D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng... Phương trình mặt ph ẳng trung trực của đoạn AB có m ột VTPT là:.[r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(2)PHẦN I: I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng
Định nghĩa
• Cho n ≠0, n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α giá n vng góc với mặt phẳng ( )α
Chú ý :
• Một mặt phẳng có vơ số véctơ pháp tuyến chúng phương với Chẳng hạn n véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α suy k n (k≠ véctơ pháp tuyến mặt phẳng 0) ( )α
• Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α Ta có : n ⊥a, n ⊥b a, b hai vectơ không phương ⇒ = n a b ,
2 Mối liên hệ quan hệ hình học quan hệ vectơ sử dụng để tìm véctơ pháp tuyến
mặt phẳng
Ký hiệu nα véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α , ud
véctơ phương đường thẳng d • Đường thẳng d song song nằm mặt phẳng ( )α suy n α ⊥ud
• Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )α suy nα, ud hai véctơ phương
• Hai mặt phẳng ( )α ( )β song song với suy nα, nβ
là hai véctơ phương
• Hai mặt phẳng ( )α ( )β vng góc với suy nα ⊥nβ
3 Phương trình tổng quát mặt phẳng
Mặt mặt phẳng ( )α qua điểm M x y z( 0; 0; 0) nhận n=(A B C; ; )
vectơ pháp tuyến có phương trình dạng : A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=
Mặt mặt phẳng ( )α có phương trình tổng qt dạng : Ax+By+Cz+ =D
Chú ý: mp( )α cắt trục tọa độ điểm (a; 0; 0), (0; ; 0b ), (0; 0; c) với abc≠ Có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ):x y z
a+ + =b c
α
(3)Website: tailieumontoan.com
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm VTPT, vấn đề lý thuyết PTMP trung trực đoạn thẳng
PTMP qua điểm, dễ tìm VTPT (khơng dùng tích có hướng) PTMP qua điểm, VTPT tìm tích có hướng
PTMP qua điểm, tiếp xúc với mặt cầu PTMP qua điểm, cắt mặt cầu
PTMP qua điểm, thỏa ĐK góc, khoảng cách PTMP qua điểm, thỏa ĐK khác
PTMP qua điểm, VTPT tìm tích có hướng PTMP qua điểm, thỏa ĐK góc, khoảng cách PTMP qua điểm, thỏa ĐK khác
PTMP qua điểm không thẳng hàng PTMP theo đoạn chắn
PTMP song song với mp, thỏa ĐK
PTMP qua điểm, VTPT tìm tích có hướng (đường-mặt) PTMP qua điểm chứa đường thẳng
PTMP qua điểm, thỏa ĐK khác
PTMP qua điểm, thỏa ĐK góc, khoảng cách
PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng
PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK góc, khoảng cách PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu
PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng PTMP song song với mp, thỏa ĐK
(4)BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
( )P : 2x+3y+ + =z Véctơ véctơ pháp tuyến ( )P ?
A n3(2;3; 2) B n1(2;3; 0) C n2(2;3;1) D n4(2; 0;3) Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm véctơ pháp tuyến mặt phẳng 2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Đối chiếu phương trình mặt phẳng đề với cơng thức phương trình tổng qt mặt phẳng: Ax+By+Cz+ =D 0,( 2 )
0
A +B +C ≠ suy véctơ pháp tuyến mặt phẳng n =(A B C; ; ) B2: Chọn đáp án
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
Chọn C
- Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax+By+Cz+ =D 0,( 2 )
A +B +C ≠ có véctơ pháp tuyến mặt phẳng n =(A B C; ; )
- Vì phương trình mặt phẳng( )P :2x+3y+ + =z có dạng Ax+By+Cz+ =D suy véctơ pháp tuyến mặt phẳng n=(2;3;1) Chọn đáp án C
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )α :− +y 2z− =3 Vectơ vectơ pháp tuyến ( )α ?
A n=(0;1; 2) B n=(0; 1; 2− ) C n=(0; 1; 2− − ) D n = −( 1; 0; 2)
Lời giải
Chọn B
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α n =(0; 1; 2− )
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )α : 2x− + − =y z Vectơ không vectơ pháp tuyến ( )α ?
A n=(2;1;1) B n= −( 2;1; 1− ) C n=(2; 1;1− ) D n=(4; 2; 2− )
Lời giải
(5)Website: tailieumontoan.com
Vectơ không vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α n=(2;1;1)
Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Oyz )
A n=(1; 0; 0) B n=(0;1; 0) C n =(0; 0;1) D n =(1; 0;1)
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng (Oyz)có phương trình x=
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Oyz) n = =i (1; 0; 0)
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Oxz) A n=(1; 0; 0) B n=(0;1; 0) C n =(0; 0;1) D n =(1; 0;1)
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng (Oxz)có phương trình y=0
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Oxz) n = =j (0;1; 0)
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Oxy) A n=(1; 0; 0) B n=(0;1; 0) C n =(0; 0;1) D n =(1; 0;1)
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng (Oxy)có phương trình z=
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Oxy) n = =k (0; 0;1)
Câu 6. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình mặt phẳng (Oxz)?
A y= 0 B x= C z=0 D y− =
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng (Oxz) qua điểm O(0; 0; 0) có vectơ pháp tuyến n = =j (0;1; 0) nên có phương trình y=
Câu 7. Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình mặt phẳng (Oxy)?
A y= 0 B x= C z=0 D z− =
Lời giải
(6)Mặt phẳng (Oxy) qua điểm O(0; 0; 0) có vectơ pháp tuyến k=(0; 0;1) nên có phương trình z=
Câu 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình mặt phẳng (Oyz ? )
A y= 0 B x= C. z= D. z+ =
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng (Oyz ) qua điểm O(0; 0; 0) có vectơ pháp tuyến i=(1; 0; 0) nên có phương trình x=
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(3; 0; 0), N(0; 2; 0− ) P(0; 0; 2) Mặt phẳng (MNP) có phương trình
A
3 2
x y z
+ + = −
− B 3 2
x y z
+ + =
− C 3 2
x y z
+ + =
− D. 2
x y z
+ + =
−
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng (MNP) có phương trình là:
3 2
x + y + =z
−
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 4; 2) Mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm A(1; 2; 1− có vectơ pháp tuyến )
A n1=(0; 2; 3− ) B n2 =(0; 2;3− )
C n3 =(2; 2;3− ) D. n4 = −( 2; 2;3)
Lời giải
Chọn D
Ta có AI = −( 2; 2;3)
Mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm A nên AI ⊥( )α A
( )
4 2; 2;3 n AI
⇒ = = − vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )α có phương trình
2
x y z
+ + =
− − Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α
A n=(3; 6; 2− ) B n=(2; 1;3− ) C n = − − −( 3; 6; 2) D n = − −( 2; 1;3)
Lời giải
Chọn A
1
x + y + =z
(7)Website: tailieumontoan.com
Do vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α n=(3; 6; 2− )
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )α qua M(0; 0;1) song song với giá hai vectơ a =(1; 2;3− ), b=(3; 0;5) Phương trình mặt phẳng ( )α
A 5x+2y−3z+ = B − +5x 2y+3z+ = C − +5x 2y+3z− = D −10x+4y+6z+ =
Lời giải
Chọn C
Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α n =a b , = −( 10; 4; 6) Phương trình mặt phẳng ( )α
qua M(0; 0;1) có véc tơ pháp tuyến n= −( 10; 4; 6)
( ) ( ) ( )
10 x y z
− − + − + − = ⇔ − +5x 2y+3z− =3
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cặp mặt phẳng sau song song với nhau?
