giải bài tập đề cương xác suất thống kê

Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Mục lục Lời mở đầu Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Quan hệ phép toán kiện Giải tích kết hợp 1.2 Định nghĩa xác suất 1.3 Xác suất điều kiện Công thức cộng, nhân xác suất Công 1.4 Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes 3 13 24 Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất 2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 2.3 Một số luật phân phối xác suất thông dụng 34 34 47 56 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 71 71 78 Ước lượng tham số 4.1 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng 4.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ hay xác suất 94 94 110 Kiểm định giả thuyết 5.1 Kiểm định giả thuyết cho mẫu 5.1.1 Kiểm định giả thuyết cho kỳ vọng 5.1.2 Kiểm định giả thuyết cho tỷ lệ 5.2 Kiểm định giả thuyết cho hai mẫu 5.2.1 So sánh hai kỳ vọng 5.2.2 So sánh hai tỷ lệ 118 118 118 125 128 128 136 Tài liệu tham khảo thức Bernoulli 144 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Lời mở đầu Xác suất thống kê lĩnh vực mà thấy thú vị đặc biệt nhức não Nhiều dù đọc lời giải mà không hiểu người ta viết gì, biết kết sai mà khơng biết sai đâu Và thân người sợ, sợ môn khoa học khơng chắn Thật trùng hợp với mơn đại cương giáo kiểm tra chấm điểm đề cương, học kì đặc biệt, mà tất người làm việc nhà qua Internet Chắc khơng có điều kiện này, khơng làm đề cương kiên nhẫn để gõ hết lại tập Trong q trình hồn thiện đề cương, có lúc bận quá, có lúc gặp biến cố học tập cơng việc, có lúc lười học chán đời nên khơng lần nghĩ bỏ dở Nhưng nhờ kí ức khơng vui, mà nhận khởi đầu tốt đẹp nên cố gắng để kết thúc thật mỹ mãn Và định hồn thành thứ mà bắt đầu cịn dang dở, kết quả, trang mà bạn đọc Trong tài liệu giải đủ tập đề cương Xác suất thống kê năm 2020 nhóm ngành 1, mã học phần MI2020 chương 1, 2, 3, Tuy nhiên, cịn nhiều chỗ học chưa kỹ lắm, không ghi chép đầy đủ, chữa tập lớp nên có nhiều làm sai, nhiều làm không hay Rất mong bạn đọc bỏ qua không ném đá Xin cảm ơn bạn Nguyễn Minh Hiếu, tác giả template chia sẻ cho phép sử dụng mẫu LATEX Con nhà người ta nghĩ cịn xin thơi Lời cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Thu Thủy, cô giáo dạy Xác suất thống kê Cơ ln nhiệt tình bảo, giúp đỡ em hồn thiện tài liệu suốt trình học tập Em xin cảm ơn dạy em, ln tận tình hướng dẫn, giúp đỡ quan tâm đến em Thật may mắn em tiếp xúc với Học với cơ, em có thêm nhiều động lực, em học hỏi rất nhiều từ phong cách làm việc chuyên nghiệp cô Một lần nữa, em cảm ơn nhiều Kính chúc cô sức khỏe vui vẻ Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2020 Nguyễn Quang Huy Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Quan hệ phép toán kiện Giải tích kết hợp Bài tập 1.1 Một hộp có 10 cầu kích cỡ đánh số từ đến Từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên ghi lại số đó, sau trả lại vào hộp Làm lần ta thu dãy số có chữ số Có kết cho dãy số đó? Có kết cho dãy số cho chữ số khác nhau? Số kết cho dãy 105 Số kết cho dãy có chữ số khác 10.9.8.7.6 = 30240 Bài tập 1.2 Có bạn Hoa, Trang, Vân, Anh, Thái, Trung ngồi quanh bàn tròn để uống cà phê, bạn Trang Vân khơng ngồi cạnh Có cách xếp bạn bàn trịn tất ghế khơng phân biệt? Có cách xếp bạn bàn trịn tất ghế có phân biệt? Số cách xếp để Trang Vân không ngồi cạnh 5! − 2.4! = 72 Số cách xếp