Đang tải... (xem toàn văn)
g ần nhất với số nào dưới đây.. Khi quay tam giác OIM quanh c ạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI t ạo thành một hình nón tròn xoay. Tính di ện tích xung quay S xq c ủa hì[r]
(1)
CHUYÊN ĐỀ
MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU
(2)PHẦN I
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Khối nón: Được tạo thành xoay tam giác vng quanh cạnh
góc vng
Diện tích xung quanh: Sxq nón =πrl
Diện tích tồn phần:
tp xq áy
S =S +Sđ =πrl+πr
Thể tích khối nón:
nón áy
1
3
V = Sđ h= πr h
Mối liên hệ: 2
l =h +r
2 Khối trụ: Được tạo thành quay hình chữ nhật xung quanh
cạnh
Diện tích xung quanh: Sxq =2πrh
Diện tích tồn phần:
tp xq áy 2
S =S + Sđ = πrh+ πr
Thể tích khối trụ:
tru áy
V =Sđ h=πr h
3 Khối cầu: Diện tích thể tích mặt cầu: S =4πR2
3
V = πR
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tính diện tích xung quanh hình nón, hình trụ Tính diện tích tồn phần hình nón, hình trụ Tính thể tích khối nón, khối trụ khối cầu
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A AB, =a
và AC=2a Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vng AB thì đường gấp khúc ACB tạo
thành một hình nón Diện tích xung quanh hình nón
A
5 aπ B 5 aπ 2 C 2 aπ 2 D
10 aπ
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính diện tích xung quanh hình nón có chiều cao h bán kính
r
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính độ dài đường sinh
B2: Thế vào cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón Sxq=πrl
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
(3)Ta có: l = a2+4a2 =a
Diện tích xung quanh hình nón
.2 5
xq
S =πrl =π a a = πa
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l = bán kính r=3 bằng:
A. 8π B.15 C. D. 15π
Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l= bán kính r=3 là:
.3.5 15
xq
S =πrl=π = π
Câu Diện tích tồn phần hình nón có độ dài đường sinh l = bán kính r=3 bằng:
A. 15π B. 24 C. 24π D. 15π
Lời giải
Chọn C
Diện tích tồn phần hình nón có độ dài đường sinh l= bán kính r=3 là:
2
.3.5 24
tp
S =πrl+πr =π +π = π
Câu Thể tích khối nón có chiều cao h= bán kính r =3 bằng:
A. 8π B.15 C. D. 15π
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối nón có chiều cao h= bán kính r =3 là:
2
1
.3 15 3
V = πr h= π = π
Câu Mộthình nón có diện tích xung quanh 40π bán kính đáy r=5 có độ dài đường sinh bằng:
A. 8π B. C. 4π D.
Lời giải
(4)Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r là: Sxq =πrl
Từ suy độ dài đường sinh 40 .5
xq S l
r
π
π π
= = =
Câu Mộthình nón có diện tích xung quanh 40π độ dài đường sinh l=5 có bán kính bằng:
A. 8π B. C. 4π D.
Lời giải
Chọn B
Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r là: Sxq =πrl
Từ suy bán kính 40 .5
xq S r
l
π
π π
= = =
Câu Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h= bán kính r=3 bằng:
A. 30π B.15 C. 30 D. 15π
Lời giải
Chọn A
Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h= bán kính r=3 là:
2 .3.5 30
xq
S = πrh= π = π
Câu Diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao h= bán kính r=3 bằng:
A. 48π B. 48 C. 39 D. 39π
Lời giải
Chọn A
Diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao h= bán kính r=3 là:
2
2 2 .3.5 .3 48
tp
S = πrh+ πr = π + π = π
Câu Mộthình trụ có diện tích xung quanh 40π bán kính r=5 có chiều cao bằng:
A. 8π B. C. 4π D.
Lời giải
Chọn B
Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h bán kính r là: Sxq =2πrh
Từ suy chiều cao 40
2 .5
xq S h
r
π
π π
= = =
Câu Mộthình trụ có diện tích xung quanh 20π chiều cao h=5 có bán kính bằng:
A. 2π B. C. 4π D.
Lời giải
Chọn B
(5)Diện tích mặt cầu có bán kính r=5 là: S =4πr2 =4 .5π =100 π
Mức độ
Câu Một hình nón có đường cao h= bán kính đáy r= Diện tích xung quanh hình nón
là:
A 5π 41 B 15π C 4π 41 D 20π
Lời giải Chọn A
Hình nón có đường sinh 2 2
4 41
l= h +r = + =
Diện tích xung quanh hình nón Sxq =πrl =5π 41
Câu Cho hình nón có bán kính đáy diện tích xung quanh 15π Thể tích khối nón là:
A 12π B 20π C 36π D 60π
Lời giải
Chọn A
Ta có diện tích xung quanh hình nón Sxq =15π ⇒πrl =15π ⇔3.l=15⇔ =l
(6)Thể tích khối nón
3
V = πr h 42
3π
= =12π
Câu Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền
bằng a Thể tích khối nón
A a π
B
3
7
a π
C
3
12
a
π
D
3 12 a π Lời giải
Chọn D
Ta có: ∆SAB vng cân tại S AB=a 2
2
a SO OB
⇒ = =
Vậy thể tích khối nón là:
3
1 2
3 12
a a
V = πOB SO= π =π
Câu Cho hình nón có góc đỉnh 60° diện tích xung quanh 6 aπ Thể tích khối
