Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều–cơ sở của không gian Rn trình bày khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính; sự phụ thuộc tuyến tính; cơ sở của không gian vectơ n chiều.
BÀI CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ N CHIỀU – CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN Rn ThS Vũ Quỳnh Anh Trường Đại học Kinh tế quốc dân v1.0014105205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Biểu diễn vectơ qua hệ vectơ Cho vectơ X1 = ( 2, −3, ) X2 = ( 3, 1, −5) X3 = (−1, 4, ) X = (−1, , 3) Tìm số x, y, z cho: X = x.X1 + y.X2 +z.X3 v1.0014105205 MỤC TIÊU • Sinh viên nắm khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính vectơ qua hệ vectơ • Nắm khái niệm độc lập phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ, khái niệm sở khơng gian • Ngồi sinh viên biết cách xác định hệ vectơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, vectơ có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ hay khơng • Xác định hệ vectơ có sở không gian Rn hay không, xác định tọa độ vectơ sở v1.0014105205 NỘI DUNG Khái niệm tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính Cơ sở không gian vectơ n chiều v1.0014105205 KHÁI NIỆM TỔ HỢP TUYẾN TÍNH VÀ PHÉP BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính 1.2 Phép biểu diễn tuyến tính 1.3 Dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính v1.0014105205 1.1 KHÁI NIỆM TỔ HỢP TUYẾN TÍNH • Định nghĩa: Trong khơng gian Rn (n cố định) cho m vectơ: X1, X2, …, Xm (1) Lấy m số α1, α2, …, αm lập tổng: α1X1 + α2X2 + … + αmXm • (2) Định nghĩa: Mỗi tổng (2), α1, α2, …, αm số thực cho trước, gọi tổ hợp tuyến tính vectơ (1) Các số αi (i = 1, 2,…, m) gọi hệ số tổ hợp tuyến tính • Từ vectơ (1) ta lập vơ số tổ hợp tuyến tính chúng v1.0014105205 1.2 PHÉP BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH • Định nghĩa: Ta nói vectơ X Rn biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1, X2, …, Xm tồn tổ hợp tuyến tính vectơ X1, X2, …, Xm vectơ X, tức tồn số thực α1, α2, …, αm cho X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm • Đặc biệt, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y (X = α-Y) ta nói vectơ X tỷ lệ với vectơ Y • Tính chất: Vectơ 0n ln biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ n chiều • Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1, X2, … , Xm vectơ Xi, i = 1, 2, …, m biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y1, Y2, …, Yp vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y1, Y2, …, Yp • Định lý cho thấy quan hệ biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu v1.0014105205 1.3 DẠNG VECTƠ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Cho hệ phương trình a11x1 a12 a1n x n b1 a21x1 a22 a2n x n b2 am1x1 am2 amn x n bm (1) Xem cột vectơ m chiều, ta biểu diễn hệ phương trình dạng tương đương sau: a11 a12 a1n b1 a 22 a 22 a 2n b x1 + x2 + + x n = 2 a a a m1 m2 mn bm c c c x A x A xn A n B 1 2 v1.0014105205 (2) 1.3 DẠNG VECTƠ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Để xét X có biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1, X2, … , Xm hay không ta làm sau: • Xét đẳng thức: α1X1 +α2X2 + … +αmXm = X Suy hệ phương trình có ma trận mở rộng nhận X1, X2, … , Xm, X làm cột • Nếu hệ phương trình vơ nghiệm kết luận X khơng biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ • Nếu hệ phương trình có nghiệm (nghiệm vơ số nghiệm) kết luận X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ v1.0014105205 VÍ DỤ Cho: X1 = ( 2, –3, –1) X2 = (–3, 2, –1), X3 = ( 1, –3, 4) X= (–1, 0, 2) Hỏi X có biểu diễn tuyến tính qua X1, X2, X3 khơng? Nếu có, biểu diễn