CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU, HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU, HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN Chủ đề: Mặt cầu Dạng 1: Bài tập cơ bản về mặt cầu Dạng 2: Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp Phương pháp xác định mặt cầu c

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU, HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN

HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

Chủ đề: Mặt cầu

Dạng 1: Bài tập cơ bản về mặt cầu

Dạng 2: Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Phương pháp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Chủ đề: Hình trụ

Lý thuyết: Mặt trụ, hình trụ

Dạng 1: Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

Dạng 2: Thiết diện của hình trụ

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ cực hay, có lời giải

Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương cực hayChủ đề: Hình nón, khối nón

Dạng 1: Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón

Dạng 2: Thiết diện của hình nón

Trang 2

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Trang 3

Chủ đề: Mặt cầu

Dạng 1: Bài tập cơ bản về mặt cầu

Bài 1: Mặt cầu tâm O bán kính R = 17dm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB = 18dm, BC = 24dm, CA = 30dm Tính khoảng cách từ O đến (P)

Hiển thị đáp án

Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu là một đường tròn Khi đó A, B,

C nằm trên đường tròn này, nếu để ý kĩ ta thấy CA2 = AB2 + BC2, do vậy tam giác ABC vuông tại B, tức là AC chính là đường kính của đường tròn này, hay r = 15dm Ta có hình vẽ minh họa sau:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy

Bài 2:

a) Mặt cầu có thể tích bằng 36π cm3, khi đó bán kính mặt cầu bằng:

b) Diện tích mặt cầu bằng 100cm2, khi đó bán kính mặt cầu bằng:

c) Mặt cầu có bán kính bằng 10cm, khi đó diện tích mặt cầu bằng:

a) Thể tích của khối cầu:

Trang 4

Trang 5

Từ hình vẽ ta thấy: ∆IHC vuông tại H

Bài 5: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng D

Từ I kẻ IH vuông góc với AB

Khi đó, khoảng cách từ I đến AB là độ dài đoạn IH

Do ∆IAB cân tại I, IH ⊥ AB nên H là trung điểm của AB

Trang 6

Bài 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

A Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp

B Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

C Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

Trang 7

D Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

Đáp án : D

Giải thích :

Hình thang cân thì nội tiếp đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang cân sẽ

có mặt cầu ngoại tiếp

Bài 3: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình tứ diện bất kì

B Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi

C Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật

D Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp đa giác đều

Đáp án : B

Giải thích :

Sử dụng phương pháp loại trừ rõ ràng A, C, D đúng nên B sai

Bài 4: Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng ∠(ACB)=90º Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A AB là một đường kính của mặt cầu đã cho

B Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC

C ABC là một tam giác vuông cân tại C

D AB là đường kính của một đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC)

Trang 8

Gọi R là bán kính khối cầu

Theo bài ta, khối cầu có thể tích bằng khối trục nên ta có:

Trang 9

Bài 7: Trong không gian cho 2 điểm phân biệt A và B Tập hợp tâm các mặt cầu

Bài 8: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là

Bài 9: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là

A 36π B 18π C 9π D 27π

Trang 10

Bài 11: Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1, mặt cầu (S2) có bán kính R2 và R2 = 2R1

Tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và mặt cầu (S1) bằng:

A.1/2 B.2 C.1/4 D 4

Đáp án : D

Giải thích :

Tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và mặt cầu (S1) bằng:

Bài 12: Gọi (S) là mặt cầu có tâm O và bán kính R; d là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) , với d < R Khi đó có bao nhiêu điểm chung giữa (S) và (P)?

Trang 11

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi bán kính mặt cầu là R, ta có:

Bài 14: Cho khối cầu có thể tích bằng 32πa3/81, khi đó bán kính mặt cầu là:

A.3a/2 B 2a/3 C.2a D.3a

Trang 12

Bài 16: Mặt cầu tâm O, có bán kính R; mặt phẳng (P) có đúng một điểm chung với mặt cầu Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 13

Bài 18: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B Biết AB=6, khoảng cách từ I đến đường thẳng D bằng 4 Bán kính mặt cầu (S) là

