(Luận án tiến sĩ) môt số tích chập suy rộng với hàm trọng hermite của các biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− NGUYỄN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG HERMITE CỦA CÁC BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2012 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Phản biện 1: GS.TSKH Lê Hùng Sơn Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam Phản biện 3: TS Cung Thế Anh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án tiến sĩ họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE, FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY 15 1.1 Biến đổi tích phân Fourier 15 1.1.1 Định nghĩa tính chất 15 1.1.2 Tích chập 22 1.2 Biến đổi tích phân Fourier-sine, Fourier-cosine 28 1.3 Biến đổi Hartley 38 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHÉP BIẾN 49 ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 2.1 Tích chập suy rộng biến đổi Fourier Fourier ngược 2.2 Tích chập suy rộng liên kết biến đổi Fourier Hartley 2.3 Tích chập suy rộng biến đổi Fourier-sine Fourier-cosine 2.4 Tích chập suy rộng với hàm trọng tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm Hermite Chương ỨNG DỤNG 3.1 Cấu trúc vành định chuẩn L1 (Rd ) 3.2 Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 3.3 Đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân KẾT LUẬN 49 55 81 95 97 97 104 131 141 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 142 TÀI LIỆU THAM KHẢO 143 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • d số nguyên dương cho trước • x, y ∈ Rd : x = (x1 , x2 , , xd ), y = (y1 , y2 , , yd ), −x = (−x1 , −x2 , , −xd ), x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xd + yd ) • L1 (Rd ) := {f : Rd → C : độ đo Lebesgue Rd |f (x)|dx < +∞}, tích phân lấy theo • L2 (Rd ) := {f : Rd → C : độ đo Lebesgue Rd |f (x)| dx < +∞}, tích phân lấy theo • Với f (x) ∈ L1 (Rd ), f = d (2π) Rd |f (x)|dx • fˇ(x) := f (−x) • xy := x, y = x1 y1 +x2 y2 +· · ·+xd yd tích vơ hướng x, y ∈ Rd , |x|2 := x, x = x21 + x22 + · · · + x2d • cas xy := cos xy + sin xy • α = (α1 , , αd ) ∈ Nd đa số, |α| := α1 + · · · + αd • S = {f ∈ C ∞ (Rd ) : sup sup (1 + |x|2 )N |(Dα f )(x)| < ∞, ∀ N = |α|≤N x∈Rd 0, 1, 2, } không gian Schwartz (không gian hàm giảm nhanh vơ cùng) • 2 Φα (x) := (−1)|α| e |x| Dxα e−|x| hàm Hermite đa chiều, Dxα = ∂ |α| α α1 ∂x1 ···∂xd d • C ∞ (Rd ) = {f : Rd → C : Dα f ∈ C(Rd ), ∀α đa số} • C0 (Rd ) không gian hàm liên tục Rd , triệt tiêu vô lấy giá trị C với chuẩn ||f ||∞ = sup |f (x)| x∈Rd • Cho Φα hàm Hermite Đặt Nα := d (2π) d Rd |Φα (x)|dx Rõ ràng, Nα > Các chuẩn (0), (1) f ∈ L (R ) định nghĩa sau: Nα f := |f (x)|dx, (0) d (2π) Rd f 1 := 2Nα |f (x)|dx d (2π) 2 Rd • γ(x) = Φ0 (x) = e− |x| (hàm dạng Gauss) (1) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý lựa chọn đề tài Lý thuyết tích chập biến đổi tích phân nghiên cứu thời gian dài, áp dụng nhiều lĩnh vực toán học, vật lý, y học, sinh học Cho đến nửa đầu kỷ 20, tích chập tìm thấy tích chập khơng có hàm trọng cho biến đổi tích phân, nhiều biến đổi tích phân quen biết chưa tìm tích chập cho Sang nửa sau kỷ 20, nhiều tích chập suy rộng biến đổi tích phân ứng dụng chúng nghiên cứu thành công nhiều tác giả Đặc biệt, I N Sneddon (xem [24]) người xây dựng thành cơng tích chập suy rộng cho