A P : 2x y z Q : 4 x2y2z100
B R x: y z S : 2x2y2z 6
C T :x y z :
2 2
x y z
U
D X : 3x y 2z 3 Y : 6z2y 6 Lời giải
Chọn B
Ta xét hai mặt phẳng R S có véctơ pháp tuyến là: nR 1; 1;1 nS 2; 2;2
Ta có tỉ lệ: 1 //
2 2 R S
Xét cặp lại ta thấy chúng không song song với
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;1− ), B(1; 2; 4) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A vng góc với đường thẳng AB
A ( )P :− +x 3y+3z− =2 B ( )P :x−3y−3z− =2 C ( )P : 2x− + + =y z D ( )P : 2x− + − =y z
Lời giải
Chọn B
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P AB= −( 1;3;3) ( ) (P : x 2) (3 y 1) (3 z 1)
(8)Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng qua điểm A(1;3; 2− ) song song với mặt phẳng ( )P : 2x− +y 3z+ =4 có phương trình
A 2x− +y 3z+ =7 B 2x+ −y 3z+ =7 C 2x+ +y 3z+ =7 D 2x− +y 3z− =7
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )P : 2x− +y 3z+ =4 nên phương trình ( )Q có dạng:( )Q : 2x− +y 3z+ =D 0, 4(D≠ )
Mặt phẳng ( )Q qua điểm A(1;3; 2− ), ta có: 2.1 3.− + ( )− + = ⇔2 D D= ≠7 (thỏa mãn)
Vậy phương trình mặt phẳng ( )Q : 2x− +y 3z+ =7
Câu Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(− −1; 1;1), B(3;1;1) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB
A 2x+ − − = y z B. 2x+ − = y C x+2y− = D x+2y− − = z
Lời giải
Chọn B
Gọi I trung điểm AB Ta có: I(1; 0;1)
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua I(1; 0;1) có vec tơ pháp tuyến
(4; 2; 0) n = AB=
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 4(x− +1) (2 y−0)=0⇔2x+ − = y
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2+4x−2y− =4 điểm A(1;1; 0) thuộc ( )S Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S A có phương trình
A x+ + = y B x+ = C x+ − = y D.x− =
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu ( )S có tâm I(−2;1; 0), IA=(3; 0; 0)
Mặt phẳng cần tìm qua A có VTPT IA=(3; 0; 0) có phương trình
( ) ( ) ( )
3 x− +1 y− +1 z−0 =0 ⇔3(x− =1) 0⇔ − = x
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm ( 1;2;0)A − nhận ( 1;0;2)n − VTPT có phương trình
A − +x 2y− = B − +x 2z− =5 C − +x 2y− = D − +x 2z− =1
(9)Website: tailieumontoan.com
Chọn D
Mặt phẳng (P) qua điểm ( 1;2;0)A − nhận ( 1;0;2)n − VTPT có phương trình là:
1(x 1) 0(y 2) 2(z 0)
− + + − + − = ⇔ − − +x 2z=0 ⇔ − +x 2z− =1
Vậy − +x 2z− =1
Phương pháp trắc nghiệm (nên có)
Từ tọa độ VTPT suy hệ số B=0, loại đáp án − +x 2y− = − +x 2y− = Chọn PT lại cách thay tọa độ điểm A vào
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A(3; 2; 2− − ), B(3; 2; 0), C(0; 2;1) Phương trình mặt phẳng (ABC)
A 2x−3y+6z= B 4y+2z− = C 3x+2y+ = D 2y+ − = z
Lời giải Chọn A
Phương pháp tự luận (0; 4; 2)
AB=
, AC= −( 3; 4;3)
(ABC) qua A(3; 2; 2− − ) có vectơ pháp tuyến AB AC, = (4; 6;12− ) (=2 2; 3; 6− ) (ABC): 2x 3y 6z
⇒ − + =
Phương pháp trắc nghiệm
Sử dụng MTBT tính tích có hướng
Hoặc thay tọa độ điểm A B C, , vào mặt phẳng xem có thỏa hay không?
Câu 10 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng qua A(2;5;1) song song với mặt phẳng (Oxy)
A 2x+5y+ = z B x− =2
C y− = D z− =1
Lời giải
Chọn D
Phương pháp tự luận
Mặt phẳng qua A(2;5;1) có vectơ pháp tuyến k=(0; 0;1) có phương trình: z− =1
Phương pháp trắc nghiệm
(10) Mức độ
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình mặt cầu
( ) 2 ( )
: 2
S x +y +z − x+ y+ z = Gọi ba điểm A, B, C giao điểm ( khác gốc tọa độ O ) mặt cầu ( )S với trục tọa độ , ,Ox Oy Oz Phương trình mặt phẳng (ABC) A 6x−3y−2z+12= 0 B 6x−3y+2z−12=
C 6x+3y+2z− = 12 D 6x−3y−2z−12=
Lời giải
Chọn C
Dễ thấy A(2; 0; ,) (B 0; 4; ,) (C 0; 0; 6)
Do phương trình mặt phẳng (ABC là: )
2
x y z
+ + = ⇔6x+3y+2z−12=0
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M(−3;1; 4) gọi , ,A B C lần lượt hình
chiếu M trục Ox Oy Oz, , Phương trình phương trình mặt phẳng (ABC)?
A 4x−12y−3z+12= 0 B 3x+12y−4z+12= C 3x+12y−4z−12= D 4x−12y−3z−12=
Lời giải
Chọn A
Vì A B C l, , ần lượt hình chiếu M trục Ox Oy Oz nên , , A(−3; 0; 0), B(0;1; 0), (0; 0; 4)
C
Phương trình mặt phẳng (ABC):
3
x z
y
+ + =
− ⇔4x−12y−3z+12=
Câu 3. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1; 0), mặt phẳng ( )Q :x+ −y 4z− =6
đường thẳng
3 :
5 x
d y t
z t
= = + = −
Phương trình mặt phẳng ( )P qua A, song song với d vng
góc với ( )Q
A 3x+ + − = y z B 3x− − + = y z C x+3y+ − = z D x+ + − = y z
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng ( )Q có VTPT nQ =(1;1; 4− )
Đường thẳng d có VTCP ud =(0;1; 1− )
(11)Website: tailieumontoan.com
Từ giả thiết ta có : nP ⊥nQ
n P ⊥ud nên chọn nP =n uQ, d=(3;1;1)
( )P qua điểm A(0;1; 0) có VTPT nP =(3;1;1)
có phương trình là: 3x+ + − = y z Câu 4. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1;1), hai đường thẳng cắt
1
:
3
x y z
d − = + = −
1
' : 2
x t
d y t
z = +
= +
=
Phương trình mặt phẳng ( )P qua A, song song với
d 'd
A x−4y+5z+ = B x−4y+5z− = C x−4y−5z− = D x+4y+5z− =
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng d 'd lần lượt có VTCP u=(3; 2;1 ,) u'=(4;1; 0) Gọi n VTPT ( )P
Do ( ) ( )
/ / / / '
P d
P d
'
n u
n u
⊥ ⇒
⊥
⇒ =n u u , '= −( 1; 4; 5− )
( )P qua điểm A(1;1;1) có VTPT n= −( 1; 4; 5− ) có phương trình là: x−4y+5z− = Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 4;1), B(−1;1;3) mặt phẳng
( )P :x−3y+2z− =5 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua hai điểm ,A B vng góc
với mặt phẳng ( )P
A ( )Q : 2y+3z−10=0 B ( )Q : 2x+3z−11=0 C ( )Q : 2y+3z−12=0 D ( )Q : 2y+3z− = 11
Lời giải
Ta có : AB= − −( 3; 3; 2) nP =(1; 3; 2− )
Do mặt phẳng ( )Q qua hai điểm ,A B vng góc với mặt phẳng ( )P nên mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến , (0; 2;3)
4 P
n = AB n =
Khi đó, mặt phẳng ( )Q qua A(2; 4;1) có VTPT n =(0; 2;3) ( )Q : 2y 3z 11