ghế có phân biệt 6! − 6.2.4! = 432 Ta thấy 432 = 6.72 Bài tập 1.3 Từ tú lơ khơ 52 rút ngẫu nhiên không quan tâm đến thứ tự Có khả xảy trường hợp đó: át; có át; có át; có đủ loại rơ, cơ, bích, nhép Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Chỉ có khả có át Có cách lấy át, có C48 cách chọn lại Như vậy, số cách lấy để có át = 69184 × C48 3 Số cách chọn từ C52 Số cách để chọn khơng có át C48 (không lấy thứ tự) 3 Suy số khả C52 − C48 = 76145 Số cách lấy C13 = 13 Tương tự với loại rơ, bích, nhép Suy số khả 13 = 28561 Bài tập 1.4 Có 20 sinh viên Có cách chọn sinh viên (khơng xét tới tính thứ tự) tham gia câu lạc Văn sinh viên tham gia câu lạc Toán trường hợp: sinh viên tham gia nhiều câu lạc bộ; sinh viên tham gia hai câu lạc Chọn học sinh tham gia câu lạc Văn có C20 cách Do sinh viên tham gia lúc câu lạc bộ, nên số cách chọn sinh viên Số khả tham gia câu lạc Toán C16 4 C20 C16 = 8817900 Chọn học sinh tham gia câu lạc Văn có C20 cách Do sinh viên tham gia lúc câu lạc bộ, nên số cách chọn sinh viên tham gia câu lạc Toán C20 Số khả 4 C20 C20 = 23474025 Bài tập 1.5 Cho phương trình x + y + z = 100 Phương trình cho có nghiệm: ngun dương; ngun khơng âm Ta đánh dấu trục số từ số đến 100 100 số cách đơn vị Khi đó, ta có 99 khoảng số liên tiếp Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Nếu chia đoạn thẳng [1, 100] điểm chia nằm đoạn ta có phần có độ dài Có thể thấy ta có song ánh tốn chia đoạn với tốn tìm nghiệm ngun dương phương trình x + y + z = 100 Như vậy, số nghiệm phương trình số cách chia, 99 2 Sử dụng ý Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + a, b, c ∈ Z+ a + b + c = 103 Do số nghiệm x, y, z 102 Bài tập 1.6 Thực phép thử tung xúc xắc, ghi lại số chấm xuất Gọi x, y số chấm xuất tương ứng xúc xắc thứ thứ hai Ký hiệu không gian mẫu W = (x, y) | ≤ x, y ≤ Hãy liệt kê phần tử kiện sau: A : "tổng số chấm xuất lớn 8"; B : "có xúc xắc mặt chấm"; C : "con xúc xắc thứ có số chấm lớn 4"; A + B, A + C, B + C, A + B + C, sau thể thơng qua sơ đồ V enn; AB, AC, BC, ABC, sau thể thông qua sơ đồ V enn A = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6) B = (2, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) C = (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) A + B, A + C, B + C, A + B + C AB = ∅ AC = (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) BC = (5, 2), (6, 2) ABC = ∅ Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 1.2 Định nghĩa xác suất Bài tập 1.7 Số lượng nhân viên công ty A phân loại theo lứa tuổi giới tính sau: Giới tính Nam Nữ Dưới 30 120 170 Từ 30 đến 40 260 420 Trên 40 400 230 Tuổi Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên người cơng ty được: nhân viên độ tuổi 30 – 40; nam nhân viên 40 tuổi; nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống Gọi A "lấy nhân viên độ tuổi 30 − 40" P (A) = 260 + 420 17 = = 0.425 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 40 Gọi B "lấy nam nhân viên 40 tuổi" P (B) = 400 = 0.25 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 Gọi C "lấy nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống" P (C) = 170 + 420 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 0.3688 Bài tập 1.8 Một kiện hàng có 24 sản phẩm, số có 14 sản phẩm loại I, sản phẩm loại II sản phẩm loại III Người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất sản phẩm đó: có sản phẩm loại I sản phẩm