(Luận văn thạc sĩ) về nghiệm của một lớp phương trình tích phân kỳ dị cauchy với dịch chuyển carleman

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN MINH ĐỨC VỀ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ CAUCHY VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn Giải tích HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN MINH ĐỨC VỀ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ CAUCHY VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - NĂM 2011 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử Noether 1.2 Hàm dịch chuyển 1.3 Tốn tử tích phân kì dị 1.4 Công thức Sokhotski - Plemeli 1.5 Bài toán bờ Riemann miền đơn liên 1.5.1 Bài toán bước nhảy 1.5.2 Bài toán 1.5.3 Bài tốn khơng 1.6 Phân tích hàm ma trận 1.7 Tốn tử tích phân kì dị với dịch chuyển Carleman Lý thuyết giải phương trình tích phân kì dị đặc trưng tổng quát với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman đường trịn đơn vị 2.1 Phương trình tích phân kì dị đặc trưng với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman bảo toàn hướng 2.1.1 Phát biểu tốn phân tích thành nhân tử 2.1.2 Phân tích ma trận hàm đại số H 2×2 α 2.1.3 Phân tích thành nhân tử tốn tử tích phân kì dị T (A) 2.2 Phương trình tích phân kì dị đặc trưng với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman ngược hướng 2.2.1 Phát biểu tốn phân tích thành nhân tử Hệ thức B = e A(α)e hệ 2.2.2 Phép phân tích tốn tử tích phân kì dị với dịch chuyển T Kết luận 5 10 12 14 14 15 17 19 20 23 24 24 27 36 44 44 48 59 Mở đầu Lý thuyết toán tử tích phân kì dị tốn bờ Riemann hàm giải tích biến phức xây dựng phát triển mạnh mẽ vòng nửa kỷ, từ năm 1920 đến 1970 Các kết gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Carleman, Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Cùng song hành tiếp sau đời hàng loạt lý thuyết toán tử kỳ dị khơng gian tuyến tính tổng qt gắn với lý thuyết phương trình tích phân kì dị với dịch chuyển liên hợp phức nhiều dạng toán bờ khác Lý thuyết giải toán tử tích phân kì dị có dạng đầy đủ với tốn tử tích phân kì dị hai thành phần với dịch chuyển Trong phạm vi luận văn, ta tập trung nghiên cứu tính giải phương trình tích phân kì dị với dịch chuyển Carleman Cho Γ chu tuyến đóng đơn α(t) : Γ → Γ dịch chuyển Carleman (α(α(t)) ≡ t, α (t) = 0, t ∈ Γ, α (t) ∈ Hµ (Γ)) Ta xét toán tử K = (aI + bW )P+ + (cI + dW )P− (1) với W toán tử dịch chuyển , (W ϕ)(t) = ϕ(α(t)), Hµ (Γ) (hoặc Lp (Γ)) Cùng với toán tử K , ta xét toán tử bạn toán tử K K = (aI − bW )P+ + (cI − dW )P− , (2) Hµ (Γ) (hoặc Lp (Γ)) Khi đó, ta có hệ thức sau I I W −W K 0 K I W I −W = AP+ + BP− + D, A(t) = a(t) b(t) , B(t) = b(α(t)) a(α(t)) c(t) d(t) d(α(t)) c(α(t)) α = α+ (t) bảo toàn hướng Γ, A(t) = a(t) d(t) , B(t) = b(α(t)) c(α(t)) c(t) b(t) d(α(t)) a(α(t)) (3) α = α− (t) thay đổi hướng Γ Toán tử D = (b(t) − d(t))(W SW − γS) , γ = ±1 (a(α(t)) − c(α(t))(W SW − γS) α = α± toán tử compact tốn tử D0 = W SW − γS compact Lý thuyết Noether toán tử (1) phát biểu sau: α = α+ : ∆1 (t) = c(t)c(α(t)) − d(t)d(α(t)) = 0, ∆2 (t) = a(t)a(α(t)) − b(t)b(α(t)) = 0, ind K = 4π arg ∆1 (t) ∆2 (t) ; Γ α = α(t)− : ∆(t) = a(t)c(α(t)) − d(t)b(α(t)) = ind K = − {arg ∆(t)}Γ 2π Từ hệ thức (3), suy dim ker K + dim ker K = dim ker(AP+ + BP− + D) Vì vậy, lý thuyết giải toán tử đa thành phần với dịch chuyển (1) đưa việc phân