nón A 3 a
V = π B
V =πa C
3
2
a
V =π D
3
V = πa
Lời giải
Chọn D
Ta có:∆SAB tam giác nên ta có l =AB=2 ,r 3
AB
h= =r
Mà Sxq =πrl=6πa2 ⇔2πr2 =6πa2 ⇔ =r a 3⇒ =h a
Thể tích khối nón cho là:
3
3
(7)Ta có: AB=AC=
Gọi H trung điểm cạnh AB AH ⊥BC AH =1
Quay tam giác ABC quanh trục BC khối trịn xoay tích là:
2
1
2
3
V = HBπAH
3
π
=
Câu Cho khối nón đỉnh S có độ dài đường sinh a , góc đường sinh mặt đáy 60° Thể
tích khối nón
A
3
8
a
V = π B
3
3
a
V =π C
3
8
a
V =π D
3
3 24
a V =π
Lời giải
Chọn D
Ta có: cos 60
2
r r a
r
a a
° = ⇒ = ⇔ = sin 60 3
2
h h a
h
a a
° = ⇒ = ⇔ =
Vậy:
2
2
1 3
3 24
a a a
V = πr h= π =π
Câu Cho khối trụ có diện tích xung quanh 80π khoảng cách hai đáy 10 Thể tích khối trụ
(8)Lời giải
Chọn A
Ta có: khoảng cách hai đáy 10 nên h= =l 10
2 80 .10 80
xq
S = πrl = π ⇒ r = ⇔ =r
Vậy thể tích khối trụ 2
.4 10 160
V =πr h=π = π
Câu Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB a= AD=2a Gọi H, K trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật quanh trục HK, ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ là:
A Stp =8π B
2 tp
S = a π C Stp =4a2π D Stp =4π
Lời giải
Chọn C
Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục HK ta hình trụ có đường cao h AB a= = , bán
kính đường trịn đáy
2
r=BK = BC=a
Vậy diện tích tồn phần hình trụ là: Stp =2πrh+2πr2 =4πa2
Câu Một mặt cầu có chu vi đường trịn lớn 4π Diện tích mặt cầu
A S =16π B S =64π C S =8π D S =32π
Lời giải
Chọn A
(9)6 24 25 Lời giải
Chọn A
Dễ thấy tam giác SAC , SBC , SDC tam giác vuông ( SC cạnh huyền )
Suy mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCDcó tâm trung điểm SC bán kính
2 2 2 2
3
2 2 2
SC SA AC SA AB AD a a a a
r= = + = + + = + + =
Thể tích khối cầu là:
3
3
4 5
3
a a
V = πr = π = π
Mức độ
Câu Cho hình nón có góc đỉnh 60 ,° diện tích xung quanh
6 aπ Tính thể tích khối
nón
A
3
3
4
a
V = π B
3
2
a
V =π C V =3πa3 D V =πa3
Lời giải
Chọn C
Thể tích 2
3
(10)Ta có: ASB= ° ⇒60 ASO= °30 tan 30 3
OA
SO OA
SO
⇒ ° = = ⇒ =
Lại có Sxq =πRl=π.OA SA =π.OA OA2+SO2 =6πa2
2 2 2
3 6
OA OA OA a OA a
⇒ + = ⇒ =
3 3 3
3
OA a SO a V π a a πa
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
Câu Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình
nón cho khoảng cách từ O đến AB bằng a 30SAO= ° , 60SAB= ° Diện tích xung
quanh hình nón
A
2
3
xq a
S =π B
2
2
3
xq
a
S = π C
2
xq
S = πa D
3 xq
S =πa
Lời giải Chọn D
Ta có OH = Đặt a OA=x (x>0) OA=SA.cos 30°
x SA
⇒ =
Do góc SAB= ° nên tam giác SAB 60
x
AB SA
⇒ = =
3
x AH
⇒ =
Do
2
2 2 2
3 2
x a
OA =AH +OH ⇔x = +a ⇔x = a ⇔ =x ( Do x> )
Vậy
2
a
OA= , SA=a nên diện tích xung quanh
2
xq a
S =π a =πa
Câu Cho hình nón có đường sinh tạo với đáy góc 60° Mặt phẳng qua trục hình nón cắt hình
nón thiết diện tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp Thể tích khối
nón
A V =3π B V =3 3π C V =9 3π D V =9π
Lời giải
(11)Góc đường sinh tạo với đáy SAO o
60
= o
tan 60 h h 3r
r
⇒ = ⇔ = ( )1
Mặt khác:
2
1
2
2 ABC
ABC
S SO AB r h
SA SB AB
S l r h r r
= =
+ +
= = + = + +
2
r h h r r
⇒ = + + ( )2
Thế ( )1 vào ( )2 ta được: ( )
( )
2
3
3
r loai
r r
r nhan
=
= ⇔
=
Suy ra: h=
Vậy
3
V = πr h= π
Câu Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao 8 cm, bán kính đáy cm Cắt hình nón
cho mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy hình nón ( )N đỉnh S có
đường sinh cm Tính thể tích khối nón ( )N
A 768
cm 125
V = π B 786
cm 125
V = π C 2304
cm 125
V = π D 2358
cm 125
V = π
Lời giải
Chọn A
Đường sinh hình nón lớn là: l SB= 2
h r
= + 2
8
= + =10 cm
Gọi l , 2 r , 2 h l2 ần lượt đường sinh, bán kính đáy chiều cao hình nón ( )N
2 cm
l =SK =
Ta có: ∆SOB ∆SIK đồng dạng nên:
10
SI IK SK
(12)2 2
10
h r l
h r l
⇒ = = = =
2
2 16
5
2 12
5
h h
r r
= =
⇒
= =
Thể tích khối nón ( )N là:
( ) 2
1
N
V = π r h
2
1 12 16
3π 5
=
3
768 cm
125π
=
Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc cạnh bên với mặt đáy
45° Diện tích xung quanh khối nón đỉnh S , đáy đường tròn ngoại tiếp ABCD
A 2 aπ B
2
2
a π
C 4 aπ D
2 aπ
Lời giải
Chọn A
Gọi O AC BD= ∩ Khi SO⊥(ABCD) ∆SOAvng tại O có
2
45 , OA
2
AC a
SAO= = = =a Suy
cos 45
OA
SA= = a
Vậy diện tích xung quanh khối nón đỉnh S , đáy đường tròn ngoại tiếp ABCD là
2
rl= 2.2 2
xq
S =π πOA SA=πa a= πa
Câu Cho tam giác ABC vuông A, BC=a, AC=b AB, =c b, <c Khi quay tam giác vng
ABC một vịng quanh cạnh BC,quanh cạnh AC,quanh cạnh AB, ta hình có diện
tích tồn phần theo thứ tự , , S S S Kha b c ẳng định sau đúng?