loại II; có sản phẩm loại I; có sản phẩm loại III Ta tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Số trường hợp đồng khả C24 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Số cách lấy sản phẩm loại I C14 Số cách lấy sản phẩm loại II C81 Số kết cục thuận lợi C14 C81 Suy P (A) = C14 C81 C24 0.2740 Để sản phẩm chọn có sản phẩm loại I, có khả loại I, loại I, loại II, loại III Dễ dàng tính P (B) = C14 + C14 C10 C24 0.4368 Ta tính xác suất sản phẩm khơng có sản phẩm loại III: P (C) = Do đó, ta có P (C) = − P (C) C22 C24 0.6884 0.3116 Bài tập 1.9 Có 30 thẻ đánh số từ tới 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để: tất thẻ mang số chẵn; có số chia hết cho 3; có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có số chia hết cho 10 10 Sử dụng công thức xác suất cổ điển Số kết cục đồng khả chọn 10 thẻ n = C30 10 Gọi A "tất thẻ mang số chẵn" số kết cục thuận lợi cho A m = C15 10 C15 Có P (A) = 10 9.995 × 10−5 C30 5 C10 C20 Gọi B "có số chia hết cho 3" Có P (B) = 10 C30 0.13 Gọi C kiện cần tính xác suất Dễ tính số kết cục thuận lợi cho C C31 C12 C15 Suy P (C) = C31 C12 C15 10 C30 0.1484 Bài tập 1.10 Việt Nam có 64 tỉnh thành, tỉnh thành có đại biểu quốc hội Người ta chọn ngẫu nhiên 64 đại biểu quốc hội để thành lập ủy ban Tính xác suất để: ủy ban có người thành phố Hà Nội; tỉnh có đại biểu ủy ban Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Gọi A "có người từ Hà Nội" Ta có P (A) = − P (A) = − 64 C126 64 C128 Gọi B "mỗi tỉnh có đại diện" ta có P (B) = 0.7520 264 ≈ 7.5 × 10−19 64 C128 Bài tập 1.11 Một đồn tàu có toa đánh số I, II, III, IV đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu Mỗi người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để: toa I có người, toa II có người toa III có người; toa có người, toa người, toa có người; toa có người Lần lượt chọn người xếp vào toa đầu, người xếp vào toa II người xếp vào toa III, ta có 15 C3 C2 C1 0.0146 P (A) = 63 = 1024 Có chọn người xếp vào toa, chọn người xếp vào toa khác, cuối cho người cịn lại vào toa Ta có P (B) = C63 × × C32 × × C11 × 45 = 128 0.3516 Gọi C "mỗi toa có người", xảy khả Khả thứ có toa người, toa lại người Khả thứ có toa người toa người Theo cơng thức cổ điển ta có P (C) = 195 C63 × × 3! + C42 × C62 × C42 × 2! = 512 0.3809 Bài tập 1.12 Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Một xúc xắc có số chấm mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6, xúc xắc cịn lại có số chấm mặt 2, 3, 4, 5, 6, Tính xác suất: có xúc xắc mặt chấm; có xúc xắc mặt chấm; tổng số chấm xuất Số kết cục đồng khả 6.6 = 36 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 P (A) = 1.4 + 5.2 36 P (B) = − 5.4 36 0.3889 0.4444 Để số chấm xuất tổng tập kết cục thuận lợi phải {(1, 6), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} suy m = Do ta có P (C) = 36 0.1944 Bài tập 1.13 Trong thành phố có khách sạn Có khách du lịch đến thành phố đó, người chọn ngẫu nhiên khách sạn Tìm xác suất để: người khách sạn khác nhau; có người khách sạn Mỗi người có cách chọn khách sạn để Do số trường hợp đồng khả xảy 53 Gọi A "mỗi người khách sạn khác nhau" Số kết cục thuận lợi cho A 5.4.3 = 60 Từ có P (A) = 60 = 0.48 53 Gọi B "có người khách sạn" Có C32 cách để chọn người Có cách để họ chọn khách sạn Người lại số lại Số kết cục thuận lợi cho B, theo quy tắc nhân, C32 × × C2 × × Suy P (B) = 3 = 0.48 Bài tập 1.14 Một