tích thành nhân tử tốn tử ma trận khơng dịch chuyển M = AP+ + BP− + D Tất tài liệu liên quan đến lý thuyết giải toán tử đa thành phần (1) chia thành hai nhóm kết Trong nhóm thứ nhất, lý thuyết giải toán tử xây dựng phương pháp đưa toán tử đa thành phần toán tử hai thành phần, sử dụng hạn chế hệ số a, b, c, d Trong nhóm thứ hai, lý thuyết giải toán tử đa thành phần (1) xây dựng với hệ số a, b, c, d tùy ý thỏa mãn điều kiện Noether với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman tác động đường trịn đường thẳng Luận văn chia thành hai chương với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức toán tử Noether, hàm dịch chuyển, toán tử dịch chuyển, cơng thức Sokhotski-Plemeli, tốn bờ Riemann miền đơn liên tốn tử tích phân kì dị với dịch chuyển Carleman Chương phần luận văn, trình bày lý thuyết giải phương trình tích phân kì dị đặc trưng tổng qt với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman đường trịn đơn vị phương pháp phân tích thành nhân tử Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến thầy, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy giáo, thành viên, anh chị đồng nghiệp Seminar Giải tích trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội, ý kiến đóng góp quý báu, giúp đõ tận tình cổ vũ to lớn thời gian qua Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phịng Sau đại học, khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập trường Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử Noether Cho X1 X2 khơng gian Banach.Ta kí hiệu L(X1 , X2 ) khơng gian Banach tất tốn tử tuyến tính bị chặn A tác động từ không gian X1 vào không gian X2 với chuẩn ||A|| = sup{||Ax|| : ||x|| = 1} Nếu X khơng gian Banach, ta kí hiệu L(X, X) L(X) Không gian xác định đại số Banach, tích phép hợp thành toán tử Hạch ảnh toán tử A ∈ L(X1 , X2 ) ker A := {x ∈ X1 : Ax = 0}, im A := {Ax : x ∈ X1 } Do toán tử A bị chặn nên ker A khơng gian đóng X1 Số chiều không gian ker A, tức số nghiệm độc lập tuyến tính phương trình Ax = (1.1) kí hiệu α(A), ta viết α(A) = dim ker A Cho X1∗ X2∗ không gian tất hàm tuyến tính bị chặn tương ứng xác định X1 X2 , gọi không gian liên hợp Nếu A ∈ L(X1 , X2 ), tốn tử liên hợp A∗ : X2∗ → X1∗ xác định hệ thức (A∗ u) (x) = u (Ax) với u ∈ X2∗ Tập ker A∗ := {u ∈ X2∗ : A∗ u = 0} không gian X2∗ với số chiều α(A∗ ) = dim ker A∗ Tốn tử tuyến tính A ∈ L(X1 , X2 ) gọi giải chuẩn (theo nghĩa Hausdorff) phương trình Ax = y (1.2) giải với y ∈ X2 mà trực giao với tất nghiệm phương trình liên hợp A∗ u = 0, tức u(y) = với hàm u ∈ ker A∗ (1.3) Bây giờ, ta đưa định nghĩa tốn tử Noether số Định nghĩa 1.1 Tốn tử tuyến tính A ∈ L(X1 , X2 ) gọi toán tử Noether nếu: (i) A toán tử giải chuẩn, (ii) α(A) α(A∗ ) số hữu hạn Định nghĩa 1.2 Số nguyên ind A = α(A) − α(A∗ ) gọi số toán tử Noether A Nhận xét 1.1 Ta chứng minh điều kiện giải chuẩn toán tử A (theo nghĩa Hausdorff) tương đương với điều kiện tập im A đóng không gian X2 , tức im A = im A Không gian X2 /im A gọi đối hạch tốn tử A kí hiệu coker A, tức coker A = X2 /im A Ta kí hiệu số chiều β(A), tức β(A) = dim coker A Ta chứng minh rằng, với toán tử giải chuẩn A ∈ L(X1 , X2 ), không gian ker A∗ hữu hạn chiều không gian coker A hữu hạn chiều α(A∗ ) = β(A) Vì vậy, ta thu định nghĩa thay sau toán tử Noether Định nghĩa 1.3 Tốn tử tuyến tính A ∈ L(X1 , X2 ) gọi toán tử