⇒ + − =
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q có phương trình
x+ − = , y z x−2y+3z= cho điểm M(1; 2;5− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua điểm M , đồng thời vng góc với hai mặt phẳng ( )P ( )Q
A 5x+2y− +z 14= B x−4y− + = 3z C x−4y− − = 3z D 5x+2y− + = z
(12)Chọn B
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(1;1; 1− )
( )Q có vectơ pháp tuyến nQ =(1; 2;3− )
Do ( )α vng góc với ( )P ( )Q nên ( )α có vectơ pháp tuyến
( )
, 1; 4;
P Q
n=n n = − −
( )α qua điểm M(1; 2;5− ) đồng thời vng góc với hai mặt phẳng ( )P ( )Q có phương trình là: x− −1 4(y+2) (−3 z−5)=0 ⇔ −x 4y− + = 3z
Câu Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A(2;1;1 , 3; 0; 1) (B − ) Mặt phẳng ( )α qua hai điểm ,A B song song trục Ox có phương trình
A 2y− − = z B 2y+ − = z C 2y− + = z D 2y+ + = z
Lời giải
Chọn A
Ta có AB=(1; 1; 2− − ), trục Ox có vectơ phương i=(1; 0; 0)
Mặt phẳng ( )α qua hai điểm ,A B song song trục Ox nên ( )α có vectơ pháp tuyến
là n = AB i, =(0; 2;1− )
Phương trình mặt phẳng( )α qua A(2;1;1)và có VTPT n =(0; 2;1− ) :2y− − = z
Câu Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A(2;1;1 , 3; 0; 1) (B − ) Mặt phẳng ( )α qua hai điểm ,A B song song trục Oy có phương trình
A 2x+ + = z B 2x− − = z C 2x+ − = z D 2x− + = z
Lời giải
Chọn C
Ta có AB=(1; 1; 2− − ), trục Oy có vectơ phương j=(0;1; 0)
Mặt phẳng ( )α qua hai điểm ,A B song song trục Oy nên ( )α có vectơ pháp tuyến
là n= AB j, =(2; 0;1)
Phương trình mặt phẳng ( )α qua A(2;1;1)và có VTPT n=(2; 0;1) : 2x+ − = z Câu Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A(2;1;1 , 3; 0; 1) (B − ) Mặt phẳng ( )α qua
hai điểm ,A B song song trục Oz có phương trình dạng ax+by+cz− =3 với a b c, , ∈ Tính giá trị biểu thức P=2a b+ −10c
A P=4 B P=2
C P= D P=
Lời giải
Chọn D
(13)Website: tailieumontoan.com
Mặt phẳng ( )α qua hai điểm ,A B song song trục Oz nên ( )α có vectơ pháp tuyến
( )
, 1;1;
n AB k
⇒ = − =
Phương trình mặt phẳng ( )α x+ − = y ⇒ =a 1,b=1,c=0 Khi đóP=2.1 10.0+ − =
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;1;1 , 3; 0; , 2; 0;3) (B − ) (C ) Mặt phẳng ( )α qua hai điểm ,A B song song với đường thẳng OC có phương trình
A x− + − = y z B 3x+7y−2z− = 11 C 4x+2y− − =z D 3x+ −y 2z− =
Lời giải
Chọn B
Ta có AB=(1; 1; , 2; 0;3− − ) OC=( )
Mặt phẳng ( )α qua hai điểm ,A B song song với đường thẳng OC nên ( )α có
vectơ pháp tuyến n= AB OC, = − −( 3; ; 2) ( )P : 3(x 2) (7 y 1) (2 z 1)
⇒ − − − − + − =
Hay ( )P : 3x+7y−2z−11=0
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) 2
:
S x +y +z − x+ y− z− = mặt phẳng ( )α :x+4y+ − =z 11 Gọi ( )P mặt phẳng vng góc với ( )α , ( )P song song với giá vecto v=(1; 6; 2) ( )P tiếp xúc với ( )S Phương trình mặt phẳng ( )P
A 2x− +y 2z+ =3 0; 2x− +y 2z−21=0
B 2x− +y 2z+ =5 0; 2x− +y 2z− =2
C 2x− +y 2z− =2 0; x−2y+ −z 21=0
D x−2y+2z+ =3 0; x−2y+ −z 21=0
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 3; 2− ) bán kính R=4 Vectơ pháp tuyến ( )α nα =(1; 4;1)
Vectơ pháp tuyến ( )P nP = n v α, =(2; 1; 2− ) Suy ( )P có dạng: 2x− +y 2z+ =d
Mặt khác ( )P tiếp xúc với ( )S nên d I P( ,( ))=4
( )2
2
2
4
2
d
+ + +
⇔ =
+ − +
21
d d
= − ⇒ =
(14)Câu Trong khơng gian Oxyz cho điểm H(1;1;3) Phương trình mặt phẳng ( )P qua H cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C (khác O) cho H trực tâm tam giác ABC
A x+ +y 3z− =7 B. x+ +y 3z+ =7
C x+ +y 3z+ =11 D. x+ +y 3z− =11
Lời giải Chọn D
Do H trực tâm ∆ABC⇒AH ⊥BC
Mặt khác: OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC ⇒BC ⊥(OAH)⇒OH ⊥BC
Tương tự: OH ⊥AB ⇒OH ⊥(ABC) hay OH=(1;1;3) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P
Mặt phẳng ( )P qua H(1;1;3) nên phương trình mặt phẳng ( )P là: x+ + − =y 3z 11
Câu Trong không gian Oxyz cho bốn điểm S(−1; 6; 2), A(0; 0; 6), B(0;3; 0), C(−2; 0; 0) Gọi H chân đường cao vẽ từ S tứ diện S ABC Mặt phẳng qua ba điểm S, B, H có một vectơ pháp tuyến
A. n=(1;1; 1)− B. n =(1;5; 7)−
C. n=(7;5; 4)− D. n=(1;1;1)
Lời giải
Chọn B
Phương trình Mặt phẳng ( ): x y z ABC + + =
− ⇔ − +3x 2y+ − =z Đường thẳng d qua điểm Svà vng góc với mặt phẳng (ABC) là:
B C
A
(15)Website: tailieumontoan.com
1
:
2
x t
d y t
z t = − − = + = +
Khi H = ∩d (ABC) Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:
1 2
3
x t
y t
z t
x y z
= − − = + = + − + + − = 19 14 31 17 14 11 14 x y z t = = ⇔ = = −
19 31 17 ; ; 14 14
H
⇒
Ta có 19 10 17; ; , (1; 3; 2) 14 14
BH = SB= − −
( )
11 55 11 11
, ; ; 1;5;
14 14 14
BH SB
⇒ = − = −
Mặt phẳng (SBH) có vectơ pháp tuyến n =(1;5; 7− )
Câu Trong không gian mặt phẳng qua G(1; 2;3) cắt trục tọa độ điểm , ,A B C
sao cho G trọng tâm tam giác ABC có phương trình ax+by+cz−18= T0
a+ + bb c ằng
A 9 B 12 C 10 D 11
Lời giải
Chọn D
Gọi A m( ;0;0 ;) (B 0; ;0 ;n ) (C 0;0;p )
Mặt phẳng qua G(1; 2;3) cắt trục tọa độ điểm , ,A B C có dạng ( )P : x y z
m+ + = n p
Ta có G(1; 2;3) trọng tâm tam giác ABC
3 3 G G G m x n y p z = = ⇔ = = = =
( ): 18
3
x y z
P x y z
⇒ + + = ⇔ + + − =
Vậy a+ + = b c 11
Câu Trong không gian phương trình mặt phẳng ( )P qua M(1; 2; 4) cắt tia
Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ
nhất
A
4 x+ + =y z
B
6 12 x+ +y z =
C
3 12 x y z
+ + = D
4 x y z
+ + =
Lời giải
Chọn C
,
Oxyz
(16)Gọi A a( ; 0; 0), B(0; 0;b , ) C(0; 0;c) (ABC):x y z a+ + =b c
( )
1 M ABC
a b c ∈ ⇒ + + =
1
,
6
OABC
abc V = OA OB OC = Áp dụng BDT Cơsi ta có:
1 33
a b c abc
= + + ≥ 216
abc
⇒ ≥ 36
6abc
⇒ ≥ ⇒VOABC ≥36
Vậy VOABC đạt giá trị nhỏ 36
3
1
6
12
a
b
a b c
c
=
= = = ⇔ =
=
Mặt phẳng thỏa u cầu có phương trình
3 12
x y z
+ + =
Câu Trong không gian Oxyz cho hai điểm C(0; 0;3) M( 1;3; 2)− Mặt phẳng ( )P qua C, M đồng thời chắn nửa trục dương Ox Oy, đoạn thẳng Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến
A n =(1;1;1) B n =(1;1; 2)
C n =(1;1; 1− ) D n=(1;1; 2− )
Lời giải
Chọn B
Giả sử mặt phẳng ( )P chắn Ox Oy, A a( ; 0; 0);B(0; ; 0)a với a>0 Mặt phẳng ( )P qua A B C, , có phương trình ( ) :
3 x y z P
a+ + =a Mặt khác ( )P qua M( 1;3; 2)− nên ta có
3 a
a a
− + + = ⇔ =
Do ( ) :
6
x y z
P + + = ⇔ + +x y 2z− =6
Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P n( )P =(1;1; 2)
Câu Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng ( )P :ax+by− 2z+ =d với a>0 qua hai điểm A(0;1; 0), B(1; 0; 0) tạo với mặt phẳng (Oyz) góc 60° Khi tổng a b d+ +
bằng
A 0 B 1 C 2 D 3
Lời giải
Chọn B
Ta có: A B, ∈( )P nên 0
b d a d
+ = + =
Suy a=b d = −a
(17)Website: tailieumontoan.com
Ta có: cos 60 n i
n i ° =
2
2 2 2.1
a
a
⇔ =
+
2
2a 4a
⇔ + =
2a
⇔ =
1
a a
= ⇔ = −
Với a=1 ta có: b=1 d = −1 Ta có: a b d+ + = + − =1 1 1
Câu Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng ( )P qua M(1; 2;1), cắt tia
Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho hình chóp O ABC đều
A ( )P :x+ + − =y z 0 B ( )P :x− + − =y z 0
C ( )P :x+ + − =y z 0 D ( )P :x− + =y z 0
Lời giải
Chọn A
Gọi mặt phẳng ( )P cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho hình chóp
O ABC OA=OB=OC=a
Phương trình mặt phẳng ( )P : x y z a+ + =a a Mà ( )P qua M(1; 2;1) nên 1
a+ + =a a ⇔ =a Phương trình mặt phẳng ( )P : x+ + − =y z 0
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ozyzcho điểm A(2; 1; 2− − ) đường thẳng d có
phương trình 1
1 1
x− = y− = z−
− Gọi ( )P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng ( )P lớn Khi mặt phẳng ( )P vng góc với mặt phẳng sau đây?
A x+3y+2z+10=0 B x−2y−3z− =1 0
C 3x+ + =z 0 D x− − =y 0
Lời giải
Chọn C
Gọi ( )α mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng d Suy ( )α :x− + − =y z
Đường thẳng d có phương trình tham số:
1 1
x t
y t
z t
= + = − = +
(18)
1
0
1
x x
y t
y
z
z t
t
= + = − = +
− =
+ −
1 1
x
y
z
t
= = ⇒ =
=
Vậy K(1;1;1)
Ta có d d( ,( )P )=d K( ,( )P )=KH ≤KA= 14 Nên khoảng cách từ d đến ( )P đạt giá
trị lớn 14 mặt phẳng ( )P qua A vng góc với KA Khi chọn VTPT ( )P KA=(1; 2; 3)− −
(1; 2; 3)
KA= − −
, mặt phẳng 3x+ + =z có VTPT n=(3; 0;1)thỏa KA n =0 Vậy ( )P vng góc với mặt phẳng 3x+ + =z 0
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 0; 0), B(1; 2;1) C(2; 1; 2− ) Biết mặt phẳng ( )P qua B, C tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC Khi mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến (10; ;a b) Tổng a b+
A. −2 B. 2 C.1 D. −1
Lời giải
Chọn B
Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC I x y z( ; ; )
Ta có OB=(1; 2;1), OC=(2; 1; 2)− , OB ∧OC=(5; 0; 5)− nên mặt phẳng (OBC) có vectơ pháp tuyến a =(1; 0; 1)−
Phương trình (OBC) qua O có VTPT a =(1; 0; 1)− là: x− =z
Ta có AB= −( 2; 2;1), AC= − −( 1; 1; 2), AB∧AC=(5; 0; 5)− nên mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến b=(5;3; 4)
Phương trình (ABC) qua A có VTPT b=(5;3; 4) là: 5x+3y+4z−15=0 Tâm I cách hai mặt phẳng (OBC) (ABC) suy ra:
( )
( )
3
5 15
10 15
2
y z
x z x y z
x y z
α β
+ − =
− + + −
= ⇔
+ − − =
(19)Website: tailieumontoan.com
PHẦN II: I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng
Định nghĩa
• Cho n ≠0, n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α giá n vng góc với mặt phẳng ( )α
Chú ý :
• Một mặt phẳng có vơ số véctơ pháp tuyến chúng phương với Chẳng hạn n véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α suy k n (k≠ véctơ pháp tuyến mặt phẳng 0) ( )α
• Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α Ta có : n ⊥a, n ⊥b a, b hai vectơ không phương ⇒ = n a b ,
2 Mối liên hệ quan hệ hình học quan hệ vectơ sử dụng để tìm véctơ pháp tuyến
mặt phẳng
Ký hiệu nα véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α , ud
véctơ phương đường thẳng d • Đường thẳng d song song nằm mặt phẳng ( )α suy n α ⊥ud
• Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )α suy nα, ud hai véctơ phương
• Hai mặt phẳng ( )α ( )β song song với suy nα
, nβ hai véctơ phương • Hai mặt phẳng ( )α ( )β vng góc với suy nα ⊥nβ
3 Phương trình tổng quát mặt phẳng
Mặt mặt phẳng ( )α qua điểm M x y z( 0; 0; 0) nhận n=(A B C; ; )
vectơ pháp tuyến có phương trình dạng : A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=
Mặt mặt phẳng ( )α có phương trình tổng qt dạng : Ax+By+Cz+ =D
Chú ý: mp( )α cắt trục tọa độ điểm (a; 0; 0), (0; ; 0b ), (0; 0; c) với abc≠ Có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ):x y z
a+ + =b c
α
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm VTPT, vấn đề lý thuyết PTMP trung trực đoạn thẳng
PTMP qua điểm, dễ tìm VTPT (khơng dùng tích có hướng)
(20) PTMP qua điểm, VTPT tìm tích có hướng PTMP qua điểm, tiếp xúc với mặt cầu
PTMP qua điểm, cắt mặt cầu
PTMP qua điểm, thỏa ĐK góc, khoảng cách PTMP qua điểm, thỏa ĐK khác
PTMP qua điểm, VTPT tìm tích có hướng PTMP qua điểm, thỏa ĐK góc, khoảng cách PTMP qua điểm, thỏa ĐK khác
PTMP qua điểm không thẳng hàng PTMP theo đoạn chắn
PTMP song song với mp, thỏa ĐK
PTMP qua điểm, VTPT tìm tích có hướng (đường-mặt) PTMP qua điểm chứa đường thẳng
PTMP qua điểm, thỏa ĐK khác
PTMP qua điểm, thỏa ĐK góc, khoảng cách
PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng
PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK góc, khoảng cách PTMP chứa đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu
PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng PTMP song song với mp, thỏa ĐK
Toán Max-Min liên quan đến mặp phẳng Điểm thuộc mặt phẳng thỏa ĐK
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng: ( )P : 2x+3y+ + =z Vectơ vectơ pháp tuyến ( )P ?