lớp có tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người tổ III có 15 người Chọn hú họa nhóm sinh viên gồm người Tính xác suất để nhóm có sinh viên tổ I Biết nhóm có sinh viên tổ I, tính xác suất để nhóm có sinh viên tổ III Gọi A "trong nhóm có sinh viên tổ I" Ta có P (A) = C12 C25 1840 = C37 4403 0.4179 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Gọi B "có sinh viên tổ III" Theo định nghĩa xác suất điều kiện, C12 C10 C15 P (AB) 27 C37 = P (B | A) = = 1840 P (A) 92 4403 0.2935 Nếu ta tính trực tiếp khơng qua cơng thức xác suất điều kiện, với giả thiết biết có sinh viên tổ I, số trường hợp đồng khả C25 C C 27 Số kết cục thuận lợi C10 C15 , suy P = 10 15 = C25 92 Bài tập 1.15 Ba nữ nhân viên phục vụ A, B C thay rửa đĩa chén giả sử ba người “khéo léo” Trong tháng có chén bị vỡ Tìm xác suất để: chị A đánh vỡ chén chị B đánh vỡ chén; ba người đánh vỡ chén; ba người đánh vỡ chén Số kết cục đồng khả 34 P (A) = C43 C11 34 0.0494 Chọn người đánh vỡ chén, người lại đánh vỡ chén Suy P (B) = P (C) = C31 34 C31 C43 C21 34 0.2963 0.0370 Bài tập 1.16 Đội A có người đội B có người tham gia vào chạy thi, người có khả xuất phát Tính xác suất để người đội A vị trí nhất, nhì, ba Vì có giải nhất, nhì, ba giải trao cho người, nên số kết cục đồng khả A36 = 20 Mặt khác, với cách trao giải cho người đội A, ta có hốn vị "nhất, nhì, ba" nên số kết cục thuận lợi 3! 3! Tóm lại, xác suất cần tính P = = 0.05 A6 10 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 = µ2 X −Y H0 U ∼ N (0, 1) Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = S12 S22 + n1 n2 Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị phân phối chuẩn tắc u1− α = u0.975 = 1.96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = −∞, −u1− α ∪ u1− α , +∞ = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, +∞) 2 Bước Từ số liệu cho ta có n1 = n2 = 35, x = 11.7, s21 = 0.122 , y = 11.6, s22 = 0.142 suy giá trị quan sát x−y 11.7 − 11.6 = ≈ 3.2084 uqs = s22 s21 0.122 0.142 + + n1 n2 35 35 Bước Vì uqs = 3.2084 ∈ Wα nên có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức cho chiều dài thép hai máy sản xuất khác với mức ý nghĩa 5% Bài tập 5.20 Hai công ty I II sản xuất loại sản phẩm cạnh tranh thị trường Người ta chọn ngẫu nhiên n1 = 11 ngày n2 = 18 ngày để khảo sát số lượng sản phẩm bán ngày hai công ty I II tương ứng có kết quả: • Cơng ty I: trung bình mẫu 237, độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 23; • Cơng ty II: trung bình mẫu 247, độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 27 Giả sử số lượng hàng bán ngày hai cơng ty tn theo luật phân phối chuẩn, có phương sai Phải lượng hàng bán công ty II nhiều so với công ty I với mức ý nghĩa 1%? Gọi X, Y số lượng sản phẩm bán ngày cơng ty I II Ta có X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) Đây toán so sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n1 = 11 < 30, n2 = 18 < 30 σ12 = σ22 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 < µ2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định T = X −Y (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 H0 Vì X Y có phương sai nên T ∼ T (n1 +n2 −2) 130 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 (n +n2 −2) Bước Với α = 0.01, tra bảng phân phối Student t1−α bỏ giả thuyết H0 (n +n2 −2) Wα = −∞, −t1−α (27) = t0.99 = 2.473 Miền bác = (−∞, −2.473) Bước Từ số liệu cho