A Sb >Sc >Sa B Sb >Sa >Sc C Sc>Sa >Sb D Sa >Sc >Sb
(13)Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A của tam giác, đặt AH h=
Ta có Sa =π.BA AH +π.CA AH =πh c b( + )
( )
b
S =π BC BA+π BA =πc a+c
Sc =π.CB CA +π.CA2 =πb a( +b)
Do b< nên hiển nhiên c Sc<Sb
Do c<a h, <b nên hiển nhiênSa <Sc
Vậy Sa <Sc <Sb
Câu Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên đáy 60° Tính diện
tích xung quanh Sxq của hình nón đỉnh S , có đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A
2
3
xq a
S =π B
2
10
xq a
S =π C
2
7
xq a
S =π D
2
7
xq a S =π
Lời giải
Chọn D
Hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có:
Bán kính đường trịn đáy
3
a r=AG= AN =
Đường sinh 2 2 ( )2 2
tan 60
l=SA= SG +AG = GN ° +AG
2
3
3
6 12
a a
a
= + =
Diện tích xung quanh:
2
7
xq
(14)Câu Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB b) ằng
3
a
SAO= ° 60 30 , SAB= ° Độ dài đường
sinh của hình nón theo a
A a B a C 2a D a
Lời giải
Chọn A
Gọi I trung điểm AB, dựng OH SI⊥ Ta có 3
a OH =
Do SAB= ° nên tam giác SAB 60 Suy SA=SB=AB
Mặt khác 30 sin 30
2
SAO= ° ⇒SO=SA ° = SA cos 30
2
SA OA=SA ° =
Xét tam giác SOI ta có
2
2 2 2 2
2
2
1 1 1 1
1 3 1
2 2 2
1
3
OH OS OI OS OA AI SA
SA SA
a
SA OH a
OH SA
= + = + = +
−
−
⇔ = ⇔ = = =
Câu Cho hình trụ có chiều cao 6 cm Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy
cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A B′ ′ mà AB=A B′ ′=6cm, diện tích tứ giác
ABB A′ ′
60 cm Tính bán kính đáy hình trụ
A 5 cm B 3 cm C 4 cm D 5 cm
Lời giải
(15)Gọi O , O′ tâm đáy hình trụ (hình vẽ)
Vì AB=A B′ ′nên (ABB A′ ′ qua trung điểm đoạn OO′ ) ABB A′ ′ hình chữ nhật
Ta có SABB A′ ′ =AB AA ′ ⇔60=6.AA′ ⇒ AA′=10( )cm
Gọi A , 1 B l1 ần lượt hình chiếu A, B mặt đáy chứa A′ B′
1 A B B A′ ′
⇒ hình chữ nhật có A B′ ′ =6( )cm ,
2
1
B B′= BB′ −BB ( )
2
10
= − =2 cm( )
Gọi r bán kính đáy hình trụ, ta có 2r=A B′ = B B1 ′2+A B′ ′2 = ⇒ =r 4( )cm
Câu 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy có độ dài a , cạnh bên SA=a Bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A 3
8
a
B 3
2
a
C 2
2
a
D
8
a
Lời giải
Chọn A
(16)với SA cắt SO I Khi IS IA IB IC= = =
Ta có:
2
a
AM = ;
3
a
AO= ; SO= SA2−OA2
3
a
=
Do ∆SHI∽∆SOA ta có: SI SH SA= SO
SH SA SI
SO
⇒ =
8
a
=
Mức độ
Câu Một hình nón có đỉnh S có bán kính đáy 3a , góc đỉnh 120° Thiết diện qua đỉnh
của hình nón tam giác Diện tích lớn Smax tam giác
A
max
S = a B Smax =4a2 C
max
S = a D
max 16
S = a
Lời giải
Chọn A
Gọi thiết diện hình chóp SCD∆
Vì ∆SOB vng tại O , có OB= =r 2a 3, OSB=60o nên l=SB o sin 60
r
a
= =
Khi đó, sin
2
SCD
S∆ = SC SD CSD 2SC SD
≤
8a
= (vì sinCSD≤ )
Vậy Diện tích lớn Smax thiết diện
8a CSD=90o
Câu Một khối cầu ( )S có tâm I bán kính R khơng đổi Một khối trụ có chiều cao h bán kính
đáy r thay đổi nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R để thể tích khối trụ lớn
A h= 2R B
3
R
h= C
2
R
h= D
3
R h=
Lời giải
(17)Ta có:
2
2
4
h
r =R − Thể tích hình trụ là:
2
2
4
h
V =πr h=πh R −
Đặt ( )
4
f h =πR h−π h
( )
4
f′ h =πR − πh (0< <h 2R)
Ta có bảng biến thiên:
Ta thấy thể tích khối trụ đạt giá trị lớn
4
9
R π
khi
3
R h=
Câu Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm
Giá trị lớn thể tích khối trụ
A 64 cmπ B 16 cmπ C 8 cmπ D 32 cmπ
Lời giải
Chọn C
Thể tích khối trụ:
3 3
2
3 3
x y y x y
V =πy x=π x y y≤π + + =π + =π = π
(18)Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ V=8π cm
Câu Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R=a 3, góc đỉnh 120° Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác Diện tích lớn tam giác
A a 2 B 2a2 C
2 a D
2 2 3a
Lời giải
Chọn B
Giả sử SAM∆ thiết diện tạo mặt phẳng hình nón
Gọi AM =x (0< ≤x 2a 3)
Gọi H trung điểm AM ⇒OH ⊥ AM ⇒AM ⊥(SOH)⇒ AM ⊥SH
Vì
2 sin 60
120 60
tan 60
AO
SA a
ASB ASO
AO
OA a
= =
°
= ° ⇒ = ° ⇒
= =
°
2
2 2 2
3
4
x x
OH = OA −AH = a − ⇒SH = OH +SO = a −
2
1
2
SAM
x
S∆ = AM SH = x a −
Ta có:
2 2
2
2
2
1 16
4 2
2
4
4
x x a x
S a S x a
x x
a a
−
′= − − = ⇒ ′= ⇒ =
− −
a 3
x
1200
A
B M
(19)A h= R B
R
h= C
3
R
h= D
3
R h=
Lời giải
Chọn C
Gọi O trung điểm AB, M điểm đường trịn ( )C
Ta có IM = OM2−OI2 = R2− −(h R)2 = 2Rh h−
Thể tích hình nón: ( ) 2( 2)
3 C
V = AI S = hπ Rh−h
Đặt ( ) ( 3)
2
f h =π Rh −h (R tham số) Tập xác định D=[0; 2R]
( ) ( 2)
'
3
f h =π Rh− h ; '( )
R
f h = ⇔ =h
( )0
f = ; ( )
f R =π R ; 32
3 81
R
f = π R
Vậy hàm số f h ( ) đạt giá trị lớn
3
R h=
Hay thể tích hình nón lớn đạt
3
R h=
Câu Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy
một thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho Tính chiều cao x khối nón này để thể tích lớn nhất, biết x h< <
A
3
h
x= B
3
h
x= C
3
h
x= D h
I O A
(20)Lời giải
Chọn B
Gọi bán kính đường trịn đáy hình nón đỉnh O IA=R Đường cao hình nón tâm I IO x′ =
Xét tam giác OIA có O A / /IA OO O A h x O A O A R h( x)
OI IA h R h
−
′ ′ ′ − ′ ′
′ ′ ⇒ = ⇔ = ⇔ ′ ′=
Thể tích khối nón đỉnh I ( ) ( )
2
2
2
3
R
V O I O A x h x
h
π π
′ ′ ′
= = −
Xét hàm y=x h( −x)2với x h< <
( )2 ( ) ( )( )
2
(loai)
(nhan)
y h x x h x h x h x
x h
y h
x
′ = − − − = − −
= ′ = ⇔
=
Bảng biến thiên
Thể tích khối nón đỉnh I lớn ⇔ =y x h( −x)2max
h x
⇔ =
Câu Ông A dự định làm bể ni cá có dạng hình trụ (khơng có nắp) với dung tích
( )3
200 dm Tính bán kính r đáy hình trụ để ơng A sử dụng ngun liệu tốn
A r=31, 69 cm( ) B r=39 , 93 cm( ) C r=42 , 57 cm( ) D r=57 , 58 cm( )
Lời giải
Chọn A