A n =(2;3; 2) B n =(2;3; 0) C n =(2;3;1) D n =(2; 0;3) Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tọa độ vectơ pháp tuyến phương trình mặt phẳng 2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định hệ số x y z, , phương trình MP ( )P B2: Từ suy VTPT n =(2;3;1)
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải
Chọn C
(21)Website: tailieumontoan.com
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x− + =z Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
A n(3; 1;1)− B n(3; 0; 1)− C n(3; 0;1) D n(3; 2;1)− Lời giải
Chọn B
Hệ số x y z, , phương trình MP ( )P 3, 0, 1− Vậy VTPT MP ( )P n =(3; 0; 1− )
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình − +2x 2y− − =z Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
A n(4; 4; 2)− B n( 2; 2; 3)− − C n( 4; 4; 2)− D n(3; 2;1)− Lời giải
Chọn A
Hệ số x y z, , phương trình MP ( )P −2, 2, 1− Khi (4; 4; 2)− = − −2( 2; 2; 1)−
Vậy VTPT MP ( )P n(4; 4; 2)−
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;0;1),B(−2;1;1) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB có VTPT là:
A n(4; 4; 2)− B n( 3;1; 0)− C n( 1; 0;1)− D n( 1;1; 0)− Lời giải
Chọn D
Ta có: AB= −( 1;1; 0)
Mặt phẳng trung trực đọan ABnhận AB= −( 1;1; 0) làm VTPT Vậy VTPT cần tìm n( 1;1; 0)−
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua điểm A( 1;0;1)− song song với mặt phẳng ( )P x: −2y z− + =1 có VTPT
A n(1; 2; 1)− − B n(1;1; 0) C n(1; 2;1)− D n( 1;1; 0)− Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng song song với (P) có dạng ( )Q x: −2y z D− + =0(D≠ 1) Vậy VTPT cần tìm n(1; 2; 1)− −
Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng qua A(2;5;1) song song với mặt phẳng (Oxy)có vectơ pháp tuyến là:
(22)Lời giải: Chọn C
Mặt phẳng (Oxy ) có vectơ pháp tuyến n=(0; 0;1)
Nên mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy)có vectơ pháp tuyến n =(0; 0;1)
Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Mặt phẳng qua M(1; 4;3) vng góc với trục Oy có phương trình là:
A y− =4 B x− =
C z− = D x+4y+3z=0 Lời giải:
Chọn A
Mặt phẳng qua M(1; 4;3) có vectơ pháp tuyến j=(0;1; 0) có phương trình y− =4 Câu Trong khơng gian Oxyz, điểm M(3; 4; 2− ) thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau?
A ( )R x y: + − = B ( )S x y z: + + + = C ( )Q : x 0.− = D ( )P z − = : Lời giải:
Chọn A
Thay tọa độ điểm M vào pt mp ta thấy tọa độ điểm M thỏa mãn ptmp ( )R
Câu Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3− ) đến mp( )P x: +2y−2z− =
A B 11
3 C
1
3 D 3 Lời giải:
Chọn D
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ( )
2 2
1.1 2.2 2.( 3)
;( )
1 ( 2)
d M P = + − − − =
+ + −
Câu Trong không gian Oxyz, cho mp( )P y: −2z+ = Vectơ VTPT (P)? A n = (1; 2;1)− B n = (1;-2;0) C n =(0;1; 2)− D n = (0;2;4)
Lời giải: Chọn C
Vectơ pháp tuyến mp P ( ) n =(0;1; 2).−
Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2; 1;1 , B 1; 0; 4và C0; 2; 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC có VTPT là:
A n(2;1;5) B n(1; 0; 0) C n(0; 0;1) D n(1; 2;5) Lời giải:
Chọn D
Ta có: CB1; 2;5
(23)Website: tailieumontoan.com
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;1− ), B(−1;3;3), C(2; 4; 2− ) Một vectơ pháp tuyến n mặt phẳng (ABC là: )
A n=(9; 4; 1− ) B n =(9; 4;1) C n =(4;9; 1− ) D n = −( 1;9; 4)
Lời giải Chọn A
Ta có AB= −( 2;5; 2), AC=(1; 2;1− )
( )
, 9; 4;
n AB AC
⇒ = = −
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng ( )P qua điểm A( 1; 0; 0)− , B(0; 2; 0), (0; 0; 2)
C − có phương trình là:
A − + + − =2x y z B − − − + =2x y z C − + + − =2x y z D − + − − =2x y z
Lời giải:
Chọn D
Theo cơng thức viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:
( )P :
1 2 x + +y z =
− − ⇔ − + − − =2x y z 0
Vậy ( )P : − + − − =2x y z 0
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(5;1;3),B(1;2;6),C(5;0;4),D(4;0;6) Viết
phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD
A. 2x+5y+ −z 18=0 B 2x−y+3z+6=0 C. 2x−y+z+4=0 D. x+ + − =y z
Lời giải Chọn A
Gọi ( )α mặt phẳng chứa AB song song với CD Ta có: AB= −( 4;1;3),CD= −( 1; 0; 2)
Vì AB= −( 4;1;3),CD= −( 1; 0; 2) không phương nên n( )α = AB CD, =(2;5;1) Mặt phẳng quaA có VTPT n( )α =(2;5;1)có phương trình là: 2x+5y+ −z 18=0 Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn
Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn u cầu tốn là: 2x+5y+ −z 18=0
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng chứa trục Ox vng góc với
(24)A. y+ z=0 B. y− z=0 C y− z−1=0 D.y− z2 =0 Lời giải
Chọn B
Trục Ox véctơ đơn vị i=(1; 0; 0) Mặt phẳng ( )Q có VTPT n( )Q =(1;1;1)
Mặt phẳng (P)chứa trục Ox vng góc với (Q):x+ y+z−3=0 nên (P) có VTPT: ( )
, Q (0; 1;1)
n= i n = −
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: y− z=0
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
1
x y z
d + = = −
− − mp ( ) : 3P x−3y+2z+ =1 Mệnh đề sau đúng?
A. d song song với ( )P B. d nằm ( )P C. d cắt khơng vng góc với ( )P D. d vng góc với ( )P
Lời giải Chọn B
Ta có ud =(1; 1; 3);− − n( )P =(3; 3; 2),−
có 1.3 1.( 3)− − −3.2= ⇒0 ud ⊥n( )P
/ /( ) d P
⇒ ( )
d⊂ P Lấy M(−1; 0;1) ∈ ta thấy d M∈( )P ⇒ ⊂d ( ).P Câu Trong kg Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
( ) ( ) (2 ) (2 )2
: 81
S x− + y− + −z = điểm C( 5; 4; 6)− − là:
A. 7x+8y+67 0= B. 4x+2y− +9z 82 0= C x−4z+29 0= D. 2x+2y z− +24 0= Lời giải
Chọn D
Ta có I(1;2;3) tâm mặt cầu ( )S ⇒IC= − −( 6; 6;3)= −3 2;2; 1( − ⇒) n(2;2; 1− ) VTPT mặt phẳng qua ( )P tiếp xúc với ( )S Do mặt phẳng cần tìm có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 x+ +5 y+ −4 z−6 = ⇔0 2x+2y z− +24 0=
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )α qua M(0; 2;3− ), song song với đường thẳng :
2
x y
d − = + =z
− vng góc với mặt phẳng ( )β :x+ − = có phương y z trình:
A. 2x−3y−5z− =9 B. 2x−3y+5z− =9 C. 2x+3y+5z+ =9 D. 2x+3y+5z− =9
(25)Website: tailieumontoan.com
Ta có ud =(2; 3;1− )
, nβ =(1;1; 1− )
Mặt phẳng ( )α qua M(0; 2;3− ) có vectơ pháp tuyến nα =u nd, β=(2;3;5)
( )α : 2x 3y 5z
⇒ + + − =
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi mặt phẳng qua hình chiếu A5; 4;3 lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng là:
A 12x15y20z600 B.12x15y20z600
C.