phép biến đổi tích phân xem xét ứng dụng chúng Đó tích chập suy rộng hai hàm f g xác định (0, +∞) biến đổi tích phân Fourier-sine Fourier-cosine (f ∗ g)(x) = √ 2π +∞ f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > 0 Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(x) = (Fs f )(x)(Fc g)(x), ∀ x > 0, phép biến đổi Fourier-sine (Fs ), biến đổi Fourier-cosine (Fc ) hàm f xác định (0, +∞) cho công thức sau (xem [8]) (Fs f )(x) = (Fc f )(x) = π π +∞ f (y) sin(xy)dy, +∞ f (y) cos(xy)dy, x > 0 Ý tưởng xây dựng tích chập sau Y Ya Vilenkin phát triển vào năm 1958, lần xây dựng tích chập với hàm trọng biến đổi tích phân Mehler Fox (xem [55]) Gần 10 năm sau, năm 1967 V A Kakichev đề xuất phương pháp kiến thiết để xác định tích chập cho biến đổi tích phân K với hàm trọng δ(x) dựa đẳng thức nhân tử hóa δ K(f ∗ g)(x) = δ(x)(Kf )(x).(Kg)(x) Năm 1998, V A Kakichev N X Thảo đưa kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng ba biến đổi tích phân K1 , K2 , K3 (theo thứ tự đó), địi hỏi K1 phải phép biến đổi với nhân k1 (x, y) có phép biến đổi ngược K1−1 với nhân k1−1 (u, v) xác định (xem [28]) Nói chung, tích chập biến đổi đối tượng để nghiên cứu Ví dụ, biến đổi Hilbert tích chập hàm f (t) với hàm g(t) = 1/(πt), biến đổi Weierstrass xác tích chập hàm f (t) với hàm dạng Gauss e− t (xem [38]) Ta biết tích hai hàm số thuộc L1 (Rd ) chưa thuộc L1 (Rd ) Ví dụ sau minh chứng cho kết luận Ví dụ: Cho hàm số   √1 , x = 0, |x| ≤    |x| f (x) = 0, x =    1, |x| > x2 Dễ dàng kiểm tra f ∈ L1 (R), f ∈ L1 (R) Như vậy, phép nhân hai hàm không đóng kín L1 (Rd ) Bên cạnh đó, phương trình tích phân dạng chập thuộc lĩnh vực quan tâm lý thuyết phương trình tích phân tốn học Đặc biệt phương trình tích phân với nhân hàm dạng Gauss thu hút quan tâm nhiều tác giả như: [10] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), "Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gauss detector kernel", Phys Med Bio, (45), 645–650 [17] G Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic Press [34] P S Cho, H G Kuterdem, and R J Marks II (1998), "A spherical dose model for radio surgery plan optimization", Phys Med Bio, (43), 3145–3148 [48] T Kailath, B L, L Ljung, M Morf (1978), "Fast time-invariant implementations of Gauss signal detectors", IEEE Trans Information Theory, 24 (4), 469–477 Các phương trình tích phân với nhân hàm dạng Gauss có nhiều ứng dụng vật lý như: ứng dụng truyền sóng xạ, lý thuyết lọc tuyến tính, thủy lực học, số lĩnh vực y học, sinh học Từ kết cơng trình liên quan đến tích chập, tích chập suy rộng mà ta nhắc đến cho thấy biến đổi tích phân Fourier, Fouriersine, Fourier-cosine Hartley có ứng dụng hầu hết lĩnh vực khoa học kỹ thuật Các biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine Hartley không gian L1 (Rd ) định nghĩa sau (xem [8, 26, 35, 52]) fˆ(x) = (F f )(x) := (F −1 f )(x) := (Tc f )(x) := (Ts f )(x) := (H1 f )(x) := (2π) f (y)e−ixy dy, d Rd (2π) Rd sin(xy)f (y)dy, d (2π) Rd cos(xy)f (y)dy, d (2π) fˆ(y)eixy dy, d Rd cas(xy)f (y)dy d (2π) Rd Dễ dàng kiểm tra (F fˇ)(x) = (F −1 f )(x) (F f )(x) = (F −1 fˇ)(x) Ngoài ra, ta thấy biến đổi Fourier, Hartley tổng đại số hai biến đổi độc lập Fourier-sine Fourier-cosine Mối liên hệ biến đổi thể qua cơng thức Euler sau F + F −1 Tc = , iF − iF −1 Ts = , (1 + i)F + (1 − i)F −1 H1 = 10 Vì lý nên ta gọi chung biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine Hartley biến đổi tích phân dạng Fourier Xung quanh biến đổi này, nhóm nghiên cứu V A Kakichev, V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa xây dựng số tích chập, tích chập suy rộng nghiên cứu ứng dụng chúng biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine không gian L1 (R+ ) số khơng gian hàm có trọng khác (xem [42, 44, 50]) R N Bracewell đưa tích chập biến đổi Hartley không gian L1 (R) (xem [35, 36]) Các kết luận án B T Giang xây dựng tích chập, tích chập suy rộng nghiên cứu ứng dụng chúng cho biến đổi Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley không gian L1 (Rd ) với hàm trọng hàm lượng giác (xem [12, 13, 14, 15]) Từ lý thuyết tích chập biến đổi tích phân đời, ngồi cơng trình ta liệt kê trên, lượng lớn báo, sách trình bày tích chập, tích chập suy rộng, đa chập ứng dụng chúng xuất nhiều tác R N Bracewell, L E Britvina, R V Churchill, H J Glaeske, S Saitoh, S B Yakubovich, V K Tuấn, N X Thảo, N M Tuấn, B T Giang, (xem [6, 7, 18, 20, 25, 27, 29, 35, 36, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 54, 56]) Qua cơng trình ta thấy bật lên nhóm nghiên cứu: L E Britvina, Jorge J Betancor cộng với số cơng trình liên quan đến biến đổi Hankel, Fourier-cosine (xem [29, 31]) S B Yakubovich, Y Luchko với cơng trình liên quan đến biến đổi Kontorovich Lebedev (xem [40, 41]) V A Kakichev, V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa, Trịnh Tn, N Thanh Hồng với cơng trình tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine, Hankel, Kontorovich Lebedev, Stieltjes biến đổi I nửa không gian (xem [21, 27, 32, 42, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56]) Quan tâm đến biến đổi Việt Nam cịn có Phan Tăng Đa (xem [6]) S Saitoh cộng với số cơng trình liên quan đến biến đổi Weierstrass, Laplace (xem [38, 39, 47, 54]) 11 Nhấn mạnh dãy hàm {(F ϕn )(x)} gồm hàm liên tục Rd , với x ∈ Rd p ∈ N ta có (F ϕn+p )(x) − (F ϕn )(x)| = ≤ = = (2π) d e−i x,y ϕn+p (y) − ϕn (y) dy Rd Rd ϕn+p (y) − ϕn (y) dy d (2π) (2π) d e−i x,y · ϕn+p (y) − ϕn (y) dy d (2π) 1 Rd ϕn+p − ϕn L1 −→ n → ∞ (3.30) Suy dãy hàm {(F ϕn )(x)} hội tụ (theo điểm) tới hàm ϕ0 (x) Cụ thể, với x ∈ Rd cố định, theo tiêu chuẩn Cauchy dãy số (phức) {(F ϕn )(x)} có giới hạn hữu hạn, ký hiệu giá trị giới hạn ϕ0 (x) Ta chứng minh ϕ0 (x) = với x ∈ Rd Thật vậy, với x ∈ Rd ta có |ϕ0 (x)| = lim |(F ϕn )(x)| = lim n→∞ ≤ lim n→∞ = lim n→∞ n→∞ (2π) (2π) d d (2π) e−i x,y ϕn (y)dy d Rd e−i x,y · |ϕn (y)|dy Rd |ϕn (y)| dy = Rd d (2π) lim ϕn n→∞ L1 = Từ suy (F ϕn )(x) → theo L1 -chuẩn Vậy, F F −1 tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Bước 2: Chứng minh K1 tốn tử tuyến tính từ X vào Giả sử ϕ ∈ X , ta phải chứng minh K1 ϕ ∈ X Thật vậy, theo Định lý 2.2, hàm số vế phải (3.25), (3.26) thuộc L1 (Rd ) Do đó, vế trái chúng thuộc L1 (Rd ) Thay f k1 , g ϕ (3.25) f k2 , g ϕ (3.26) Cộng vế với vế đẳng thức đó, ta suy K1 ϕ ∈ L1 (Rd ) Ta chứng minh F (K1 ϕ) ∈ L1 (Rd ) Đặt K1 ϕ := h ∈ L1 (Rd ) Suy F (K1 ϕ) = F h 133 Áp dụng đẳng thức (3.19), (3.20) chứng minh Định lý 3.6, ta có [Φα (F k1 ) + Φβ (F kˇ2 )]F ϕ = F h Do F ϕ ∈ L1 (Rd ) hàm số Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x) liên tục, bị chặn triệt tiêu vô cùng, nên [Φα (F k1 ) + Φβ (F kˇ2 )]F ϕ ∈ L1 (Rd ) Vì vậy, F h ∈ L1 (Rd ), hay F (K1 ϕ) ∈ L1 (Rd ) Như vậy, K1 toán tử tuyến tính từ X vào Bước 3: Chứng minh K1 toán tử liên tục Ta cần chứng minh tính liên tục tốn tử điểm không Giả sử ϕn → 0, nghĩa ϕn L1 → Ta phải chứng minh K1 ϕn → 0, hay K1 ϕn L1 →0 Thật vậy, sử dụng đẳng thức nhân tử hóa Định lý 2.1 ta có F (K1 ϕn ) L1 = [Φα (F k1 ) + Φβ (F kˇ2 )]F ϕn L1 [Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x)](F ϕn )(x) dx = Rd Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x) · |(F ϕn )(x)| dx = Rd ≤ R1 |(F ϕn )(x)|dx Rd = R1 F ϕn L1 Nhưng F liên tục nên F ϕn L1 → n → ∞ Suy F (K1 ϕn ) n → ∞ Từ tính liên tục F −1 suy K1 ϕn → Như vậy, K1 toán tử liên tục X Chứng minh hoàn toàn tương tự cho K2 Định lý chứng minh 134 L1 → Hệ 3.1 X không gian Banach Chứng minh Ta cần chứng minh X khơng gian đóng Nhắc lại khơng gian X có chuẩn với khơng gian Banach L1 (Rd ), gọi L1 chuẩn Giả sử ϕn ∈ X ϕn → ϕ0 theo L1 -chuẩn X , ta phải chứng minh ϕ0 ∈ X Thật vậy, L1 (Rd ) không gian Banach nên ϕ0 ∈ L1 (Rd ) Hơn nữa, sử dụng tính liên tục tốn tử Fourier F L1 (Rd ) ta F ϕn → F ϕ0 Nhấn mạnh {F ϕn } ⊂ L1 (Rd ) Lại L1 (Rd ) Banach nên F ϕ0 ∈ L1 (Rd ) Tóm lại, ta chứng minh ϕ0 F ϕ0 thuộc L1 (Rd ) Do đó, ϕ0 ∈ X Hệ chứng minh Bổ đề 3.2 Nếu |λ| > R1 p ∈ X , F −1 Fp ∈ L1 (Rd ) A1 Chứng minh Theo chứng minh phần (b) Mệnh đề 3.4, ta có L1 (Rd ) Ta xác định g ∈ L1 (Rd ) cho Fp = F g, A1 tức Fp A1 ∈ (3.31) Fp F (i|α| Φα ∗ k1 + i|β| Φβ ∗ kˇ2 ) 1− = F g λ λ + F (i|α| Φα ∗ k1 + i|β| Φβ ∗ kˇ2 ) Do A1 (x) = λ + Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x) = λ + F (i|α| Φα ∗ k1 + i|β| Φβ ∗ kˇ2 )(x), đó, Φα ∗ k1 Φα ∗ kˇ2 tích chập biến đổi Fourier Theo Định lý Wiener-Lèvy, tồn h ∈ L1 (Rd ) (xem [4, 33]) cho F (i|α| Φα ∗ k1 + i|β| Φβ ∗ kˇ2 ) = F h λ + F (i|α| Φα ∗ k1 + i|β| Φβ ∗ kˇ2 ) Do đó, Fp (1 − F h) = F g λ 135 Phương trình cuối tương đương với phương trình sau F( p−p∗h ) = F g λ Sử dụng định lý F , ta nhận g= p−p∗h ∈ L1 (Rd ) λ Suy g ∈ L1 (Rd ) F g ∈ L1 (Rd ) Vì vậy, tác động F −1 vào hai vế đẳng thức (3.31) ta có F −1 ( Fp ) = F −1 (F g) = g ∈ L1 (Rd ) A1 Bổ đề chứng minh Sau hệ trực tiếp Bổ đề 3.2 Hệ 3.2 Nếu |λ| > R2 p ∈ X F −1 Fp A2 ∈ L1 (Rd ) Nhận xét 3.5 Bổ đề 3.2 Hệ 3.2 suy phương trình (3.16), (3.22) xét X |λ| > R1 (|λ| > R2 ) điều kiện cần đủ Định lý 3.6 (Định lý 3.7) xuất cách tự nhiên Như vậy, toán tử λI + K1 λI + K2 khả nghịch X Theo Định lý 3.8, ta suy toán tử λI + K1 λI + K2 liên tục X với λ ∈ C Các đẳng thức nhân tử hóa chập nhận Định lý 2.1 chìa khóa để chứng minh định lý sau Định lý 3.9 Nếu |λ| > R1 tốn tử (λI + K1 )−1 liên tục X Chứng minh Ta cần chứng minh tính liên tục tốn tử điểm khơng Giả sử pn → Ta phải chứng minh (λI + K1 )−1 pn → Theo nhận xét trên, với n tồn ϕn ∈ X cho (λI + K1 )ϕn = pn → 0, 136 hay ϕn = (λI + K1 )−1 pn Như vậy, (λI + K1 )ϕn → (3.32) Ta phải chứng minh ϕn → Thật vậy, sử dụng tính liên tục F X từ (3.32) suy F (λI + K1 )ϕn → Hay là, λF ϕn + (F K1 )ϕn → Theo đẳng thức nhân tử hóa chập, ta có [λ + Φα (F k1 ) + Φβ (F kˇ2 )]F ϕn → Tương đương, [λ + Φα (F k1 ) + Φβ (F kˇ2 )]F ϕn L1 → (3.33) Do giả thiết |λ| > R1 , nên hàm số A1 (x) = λ + Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x) = điểm x ∈ Rd Mặt khác, sử dụng bổ đề Riemann-Lebesgue tính giảm nhanh