Giả sử hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy rvà độ dài đường sinh l h=
Dung tích bể cá: V r h2 r h2 200 h 2002 r
π π
π
(21)Dấu xảy r r 3,169 dm( ) 31, 69 cm( ) r
π
π
= ⇔ = ≈ =
Vậy để ông A sử dụng ngun liệu tốn bán kính đáy hình trụ
( )
31, 69 cm
r=
Câu Cho tam giác ABC vng tại A, cóAB=6cm AC, =3cm Gọi M điểm di động cạnh BC
sao cho MH vng góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên
một hình nón, tính thể tích lớn hình nón tạo thành:
A
π
B 4
3
π
C 8
3
π
D 4π
Lời giải
Chọn C
Đặt AH =x cm( ), 0< < Khi đó: x BH = −6 x cm( )
Xét tam giác BHM vng H, ta có:
( )
tanHBM HM HM BH tanHBM x tanHBM
BH
= ⇒ = = −
Mà tan tan
6
AC
HBM ABC
AB
= = = =
Do đó: (6 ).1
HM = −x
Thể tích khối nón tạo thành tam giác AHM quay quanh cạnh AH là:
( )2 ( )
2
1
12 36
3 12
V = AHπ HM =π x −x = π x − x + x ( )1
Xét hàm số: f x( )=x3−12x2+36x với 0< < , ta có: x
H M
C A
(22)2
( ) 24 36
f x′ = x − x+
2
( ) 24 36
6
x
f x x x
x
=
′ = ⇔ − + = ⇔
=
Bảng biến thiên hàm số
( ) 12 36
f x =x − x + x với 0< < : x
Từ ( )1 bảng biến thiên ta tích lớn khối nón tạo thành : 32
12
V = π = π
Câu Cho mặt cầu tâm O , bán kính R Hình trụ ( )H có bán kính đáy r nội tiếp mặt cầu Thể
tích khối trụ tạo nên ( )H có thể tích lớn r
A r= 3R B
2
r= R C r= 6R D
3
r= R
Lời giải
Chọn D
Hình trụ nội tiếp mặt cầu có tâm đáy E, có bán kính EA=r (0< <r R), đường cao
2
KE= EI
Xét tam giác vng IEA có 2 2
IE= IA −EA = R −r
Thể tích khối trụ là: V =h r.π =2IE r.π =2πr2 R2−r2
Xét hàm số y=r2 R2−r2 với (0< <r R)
Có
3
2 2 2
2 2 2
2
2
2
r r rR r
y r R r r r R r
R r R r R r
− −
′ = − + = − − =
− − −
( )
2 2
0 3
3
(23)Nhìn bảng biến thiên ta thấy
3
y y R
⇔ ≥
max
6
y y R
⇒ =
Dấu xảy
3
r R
⇔ =
Vậy thể tích hình trụ lớn max
3
y r R
⇔ ⇔ =
Câu 10 Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu bằng:
A r 103 5cm
π
= B r 500cm
π
= C r 10 5cm
π
= D r 500cm
π
=
Lời giải
Chọn B
Gọi r r( > bán kính đáy lon sữa 0)
Khi
2
V r h h V
r π
π
⇒
= =
Diện tích tồn phần lon sữa là:
( ) 2
2
2
2 2 V V
S r rh r r r r
r r
π π π π π
π
= + = + = +
Bài tốn quy tìm GTNN hàm số: ( ) 2( )
2
V
S r r r
r π
= + >
( )
2
' V
S r r
r π
= − +
( )
2
'
2
V V
S r r r
r
π
π
= ⇔ = ⇔ = 1000 500
2
r
π π
⇔ = =
Bảng biến thiên hàm số ( ) 2( )
2
V
S r r r
r π
= + >
Từ bảng biến thiên suy S r ( ) đạt giá trị nhỏ r 500cm π
(24)PHẦN II
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Mặt nón trịn xoay
Định nghĩa:
• Trong mặt phẳng ( )P cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O cắt tạo thành góc ( )β
với 0° < < ° Khi quay mặt phẳng β 90 ( )P xung quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt trịn xoay
gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng ∆
gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh hình nón
2 Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay
Hình nón trịn xoay: Cho tam giác OIM vng O Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc
vng OI đường gấp khúc OMI tạo hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình
nón
Hình trịn tâm I sinh điểm thuộc cạnh IM IM quay quanh trục OI gọi mặt đáy hình nón, điểm O gọi đỉnh hình nón Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón Độ
(25)Hình nón có độ dài đường sinh l, bán kính đáy r có diện tích xung quanh tính theo cơng thức: Sxq =πrl
4 Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay
Hình nón có độ dài đường sinh l, bán kính đáy r có diện tích tồn phần tính theo cơng
thức: ( )
tp xq d
S =S +S =πrl+πr =πr l+r
5 Thể tích khối nón
Khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r tích tính theo cơng thức:
V = πr h
6 Các công thức cần nhớ
+ Chu vi đường trịn có bán kính r : C=2πr
+ Diện tích hình trịn bán kính r: S=πr2
+ Mối liên hệ chiều cao, đường sinh bán kính đáy hình nón: h2+r2 = l2
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích hình nón Bài toán thiết diện
Sự tạo thành hình nón. Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp Bài toán thực tế
(26)(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A , AB=a AC =2a Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vng AB đường gấp khúc ACB tạo thành hình nón Diện tích xung quanh hình nón
A
5 aπ B.
5 aπ C 2 aπ D. 10 aπ
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính diện tích xung quanh hình nón
2 HƯỚNG GIẢI:
B1:Tìm bán kính đường trịn đáy
B2:Tìm đường sinh hình nón
B3: Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
Chọn C
Tam giác ABC vuông A : BC= AB2+AC2 = a2+4a2 = a
Hình nón tạo thành có bán kính đáy r=AC =2a, đường sinh l=BC= 5a nên có diện tích
xung quanh Sxq =πrl=2 5πa2
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu 1: Hình nón ( )N có chiều cao h, độ dài đường sinh l và bán kính đáy r Ký hiệu Sxq
diện tích xung quanh ( )N Công thức sau đúng?
A. Sxq =πrh B. Sxq =2πrl C. Sxq =2πr h2 D. Sxq =πrl
Lời giải
(27)Chọn C
Câu 3: Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng qua trục hình nón, cắt đường trịn đáy hình nón hai điểm hình gì?
A Hình trịn B Hình vng C Hình tam giác D Hình bình hành
Lời giải
Chọn C
Câu 4: Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng vng góc với trục hình nón hình vẽ cho đường gì?
A Đường tròn B Đường Elip C Đường Parabol D Đường Hypebol
Lời giải
Chọn A
(28)A Đường tròn B Đường Elip C Đường Parabol D Đường Hypebol
Lời giải
Chọn C
Câu 6: Gọi r ; h; l bán kính đáy, chiều cao đường sinh khối nón Khẳng định sau đúng?