5 x y z
D. 60
5 x y z
Lời giải Chọn A
Gọi M N P, , lần lượt hình chiếu vng góc điểm A trục Ox Oy Oz, , Ta có: M5; 0; 0, N0; 4; 0, P0; 0;3
Phương trình mặt phẳng qua M5; 0; 0, N0; 4; 0, P0; 0;3là:
1 12 15 20 60
x y z
x y z
Vậy 12x15y20z600
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 mặt phẳng ( )P :x−2y+4x− = ,
( )Q : 2− +x 4y−8z+ = , ( )R : 3x−6y+12z−10= , ( )W : 4x−8y+8z−12= Có cặp mặt phẳng song song với
A.2 B C.0 D
Lời giải: Chọn B
Hai mặt phẳng song song
' ' ' ' a b c d a =b = c ≠ d Xét ( )P ( )Q :
2
− −
= = ≠
− − ⇒( ) ( )P Q
Xét ( )P ( )R : 1
3 12 10
− −
= = ≠
− − ⇒( ) ( )P R ( ) ( )Q R
⇒
Xét ( )P ( )W : 1
4 8 − = ≠
−
Xét ( )Q ( )W :
4 8
− = ≠ − −
Xét ( )R ( )W : 3 12
4 8 − = ≠
(26)Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng ( )α :x−2y+2z− = , ( )β :x−2y+2z− = Khoảng cách hai mặt phẳng ( ) ( )α , β ? A (( ) ( ), )
3
d α β = B (( ) ( ), ) 11
d α β = C d(( ) ( )α , β )= D (( ) ( ), ) d α β = Lời giải:
Chọn A
Lấy M(1, 0,1) thuộc mặt phẳng ( )α Ta có (( ) ( )) ( ( ))
( )2 2
5
, ,
3
1 2
d α β =d M β = =
+ − +
Vậy (( ) ( ), ) d α β =
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; ; 0b ), C(0; 0;c , ) (b>0,c> 0) mặt
phẳng ( )P :y− + = Xác định b c biết mặt phẳng z (ABC vng góc v) ới mặt phẳng ( )P
và khoảng cách từ O đến (ABC b) ằng
3
A ,
2
b= c= B 1,
2
b= c= C 1,
2
b= c= D 1, b= c=
Lời giải: Chọn C
Phương trình mặt phẳng (ABC có d) ạng
1
x y z
bcx cy bz bc b c
+ + = ⇔ + + − =
Ta có : n(ABC) =(bc b c; ; ), 0;1; 1n( )P =( − )
Theo giả thiết, ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2 2
0 1 1 , 3 3 = − = = ⊥ ⇔ − ⇔ − ⇔ = = = = + + + + +
ABC P b c
n n b c
ABC P
bc
bc b
d O ABC
bc c b b b
bc c b
2
3b b 2b
⇔ = +
8
2
b b b
⇔ = ⇔ =
2 c ⇒ =
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P) mặt phẳng chứa trục Oy tạo với mặt phẳng y+ z+1=0 góc 600 Phương trình mặt phẳng (P) là:
A = + = − 0 z x z x
B = + = − 0 y x y x
C = − = − − 0 z x z x
D = + = − 0 z x z x
Lời giải Chọn A
Mặt phẳng (P)chứa trục Oy nên có dạng: Ax Cz+ =0 (A2+C2 ≠ 0)
(27)Website: tailieumontoan.com
2 2
1
2
2 2
C
A C C
A C
⇔ = ⇔ + =
+
2
0 A C
A C
A C
=
⇔ − = ⇔
= −
Phương trình mặt phẳng (P) là:
= +
= −
0
z x
z x
Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9, điểm A(0; 0; 2) Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A cắt mặt cầu ( )S theo thiết diện
hình trịn ( )C có diện tích nhỏ ?
A ( )P :x+2y+3z− = B. ( )P :x+2y+ − = z C ( )P : 3x+2y+2z− = D. ( )P :x−2y+3z− =
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu ( )S có tâm I(1, 2, ,) R= AI =(1; 2;1)⇒IA= Ta có IA<R nên điểm Anằm mặt cầu
Ta có : d I P( ,( ))= R2−r2
Diện tích hình trịn ( )C nhỏ ⇔ rnhỏ ⇔d I P( ,( )) lớn
Do d I( ,( )P )≤IA⇒maxd I( ,( )P )=IA Khi mặt phẳng( )P đi qua A nhận IA làm vtpt
( )P :x 2y z
⇒ + + − =
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P
cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A ( )P :x+ + − = y z B ( )P :x+ − + = y z C ( )P :x− − + = y z D ( )P :x+2y+ − = z
Lời giải
Chọn A
Gọi A a( ; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0;c l) ần lượt giao điểm ( )P với trục Ox Oy Oz, , ⇒( )P :x y z 1(a b c, , 0)
a+ + =b c ≠
Ta có:
( ) 1 1
1 3
1
N P a b c
NA NB a b a b c x y z
NA NC a c
+ + =
∈
= ⇔ − = − ⇔ = = = ⇒ + + − =
= − = −
(28)Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2;1),
( 2;1;3)
B − , C(2; 1;3− ) D(0;3;1) Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A B, đồng thời cách C D,
A ( )P1 : 4x+2y+7z−15=0;( )P2 :x−5 y− +z 10= C. ( )P1 : 6x−4y+7z− =5 0;( )P2 : 3x+ +y 5z+10=0 C. ( )P1 : 6x−4y+7z− =5 0;( )P2 : 2x+3z− =5 D.( )P1 : 3x+5y+7z−20=0;( )P2 :x+3y+3z−10=0
Lời giải:
Chọn D
Ta có AB= − −( 3; 1; ,) CD= −( 2; 4; 2− ) Ta xét trường hợp sau:
Trường hợp 1:CD( )P
( 6; 10; 14) 3;5; 7( ) P
n = AB∧CD= − − − = −
( )
: 20
P x y z
⇒ + + − =
Trường hợp 2:( )P đi qua trung điểm I(1;1; 2) của CD
(1;3;3) ( ): 3 10
P
n =AB∧AI = ⇒ P x+ y+ z− =
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng qua điểm M1; 2;3 cắt trục
Ox, Oy, Oz lần lượt A,B,C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng có phương trình là:
A x2y 3z 14 B 1
x y z C 3x2y z 10 D x2y3z140
Lời giải: Chọn A
Cách 1: Gọi Hlà hình chiếu vng góc C AB, Klà hình chiếu vng góc B
AC M trực tâm tam giác ABC M BKCH
Ta có : AB CH AB COH AB OM(1)
AB CO
(1)
P
P C
D
C
D
I
M C
O A
(29)Website: tailieumontoan.com
Chứng minh tương tự, ta có: AC OM (2) Từ (1) (2), ta có: OM ABC
Ta có: OM1; 2;3
Mặt phẳng qua điểm M1; 2;3và có một VTPT OM1; 2;3 nên có phương trình là: x 1 2y 2 3z 3 x 2y 3z 14
Cách 2:
Do A,B,C thuộc trục Ox,Oy,Oznên A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c (a b c, , ≠0) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng( ABC)là: x y z