Trang 14

Bài 20: Cho mặt cầu S (I;R) và một điểm A sao cho IA = 2R Từ A kẻ tiếp tuyến

AT đến (S) (T là tiếp điểm) Khi đó độ dài đoạn thẳng AT bằng

A R/2 B R C R√2 D R√3

Đáp án : D

Giải thích :

Xét tam giác ATI có:

Dạng 2: Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp

A Tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a

và vuông góc với (ABCD) Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn:

Trang 15

Gọi O là trung điểm của SC

Xét các vuông tại A ∆SAC; ∆SAD; ∆SAB có:

Ta có:

⇒ ∆SBC; ∆SCD vuông tại C

Hình chóp S.ABCD có:

Trang 16

Thể tích khối cầu là:

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông tại

B và AB = 3a, BC = 4a Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Hướng dẫn:

Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:

AC2 = BC2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2

Trang 17

Gọi O là trung điểm của CD

∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến

⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1)

∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến

⇒ OB = OC = OD = CD/2 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30º Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hướng dẫn:

Trang 18

Gọi O là tâm đáy ABCD

Hình chóp S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD)

OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD)

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và đáy là góc ∠(SAO)=30º

Gọi M là trung điểm của SA Trung trực của SA cắt SO tại I

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm

Ta có: ∆SMI ~ ∆SOA (g.g)

Xét ∆SOA vuông tại O, ∠(SAO) = 30º có:

Trang 19

Thể tích mặt cầu là:

Bài 4: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều có cạnh đáy bằng 2√3, cạnh bên bằng √5 Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức giải nhanh:

Công thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Trang 20

Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Trang 21

Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ:

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2√3 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Trang 22

Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Chứng minh:

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đều cạnh a

Mặt phẳng trung trực của SA cắt SA tại I và cắt SO tại K

Khi đó SK = KB = KC hay K là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Trang 23

Tam giác SOA vuông tại O

Trang 24

Nhận xét hình thang ABCD cân và AB =2AD =2BC = 2CD =2a nên ∠(ACB) =

Ta cũng có AP ⊥ SB và AP ⊥ BD nên AP ⊥ (SBD) ⇒ AP ⊥ BP, hay APB = 90º

Ta thấy các điểm C,D,M,N đều nhìn AB dưới một góc vuông

Vậy AB chính là đường kính của khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP

Trang 25

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Đáp án : C

Giải thích :

Trang 26

Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC

Đường trung trực của SA cắt SA tại N và cắt đường thẳng đi qua O, song song với

SA tại I

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

⇒ IO ⊥ (ABC) và IN ⊥ SA ⇒ AOIN là hình chữ nhật

Trang 27

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a Cạnh bên

SA vuông góc mp(ABC) và SC hợp với đáy một góc bằng 60º Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

Đáp án : B

Giải thích :

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

⇒ Góc giữa SC và (ABC) là góc ∠(SCA) = 60º

Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

AC2=AB2+BC2=a2+a2=2a2

SA=AC.tan⁡∠(SCA) =a√2.tan⁡60º =a√6

Trang 28

SB2=SA2+AB2=6a2+a2=7a2

Ta có:

SB2+BC2=7a2+a2=8a2=SC2

⇒ ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có: ∠(SAC) = ∠(SBC) =90º

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a.Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

Trang 29

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ:

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4 Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) và SC hợp với (ABC) góc 45º Thể tích hình cầu ngoại tiếp S.ABC là:

Đáp án : C

Giải thích :

Trang 30

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

⇒ Góc giữa SC và (ABC) là góc ∠(SCA) =45º Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

Trang 31

⇒ ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có: ∠(SAC) = ∠(SBC) =90º

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Đáp án : B

Giải thích :

Trang 32

Gọi H là trung điểm của AB

Vì ∆SAB đều nên SH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC); SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABC)

⇒ SH là đường cao của hình chóp S.ABC

Gọi G là trọng tâm của ∆ABC ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH ⇒ d ⊥ (ABC)

Gọi K là trung điểm của SC , vì ∆SHC vuông cân tại H (SH = HC) ⇒ HK là đường trung trực ứng với SC

Gọi I = d ∩ HK ta có

⇒ I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Xét hai tam giác đều ∆ABC=∆SAB có độ dài các cạnh bằng

