 2 3   4 1  [(0  27  60)  (0  48  10)  33  58]  91 v1.0014105206 17 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giá trị định thức 2 2 5 3 bằng: A −5 B −15 C 15 D Trả lời: • Đáp án là: D • Giải thích: Sau biến đổi tính định thức có kết D = v1.0014105206 18 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giá trị định thức 1 4 3 2 3 1 bằng: A −85 B −65 C 85 D 65 Trả lời: • Đáp án là: A –85 • Giải thích: Sau biến đổi tính định thức có kết d = – 85 v1.0014105206 19 BÀI TẬP Tìm điều kiện m để định thức sau khác 0: d 2 2m 1 3 2 2m Giải: Ta có: d   (    4m )  ( 0m   ) 3    4m  0m    6m d     6m   m   v1.0014105206 26 13  m   36 18 20 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Định thức ma trận vng A ký hiệu |A|, det(A) • Mỗi định thức số xác định • Định thức ma trận vng cấp phần tử • Định thức cấp tích hai phần tử thuộc đường chéo trừ tích hai phần tử thuộc đường chéo phụ • Định thức cấp ba a11 a12 a21 a22 a31 a32 • a13 a23  T1  T2  T3  (T4  T5  T6 ) a33 Định thức ma trận vuông định thức ma trận chuyển vị v1.0014105206 21 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Nếu định thức ta đổi chỗ hai dòng giữ ngun vị trí dịng cịn lại định thức đổi dấu • Nếu nhân dịng định thức với số α (tức nhân phân tử dịng với số α định thức nhận α nhân với định thức cũ • Nếu ta cộng vào dịng định thức tích dịng khác với số k tùy chọn định thức khơng thay đổi • Định thức trường hợp sau đây:  Có dịng với tất phần tử 0;  Có hai dịng giống nhau;  Có hai dịng tỷ lệ • Hệ vectơ dịng định thức phụ thuộc tuyến tính định thức • Hệ vectơ dịng định thức độc lập tuyến tính định thức khác v1.0014105206 22 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Cho d định thức ma trận vuông A cấp n Xóa dịng thứ i cột thứ j (dòng cột chứa phần tử aij) định thức d ta định thức cấp n –1, ký hiệu Mij: gọi phần bù aij • Aij = (−1)i+j Mij gọi phần bù đại số phần tử aij • Phương pháp khai triển: Áp dụng định lý sau để tính định thức: • Định thức cấp n tổng n số hạng, số hạng tích phần tử dòng (hoặc cột) với phần bù đại số phần tử • Phương pháp biến đổi định thức dạng tam giác: Biến đổi định thức dạng tam giác áp dụng kết sau v1.0014105206 23 ... T5  T6  Cột Cột Cách 2: T1 T2 T3 T4 T5 T6  Phần Âm VÍ DỤ 2 Tính định thức cấp sau: d  ? ?4 m Giải: Ta tính d theo quy tắc đường chéo: 2 d ? ?4  ( 12  24  3m)  (2  54  8m) m  36... tính chất với cột định thức v1.00 141 05206 12 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 4. 1 Phương pháp khai triển 4. 2 Phương pháp biến đổi dạng tam giác v1.00 141 05206 13 4. 1 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC... a12 A 12  ( 1)( 1)3 M12   7 5 Dịng bị xóa Cột bị xóa = (–70 + – 84) – (– 84 + – 20) = –1 54 + 1 04 = –50 v1.00 141 05206 15 4. 2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỊNH THỨC VỀ DẠNG TAM GIÁC Dùng tính chất định