a+ + =b c
Do M trực tâm tam giác ABC nên
( ) AM BC
BM AC
M ABC
=
=
∈
Giải hệ điều kiện ta đượca b c, ,
Vậy phương trình mặt phẳng:x+2y+3z−14=0
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;3) cắt tia Ox , Oy, Oz lần lượt điểm , ,A B C cho T 12 12 12
OA OB OC
= + + đạt
giá trị nhỏ
A ( )P : 6x−3y+2z− = B ( )P : 6x+3y+2z−18 0= C ( )P x: +2y+ −3z 14 0= D ( )P : 3x+2y z+ −10 0=
Lời giải: Chọn C
Gọi A a( ;0;0 ;) (B 0; ;0 ;b ) (C 0;0; ,c ) phương trình mặt phẳng ( )P là: x y z a b c+ + = (1;2;3) ( )
M P
a b c
∈ ⇒ + + = Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
( )
2
2 2
2 2
1 1
1
a b c a b c
= + + ≤ + + + +
2 2
1 1
14
a b c
⇔ + + ≥ 12 12 12 min
14 T 14
OA OB OC
⇔ + + ≥ ⇒ =
Dấu = xảy
1 1 14
3
2 7 ( ) : 1 2 3 14 0
1 3 14 14
1 1 9 14
1 3
a b
a
a x y z
a b c c b P x y z
c a b c
a a a
=
= = =
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇒ + + = ⇔ + + − =
+ + =
=
+ + =
(30)Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3) mp
( )P x my: + +(2m+1)z− +(2 m) 0,= với m tham số Gọi H a b c hình chi( ; ; ) ếu vng góc điểm A ( )P Tính a b+ khoảng cách từ điểm A đến ( )P lớn
A a b+ =2 B
2
a b+ = − C a b+ =0 D a b+ =
Lời giải: Chọn D
( )
( ) :P x my+ +(2m+1)z−2(2+m) 0= ⇔m y+2z− + + − = x z Khi đó,( )P ln qua đường thẳng cố định( ) :
2
y z
d
x z
+ − =
+ − =
với m
Do A, (d) cố định nên đoạn AK (K hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d) cố định
Vì AH⊥( )P ⇒AH AK≤ ⇒AHmax =AK chỉ H trùng K , hay khoảng cách từ A đến ( )P lớn H trùng K
+) Ta tìm tọa độ điểm K:( ): 2
y z
d
x z
+ − =
+ − =
Cho z= ⇒ =0 y 1;x= ⇒2 I(2;1;0)∈d
Đặt n1=(0;1;2),n2 =(1;0;1),( )d có VTCP u = n n1 2; =(1;2; 1)−
Phương trình tham số đường thẳng d:
1 ; ( ) (2 ;1 ; )
x t
y t K d K t t t
z t
= +
= + ∈ ⇒ + + −
= −
Gọi ( )Q mặt phẳng qua Avà vng góc với d, Khi đó, ( )Q có VTPT n( )Q =u(1;2; 1)− Phương trình mặt phẳng ( )Q : 1(x −2) 2(y 1) 1(z 3) 0+ − − − = ⇔ +x y z 0− − =
1 ( ) 2(1 ) ( ) t
2
K∈ Q ⇒ + +t + t − − − = ⇔ =t − ⇒ → = = ⇒ + =
3 3
;0; ;
2 2
K a b a b
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y−2z+ = , 2điểm
(1; 0; , ( 1; 2; 0))
A B − mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2)2+z2 =25 Viết phương trình mặt phẳng
( )α vuông với mặt phẳng ( )P , song song với đường thẳng AB, đồng thời cắt mặt cầu ( )S
theo đường trịn có bán kính r=2 A 2x+2y+3z+11=0; 2x+2y+3z−23=0
B 2x−2y+3z+11=0; 2x−2y+3z−23=0
C 2x−2y+3z− =11 0; 2x−2y+3z+23=0
d
(P)
A
H
(31)Website: tailieumontoan.com
D 2x+2y+3z−11=0; 2x+2y+3z+23=0 Lời giải: Chọn A
Mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2)2+z2 =25 có tâm I(1; 2; 0) bán kính R=5 Ta có n( )P =(1; 2; ,− ) AB= −( 2; 2; 0)
Gọi nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α Ta có : nα =n P,AB⇒nα =(4; 4; 6) (=2 2; 2;3)=2n1
Lúc mặt phẳng ( )α có dạng :2x+2y+3z+ =m Gọi J hình chiếu I lên mặt phẳng ( )α
Ta có : 2 2
17
R =r +IJ ⇒IJ = ⇒d I( ,( )α )= 17 ⇔ +6 m =17⇔ =m 11hoặc m= − 23 Vậy phương trình mặt phẳng ( )α :2x+2y+3z+11=0 2x+2y+3z−23=0
Câu 10 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 3điểm A(1;1; 1− ,) B(1;1; 2),C(−1; 2; 2− ) mặt phẳng ( )P :x−2y+2z+ = Lập phương trình mặt phẳng ( )α qua A, vng góc với mặt phẳng ( )P cắt đường thẳng BC I cho IB=2IC biết tọa độ điểm I số nguyên A ( )α : 2x− −y 2z− = B ( )α : 4x+3y−2z− =
C ( )α : 6x+2y− − = z D ( )α : 2x+3y+2z− = Lời giải:
Chọn A
Gọi I a b c( ; ; )⇒IB= −(1 a;1−b; 2−c);IC= − −( a; 2− − −b; c);
Do I B C, , thẳng hàng IB=2IC
( 3;3; 6)
1 ; ;
3 3
I
IB IC
I
IB IC
− −
=
⇒ ⇒ −
− = −
Vì tọa độ điểm I số nguyên nên I(−3;3; 6− )
Lúc mặt phẳng ( )α đi qua A I, (−3;3; 6− vng góc với mặt phẳng ) ( )P nên VTPT của
( )α n( )α =IA n, ( )P =(2; 1; 2− − )
( )α : 2x y 2z
⇒ − − − =
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Mặt phẳng(P) qua Mcắt tia Ox,Oy,Oz A B C, , cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là:
A 6x+3y+2z=0 B 6x+3y+2z−18=0 C x+2y+3z−14=0 D x+y+z−6=0
Lời giải
(32)MP(P) cắt tia Ox,Oy,Oz A B C, , nên A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c (a b c, , >0) Phương trình mặt phẳng (P) x y z
a+ + =b c Mặt phẳng(P) qua M nên
a+ + =b c Ta có 1 33 abc 162
a b c abc
= + + ≥ ⇔ ≥
Thể tích khối tứ diện OABC 27
V = abc≥
Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ 1 3
a = = =b c suy a=3,b=6,c=9 Phương trình mặt phẳng(P):
3 x+ + =y z
hay 6x+3y+2z−18=0
Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1;1 ,) (B 2; 0; 2),
( 1; 1; ,) (0;3; 4)
C − − D Trên cạnh AB AC AD, , lấy điểm B C D', ', ' thỏa :
' ' '
AB AC AD
AB + AC + AD = Viết phương trình mặt phẳng (B C D bi' ' ') ết tứ diện AB C D có th' ' ' ể tích nhỏ ?