G là trọng tâm ∆ABC

Trang 33

Xét ∆HIG vuông tại G, ∠(KHC) = 45º nên

Xét ∆CIG vuông tại G

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối lập phương ABCD A’B’C’D’ bằng

Đáp án : A

Giải thích :

Trang 34

Gọi I là trung điểm của A’C

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương ABCD.A’B’C’D’

Ta có:

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a

Đáp án : D

Giải thích :

Trang 35

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên

SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì

d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi G là trọng tâm của ∆SAB đều ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB

Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS

∆SAB đều cạnh a, G là trọng tâm

Trong tam giác vuông SGI tại G :

Trang 36

Bài tập tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp (phần 2)

Bài 1: Cạnh bên của một hình chóp tam giác đều bằng a tạo với mặt đáy một góc 30º Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Trang 37

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc ∠(SAO) =30º

Xét ∆SAO vuông tại O có:

Áp dụng công thức giải nhanh:

Diện tích mặt cầu:

Bài 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt phẳng (A’B’C’) một góc 60º và G là trọng tâm ∆ABC Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A’B’C’ bằng:

Đáp án : D

Giải thích :

Trang 38

Gọi M là trung điểm của B’C’

Trang 39

Đường trung trực của GA’ cắt GA’ tại N và cắt GG’ tại I

⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp G.A’B’C’

Xét ∆A’GA vuông tại A có:

Ta có: ∆GIN ~ ∆GA'G'

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠(BAD) =60º Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh

AB Biết SD = a√3 Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Đáp án : D

Giải thích :

Trang 40

ABCD là hình thoi cạnh a, ∠(BAD) =60º

⇒ ∆ABD đều cạnh a

Trang 41

Gọi P là trung điểm SA, Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

Trang 42

Bán kính mặt cầu

Thể tích khối cầu là:

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN

Đáp án : B

Giải thích :

Trang 43

Gọi H là trung điểm của AD suy ra SH ⊥ (ABCD)

Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua trung điểm O của MN và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và S cùng phía so với mp (ABCD)

Ta có:

∆HNO vuông tại N có:

Trang 44

Ta có: OC2+OI2=R2=IK2+KS2

Đặt OI=x thì ta có:

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60° Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) Đẳng thức nào sau đây sai?

Đáp án : D

Trang 45

Giải thích :

Ta có

Lại có

Trang 46

Bài 6: Cho hình lập phương có cạnh bằng a Gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình lập phương Tính tỉ số R1/R2

Trang 47

Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A, AB = a, AC = 2a, SA =

SB = SC và mặt bên (SAB) hợp với đáy (ABC) một góc 60º Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Vì ∆ABC vuông tại A nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do đó SO chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay SO ⊥ (ABC) Gọi K là trung điểm của AB Do ∆SAB cân tại S nên SK ⊥ AB

Trang 48

KO là đường trung bình của ∆ABC nên KO // AC

Trong mặt phẳng (SBC), đường trung trực của SC cắt SO tại J

⇒ J là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆SBC

Mặt khác:

⇒ JS = JA = JB = JC

⇒ J là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lúc đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R = SJ

Gọi I là trung điểm của SC

Ta có: ∆SIJ ~ ∆SOC

Trang 49

Với:

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Trang 50

• Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông

là mặt cầu đường kính AB

• Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tới hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k2 là mặt cầu có tâm là trung điểm O của

(với G là trọng tâm tứ diện ABCD)

+ Vậy tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn là mặt cầu tâm G bán kính R= 1

Chọn B

Ví dụ 2 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Tìm tập hợp các điểm M trong

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≤ 2a2 (*)

A Mặt trụ, bán kính bằng

Trang 51

B Mặt cầu, bán kính bằng

C Khối trụ, bán kính bằng

D Khối cầu, bán kính bằng

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của CD, K là trung điểm IJ

=

Trang 53

Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có:

A Mặt phẳng ( SBC) tiếp xúc mặt cầu S(A,a)

B Mặt phẳng ( SBC) không cắt mặt cầu S(A; a)

C Mặt phẳng ( SBC) cắt mặt cầu S(A;a) theo đường tròn lớn

D Mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S(A; a) theo giao tuyến là một đường tròn

Định dạng
Số trang	203
Dung lượng	2,89 MB