ta có n1 = 11, n2 = 18, x = 237, s21 = 232 , y = 247, s22 = 272 suy giá trị quan sát x−y tqs = (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 ≈ −1.021 Bước Vì tqs = −1.021 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức chưa thể cho lượng hàng bán công ty II nhiều so với công ty I với mức ý nghĩa 1% Bài tập 5.21 Người ta nghiên cứu trọng lượng loại trái A vùng với hai chế độ canh tác khác Kiểm tra ngẫu nhiên lượng 25 trái vùng I, 22 trái vùng II thời điểm thu hoạch thu kết sau (đơn vị tính kg): • Vùng I: 2,0; 2,0; 1,8; 1,9; 1,7; 1,5; 1,9; 2,0; 1,8; 1,6; 1,8; 1,7; 1,6; 1,7; 2,1; 1,5; 1,7; 2,0; 1,8; 1,7; 1,5; 1,6; 1,6; 1,7; 1,7 • Vùng II: 1,5; 1,4; 1,5; 1,6; 1,1; 1,7; 1,4; 1,7; 1,4; 1,4; 1,7; 1,1; 1,5; 1,2; 2,0; 1,6; 1,2; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 1,0 Hỏi có khác đáng kể trọng lượng trung bình loại trái A hai vùng không? Kết luận với mức ý nghĩa 5% Gọi X, Y trọng lượng loại trái A hai vùng I II Ta có X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) Đây toán so sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n1 = 25 < 30, n2 = 22 < 30 σ12 = σ22 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 = µ2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định T = X −Y (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 H0 Vì X Y có phương sai nên T ∼ T (n1 +n2 −2) (n +n −2) (45) Bước Với α = 0.05, tra bảng phân phối Student t1−1α = t0.975 = 1.96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 (n +n2 −2) Wα = −∞, −t1−1α (n +n2 −2) ∪ t1−1α , +∞ = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, +∞) 131 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bước Từ số liệu cho ta có n1 = 25, n2 = 22, x = 1.756, s21 = 0.17342 , y = 1.4727, s22 = 0.25852 suy giá trị quan sát x−y tqs = (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 ≈ 4.4598 Bước Vì tqs = 4.4598 ∈ Wα nên có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức có sở có khác đáng kể trọng lượng trung bình loại trái A hai vùng với mức ý nghĩa 5% Bài tập 5.22 Thời gian tự học tuần 12 sinh viên lớp A 15 sinh viên lớp B thống kê lại sau (đơn vị tính giờ): • Lớp A: 18; 15; 24; 23; 30; 12; 15; 24; 35; 30; 18 ;20 • Lớp B: 19; 18; 24; 25; 30; 36; 28; 25; 30; 12; 14; 28; 22; 28; 20 Với mức ý nghĩa 5%, xét xem thời gian tự học sinh viên hai lớp thực chất không? Gọi X, Y thời gian tự học tuần sinh viên lớp A lớp B Ta có X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) Đây toán so sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n1 = 12 < 30, n2 = 15 < 30 σ12 = σ22 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 = µ2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định T = X −Y (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 H0 Vì X Y có phương sai nên T ∼ T (n1 +n2 −2) (n +n −2) (25) Bước Với α = 0.05, tra bảng phân phối Student t1−1α = t0.975 = 2.06 Miền bác bỏ giả thuyết H0 (n +n2 −2) Wα = −∞, −t1−1α (n +n2 −2) ∪ t1−1α , +∞ = (−∞, −2.06) ∪ (2.06, +∞) Bước Từ số liệu cho ta có n1 = 12, n2 = 15, x = 22, s21 = 7.00652 , y = 23.2667, s22 = 6.56252 suy giá trị quan sát tqs = x−y (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 ≈ −0.4837 132 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bước Vì tqs = −0.4837 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức xem thời gian tự học sinh viên hai lớp thực chất với mức ý nghĩa 5% Bài tập 