Noether nếu: (i) A toán tử giải chuẩn (im A = im A), (ii) α(A) β(A) số hữu hạn Định nghĩa 1.4 Tốn tử Noether có số gọi toán tử Fredholm Ta thấy toán tử A = I + D ∈ L(X), I toán tử đồng D toán tử compact toán tử Fredholm, ta gọi toán tử Fredholm tắc Ví dụ 1.1 Tốn tử U : C[a, b] → C[a, b] b (U ϕ)(x) = ϕ(x) + λ K(x, s)ϕ(s)ds, a K(x, s) hàm số liên tục miền {a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b} tốn tử Fredholm tắc *) Một số tính chất tốn tử Noether: Toán tử A toán tử Noether toán tử A∗ toán tử Noether ind A∗ = −ind A Cho tốn tử Noether A có số dương ρ(A) Khi đó, với tốn tử B thỏa mãn điều kiện ||B|| < ρ(A), toán tử A + B toán tử Noether ind (A + B) = ind A Nếu A toán tử Noether D tốn tử compact A + D tốn tử Noether ind (A + D) = ind A Nếu B ∈ L(X1 , X2 ) A ∈ L(X2 , X3 ) tốn tử Noether AB ∈ L(X1 , X3 ) toán tử Noether ind (AB) = ind A + ind B Định nghĩa 1.5 Ta nói tốn tử A có quy trái (phải) tồn tốn tử tuyến tính bị chặn R cho tích RA (AR) tốn tử Fredholm tắc Tốn tử R gọi quy trái (phải) tốn tử A Ta nói tốn tử A có quy tốn tử A có RA vừa có quy phải quy trái Khi đó, RA gọi quy hai phía A Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Noether, xem [6]) Các khẳng định sau toán tử A ∈ L(X1 , X2 ) tương đương: (i) A tốn tử Noether; (ii) Tốn tử A có quy; (iii) Có tốn tử B1 ∈ L(X2 , X1 ) B2 ∈ L(X2 , X1 ) cho B1 A AB2 toán tử Noether 1.2 Hàm dịch chuyển Định nghĩa 1.6 Cho Γ đường cong định hướng, đóng khơng đóng, đơn α(t) đồng phôi ánh xạ đường cong Γ vào Đồng phơi α(t) : Γ → Γ gọi hàm dịch chuyển Hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng Γ gọi dịch chuyển thuận kí hiệu α+ (t) Hàm dịch chuyển α(t) thay đổi hướng Γ gọi dịch chuyển ngược kí hiệu α− (t) Về sau, khơng có giả thiết khác, ta ln giả thiết dịch chuyển α(t) có đạo hàm α (t) khác không thỏa mãn điều kiện Holder điểm Γ Định nghĩa 1.7 Điểm τ ∈ Γ gọi điểm tuần hoàn hàm dịch chuyển α(t) cấp k ≥ αk (τ ) = τ ( với k>1) αi (τ ) = τ, ∀ i = 1, 2, , k − 1, αi (t) = α(αi−1 (t)) ta quy ước α0 (t) ≡ t Điểm tuần hoàn bậc gọi điểm bất động hàm dịch chuyển Ta kí hiệu M (α, k) tập điểm tuần hoàn dịch chuyển α(t) bậc k Dãy αn (t), n = 1, 2, gọi dãy lặp dịch chuyển α(t) điểm t ∈ Γ Phân loại hàm dịch chuyển thực dựa kiện sau: 1) Hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng Γ thay đổi hướng (theo hướng ngược lại) Γ 2) Hàm dịch chuyển α(t) có khơng có điểm tuần hoàn Γ 3) Nếu tồn điểm tuần hồn tất điểm đường cong Γ tuần hoàn tập điểm tuần hoàn Γ tập đóng *) Phân loại dịch chuyển bảo toàn hướng: Tập tất phép dịch chuyển bảo tồn hướng chu tuyến đóng, đơn, kí hiệu M + , chia thành lớp sau: (1) Tồn số nguyên k ≥ (nhỏ nhất) cho M (α, k) = Γ (lớp M1+ ) (2) M (α, k) = ∅ M (α, k) = Γ (lớp M2+ ) (3)M (α, k) = ∅ (lớp M3+ ) Định nghĩa 1.8 Dịch chuyển bảo toàn hướng α(t) thỏa mãn điều kiện M (α, k) = Γ với k ≥ (thuộc lớp M1+ ) gọi dịch chuyển Carleman thuận cấp k Dịch chuyển bảo toàn hướng α(t) thỏa mãn điều kiện M (α, k) = Γ gọi dịch chuyển không Carleman Từ việc phân lớp trên, ta suy dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng cấp k ≥ khơng có điểm cố định Γ *) Phân loại dịch chuyển thay đổi hướng: Tập M − tất đồng phôi Γ vào thay đổi hướng Γ theo hướng ngược lại chia thành lớp M1− M2− xác định điều kiện sau: (1) α2 (t) ≡ t (lớp M1− ) (2) α2 (t) ∈ M2+ M (α2 , 1) = ∅ (lớp M2− ) Định