A 16x+40y−44z+39=0 B 16x+40y+44z−39=0 C 16x−40y−44z+39=0 D 16x−40y−44z−39=0
Lời giải Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức AM GM− ta có : 4 33
' ' ' ' ' '
AB AC AD AB AC AD
AB AC AD AB AC AD
= + + ≥
' ' ' 27 64 AB AC AD
AB AC AD
⇒ ≥ ⇒ ' ' ' ' ' ' 27
64
AB C D
ABCD
V AB AC AD
V = AB AC AD ≥ ' ' '
27 64
AB C D ABCD
V V
⇒ ≥
Ta gọi B a b c nên ′( ; ; ) AB'=(a−1;b−1;c−1) AB=(1; 1;1− ) Để VAB C D' ' ' nhỏ
' ' '
4 AB AC AD
AB = AC = AD =
3 7
' ' ; ;
4 4
AB AB B
⇒ = ⇒
Ta lại có n(BCD) =BD BD, = − −( 4; 10;11)
Lúc mặt phẳng (B C D song song v' ' ') ới mặt phẳng (BCD nên )
(B C D′ ′ ′) = (BCD) = − −( 4; 10;11)
n n mặt phẳng (B C D ' ' ') qua ' 7; ; 4
B
(B C D' ' ' :16) x 40y 44z 39
⇒ + − + =
(33)Website: tailieumontoan.com
, ,
Ox Oy Oz điểm A B C, , (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác
ABC Khi mặt phẳng ( )α có phương trình:
A.3x+6y+2z+18=0 B. 6x+3y+2z−18=0 C. 2x+ +y 3z− =9 D. 6x+3y+2z+ =9
Lời giải Chọn B
Gọi , , là giao điểm mặt phẳng trục
Phương trình mặt phẳng ( )α :x y z
a+ + =b c (a b c, , ≠0)
Ta có G trọng tâm tam giác ABC
1
3 3
2
3
9
3
a
a b
b
c c
=
=
⇒ = ⇔ =
=
=
( ): 18
3 x y z
x y z α
⇒ + + = ⇔ + + − =
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho ( )P :x+4y−2z− = ,6 ( )Q :x−2y+4z− = Lập phương trình mặt phẳng ( )α chứa giao tuyến của( ) ( )P , Q cắt trục tọa độ
điểm A B C, , cho hình chóp O ABC hình chóp
A.x+ + + =y z B.x+ + − =y z C.x+ − − =y z D.x+ + − =y z Lời giải
Chọn B
Chọn M(6; 0; ,) (N 2; 2; 2) thuộc giao tuyến của( ) ( )P , Q
Gọi A a( ; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0;c l) ần lượt giao điểm ( )α với trục Ox Oy Oz, , ⇒( ):x y z 1(a b c, , 0)
a b c
α + + = ≠
( )α chứa M N,
6
2 2
1
a
a b c
=
⇒
+ + =
Hình chóp O ABC là hình chóp OA OB OC⇒ = = ⇒ a = b = c
Vây phương trìnhx+ + − =y z
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A a ; 0; , B 0; ; ,b C 0; 0;c v ới
, ,
a b c dương Biết , ,A B C di động tia ,Ox Oy Oz cho , a b c Biết
( ; 0; 0)
(34)khi a b c, , thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng P cố định Khoảng cách từ M2019; 0; 0 tới mp P bằng:
A 2018 B 2018
3 C 2019 D. 2020 Lời giải:
Chọn B
Ta có phương trình mặt phẳng Oxy là: z
Gọi I trung điểm ; ; 2
a b ABI
tâm đường tròn ngoại tiếp OAB
Gọi d đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng OAB Oxy, nên VTCP
đường thẳng d u0; 0;1 Suy
2 : a x b d y z t
Gọi mặt phẳng trung trực đoạn OC nên có VTPT OC0; 0;c qua trung điểm 0; 0;
2 c I
của đoạn OC Suy ptmp : c z
Khi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC giao điểm d có tọa độ nghiệm
hệ
2
; ;
2 2
2
a x
b
y a b c
I z t c z
Ta có 1
2 2 2
I I I I I I
a b c a b c
x y z x y z Điều chứng tỏ tâm I mặt cầu thuộc mp P :x Khi y z
2019 2018
,
3
d M P
Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 3 điểm A(2; 1;0) Tìm tọa độ điểm B thuộc trục Oz cho độ dài đoạn hình chiếu vng góc đoạn thẳng AB lên ( )P 4
5 A 0;0;6
5
B
B
3 0;0;
5
B
C
6 0;0;
5
B
D
3 0;0;
5
(35)Website: tailieumontoan.com
Chọn C
Gọi B0;0;b AB ( 2;1; )b n ( )P (2;1; 2)
Gọi góc đường thẳng AB và( )P , ta có:
2 |2 3| sin
5 b b
Gọi H K, hình chiếu vng góc A B, lên ( )P
2
2
2 12 36
.cos
3 5
5
b b b
HK AB b
b
6 0;0;
5
b B
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho ba mặt phẳng
( ) :P x−2y+ + =2z 0;( ) :Q x−2y+ − =2z 0; ( ) :R x−2y+2z+ =4 Một đường thẳng ∆ thay đổi cắt ba mặt phẳng ( )P ; ( )Q ;( )R điểm , ,A B C Giá trị nhỏ biểu
thức AB 862
AC
+
A 41
8 B 99 C 18 D 24
Lời giải: Chọn C
Nhận xét ( )P // ( )Q // ( )R ( )P nằm ( )Q ( )R Ta có BH d Q P= (( );( ))=3;HK d P R= (( );( ))=1
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: AB BH AC = HK =
P A=H
B
(36)Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
3
2 2
96 96 96
3
2 2
Cauchy
AB AB AB AB
AB
AC AC AC
+ = + + ≥
2 3
3 24 AB 24.9 18
AC
= = =
Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9, điểm A(0; 0; 2) Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A cắt mặt cầu ( )S theo thiết diện
hình trịn ( )C có diện tích nhỏ ?
A. ( )P :x+2y+3z− =6 B( )P :x+2y+ − =z C. ( )P : 3x+2y+2z− =4 0. D. ( )P :x−2y+3z− =6
Lời giải: Chọn B
Mặt cầu ( )S có tâm I(1, 2, ,) R=
Ta có IA<R nên điểm Anằm mặt cầu Ta có : ( ( )) 2
,
d I P = R −r
Diện tích hình trịn ( )C nhỏ ⇔ rnhỏ ⇔d I P( ,( )) lớn
Do d I( ,( )P )≤IA⇒maxd I( ,( )P )=IA Khi mặt phẳng( )P qua A nhận
( 1; 2; 1) = − − − IA
làm vtpt
( )P :x 2y z
⇒ + + − =
Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d l1, 2 ần lượt có phương trình
1
2
:
2
x y z
d − = − = − , 2:
2
x y z
d − = − = −
− Phương trình mặt phẳng ( )α cách hai đường thẳng d d là: 1,
A 7x−2y−4z=0 B 7x−2y−4z+ =3
C 2x+ +y 3z+ =3 D 14x−4y−8z+ =3 Lời giải:
Chọn D
Ta có d 1 qua A(2; 2;3) có ( )
1 2;1;3
d
u =
, d 2 qua B(1; 2;1) có ( )
2 2; 1;
d
u= −
( 1;1; ;) d1; d2 (7; 2; 4)
AB= − − u u = − −
;
1;
d d
u u AB
(37)Website: tailieumontoan.com
Do ( )α cách d d nên 1, 2 ( )α song song với d d1, 2 ( )
1; 7; 2;
d d
nα u u
⇒= = − − ( )α
⇒ có dạng 7x−2y−4z+ =d
Theo giả thiết d A( ,( )α )=d B( ,( )α ) 69 69 d d d − − ⇔ = ⇔ =
( )α :14x 4y 8z
⇒ − − + =
Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm
1; 0; , 0;1; , 0; 0;1 , 0; 0; 0
A B C D Hỏi có điểm cách mặt phẳng
ABC , BCD , CDA , DAB
A B C D
Lời giải: Chọn D
Phương trình mặt phẳng: (ABC x y z) : + + − =1 0;(BCD x) : =0;(CDA y) : =0;(DAB z) : =0 Gọi M a b c ; ; là điểm cách mặt phẳng
( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))
d M ABC d M BCD d M CDA d M DAB
⇔ = = =
1
1
3 a b c a b c
a b c a b c
a = = + + − ⇔ = = = ⇒ + + − =
a b c
a b c
a b c
a c b
b c a
= = = = − = = ⇔ = = − = = − TH1: 2
3 3 3
; ;
6 6
3 3
9
6
3 3 3 3 3 3 3
; ;
6 6
M a
a b c a a a a a
M + + + − ± = = ⇒ = ⇔ − + = ⇒ = ⇒ − − − TH2: − + − + − − − ± = = − ⇒ = ⇔ − + = ⇒ = ⇒ − − − − + 2
1 3
; ;
2 2
1
2
2
3 1 3 1 3 1 3
; ;
2 2
M a
a b c a a a a a
M
(38)TH3:
− + − − +
− − ±
= = − ⇒ = ⇔ − + = ⇒ = ⇒
− − + − −
2
1 3
; ;
2 2
1 1 3
2
2
3 1 3 1 3 1 3
; ;
2 2
M a
a c b a a a a a
M
TH4:
− − + +
+ ±
= = − ⇒ = ⇔ + + = ⇒ = ⇒
− + − −
2
1 3
; ;
2 2
1
2
2
3 1 3 1 3 1 3
; ;
2 2
M a
b c a a a a a a
M