A l2 =h2+ r2 B h2 = + l2 r2 C r2 =h2+ l2 D l = +h r
Lời giải
Chọn A
Từ hình vẽ, ta có: l2 =h2+ r2
Câu 7: Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có bán kính đáy r=3và độ dài đường sinh l=5
A Sxq =15π B Sxq =24π C Sxq =30π D Sxq =15π
Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh Sxq của hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l
.3.5 15
xq
S =πrl=π = π (đvdt)
Câu 8: Cho hình nón có bán kính đáy a độ dài đường sinh 2a Diện tích xung quanh hình nón
A 4 aπ B 3 aπ C 2 aπ D 2a 2
(29)Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r=a độ dài đường sinh l=2a
2
.2
xq
S =πrl=π a a= πa (đvdt)
Câu 9: Cho hình nón trịn xoay có bán kính đường trịn đáy r , chiều cao h đường sinh l Gọi V thể tích khối nón; Sxq, Stp diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón Kết
luận sau sai?
A h2 = + r2 l2 B Sxq =πrl C tp
S =πrl+πr D
3
V = πr h
Lời giải
Chọn A
2 2
l = + r h
Câu 10: Cho hình nón trịn xoay có đường cao h=30 ( )cm , bán kính đáy r=40 ( )cm Tính độ dài
đường sinh l hình nón
A. l =50 ( )cm B. l=50 ( )cm C. l =40 ( )cm D. l=52 ( )cm
Lời giải
Chọn A
Ta có: l = h2+r2 = 302+402 =50 ( )cm
Câu 11: Cho hình nón có độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy Góc đỉnh hình nón
bằng
A 60° B 150° C 120° D 30°
Lời giải
Chọn A
(30)Hình nón có l=2R nên thiết diện qua trục tam giác Vậy góc đỉnh hình nón
60°
Câu 12: Hình ABCD quay quanh BC tạo ra:
A Một hình trụ B Một hình nón C Một hình nón cụt D Hai hình nón
Lời giải
Chọn D
Gọi O giao điểm BC AD Khi quay hìnhABCD quanh BC tức tam giác vng OBA quanhOBvà tam giác vngOCD quanh OC Mỗi hình quay tạo hình nón nên hình tạo tạo hai hình nón
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB hình trịn xoay tạo thành
A hình cầu B hình trụ C hình nón D.hình nón
Lời giải Chọn D
Hình trịn xoay tạo thành hình nón
Câu 14: Cho hình nón có bán kính đáy , chiều cao Diện tích xung quanh hình nón
A B C D
Lời giải Chọn B
Câu 15: Một hình nón có chiều cao a và bán kính đáy a Tính diện tích xung quanh Sxq
của hình nón
A Sxq =2πa2 B Sxq = 3πa2 C Sxq =πa2 D Sxq =2a2
Lời giải
Chọn A
Đường sinh: 2
2
l= h +r = a Diện tích xung quanh Sxq =πrl =2πa2
Mức độ
4a 3a
2
24 aπ
20 aπ
40 aπ
12 aπ
2 2 2
; (3 ) (4 ) (5 ) 20
xq xq
(31)Gọi bán kính đáy r h=2r ⇒ =l r
Diện tích xung quanh Sxq =πrl =πr2 diện tích tồn phần Stp =πrl+πr2 =πr2(1+ 5)
Vậy tỉ số diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón là: 5 −
Câu 2: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a , có diện tích xung quanh
A
2 3 xq
a
S =π B
2 xq
a
S =π C
2
3 xq
a
S =π D
2 xq
a
S =π
Lời giải
Chọn A
Giả sử hình nón ngoại tiếp tứ diện ABCD cạnh a hình vẽ Ta có:
+) Bán kính đáy 3
3
a a
R=OC= =
+) Độ dài đường sinh l= AC=a
Vậy diện tích xung quanh hình nón
2
3
3
xq
a a
S =πRl=π a=π
Câu 3: Cho hình nón có đường cao bán kính đáy 15 ( )cm Diện tích xung quanh
mặt nón cho
A 450π ( )cm2 B 225π ( )cm2 C 325π ( )cm2 D 1125π ( )cm2
Lời giải
Chọn B
Ta có: h= =r 15 ⇒ =l h2+r2 =15
Diện tích xung quanh mặt nón Sxq =πrl =π.15.15 =225π ( )cm2 r
S
(32)Câu 4: Cho hình nón có chiều cao ( )cm , bán kính đáy ( )cm Diện tích tồn phần hình nón cho
A 116π ( )cm2 B 84π ( )cm2 C 96π ( )cm2 D 132π ( )cm2
Lời giải
Chọn C
Độ dài đường sinh hình nón 2 2
8 10
l= h +r = + = ( )cm
Diện tích tồn phần hình nón 2
.6.10 96
tp
S =π +π = π ( )cm2
Câu 5: Một hình nón với bán kính đáy r=3a chiều cao h=4a, diện tích xung quanh
A 36 aπ B 12 aπ C 30 aπ D 15 aπ
Lời giải
Chọn D
Độ dài đường sinh: 2 ( ) ( )2
3
l= h +r = a + a = a
Diện tích xung quanh hình nón:
.3 15
xq
S =πrl=π a a= πa (đvdt)
Câu 6: Cho hình nón có bán kính đáy R chiều cao 4
3
R
góc đỉnh 2α Tính sinα
A sin
5
α = B sin
α = C sin
α = D sin 24 25 α =
Lời giải
Chọn A
Gọi H S tâm đường trịn đáy đỉnh hình nón cho Mặt phẳng chứa
trục cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAB Ta có ∆SAB cân S ASB=2α suy
ASH = α
SAH
∆ vuông tại H nên 2
3
R
SA= AH +SH =
3 sin
5
AH SA
(33)Ta có: 2 xq
r a
S πrl πa
=
= =
r a
l a
= ⇒ =
Vậy độ dài đường sinh hình nón cho l=5a
Câu 8: Cho hình nón trịn xoay có bán kính đáy 6a, đường sinh 12a, với a>0 Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay cho
A 180 aπ B 144 aπ C 216 aπ D 108 aπ
Lời giải
Chọn D
Ta có: Stp =Sxq+Sd =π.6 12a a+π 6( )a =108πa2
Câu 9: Một khối nón có bán kính đáy r=a thể tích πa3 Chiều cao h khối nón
A h=2a B h=a C h=4a D h=3a
Lời giải
Chọn D
Ta tích khối nón là:
V = πr h
Suy
3πa h=πa ⇔ =h 3a
Câu 10: Cho hình nón có bán kính đáy a diện tích tồn phần 3 aπ Độ dài đường sinh l hình nón