tuyến tính véctơ X qua ba véctơ v1.0014105205 10 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH • Định lý 1: Một hệ vectơ n chiều có từ hai vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính ↔ hệ tồn vectơ biểu diễn tuyến tính qua vectơ lại Hệ quả: Mọi hệ vectơ n chiều chứa vectơ 0n phụ thuộc tuyến tính Mọi hệ vectơ n chiều chứa hai vectơ tỷ lệ phụ thuộc tuyến tính Hệ hai vectơ {X, Y} phụ thuộc tuyến tính ↔ X, Y tỷ lệ; độc lập tuyến tính ↔ X, Y khơng tỷ lệ • Định lý 2: Một hệ vectơ có hệ phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Hệ quả: Một hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính v1.0014105205 18 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH • Định lý 3: Cho hai hệ vectơ n chiều: X1, X2, … , Xm Y1, Y2, … , Yp (1) (2) Nếu m > p vectơ hệ (1) biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ (2) hệ (1) phụ thuộc tuyến tính Hệ quả: Nếu hệ vectơ (1) độc lập tuyến tính vectơ hệ (1) biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ (2) m p Nếu hai hệ (1) (2) độc lập tuyến tính đồng thời vectơ hệ (1) biểu diễn tuyến tính qua vectơ hệ (2) ngược lại số vectơ hai hệ • Định lý 4: Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hớn số chiều phụ thuộc tuyến tính Hệ quả: Mọi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính số vectơ phải n v1.0014105205 19 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ N CHIỀU 3.1 Khái niệm sở không gian vectơ n chiều 3.2 Tọa độ vectơ sở v1.0014105205 20 3.1 KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ N CHIỀU Một hệ vectơ gồm n vectơ n chiều độc lập tuyến tính gọi sở khơng gian Rn Như hệ vectơ: • Số vectơ = số chiều (= n) • Độc lập tuyến tính sở khơng gian Rn Ví dụ: E1 (1,0,0) E2 (0,1,0) E (0,0,1) Hệ vectơ có số vectơ = số chiều Hệ vectơ độc lập tuyến tính (Ví dụ trước) Vậy E1, E2, E3 sở không gian R3 v1.0014105205 21 3.1 KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN vectơ N CHIỀU (tiếp theo) X1 (1,3, 1) Hệ vectơ sau có sở R3 hay không? X2 (2,0,3) X (3,3,1) Ví dụ 2: Giải: Hệ vectơ có số vectơ = số chiều (1) Xét độc lập tuyến tính hệ vectơ: Xét hệ phương trình có ma trận hệ số nhận X1, X2, X3 cột: –3 3 A 3 1 1 1 6 6 6 6 0 0 6 Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác Vậy hệ vectơ (X1, X2, X3) độc lập tuyến tính (2) Từ (1) (2) ta kết luận X1, X2, X3 sở R3 v1.0014105205 22 3.1 KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN vectơ N CHIỀU (tiếp theo) Định lí: • Cho sở khơng gian Rn: P1, P2, … , Pn • Khi vectơ X không gian Rn biểu diễn cách dạng: X = 1P1 + 2P2 + … + nPn v1.0014105205 (1) (2) 23 3.2 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ TRONG MỘT CƠ SỞ • Khái niệm tọa độ vectơ Định nghĩa: Bộ số thực có thứ tự α1, α2, … , αn thỏa mãn hệ thức (2) gọi tọa độ véc tơ X sở (1) • Tìm tọa độ vectơ sở cho trước Tìm toạ độ X sở Rn, tìm cách biểu diễn tuyến tính X qua vectơ v1.0014105205 24 VÍ DỤ E1 (1,0,0) Trong R3 cho sở: E2 (0,1,0) (1) E (0,0,1) –3 X1 (1,3, 1) X2 (2,0,3) X (3,3,1) (2) Và cho véc tơ X = (1, 0, –1) Tìm tọa độ X hai sở trên? Tìm tọa độ X sở (1) Giải: Xét đẳng thức vectơ: 1E1 + 2E2 + 3E3 =X α1 Suy ra: 1 α2 0 α3 1 5 , 2, 2 Tọa độ X sở (1) là: (1, 0, –1) v1.0014105205 25 VÍ DỤ Xét đẳng thức: 1X1 + 2X2 + 3X3 = X Lập ma trận mở rộng hệ phương trình nhận X1, X2, X3, X tương ứng làm cột: –3 1 1 1 A 3 6 6 3 1 1 0 α1 2α2 3α3 α1 5 / 6α2 6α3 3 α2 2 α / 6α3 15 1 6 6 3 0 6 15 1 α1 α2 0 5 , 2, Vậy toạ độ Xαtrong sở (2) là: 1 2 v1.0014105205 26 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG • Xét đẳng thức: X = x.X1 + y.X2 +z.X3 • Suy hệ phương trình có ma trận mở rộng nhận X1, X2, X3, X làm cột 1 1 1 1 1 