hàm Hermite Φα , Φβ ta suy lim |A1 (x)| = lim λ + Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x) = |λ| n→∞ n→∞ Vì A1 (x) liên tục Rd λ = nên tồn ε > cho |A1 (x)| = |λ + Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x)| > ε với x ∈ Rd Do vậy, λ + Φα (F k1 ) + Φβ (F kˇ2 ) F ϕn ≥ L1 |A1 (x)||F ϕn (x)|dx = Rd ε|F ϕn (x)|dx = ε F ϕn Rd 137 Kết hợp điều với (3.33), ta suy F ϕn → Từ tính liên tục F −1 X , ta dẫn đến ϕn → Định lý chứng minh Tương tự, ta có định lý sau Định lý 3.10 Nếu |λ| > R2 tốn tử (λI + K2 )−1 liên tục X Nhận xét Từ Định lý 3.9, Định lý 3.10 nhận xét phía trên, ta suy |λ| > R1 (|λ| > R2 ) tốn tử λI + K1 λI + K2 khả nghịch liên tục X Định lý sau cho đánh giá bán kính phổ hai toán tử K1 K2 Định lý 3.11 Bán kính phổ tốn tử tích phân K1 K2 thỏa mãn bất đẳng thức sau: r(K1 ) ≤ R1 r(K2 ) ≤ R2 Dự đoán Mặc dù chưa tính xác bán kính phổ toán tử K1 K2 , luận án mạnh dạn đưa dự đoán bán kính phổ chúng R1 , R2 tương ứng Cụ thể, r(K1 ) = R1 r(K2 ) = R2 Sau vài ví dụ Ví dụ 3.6 Với d = 1, xét hàm nhân k1 (x) = Φ1 (x), k2 (x) = Φ0 (x), α = 1, β = 138 Theo Định lý 1.2, (F Φα )(x) = (−i)|α| Φα (x), (F Φβ )(x) = (−i)|β| Φβ (x) Suy A1 (x) = λ − iΦ21 (x) + Φ20 (x) Khi đó, ta tìm R1 = max | − iΦ21 (x) + Φ20 (x)| x∈R = max x∈R 16x4 + 1e −|x|2 =2 2+ √ √ 3e − 2+4 Theo Định lý 3.11, ta suy r(K1 ) ≤ 2 + √ √ 3e − 2+4 Ví dụ 3.7 Xét k1 (x) = k2 (x) = γ(x) Ta có A2 (x) = λ + 2e−|x| Ta thấy R2 = max 2e−|x| = x∈Rd Theo Định lý 3.11, ta suy r(K2 ) ≤ Nhận xét Bài toán đánh giá bán kính phổ tốn tử tích phân K1 , K2 (xác định X ) đưa đến tốn tìm mơđun phức lớn hàm số liên tục, bị chặn triệt tiêu vơ Phương trình (3.16) ln có nghiệm không gian X với λ ∈ C thỏa mãn |λ| > max |Φα (x)(F k1 )(x) + Φβ (x)(F kˇ2 )(x)|, x∈Rd phương trình (3.22) ln có nghiệm khơng gian X với λ ∈ C thỏa mãn |λ| > max{|γ(x)(F K)(x)|} x∈Rd 139 Những kết luận phù hợp hoàn toàn với kết biết lý thuyết tổng quan phương trình tích phân Fredholm, mà tốn tử tích phân, nói chung, compact bán kính phổ hữu hạn Mặt khác, từ bất đẳng thức chuẩn Định lý 2.1 suy K1 , K2 hai toán tử giới nội L1 (Rd ) Vì thế, chúng tơi mạnh dạn đưa dự đoán Dự đoán K1 , K2 tốn tử compact khơng gian Banach L (Rd ) Kết luận chương Chương sử dụng tích chập nhận Chương vào việc xây dựng L1 (Rd ) thành vành định chuẩn giải lớp phương trình tích phân với nhân hàm Hermite (trong trường hợp đặc biệt nhân hàm dạng Gauss) Đối với phương trình xét, luận án điều kiện cần đủ cho tính giải nghiệm tường minh chúng Điểm khác biệt luận án chương so với luận án theo hướng nghiên cứu là: từ việc giải phương trình tích phân luận án tốn đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân dẫn đến tốn tìm mô đun lớn hàm số liên tục, bị chặn giảm nhanh vô không gian Rd Ngoài ra, luận án khơng gian số phương trình tích phân xét ln có nghiệm Nội dung Chương luận án viết dựa báo [1], [2], [3] (Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) 140 KẾT LUẬN Luận án xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng hàm Hermite, tích chập suy rộng hai biến đổi Fourier, Fourier ngược; tích chập suy rộng liên kết biến đổi Fourier Hartley; tích chập suy rộng biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine Sử dụng tích chập suy rộng đó, luận án xây dựng L1 (Rd ) thành vành định chuẩn; giải số phương