A l=4a B l =a C l=2a D l=a
Lời giải
Chọn C
a l
O B
A
(34)2 tp
S =πRl+πR =πal+πa
Theo giả thiết 2
3
tp
S =πal+πa = πa ⇔ =l 2a
Câu 11: Cho hình nón ( )N có diện tích tồn phần gấp lần diện tích đáy Tính góc đỉnh ( )N
A 30° B 45° C 60° D 90°
Lời giải
Chọn C
Xét hình nón ( )N hình vẽ:
Diện tích tồn phần nón là:
tp xq d
S =S +S =πrl+πr
Diện tích đáy nón là: d
S =πr
Từ giả thiết ta có: πrl+πr2 =3πr2 ⇔ =l 2r
Đặt α =BIO Ta có: sin
OB r
IB l
α = = = ⇒ =α 30°
Vậy góc đỉnh nón là: 2α =60°
Câu 12: Cho tam giác ABC vuông cân tại A , đường cao AH = Tính diện tích xung quanh Sxq
hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH
A Sxq =4 2π B Sxq =16 2π C Sxq =8 2π D Sxq =32 2π
Lời giải
Chọn B
Tam giác ABC vuông cân tại A có đường cao AH =4⇒ AH đường trung tuyến
4
AH = BC=HB=
Hình nón nhận có đường cao AH = , bán kính đáy HB= ⇒AB=4 2 đường sinh
O
A B
(35)Lời giải
Chọn C
Ta có Sxq=2πrh=50π⇔ =rh 25
Lại có 2 25 25
2
h= ⇒r r = ⇔ =r ⇒ =r
Câu 14: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB=a AC = 3a Tính độ dài đường
sinh l của hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB
A l =a B l= 2a C l= 3a D l=2a
Lời giải
Chọn D
Độ dài đường sinh l độ dài cạnh BC tam giác vuông ABC
Theo định lý Pytago 2 2 2
3
BC = AB + AC =a + a = a ⇒BC= a
Vậy độ dài đường sinh hình nón l=2 a
Câu 15: Cho hình nón có độ dài đường sinh gấp đơi chiều cao bán kính đáy Diện tích
xung quanh hình nón cho
A 4 3π B (3 3+ )π C 2 3π D 3π
Lời giải
Chọn C
Gọi chiều cao hình nón h=a, a>0 ⇒ độ dài đường sinh hình nón l=2a Theo ta có: r2 = = −3 l2 h2 ⇔4a2 −a2 = ⇔3 a2 = ⇔ =1 a 1
Vậy h=1, l=2
(36) Mức độ
Câu 1: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy 60° Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón đỉnh S, có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A 3 xq a
S =π B
2 10 xq
a
S =π C
2 xq
a
S =π D
2 xq
a
S =π
Lời giải
Chọn D
Gọi O tâm tam giác ABC, SO⊥(ABC)
Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường trịn đáy OA
Gọi H trung điểm BC ((SBC) (, ABC))=SHO=60°
Tam giác ABC O tâm tam giác nên 1 3
3
a a
OH = AH = =
2
3
a
OA= AH =
Tam giác SOH vng O có SHO= ° nên 60 tan 60 3
6
a a
SO=OH ° = =
Tam giác SOA vuông O nên
2
2 21
4
a a a
SA= SO +OA = + =
Diện tích xung quanh hình nón là:
2
3 21
3 6
xq
a a a
S =πrl=π OA SA=π =π
Câu 2: Cho tứ diện ABCD cạnh Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tam giác BCD có chiều cao chiều cao tứ diện
ABCD
A 8 2π B 16
3 π
C 16
3 π
D 8 3π
(37)+ Gọi M trung điểm CD
Lấy điểm O BM cho
3
BO
BM = ⇒O trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD AO⊥(BCD) (vì tứ diện ABCD đều)
BM trung tuyến tam giác BCD
2
BM
⇒ = 4
3
BO
⇒ = =
Xét ∆ABO ta có:
2
2 2 32
4
3
AO = AB −BO = − =
4
AO
⇒ =
Đường trịn nội tiếp tam giác BCD có bán kính 1 3
3 3
r=OM = BM = =
+ Hình trụ có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác BCD có chiều cao
chiều cao tứ diện ABCD nên bán kính đáy chiều cao hình trụ 3
r= ,
4
h=AO=
Vậy diện tích xung quanh hình trụ 2 2 16
3 3
xq
S = πrl = πrh= π = π
Câu 3: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân, cạnh huyền
bằng a Thể tích khối nón
A
6 a
π
B
12 a
π
C
4 a
π
D 2
12 a
π
Lời giải
Chọn B
M O
D
(38)Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng qua trục tam giác SAB vuông cân S
SO=h , OB=r
Do thiết diện tam giác vng cân nên ta có: 2
2 2
AB a
h= =r = a =
Thể tích khối nón:
2
3
1 2
3 2 12
a a
V = Bh= π =π a
Câu 4: Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, chiều cao 20a, đáy hình trịn tâm I bán kính
25a, với 0<a∈ Mặt phẳng ( )P đi qua S cách tâm I một khoảng 12a Diện tích
thiết diện cho
A
500a B
150a C
50a D
1000a
Lời giải
Chọn A
Theo đề hình vẽ ta có
20
SI = a, R=IA=IB=25a, IH =d I( ,( )P )=12a
Tính IM : 12 12 12
IH = IM + IS ⇒IM =15a
Tính AB : 2
2
AB= MB= IB −IM =40a
Tính SM : SM IS IM IH
(39)Lời giải
Chọn A
Hình nón có bán kính
2
r= , chiều cao h=3 Suy đường sinh l = h2+r2
2
2
3
= +
3
=
Diện tích xung quanh hình nón
2
3 xq
S =πrl=π = π
Câu 6: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy 60° Tính diện tích xung quanh S cxq hình nón đỉnh S, có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A
2 3 xq
a
S =π B
2 10 xq
a
S =π C
2 xq
a
S =π D
2 xq
a
S =π
Lời giải
Chọn D
O'
C'
D' B'
O
D A
B C
(40)Gọi O tâm tam giác ABC, SO⊥(ABC)
Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường tròn đáy OA
Gọi H trung điểm BC ((SBC) (, ABC))=SHO= ° 60
Tam giác ABC O tâm tam giác nên 1 3
3
a a
OH = AH = =
2
3
a
OA= AH =
Tam giác SOH vuông O có SHO= ° nên 60 tan 60 3
6