1 A 3 11 3 11 3 5 11 0 2x 3y z 1 x 17 / 99 11y 5z 3 y 37 / 99 z / 9z X v1.0014105205 17 37 X1 X X3 99 99 27 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho ba vectơ: X = ( 2, 2, 3),Y = ( 4, –5, 6), Z = (–7, 8, k) Để hệ ba vectơ phụ thuộc tuyến tính, giá trị k bằng: A −23/2 B −21/2 C 23/2 D 21/2 Trả lời: • Đáp án là: B −21/2 • Giải thích: Lập ma trận hệ có X, Y, Z tương ứng làm cột Biến đổi ma trận Để hệ ba vectơ phụ thuộc tuyến tính hệ phương trình phải kết thúc dạng hình thang Ma trận kết thúc dạng hình thang k = −21/2 v1.0014105205 28 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho ba vectơ: X = ( −2, 2, 3), Y = ( 4, 3, 6), Z = (−3, −5, k) Để hệ ba véctơ tạo thành sở R3, điều kiện k là: A k ≠ −129/14 B k ≠ −129/7 C k ≠ 129/14 D k ≠ 129/7 Trả lời: • Đáp án là: A k ≠ −129/14 • Giải thích: Xét độc lập tuyến tính hệ véctơ Lập ma trận hệ có X, Y, Z tương ứng làm cột Biến đổi ma trận Để hệ ba véctơ tạo thành sở R3 hệ phương trình phải có nghiệm Hay ma trận sau biến đổi phải kết thúc dạng tam giác Điều xảy k ≠ −129/14 v1.0014105205 29 BÀI TẬP Chứng minh hệ ba vectơ: P1 = (1, 2, – 1), P2 = (2,3,0), P3 = (5, 7, 2) sở khơng gian R3 Trả lời: • Xét độc lập tuyến tính hệ véc tơ: Xét hệ phương trình tuyến tính ẩn có ma trận hệ số với cột theo thứ tự vectơ P1, P2, P3 5 1 1 A 0 1 3 0 1 3 1 2 0 0 • Q trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác, hệ vectơ cho độc lập tuyến tính → P1, P2, P3 sở R3 v1.0014105205 30 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Từ vectơ X1, X2, … , Xm ta lập vơ số tổ hợp tuyến tính chúng • Phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu • Để xét vectơ n chiều X có biểu diễn tuyến tính qua vectơ n chiều X1, X2, …, Xm cho trước hay không, ta xét đẳng thức: X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm Giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng có ma trận mở rộng vectơ X1 X2 … Xm X viết theo cột Nếu hệ phương trình vơ nghiệm X khơng biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ Nếu hệ phương trình có nghiệm, tìm α1, α2, … , αm Suy X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm cách biểu diễn tuyến tính X qua X1, X2, … , Xm • Để xác định hệ vectơ X1, X2, …, Xm phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm sau: Xét hệ phương trình có ma trận hệ số A với cột vectơ X1, X2, …, Xm Biến đổi ma trận A Hệ vectơ độc lập tuyến tính q trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính q trình khử ẩn kết thúc dạng hình thang v1.0014105205 31 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua vectơ cịn lại • Nếu hệ vectơ có hệ (một phận) phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính • Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn n phụ thuộc tuyến tính • Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính có số vectơ n gọi sở không gian Rn • Việc tìm tọa độ vectơ sở tìm cách biểu diễn tuyến tuyến tính vectơ cho qua vectơ sở v1.0014105205 32 ... TÍNH 2. 1 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính 2. 2 Xét phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ 2. 3 Các định lý phụ thuộc tuyến tính v1.001410 520 5 12 2.1 KHÁI NIỆM PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH • Cho vectơ n chiều X1, X2,... thực k1, k2, …, km, có số khác cho: (1) k1 X1 + k2X2 + … + kmXm = 0n (2) • Ngược lại, hệ thức (2) xảy k1 = k2 = … = km = hệ vectơ (1) gọi hệ vectơ độc lập tuyến tính v1.001410 520 5 13 2. 2 XÉT SỰ... = (–7, 8, k) Để hệ ba vectơ phụ thuộc tuyến tính, giá trị k bằng: A ? ?23 /2 B ? ?21 /2 C 23 /2 D 21 /2 Trả lời: • Đáp án là: B ? ?21 /2 • Giải thích: Lập ma trận hệ có X, Y, Z tương ứng làm cột Biến đổi