trình tích phân dạng chập; đưa cách đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân Những kết luận án Xây dựng số tích chập suy rộng hai phép biến đổi Fourier, Fourier ngược ứng dụng giải phương trình tích phân dạng chập với nhân hàm Hermite Xây dựng số tích chập suy rộng liên kết phép biến đổi Fourier, Hartley với hàm trọng hàm Hermite Ứng dụng giải phương trình tích phân dạng chập với nhân hàm dạng Gauss Xây dựng số tích chập suy rộng hai phép biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine ứng dụng giải phương trình tích phân dạng chập với nhân hàm Hermite Sử dụng tích chập suy rộng thiết lập vào xây dựng L1 (Rd ) thành vành định chuẩn Đối với phương trình tích phân xét, luận án điều kiện cần đủ cho tính giải nghiệm tường minh Từ đưa cách đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân khơng gian số phương trình tích phân xét ln có nghiệm 141 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1 ] N M Tuan and N T T Huyen (2010), “The solvability and explicit solutions of two integral equations via generalized convolutions”, J Math Anal Appl, 369, pp 712–718 [2 ] N M Tuan and N T T Huyen (2010), “The Hermite Functions Related to Infinite Series of Generalized Convolutions and Applications”, Complex Anal Oper Theory, 6, pp 219–236 [3 ] N M Tuan and N T T Huyen (2011), “Applications of generalized convolutions associated with the Fourier and Hartley transforms”, Journal of Integral Equations and Applications, 23 (2), (accepted, available on the web source of the Journal, http://projecteuclid.org/euclid.jiea/1300803213) 142 TI LIU THAM KHO [1] A Băottcher, B Silbermann (2006), Analysis of Toeplitz operators, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin [2] A D Polyanin, A V Manzhirov (1998), Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton [3] A D Poularikas (Ed.) (2000), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed [4] C Thierry, G Stolzenberg (1991), "The Wiener lemma and certain of its generalizations", Bull Am Math Soc New Ser, (24), N 1, 1-9 [5] D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in Linear Spaces, PWN-Polish Scientific Publishers, Warsawa [6] Phan Tang Da (1972), "On a class integral equations of convolution type", Differen Urav, (86), 1058-1067 (in Russian) [7] E M Stein and R Shakarchi (2007), Princeton Lectures in Analysis: Fourier Analysis, an introduction, Princeton University Press, Princeton and Oxford [8] E C Titchmarsh (1986), Introduction to the theory of Fourier integrals, Chelsea, New York [9] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Peraza (1998), "Experimental determination of the convolution kernel for the study of the spatial response of a detector", Med Phys, (25), 202–207 [10] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), "Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gauss detector kernel", Phys Med Bio, (45), 645–650 [11] F D Gakhov and Yu I Cherski (1978), Equations of convolution type, Nauka, Moscow, (in Russian) 143 [12] B T Giang, N M Tuan (2008), "Generalized convolutions for the Fourier integral transforms and applications", Journal of Siberian Federal Univ, (4), 371–379 [13] B T Giang and N M Tuan (2009), "Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type", Complex Var Elliptic