a a
SO=OH ° = =
Tam giác SOA vuông O nên
2
2 21
4
a a a
SA= SO +OA = + =
Diện tích xung quanh hình nón là:
2
3 21
3 6
xq
a a a
S =πrl=πOA SA=π =π
Câu 7: Cắt mặt xung quanh hình nón trịn xoay ( )N dọc theo đường sinh trải
mặt phẳng ta nửa hình trịn có bán kính R Chiều cao hình nón ( )N
A
R
h= B h=R C
2
R
h= D h=R
Lời giải
Chọn C
H O
C
B A
(41)1
2
Ta có chu vi đáy hình nón C=2πR1=πR
2
R R
⇔ =
Xét ∆SOA vuông O có
2
2 2 2
1
3
4
R R
h=SO= SA −AO = l −R = R − =
Câu 8: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón
A
2
2
3
a
π
B
2
a
π C
2
a
π
D
2 2
a
π
Lời giải
Chọn D
Bán kính đáy hình nón
2
cos
45 a
r=HB=AB ° =
Độ dài đường sinh hình nón: l= AB=AC=a
Diện tích xung quanh hình nón
2 2 xq
a
S =πrl=π
Câu 9: Trải mặt xung quanh hình nón lên mặt phẳng ta hình quạt (xem hình bên dưới) phần hình trịn có bán kính ( )cm Bán kính đáy r hình nón ban đầu
gần với số
A 2, 23 B 2, 24 C 2, 25 D 2, 26
(42)Chọn C
Phần hình quạt (như hình trên) có chu vi là: 3.2
4
π
π = ( )cm
Và chu vi hình quạt chu vi đường trịn đáy hình nón nên ta có
r π
π =
9
r
⇔ = ( )cm
Câu 10: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I , góc 45IOM = ° cạnh IM =a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay Tính diện tích xung quay Sxq hình nón trịn xoay theo a
A Sxq =πa2 B Sxq =πa2 C Sxq =πa2 D
2 2 xq
a
S =π
Lời giải
Chọn A
Ta có: bán kính đáy r=IM =a, IOM = ° 45 ⇒ =l OM =a
Vậy Sxq =πrl=πa2
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A , đường cao AH = Tính diện tích xung quanh Sxq
hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH
A Sxq =4 2π B Sxq =16 2π C Sxq =8 2π D Sxq =32 2π
Lời giải
Chọn B
Tam giác ABC vuông cân tại A có đường cao AH =4⇒ AH đường trung tuyến
4
AH = BC=HB=
I O
(43)A 48 34π( )cm2 B 192π( )cm2 C 96 34π( )cm2 D 384π( )cm2
Lời giải
Chọn A
Diện tích bề mặt cần phải lợp cọ diện tích xung quanh nón
Theo đề: Nón cần làm hình nón có độ dài đường cao h=20 cm( ), bán kính đường trịn
đáy 12 cm( )
Do độ dài đường sinh nón 2 2 ( )
20 12 34 cm
= + = + =
l h r
Vậy diện tích bề mặt cần phải lợp cọ là: Sxq =πrl=π.12.4 34=48 34π( )cm2
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB=c, AC=b Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta hình nón tích bằng
A 1
3πbc B
2
3bc C
2
3b c D
2 3πb c
Lời giải
(44)2
1
3
V = πr h= πb c
Câu 14: Cắt hình nón ( )N đỉnh S cho trước mặt phẳng qua trục nó, ta tam giác
vng cân có cạnh huyền 2a Biết BC dây cung đường tròn đáy hình nón
sao cho mặt phẳng (SBC t) ạo với mặt phẳng đáy hình nón góc 60° Tính diện tích
tam giác SBC
A
2
4
3
a
B
2
4
9
a
C
2
2
3
a
D
2
2
9
a
Lời giải
Chọn A
Thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân, suy r =SO=a
Ta có góc mặt phẳng (SBC t) ạo với đáy góc 60SIO= °
Trong tam giác SIO vng O có sin
SO
SI a
SIO
= = cos
3
OI =SI SIO= a
Mà 2
3
BC= r −OI = a
Diện tích tam giác SBC
2
1
2
a
S= SI BC=
Câu 15: Cho nửa hình trịn tâm O, đường kính AB Người ta ghép hai bán kính OA, OB lại tạo thành mặt xung quanh hình nón Tính góc đỉnh hình nón
(45)
Gọi R , r bán kính nửa hình trịn tâm O hình nón
Hình nón có đường sinh l=OA=R và chu vi đường tròn đáy nửa chu vi hình trịn tâm O
, đường kính AB Do 2
R
r R r
π =π ⇔ =
Gọi I tâm đường trịn đáy hình nón
Xét ∆OAI vng tại I có :
2
sin
2
R AI AOI
OA R
= = = 30
AOI
⇒ = °
Do góc đỉnh hình nón 60°
Mức độ
Câu 1: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình
nón cho khoảng cách từ O đến AB a 30SAO= °, 60SAB= ° Diện tích xung quanh hình nón
A
2
3
xq a
S =π B
2
2
3
xq
a
S = π C Sxq =2πa2 D Sxq =πa2
Lời giải
Chọn D
Ta có OH =a Đặt OA=x OA=SA.cos 30°
3
x SA
⇒ =
O
(46)Do góc SAB 60= ° nên tam giác SAB x AB SA ⇒ = = x AH ⇒ =
Do AH2+OH2 =OA2
2
3
x
a x
⇒ + =
2
a x
⇔ =
Vậy
2
a
OA= ; SA=a nên diện tích xung quanh
2
xq a
S =π a =πa
Câu 2: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R=a 3, góc đỉnh 120° Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác Diện tích lớn tam giác
A 3a 2 B 2a 2 C
2 a D
2 2 3a
Lời giải
Chọn B
Giả sử ∆SAM thiết diện tạo mặt phẳng hình nón
Gọi AM =x (0< ≤x 2a 3)
Gọi H trung điểm AM ⇒OH ⊥AM ⇒AM ⊥(SOH) ⇒AM ⊥SH
Vì ASB=120° ⇒ 60ASO= °
2 sin 60 tan 60 AO SA a AO OA a = = ° ⇒ = = °
2 2
3
x
OH = OA −AH = a −
2
2 2
4
x
SH OH SO a
⇒ = + = −
2
1
2
SAM
x
S∆ = AM SH = x a −
Ta có:
2 2
2
2
2
1 16
4
2
4
4
x x a x
S a x x a a − ′ = − − = − −
; S′=0 ⇒ =x 2a
Bảng biến thiên:
(47)Câu 3: Cho hình nón có bán kính đáy 3, chiều cao , kiến bị bề mặt xung quanh của hình nón từ điểm A đến trung điểm M SB (như hình vẽ) Độ dài ngắn mà kiến gần với giá trị sau đây?