5.23 Người ta muốn so sánh chế độ bón phân cho loại trồng, họ chia 10 mảnh ruộng cho mảnh thành nửa có điều kiện trồng trọt tương đối Nửa thứ áp dụng phương pháp bón phân I, nửa thứ hai theo phương pháp bón phân II (các chế độ chăm sóc khác nhau) Sau thu hoạch ta số liệu suất sau (đơn vị tính kg/sào) Mảnh 10 Năng suất nửa thứ I 24 14 18 20 21 19 16 18 20 23 Năng suất nửa thứ II 16 20 24 23 25 15 22 24 25 29 Giả sử suất hai chế độ phân bón tuân theo luật phân phối chuẩn Đánh giá xem hai chế độ bón phân có giống khơng với mức ý nghĩa 1% Cách Gọi X, Y suất loại trồng áp dụng phương pháp bón phân thứ I II Ta có X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) Đây toán so sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n1 = n2 = 10 < 30 σ12 = σ22 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 = µ2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định T = X −Y (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 H0 Vì X Y có phương sai nên T ∼ T (n1 +n2 −2) (n +n −2) (18) Bước Với α = 0.01, tra bảng phân phối Student t1−1α = t0.995 = 2.878 Miền bác bỏ giả thuyết H0 (n +n2 −2) Wα = −∞, −t1−1α (n +n2 −2) ∪ t1−1α , +∞ = (−∞, −2.878) ∪ (2.878, +∞) Bước Từ số liệu cho ta có n1 = n2 = 10, x = 19.5, s21 = 3.34172 , y = 22.3, s22 = 4.27012 suy giá trị quan sát tqs = x−y (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 ≈ −1.6777 Bước Vì tqs = −1.6777 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức đánh giá hai chế độ bón phân giống với mức ý nghĩa 1% Cách Đặt Z = X − Y , thiết lập hiệu zi = xi − yi , i = 1, 10 với 133 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 xi 24 14 18 20 21 19 16 18 20 23 yi 16 20 24 23 25 15 22 24 25 29 zi −6 −6 −3 −4 −6 −6 −6 −5 −6 Ta thấy Z ∼ N (µ, σ ) với σ chưa biết Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n = 10 < 30 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ = µ0 , đối thuyết H1 : µ = µ0 với µ0 = X − µ0 √ Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định T = n giả thuyết H0 T ∼ T (n−1) S (n−1) (9) Bước Với α = 0.01, tra bảng phân phối Student t1− α = t0.995 = 3.25 Miền bác bỏ giả thuyết H0 (n−1) Wα = −∞, −t1− α (n−1) ∪ t1− α , +∞ = (−∞, −3.25) ∪ (3.25, +∞) Bước Từ số liệu đầu ta có n = 10, z = −4, s = 4.3461 với µ0 = suy giá trị quan sát x − µ0 √ −4 − √ tqs = n= 10 −2.9105 s 4.3461 Bước Vì tqs = −2.9104 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức đánh giá hai chế độ bón phân giống với mức ý nghĩa 1% Bài tập 5.24 Quan sát 12 lọ chất hóa học hai cân khác cân, ta có số liệu (đơn vị tính gam): Cân I 0,5 2,5 0,7 0,9 1,5 2,3 3,4 4,5 Cân II 1,5 2 2,5 1,8 1,7 2,2 2,4 4,5 3,1 Giả sử cân nặng lọ hóa chất tuân theo luật phân phối chuẩn Kiểm định giả thiết hai cân có cân khác hay không với mức ý nghĩa 5% Cách Gọi X, Y cân nặng lọ hóa chất cân cân I II Ta có X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) Đây tốn so sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n1 = n2 = 12 < 30 σ12 = σ22 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 = µ2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định T = X −Y (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 1 + n1 n2 H0 Vì X Y có phương sai nên T ∼ T (n1 +n2 −2) 134 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 (n +n2 −2) Bước Với α = 0.05, tra bảng phân phối Student t1−1α (22) = t0.975 = 2.074 Miền bác bỏ giả thuyết H0 (n +n2 −2) Wα = −∞, −t1−1α (n +n2 −2) ∪ t1−1α , +∞ = (−∞, −2.074) ∪ (2.074, +∞) Bước Từ số liệu cho ta có n1 = n2 = 12, x = 2.4417, s21 = 1.55532 , y = 2.3083, s22 = 0.9122 suy giá trị quan sát tqs = x−y (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − ≈ −0.4674 1 + n1 n2 Bước Vì tqs = −0.4674 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức xem hai cân khơng khác với mức ý nghĩa 5% Cách Đặt Z = X − Y , thiết lập hiệu zi = xi − yi , i = 1, 12 với xi 0.5 2.5 0.7 0.9 1.5 2.3 3.4 4.5 yi 1.5 2 2.5 1.8 1.7 2.2 2.4 4.5 3.1 zi −0.5 −0.5 0.4 1.5 −1.1 −0.8 −0.7 −0.1 −1.1 1.4 Ta thấy Z ∼ N (µ, σ ) với σ chưa biết Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n = 12 < 30 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ = µ0 , đối thuyết H1 : µ = µ0 với µ0 = X − µ0 √ n giả thuyết H0 T ∼ T (n−1) Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định T = S (n−1) (11) Bước Với α = 0.05, tra bảng phân phối Student t1− α = t0.975 = 2.201 Miền bác bỏ giả thuyết H0 (n−1) Wα = −∞, −t1− α (n−1) ∪ t1− α , +∞ = (−∞, −2.201) ∪ (2.201, +∞) Bước Từ số liệu đầu ta có n = 12, z = 0.1333, s = 1.0999 với µ0 = suy giá trị quan sát x − µ0 √ 0.1333 − √ tqs = n= 12 0.4198 s 1.0999 Bước Vì tqs = 0.4198 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức xem hai cân khơng khác với mức ý nghĩa 5% 135 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 5.2.2 So sánh hai tỷ lệ Bài tập 5.25 Một hãng nước giải khát A muốn đưa vào sản xuất công thức để cải tiến sản phẩm Người ta tiến hành khảo sát với công thức cũ cho 600 người uống thử thấy có 132 người thích cơng thức cho 400 người uống thử thấy có 91 người thích Hãy kiểm định xem liệu với cơng thức có làm tăng tỉ lệ người ưa thích nước uống hãng A hay không với mức ý nghĩa 1% Gọi p1 , p2 tỷ lệ người ưa thích nước uống hãng A sử dụng công thức cũ công thức tương ứng Đây toán so sánh tỷ lệ Bước Đặt giả thuyết H0 : p1 = p2 , đối thuyết H1 : p1 < p2 f1 − f2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = giả thuyết H0 Ta 1 f 1−f + n1 n2 thấy U ∼ N (0, 1) Bước Với α = 0.01, tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc u1−α = u0.99 = 2.33 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = (−∞, −u1−α ) = (−∞, −2.33) 11 91 , f2 = Bước Theo đầu n1 = 600, n2 = 400, f1 = Từ tính f = 50 400 n1 f2 + n2 f2 132 + 91 = 0.223 suy = n1 + n2 600 + 400 uqs = f1 − f2 f 1−f 1 + n1 n2 ≈ −0.2791 Bước Vì uqs = −0.2791 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức công thức không làm tăng tỷ lệ người ưa thích nước uống hãng A với mức ý nghĩa 1% Bài tập 5.26 Từ kho đồ hộp I, lấy ngẫu nhiên 1000 hộp để kiểm tra thấy có 20 hộp bị hỏng Từ kho II lấy ngẫu nhiên 900 hộp thấy 30 hộp bị hỏng Hỏi chất lượng bảo quản kho có thực giống hay khơng với mức ý nghĩa 5% Gọi p1 , p2 tỷ lệ hộp bị hỏng kho đồ hộp I II tương ứng Đây toán so sánh tỷ lệ Bước Đặt giả thuyết H0 : p1 = p2 , đối thuyết H1 : p1 = p2 f1 − f2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = giả thuyết H0 Ta 1 f 1−f + n1 n2 thấy U ∼ N (0, 1) 136 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc u1− α = u0.975 = 1.96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = −∞, −u1− α ∪ u1− α , +∞ = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, +∞) 2 1 Bước Theo đầu n1 = 1000, n2 = 900, f1 = , f2 = Từ tính f = 50 30 n1 f2 + n2 f2 20 + 30 = = suy n1 + n2 1000 + 900 38 uqs = f1 − f2 f 1−f 