Equ, Vol 55, N.4, 331–345 [14] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan (2009), "Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions", Integral Equation Operator Theory, (65), 363–386 [15] B T Giang and N M Tuan (2009), "Generalized onvolutions for the integral transforms of Fourier type and applications" Fract Calc Appl Anal, (12), 253–268 [16] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan (2010), "Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications", Math Nachr, Vol 283, No.12, 1758–1770 [17] G Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic Press [18] H J Glaeske and V.K Tuan (1991), "Mapping properties and composition structure of multidimensional integral transform", Math Nachr, (152), 179–190 [19] H Hochstadt (1973), Integral equations, John Wiley & Sons, N Y [20] H Bateman and A Erdelyi (1954), Tables of integral transforms, New York - Toronto - London MC Gray-Hill, V.1 [21] H M Srivastava and Vu Kim Tuan (1995), "A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular equations", Arch Math, (64), 144-149 [22] I Feldman, I Gohberg, and N Krupnik (2000), "Convolution equations on finite intervals and factorization of matrix functions", Integral Equation Operator Theory, (36), 201–211 144 [23] I S Gohberg and I A Feldman (1971), Convolution equations and projection methods for their solutions, Nauka, Moscow, (in Russian) [24] I N Sneddon (1951), Fourier transform, MC Graw-Hill, New York [25] J W Brown and R V Churchill (2006), Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, N Y [26] K J Olejniczak (2000), The Hartley transform, In A D Poularikas, editor, The Transforms and Applications Handbook, The Electrical Engineering Handbook Series, part 4, pages 341–401, CRC Press with IEEE Press, Florida, second edition [27] Kakichev V A (1990), “On the matrix convolutions for power series”, Izv Vyssh Uchebn Zaved, Ser Mat, (2), 53–62, (in Russian) [28] Kakichev V.A and Nguyen Xuan Thao(1998), "On the design method of generalized convolution for the integral transforms", Izv Vuzov Mat - N.1.- pp 31 - 40, (in Russian) [29] L E Britvina (2005), "A class of integral transforms related to the Fourier-cosine convolution", Integral Transforms Spec Funct, (16), 379–389 [30] M A Naimark (1959), Normed Rings, P Noordhoff Ltd, Groningen, Netherlands [31] Mohamed Belhadj and Jorge J.Betancor (2002), "Beurling Distributions and Hankel transform", Math Nachr, (233), 19-45 [32] N D V Nha, D T Duc, and V K Tuan (2008), "Weighted lp -norm inequalities for various convolution type transformations and their applications", Armen J Math, (1), 1–18 [33] N I Akhiezer (1965), Lectures on the theory of approximations, Pub Nauka, Moscow, (in Russian) [34] P S Cho, H G Kuterdem, and R J Marks II (1998), "A spherical dose model for radio surgery plan optimization", Phys Med Bio, (43), 3145–3148 145 [35] R N Bracewell (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Oxford [36] R N Bracewell (1994), "Aspects of the Hartley transform", Proc IEEE, (82), 381–387 [37] R V Churchill (1941), Fourier series and boundary value problems, New York [38] S Saitoh (1983), "The Weierstrass transform and an isometry in the heat equation", Appl Anal, (16), 1–6 [39] S Saitoh (1995), "One approach to some