nghĩa 1.9 Hàm dịch chuyển thay đổi hướng thuộc lớp M1− gọi dịch chuyển Carleman ngược hướng Hàm dịch chuyển thuộc lớp M2− gọi dịch chuyển không Carleman Từ phân lớp trên, ta suy không tồn đồng phôi α(t) chu tuyến đơn Γ lên nó, thay đổi hướng Γ dịch chuyển Carleman cho số nhỏ k > 46 (A)−1 eA(α)e Cùng với phân tích (2.48), sử dụng hệ thức (2.49), ta thu phân tích ma trận C dạng C = e [C − (α)]−1 (Λ+ )−1 Λ(Λ− )−1 [C + (α)]−1 e, Λ± = Λ(α± ), (2.50) Λ(t) = tk1 0 tk2 (α± (t))k1 ± (α (t))k2 , Λ± (t) = Ta đặt (1) (2) (2) G± = C ± , G+ = e[C − (α)]−1 (Λ+ )−1 , G− = (Λ− )−1 [C + (α)]−1 e, (2) (2) (1) (1) H+ = [G+ ]−1 G+ , H− = G− [G− ]−1 Theo định lí (1.2) quan hệ hai phân tích (2.49) (2.50) ma trận C, ta suy H+ Λ = ΛH− , H+ = λ1 P (t) , H− = λ2 λ1 tk2 −k1 P (t) , λ2 (2.51) λ1 λ2 số, P (t) đa thức bậc không k1 − k2 Ta thấy −1 − −1 H+ (α) = Λ− H− (Λ ) (2.52) Thật vậy, ta có (2) (1) (2) (1) H+ = [G+ ]−1 G+ = Λ+ C − (α)e C + , H− = G− [G− ]−1 = (Λ− )−1 [C + (α)]−1 e (C − )−1 (2.53) Từ đó, suy H+ (α) = Λ+ (α)C − e C + (α), (2.54) −1 H− = C − e C + (α)Λ− (2.55) Từ hệ thức α± (α(t)) = α∓ (t), ta suy Λ− = Λ+ (α) Nhân đẳng thức (2.55) từ bên trái với hàm Λ− = Λ+ (α) từ bên phải với hàm (Λ− )−1 , kết hợp với đẳng thức (2.54), ta thu −1 − −1 (Λ ) = Λ+ (α)C − e C + (α) = H+ (α) Λ− H− 47 Bây giờ, ta sử dụng hệ thức (2.52) để tìm xác cấu trúc ma trận H+ H− Từ công thức (2.51) (2.52), ta suy λ1 P (α(t)) λ2 = = λ1 λ2 (α− )k1 − (α )k2 λ2 −tk2 −k1 P (t) λ1 k2 −k1 (α− )k1 −k2 P (t) λ−1 −λ1−1 λ−1 t (α− )−k1 − (α )−k2 λ−1 2 Từ đó, suy λ1 = λ1−1 , λ2 = λ−1 Do đó, λj = 1, j = 1, P (α(t)) = −λ1 λ2 tk2 −k1 (α− (t))k1 −k2 P (t) Ta biết thêm thơng tin ma trận H+ cách sử dụng kiện hàm dịch chuyển α(t) có hai điểm cố định, kí hiệu τ1 τ2 Bây giờ, ta tìm điểm cố định Cho α(τ ) = τ Khi đó, βτ − 2τ + β = Do 1∓ − |β|2 Tính tốn α± (τ1 ) α± (τ2 ), ta thu α± (τ1 ) = β −τ1 , α± (τ2 ) = −τ2 Chẳng hạn, đó, τ1,2 = α+ (τ1 ) = = 1−i |β|2 − − |β|2 |β|2 − iβ i |β|2 − − β = i(|β|2 − 1) − β |β|2 − |β|2 − = −τ1 Mặt khác, k1 + k2 = k số chẵn nên suy [α+ (τi )]k1 +k2 = τik Từ công thức (2.51), ta có det H+ = λ1 λ2 (2.56) Bây giờ, ta sử dụng đẳng thức (2.52) để tính det H+ (τi ) sau so sánh kết với (2.56) Từ (2.52), kết hợp với công thức (2.55) hệ thức Λ− (α) = Λ+ , ta thu −1 H+ = Λ− (α)H− (α)[Λ− (α)]−1 = Λ+ C − (α)e C + Λ− (α)[Λ− (α)]−1 = Λ+ C − (α)e C + Do det H+ = − det Λ+ det C − (α) det C + Tại điểm τ = τi , i = 1, 2, ta có det H+ (τi ) = −τik det C − (τi ) det C + (τi ) = − det C(τi ) Lại có, C(τi ) = A−1 (τi )B(τi ) = A−1 (τi )e A(τi )e, nên det C(τi ) = Do vậy, det H+ (τi ) = −1 so sánh với công thức (5.12), ta suy λ1 λ2 = −1 48 Như vậy, ta có λ21 = λ22 = λ1 λ2 = −1, nên suy λ1 = −λ2 = ε(= ±1) Do H+ = ε P (t) , −ε (2.57) ta kiểm tra −1 H+ = H+ (2.58) P (α(t)) = tk2 −k1 (α− (t))k1 −k2 P (t) (2.59) Hơn nữa, ta có −1 −1 + −1 Từ đẳng thức (2.53) (2.58), ta có H+ = Λ+ C − (α)e C + , suy H+ (C ) = + − Λ C (α)e Do C + H+ = e[C − (α)]−1 (Λ+ )−1 (2.60) Kết hợp với công thức (2.50), ta thu công thức C = C + H+ Λ(Λ− )−1 [C + (α)]−1 e 2.2.2 (2.61) Phép phân tích tốn tử tích phân kì dị với dịch chuyển T Trong phần này, ta phân tích tốn tử tích phân kì dị (2.43) với dịch chuyển Carleman ngược hướng Mục đích thu phân tích đặc biệt M = M0 M1 M2 tốn tử tích phân kì dị không dịch chuyển M = AP+ + BP− , cho thừa số M0 , M1 , M2 tốn tử tích phân kì dị với hệ số ma trận liên hệ đẳng thức dạng B(t) = e A(α(t))e Sau đó, tác động lên toán tử M = M0 M1 M2 phép biến đổi ngược với phép biến đổi (2.45), ta thu ma trận toán tử chéo tương ứng với toán tử M0 , M1 , M2 phần tử ma trận toán tử toán tử tích phân kì dị với dịch chuyển dạng T T Sử dụng cơng thức (2.61), ta tìm phân tích M0 , M1 , M2 dạng sau M = AP+ + BP− = A(P+ + CP− ) = A(C + (C + )−1 P+ + C + H+ Λ(Λ− )−1 [C + (α)]−1 eP− ) = AC + X(X −1 P+ + X −1 H+ Λ(Λ− )−1 eP− )((C + )−1 P+ + e[C + (α)]−1 eP− ), ma trận X chọn cho e A(α)C + (α)X(α) e = AC + X, det X = Γ0 (2.62) 49 Khi đó, M = M0 M1 M2 , với Mi tốn tử tích phân kì dị xác định sau M0 = AC + XI = AC + XP+ + AC + XP− , M1 = X −1 P+ + X −1 H+ Λ(Λ− )−1 eP− , M2 = (C + )−1 P+ + e[C + (α)]−1 eP− Trước tiên, ta xét toán tử M2 Ta thấy toán tử M2 khả nghịch liên tục toán tử nghịch đảo M2−1 = C + P+ + e C + (α)eP− Mặt khác, hệ số M2 có cấu trúc cần thiết Chính xác hơn, ta đặt A0 = (C + )−1 , B0 = e[C + (α)]−1 e B0 = e A0 (α)e Đặt (C + )−1 = Khi e [C + (α)]−1 e = + c+ 11 c12 + c21 c+ 22 + c+ 22 (α) c21 (α) + c+ 12 (α) c11 (α) phép biến đổi ngược với phép biến đổi (2.45) tác động lên tốn tử M2 (so + + + sánh với cơng thức (2.45) với a = c+ 11 , d = c12 , b = c21 (α), c = c22 (α)), ma trận toán tử chéo T+ 0 T+ , (2.63) + + + T+ = c+ 11 P+ + c21 (α)U P+ + c22 (α)P− + c12 U P− , + + + T+ = c+ 11 P+ − c21 (α)U P+ + c22 (α)P− − c12 U P− , T+ toán tử bạn T+ Do đó, tốn tử với dịch chuyển T+ có cấu trúc cần thiết khả nghịch liên tục Tiếp theo, ta xét toán tử M0 M1 Ta xây dựng toán tử hàm khả nghịch liên tục G tốn tử tích phân kì dị N với dịch chuyển hệ số hợp lí tương ứng với toán tử M0 M1 cho hệ số ma trận toán tử G N có cấu trúc cần thiết Khi ta thu phân tích tốn tử T dạng sau T = G N T+ (2.64) Do toán tử G T+ khả nghịch liên tục nên từ đẳng thức (2.64) ta suy dim ker T = dim ker N 50 Do đó, tốn tử N chứa tất thơng tin cần thiết số chiều cấu trúc không gian khuyết toán tử T Bây giờ, ta xây dựng toán tử G Rõ ràng, ta phải chọn ma trận không suy biến X cho hệ thức (2.62) thỏa mãn Từ hệ thức (2.62), ta suy X = H+ Λ(Λ− )−1 X(α)e (2.65) Thật vậy, C = A−1 B, B = e A(α)e, C = C + ΛC − , từ (2.62), ta suy C + X = A−1 e A(α)e e C + (α)X(α) e = C + ΛC − e C + (α)X(α) e Kết hợp với công thức (2.55), ta có −1 − −1 X = ΛH− (Λ ) X(α)e Áp dụng công thức H+ Λ = ΛH− (2.58), ta thu đẳng thức (2.65) −1 X = H+ Λ(Λ− )−1 X(α)e = H+ Λ(Λ− )−1 X(α)e x x Giả sử X = x1 x2 Sử dụng (2.64), ta có x1 x2 x3 x4 = ε P (t) −ε tk1 0 tk2 (α− )−k1 − (α )−k2 x1 (α) x2 (α) x3 (α) x4 (α) 1 ε(α− )−k1 tk1 x2 (α) + P (t)(α− )−k2 tk2 x4 (α) εtk1 (α− )−k1 x1 (α) + P (t)tk2 (α− )−k2 x3 (α) = −εtk2 (α− )−k2 x3 (α) −εtk2 (α− )−k2 x4 (α) Do x1 = ε(α− )−k1 tk1 x2 (α) + P (t)(α− )−k2 tk2 x4 (α), (2.66) x2 = εtk1 (α− )−k1 x1 (α) + P (t)tk2 (α− )−k2 x3 (α), (2.67) x3 = −εtk2 (α− )−k2 x4 (α), (2.68) x4 = −εtk2 (α− )−k2 x3 (α) (2.69) Ta thấy hệ thức (2.66) − (2.69) không độc lập Thật vậy, từ hệ thức (2.68), ta có x3 (α) = −ε(α(t))k2 (α− (α))−k2 x4 = −ε(α+ )k2 t−k2 (α− )k2 (α+ )−k2 x4 = −εt−k2 (α− )k2 x4 , suy ra, x4 = −εtk2 (α− )−k2 x3 (α), tức ta có (2.69) Ta biến đổi hệ thức (2.66) sử dụng (2.68, ) ta x1 = ε(α− )−k1 tk1 x2 (α) − εP (t)x3 ε(α− )k1 t−k1 x1 = x2 (α) − P (t)(α− )k1 t−k1 x3 51 Từ đó, ta thu hệ thức x2 = ε[α− (α)]k1 [α(t)]−k1 x1 (α) + P (α)[α− (α)]k1 [α(t)]−k1 x3 (α) Kết hợp với hệ thức (2.59), phân tích α = α+ t−1 α− đẳng thức α− (α) = α+ , ta suy x2 = εtk1 (α− )−k1 x1 (α) + P (t)tk2 (α− )−k2 x3 (α), tức từ hệ thức (2.66) (2.68) suy (2.67) Do vậy, ma trận X có cấu trúc đặc biệt phụ thuộc vào x1 x3 : x1 ε[(α− )−1 t]k1 x1 (α) + [(α− )−1 t]k2 P (t)x3 (α) X= −ε[(α− )−1 t]k2 x x3 (2.70) (α) Để cho ma trận X không suy biến, ta đặt x1 (t) = (α− ) k2 −k1 t k1 −k2 k1 −k2 γ, γ > ||(α− ) P (t)||C(Γ) , x3 (t) ≡ Khi  [(α− )−1 t] k1 −k2 γ ε[(α− )−1 t] X= k1 +k2 γ + [(α− )−1 t]k2 P (t) , −ε[(α− )−1 t]k2  (2.71) dễ thấy det X = −2ε[(α− )−1 t] k1 +k2 γ − [(α− )−1 t]k2 P (t) = (α− )−k2 tk2 P (t) γ> k +k − 12 2ε(α− ) t k1 +k2 C(Γ) k1 −k2 = ||(α− ) P (t)||C(Γ) Bây giờ, ta xét toán tử M0 = F I, F = AC + X Điều kiện (2.71) thỏa mãn hệ f f thức F = e F (α) e Giả sử F = f11 f12 Khi đó, ta có 21 22 f11 f12 f21 f22 = 1 f11 (α) f12 (α) f21 (α) f22 (α) 1 = f22 (α) f21 (α) f12 (α) f11 (α) Do f11 (t) = f22 (α(t)), f12 (t) = f21 (α(t)) (2.72) Như vậy, hệ số toán tử M0 = F P+ + F P− có cấu trúc cần thiết Phép biến đổi ngược với phép biến đổi (2.45) tác động lên toán tử M0 cho ta ma trận toán tử chéo G , G (2.73) 52 G = f11 (t)P+ + f21 (α(t))U P+ + f22 (α(t))P− + f12 (α(t))U P− , (2.74) G = f11 (t)P+ − f21 (α(t))U P+ + f22 (α(t))P− − f12 (α(t))U P− (2.75) Kết hợp với điều kiện (2.72), ta thu toán tử khả nghịch liên tục G = f11 I + f12 U , G = f11 I − f12 U, với G toán tử bạn toán tử G Bây giờ, ta xét toán tử M1 ≡ X −1 P+ + X −1 H+ Λ(Λ− )−1 eP− (2.76) Ta kiểm tra A1 = X −1 , B1 = X −1 H+ Λ(Λ− )−1 e B1 = e A1 (α) e, tức X −1 H+ Λ(Λ− )−1 e = e X −1 (α) e (2.77) Thật vậy, từ (2.65) ta thu −1 X −1 = e X −1 (α)e e Λ− Λ−1 H+ Do −1 −1 X −1 (e Λ− Λ−1 H+ ) = e X −1 (α) e Từ đó, ta suy hệ thức (2.77) Áp dụng phép biến đổi ngược với phép biến đổi (2.45), ta thu ma trận toán tử chéo N 0 N phần cịn lại việc tính tốn hệ số Trước tiên, ta tính ma trận X −1   k1 +k2 X −1 = −ε[(α− )−1 t]k2 ε[(α− )−1 t] det X γ − [(α− )−1 t]k2 P (t)  [(α− )−1 t] −1 k1 −k2  γ Hơn det X(α) = −2ε[(α− )−1 t]− k1 +k2 γ − [(α− )−1 t]−k2 P (α(t)) = −2ε[(α− )−1 t]− k1 +k2 γ − [(α− )−1 t]−k2 [(α− )−1 t]k2 −k1 P (t) = [(α− )−1 t]−(k2 +k1 ) det X (2.78) 53 Đặt X −1 = x1 x2 x3 x4 Khi N = x1 P+ + x3 (α)U P+ + x4 (α)P− + x2 U P− k2 −k1 ε[(α− )−1 t]k2 [(α− )−1 t] γ P+ − U P+ + P =− det X(t) det X(α(t)) det X(α(t)) − − ε[(α− )−1 t] =− + γ + [(α− )−1 t]k2 P (t) U P− det X(t) k1 +3k2 ε[(α− )−1 t]k2 P+ + [(α− )−1 t]k1 +k2 U P+ − [(α− )−1 t] γP− det X(t) ε[(α− )−1 t] =− + k1 +k2 k1 +k2 γ + [(α− )−1 t]k2 P (t) U P− k1 +k2 [(α− )−1 t]k2 εP+ + [(α− )−1 t]k1 U P+ − [(α− )−1 t] γP− det X(t) ε[(α− )−1 t] k1 −k2 γ + P (t) U P− = − × εP+ + U P+ − [(α− )−1 t] k2 −k1 γP− + [(α− )−1 t]k2 (P+ + [(α− )−1 t]k1 P− ) det X(t) ε[(α− )−1 t] k1 −k2 γ + P (t) U P− (2.79) Đẳng thức sau kiểm tra ta lưu ý SU = −U S nên ta có P± U P± = P± U P∓ = 14 (I ± S)U (I ∓ S) = 14 (U ∓ 2U S + U S ) = U P∓ Do vậy, ta thu phân tích tốn tử T dạng T = G N T+ , G toán tử hàm khả nghịch liên tục, T+ tốn tử tích phân kì dị với dịch chuyển khả nghịch liên tục Từ đó, suy dim ker T = dim ker N Do đó, ta xây dựng lí thuyết giải tốn tử N với hệ số hợp lí Ta thấy hàm số (α− )−1 t = có khơng điểm t = βt − iλ Do (nhắc lại |β| > 1) β IndΓ (α− )−1 t = 54 Đặt N1 = P+ + [(α− )−1 t]k1 P− , N2 = εP+ + U P+ − [(α− )−1 t] k2 −k1 γP− + ε[(α− )−1 t] k1 −k2 γ + P (t) U P− Từ (2.79), suy N = N1 × N2 Do ker N = ker N1 ∩ ker N2 Vì vậy, tốn tử tích phân kì dị N1 có hạch khơng tầm thường, cấu trúc toán tử N phụ thuộc vào toán tử N2 Nếu k1 ≤ hạch tốn tử N1 hạch tốn tử N tầm thường, tức dim ker T = dim ker N = Nếu k1 > ker N1 khơng tầm thường Ta có ker N1 = ϕ : ϕ = rj − [(α− )−1 t]−k1 rj , (2.80) đó, rj đa thức bậc j (j = 0, 1, 2, , k1 − 1) Điều suy từ công thức nghiệm tổng quát toán bờ Riemann Φ+ (t) = [(α− )−1 t]k1 Φ− (t) (2.81) Như đề cập trên, cấu trúc ker N1 khơng tùy ý rj phải thuộc hạch toán tử với dịch chuyển N2 Chính xác hơn, ψ ∈ ker N εΨ+ + ε[(α− )−1 t] Ψ+ − [(α− )−1 t] k1 −k2 k1 −k2 γ + P (t) U Ψ− = rj (2.82) γU Ψ− = −[(α− )−1 t]k1 U rj , Ψ± = P± ψ Bây giờ, ta phân tích hệ (2.82) Trước tiên, ta tính định thức ∆(t) ∆(t) = −2ε[(α− )−1 t] k1 −k2 γ − P (t) = [(α− )−1 t]−k2 det X(t) = (2.83) det X(t) = Nhân phương trình thứ hai hệ (2.82) với −ε cộng với phương trình thứ nhất, ta thu 2ε[(α− )−1 t] k1 −k2 γ + P (t) U Ψ− = rj + ε[(α− )−1 t]k1 U rj , (2.84) hay −∆(t)U Ψ− = rj + ε[(α− )−1 t]k1 U rj (2.85) 55 Nếu ta tác động toán tử dịch chuyển U vào hai vế đẳng thức (2.84) từ bên trái, ta 2ε[(α− )−1 t] k2 −k1 γ + P (α(t)) Ψ− = U rj + ε[(α− )−1 t]−k1 rj (2.86) Từ công thức (2.83) , (2.78), lưu ý α− (α) = α+ , ta suy ∆(α(t)) = [(α− )−1 t]k2 −k1 ∆(t) (2.87) Thật ∆(α(t)) = [(α− )−1 t]k2 det X(α(t)) = [(α− )−1 t]k2 [(α− )−1 t]−(k1 +k2 ) det X(t) = [(α− )−1 t]−k1 det X(t) = [(α− )−1 t]k2 −k1 ∆(t) Tác động toán tử U vào hai vế (2.85), ta −∆(α(t))Ψ− = U rj + ε[(α− )−1 t]−k1 rj (2.88) Thay (2.87) vào (2.88), ta thu hệ thức −[(α− )−1 t]k2 −k1 ∆(t)Ψ− = U rj + ε[(α− )−1 t]−k1 rj (2.89) Nhân (2.89) với −ε[(α− )−1 t]k1 cộng đẳng thức thu với đẳng thức (2.85, ) ta U Ψ− = ε[(α− )−1 t]k2 Ψ− (2.90) Ta có k1 ≥ k2 k1 > Do đó, k2 ≤ k2 > Trước tiên, ta xét trường hợp k2 ≤ Với giả thiết này, vế trái vế phải đẳng thức (2.90) − tương ứng thuộc L+ p (Γ0 ) = P+ Lp (Γ0 ) Lp (Γ0 ) = P− Lp (Γ0 ), suy U Ψ− = Do đó, kết hợp với (2.85) ta có I + ε[(α− )−1 t]k1 U rj = (2.91) Rõ ràng, phương trình (2.91) hệ (2.82) có số nghiệm nhau.Tiếp theo, ta tính số nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (2.91) tìm chúng Ta xét toán tử P = I + ε[(α− )−1 t]k1 U tốn tử chiếu khơng gian đa thức biến t = (α− )−1 t với bậc không k1 − Thật I + ε[(α− )−1 t]k1 U I + ε[(α− )−1 t]k1 U 1 = I + 2ε[(α− )−1 t]k1 U + ε2 U = I + ε[(α− )−1 t]k1 U = P P2 = 56 Khi đó, Q = I − P toán tử chiếu bù với P ker P = im Q Do đó, toán đặc trưng ker P đưa việc nghiên cứu khơng gian im Q Để tính dim im Q, ta viết ma trận biểu diễn Ω toán tử Q sở χk = {(α− )−1 }k , k = 0, 1, , k1 − (2.92) Trong sở này, ta có U (α− )−1 t k = α− (t)t−1 α− (α(t))−k [α(t)]k = (α− )−1 t −k−1 (2.93) Qχk = I − ε[(α− )−1 t]k1 U [(α− )−1 t]k = [(α− )−1 t]k − ε[(α− )−1 t]k1 −k−1 (2.94) Từ công thức (2.93) (2.94), suy cấu trúc ma trận Ω cấp k1 phụ thuộc vào k1 chẵn hay lẻ ta kí hiệu tương ứng Ωe Ω0 Nếu k1 số lẻ   −ε    1 Ω0 =  2        , ε ∈ {1, −1}    −ε 1−ε −ε −ε (2.95) Nếu k1 số chẵn    1 Ωe =  2  −ε −ε     , ε ∈ {1, −1}   −ε −ε  (2.96) Các ma trận (2.95) (2.96) lũy đẳng đối xứng Do k1 − ε , k1 dim ker P = dim im Q = rank Ωe = tr Ωe = dim ker P = dim im Q = rank Ω0 = tr Ω0 = (2.97) Ta dễ dàng xác định sở dim ker P Thật vậy, dễ thấy nghiệm hệ (2.82) có dạng (j) (j) Ψ+ = εrj , Ψ− ≡ 0, rj = [(α− )−1 t]j − ε[(α− )−1 t]k1 −j−1 , j = 0, 1, , dim ker P − (2.98) 57 Bây giờ, ta xét trường hợp k2 > Rõ ràng, trường hợp hàm (2.98) nghiệm hệ (2.82) Phương trình (2.90) toán bờ Riemann với hệ số có số dương Do đó, tốn (2.90) có nghiệm khơng tầm thường Ta có 21 (k2 + ε) nghiệm độc lập k2 lẻ k22 nghiệm độc lập k2 chẵn Các nghiệm có dạng (j) Ψ− = [(α− )−1 t]j + ε[(α− )−1 t]k2 −j−1 , j = 0, 1, , k22+ε − k2 lẻ j = 0, 1, , k22 − k2 chẵn Kết thu cách giống trường hợp k2 ≤ Thật vậy, phương trình (2.90) viết lại dạng I − ε[(α− )−1 t]k2 U Ψ− = Toán tử P1 = I − ε[(α− )−1 t]k2 U toán tử chiếu không gian đa thức biến t = (α− )−1 t với bậc không k2 − Toán tử chiếu bù với P1 Q1 = I − P1 = I + ε[(α− )−1 t]k2 U Tương tự trường hợp k2 ≤ 0, ta cần lưu ý ma trận biểu diễn tương ứng Ω1 , số −ε thay ε Do vậy, k1 > 0, k2 > số nghiệm độc lập tuyến tính phương trình tích phân kì dị T ϕ = với dịch k1 − ε k2 + ε k1 + k2 + = k1 k2 số lẻ, 2 k1 k2 k1 + k2 + = k1 k2 số chẵn Ta thấy khơng cịn trường hợp 2 khác số k1 + k2 = ind T số chẵn Vậy, ta chứng minh định chuyển α = α− (t) lí sau Định lý 2.4 Cho toán tử Lp (Γ0 ) −→ Lp (Γ0 ), T = a(t)P+ + b(t)U P+ + c(t)P− + d(t)U P− : toán tử Noether toán tử tương ứng M = P+ + CP− , C = A−1 B có phân tích với số thành phần k1 k2 H+ = Λ+ C − (α)e C + = ε Pk1 −k2 (t) , ε ∈ {1, −1} −ε 1 0, k2 > dim ker T = ind T = k1 + k2 59 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: 1) Công thức Sokhotski - Plemeli toán bờ Riemann miền đơn liên 2) Toán tử Noether, hàm dịch chuyển, toán tử dịch chuyển, tốn tử tích phân kì dị với dịch chuyển Carleman 3) Lý thuyết giải phương trình tích phân kì dị với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman đường trịn đơn vị Một số hướng nghiên cứu phát triển từ đề tài là: 1) Lý thuyết giải phương trình tích phân kì dị với dịch chuyển Carleman giá trị biên liên hợp phức trường hợp ổn định suy biến 2) Lý thuyết giải phương trình tích phân kì dị với dịch chuyển không Carleman 60 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2007), Lý thuyết toán tử tích phân kì dị, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Thủy Thanh (2002), Hướng dẫn giải tập hàm biến phức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Lê Huy Chuẩn, Nguyễn Minh Tuấn (2003), On singular intergral equations with the Carleman shifts in the case of the vanishing coefficient, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 28, No 3, 319-333 [5] Georgii S Litvinchuk (2000), Solvability Theory of Boundary Value Problems and Singular Intergral Equations with Shift, Kluwer Academic Publishers [6] Victor G.Kravchenko, Georgii S Litvinchuk (1994), Introduction to the Theory of Singular Intergral Operators with Shift, Kluwer Academic Publishers, Ukraine ... giải phương trình tích phân kì dị đặc trưng tổng quát với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman đường trịn đơn vị 2.1 Phương trình tích phân kì dị đặc trưng với dịch chuyển phân tuyến tính Carleman. .. NHIÊN NGUYỄN MINH ĐỨC VỀ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ CAUCHY VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng... thuyết phương trình tích phân kì dị với dịch chuyển liên hợp phức nhiều dạng toán bờ khác Lý thuyết giải tốn tử tích phân kì dị có dạng đầy đủ với tốn tử tích phân kì dị hai thành phần với dịch chuyển