A 5 B 5, C 6 D 6,
Lời giải
Chọn B
+) Trải phẳng mặt xung quanh hình nón theo đường SA ta hình quạt (hình vẽ trên)
Ta có ( )2
7
SA= + =
Độ dài cung AB nửa chu vi đường trịn đáy Do lAB =3π
4 AB
l
α
⇒ =
4 π =
+ Áp dụng định lý hàm số cơ-sin cho tam giác SAM có:
2 2
4 2.4.2.cos
(48)+ Độ dài ngắn mà kiến độ dài đoạn thẳng AM sau trải phẳng hình Do độ dài ngắn kiến gần 5,
Câu 4: Cắt bỏ hình quạt trịn OAB từ mảnh tơng hình trịn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt trịn cịn lại với để phễu có dạng hình nón hình vẽ đây:
Gọi x góc tâm quạt tròn dùng làm phễu (0< <x 2π ) Thể tích lớn hình nón
A 2 3
27 πR B
3
27πR C
3
2
9 πR D
3
4 27 πR
Lời giải
Chọn A
Chu vi đáy nón
x
C πR
π
= =Rx
Bán kính đáy nón
Rx r
π =
Chiều cao nón
2 2 Rx h R π = − 2 R x π π = −
Thể tích nón
V = πr h
2
2
1
3 2
Rx R x π π π π = −
2 2
2
24
R
x π x
π
= −
Xét hàm số ( )
2 2
2
24
R
f x x π x
π
= − , với 0< <x 2π
Ta có ( ) ( )
2
3
2 2 2
8 24 4 x x R f x x π π π − ′ =
− ; f′( )x =0
2
3
x π
⇒ =
(49)nào sau đây?
A. 1;3
2
B.
3 ; 2
C.
5 2;
2
D.
5 ;3
Lời giải
Chọn D
+) Trải hai lần phẳng xung quanh hình nón mặt phẳng ta hình quạt hình vẽ
+) Ta có OA= h2+R2 = 1+ = 5; OB=OB′′ 4OA′′
=
4OA
=
4
=
Cung AA′′ có độ dài l=2.2 π R=4π
Suy góc AOA′′ có số đo là:
5
l OA
π =
2
2 .cos
AB′′= OA +OB′′ − OA OB′′ AOB′′ ( )
2
2 5 5 4
5 .cos
4
π
= + −
≈1.83 m( )
(50)l =AB′′+OB+OC 1, 68 5
4
≈ + + ≈2,95 m( )
Câu 6: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B cho điểm B cách tia Ax một đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia Ax, tam giác AHB quay
quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh
A 2 a π
B ( )
2 3 a π +
C ( )
2 a π +
D ( )
2 2 a π +
Lời giải
Chọn B
Xét tam giác AHB vng H , ta có AH = AB2−HB2 =a
Xét tam giác AHB vuông H HI AB⊥ tại I , ta có 3
2
AH HB a a a
HI =
AB = a =
Khi tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay
hợp hai mặt xung quanh hình nón đó:
Hình nón có quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh 3 2 a a
S =π.HI.AH = π a = π ;
Hình nón có quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh 2 3 2 a a
S =π.HI.BH = π a= π
( )
2
1
3
3
2 2
a
a a
S = S + S π π + π
⇒ = + =
Câu 7: Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường trịn đáy, đường sinh a 2 góc đường sinh mặt phẳng đáy
60 Gọi I điểm đường cao SO hình nón cho tỉ số
3
SI
OI = Khi đó, diện tích thiết diện qua I vng góc với trục
của hình nón là:
A
B I H
(51)+Gọi A điểm thuộc đường trịn đáy hình nón Thiết diện qua I vng góc với trục
của hình nón hình trịn có bán kính hình vẽ Gọi diện tích S Theo gitd ả thiết
ta có đường sinh SA=a góc đường sinh mặt phẳng đáy 60
SAO = Trong
tam giác vng SAO có
cos 60
a
OA= SA =
+Ta có
2 2 2
6 18
td
a a
S πIB π π
⇒ = = =
Câu 8: Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a 3, góc đỉnh 1200 Thiết diện qua đỉnh
hình nón một tam giác Diện tích lớn Smax thiết điện bao nhiêu?
A Smax =a2 B Smax =2a2 C Smax =4a2 D
2
max
8
a
S =
Lời giải
Chọn B
SIB SOA
∆ ∽∆ 2
3
SI IB SI a a
IB OA
SO OA SO
(52)+Giả sử O tâm đáy AB đường kính đường trịn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân SAM Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy
3 cm
R=OA=a , ASB=1200 nên ASO=600 Xét tam giác SOA vuông O, ta có:
0
0
sin 60
sin 60
OA OA
SA a
SA
= ⇒ = =
+Diện tích thiết diện là: sin 12 sin 2sin
2
SAM
S∆ = SA SM ASM = a a ASM = a ASM
Do 0<sinASM ≤ nên S∆SAM lớn sinASM = ⇒1 ASM =900 hay tam
giác ASM vuông cân đỉnh S (vì ASB=1200 >900 nên tồn tam giác ASM thỏa mãn)
Vậy diện tích thiết diện lớn là: Smax =2a2 (đvtt)
Câu 9: Cho hìnhnón đỉnh S với đáy đường trịn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho OI =R Giả sử A điểm nằm đường tròn ( ; )O R cho
OA⊥OI Biết tam giác SAI vuông cân S Khi đó, diện tích xung quanh Sxq
hình nón
A
2 xq
S =πR B
2
xq
S = πR
C.
2 2 xq
R
S =π D.
xq
S =πR
Lời giải
(53)2 2
2
SO= SA −OA = R −R =R
+ Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq =πRl =πR R =πR2 (đvdt)
Câu 10: Một thơng Noel có dạnh hình nón với chiều dài đường sinh 60cm bán kính đáy r=10cm Một kiến bắt đầu xuất phát từ đỉnh nằm mặt đáy hình nón có dự định
bị vịng quanh thơng sau quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu Tính qng đường ngắn mà kiến bao nhiêu?
A 45 B 63 C 125 D 60
Lời giải
Chọn D
Ta “cắt” hình nón theo cạnh AE trải hình nón hình quạt hình vẽ Ta ý đường sinh hình nón bán kính quạt nên R=60cm Gọi r bán kính đáy nón
α α góc cung trịn quạt Khi chu vi của cung tròn quạt là:
2
2
2
r
C R r
R
α π π
π π α
π
= = ⇒ = =
Vậy hình quạt ta phần sáu hình trịn tam giác AEE′ tam giác Quãng đường ngắn mà kiến độ dài EE′ =60cm
Câu 11: Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm với chiều cao 3 h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là:
A
8
2
r
π
= B
6
2
r
π
= C
6
2
r
π
= D
8
2
r
π
=
Lời giải
Chọn A
Thể tích cốc: V r h2 27 r h2 81 h 81 2
r
π
π π
= = ⇒ = ⇒ =
3
(54)2
2 2
2 2
81 81
2 2
xq
S rl r r h r r r
r r
π π π π
π π
= = + = + = +
2 2
4 3
2 2 2 2
81 81 81 81
2
2 2
r r
r r r r
π π
π π π π
= + + ≥
4
4 81
4 π
π
= (theo BĐT Cauchy)
xq
S nhỏ
2 8
4 6
2 2
81 3
2 2
r r r
r
π π π