general integral transforms and its applications", Integral Transform Spec Funct, (3), 49–84 [40] S B Yakubovich and Y Luchko (1994), The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions, Mathematics and its applications, Kluwer Acad Publ, Dordrecht/Boston/London, Vol 287 [41] S B Yakubovich and A.I.Mosinski (1993), "Integral-equation and convolutions for transform of Kontorovich-Lebedev type", Dif, Uravnenia 29, (7), 1272-1284 (in Russian) [42] N X Thao and N M Khoa (2006), "On the generalized convolution with a weight function for the Fourier-sine and cosine transforms", Integral Transforms Spec Funct, (17), 673–685 [43] N X Thao, V K Tuan and N T Hong (2008), "Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations", Frac Calc App Anal, (11), 153–174 [44] Nguyen Xuan Thao (2001), "On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert, Fourier-cosine and sine transforms", UKR Mat J, V.53, N.4, 560-567 (in Russian) [45] Nguyen Xuan Thao (1999), "Abasic analogue of the I-function of the two variables", Volin Mat Visn, 102-106 146 [46] N M Tuan and P D Tuan (2009), "Generalized convolutions relative to the Hartley transforms with applications", Sci Math Jpn, (70), 77–89 [47] T Matsura and S Saitoh (2006), "Analytical and numerical inversion formulas in the Gauss convolution by using the Paley-Wiener spaces", Appl Anal, (85), 901–915 [48] T Kailath, B L, L Ljung, M Morf (1978), "Fast time-invariant implementations of Gauss signal detectors", IEEE Trans Information Theory, 24 (4), 469–477 [49] V A Kakichev (1967), "On the convolution for integral transforms", Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat, (2), 48–57 (in Russian) [50] V A Kakichev and N X Thao and V K Tuan (1998), "On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms", EastWest Jour Math, (1), 85–90 [51] V A Kakichev and N X Thao (2001), "On the generalized convolution for H- transforms", Izv Vuzov Mat, (N 8), 21-28 (in Russian) [52] W Rudin (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, N Y [53] W B Vasantha Kadasamy (2002), Smarandache Non-associative rings, American Research Press, Rehoboth, NM [54] Y Sawano, H Fujiwara and S Saitoh (2008), "Real inversion formulas of the Laplace transform on weighted function spaces", Complex Anal Oper Theory, (2), 511–521 [55] Y Ya Vilenkin (1958), "Matrix elements of midecomsale unitary representations for motions group of the Laachekski’s space and generalized Mehler-Fox transforms", Dokl, Akad, Nauk USSR, 118 (2), 219-222 (in Russian) [56] Z Tomovski and V K Tuan (2009), "On Fourier transforms and summation formulas of generalized Mathieu series", Math Sci Res J, (13), 1–10 147 ... tích chập suy rộng số biến đổi tích phân dạng Fourier với hàm trọng hàm Hermite Cụ thể là: xây dựng tích chập suy rộng biến đổi Fourier, Fourier ngược; tích chập suy rộng liên kết biến đổi Fourier. .. 16, 46]) luận án xây dựng số tích chập với hàm trọng Hermite số phép biến đổi tích phân dạng Fourier, sử dụng tích chập xây dựng luận án toán đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân dẫn đến... 20, tích chập tìm thấy tích chập khơng có hàm trọng cho biến đổi tích phân, nhiều biến đổi tích phân quen biết chưa tìm tích chập cho Sang nửa sau kỷ 20, nhiều tích chập suy rộng biến đổi tích phân