1 + n1 n2 ≈ −1.8129 Bước Vì uqs = −1.8129 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức xem chất lượng bảo quản kho thực giống với mức ý nghĩa 5% Bài tập 5.27 Bệnh A điều trị theo hai phương pháp Sau thời gian thấy kết sau: • Trong 102 bệnh nhân điều trị phương pháp I có 82 bệnh nhân khỏi bệnh • Trong 98 bệnh nhân điều trị phương pháp II có 69 bệnh nhân khỏi bệnh Hỏi có phải phương pháp I điều trị tốt phương pháp II hai hay không với mức ý nghĩa 5% Gọi p1 , p2 tỷ lệ bệnh nhân khỏi bệnh A điều trị theo phương pháp I II tương ứng Đây toán so sánh tỷ lệ Bước Đặt giả thuyết H0 : p1 = p2 , đối thuyết H1 : p1 > p2 f1 − f2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = giả thuyết H0 Ta 1 f 1−f + n1 n2 thấy U ∼ N (0, 1) Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc u1−α = u0.95 = 1.65 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = (u1−α , +∞) = (1.65, +∞) 44 69 Bước Theo đầu n1 = 102, n2 = 98, f1 = , f2 = Từ tính f = 51 98 n1 f2 + n2 f2 82 + 69 = = 0.755 suy n1 + n2 102 + 98 uqs = f1 − f2 f 1−f 1 + n1 n2 ≈ 2.6081 137 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bước Vì uqs = 2.6081 ∈ Wα nên có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức nói phương pháp I điều trị tốt phương pháp II với mức ý nghĩa 5% Bài tập 5.28 Để đánh giá hiệu hai dây chuyền sản xuất người ta tiến hành kiểm tra 1000 sản phẩm dây chuyền I sản xuất có 10 sản phẩm hỏng, kiểm tra 1000 sản phẩm dây chuyền II sản xuất thấy có sản phẩm hỏng Với mức ý nghĩa 5%, có kết luận tỷ lệ sản phẩm hỏng từ hai dây chuyền Gọi p1 , p2 tỷ lệ sản phẩm hỏng sản xuất dây chuyền I II tương ứng Bước Đặt giả thuyết H0 : p1 = p2 , đối thuyết H1 : p1 = p2 f1 − f2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = giả thuyết H0 Ta 1 f 1−f + n1 n2 thấy U ∼ N (0, 1) Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc u1− α = u0.975 = 1.96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = −∞, −u1− α ∪ u1− α , +∞ = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, +∞) 2 1 , f2 = Bước Theo đầu n1 = n2 = 1000, f1 = Từ tính f = 100 125 n1 f2 + n2 f2 10 + = 0.009 suy = n1 + n2 1000 + 1000 f1 − f2 uqs = ≈ 0.4735 1 f 1−f + n1 n2 Bước Vì uqs = 0.4735 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức cho tỷ lệ sản phẩm hỏng dây chuyền I giống dây chuyền II với mức ý nghĩa 5% Bài tập 5.29 Nghiên cứu suất loại hoa màu A, người ta kiểm tra suất 64 điểm trồng loại hoa màu thu bảng số liệu Năng suất (tạ/ha) 40 − 45 45 − 50 50 − 55 55 − 60 60 − 65 65 − 70 Số điểm 15 30 Giả sử theo tính tốn lý thuyết, suất trung bình loại hoa màu A 55 tạ/ha Theo anh chị suất trung bình loại hoa màu A có xu hướng tăng khơng? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 1%? Một tài liệu thống kê cho biết tỷ lệ điểm có suất 60 tạ/ha loại hoa màu A 15% Hãy cho kết luận tài liệu nói với mức ý nghĩa 5% 138 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Gọi X suất loại hoa màu A Ta thấy E[X] = µ suất trung bình loại hoa màu A chưa biết Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n = 64 > 30 Bước Kiểm tra giả thuyết H0 : µ = µ0 , đối thuyết H1 : µ > µ0 với µ0 = 55 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = N (0, 1) X − µ0 √ n giả thuyết H0 U ∼ S Bước Với α = 0.01, tra bảng giá trị phân phối chuẩn tắc u1−α = u0.99 = 2.33 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = (u1−α , +∞) = (2.33, +∞) Bước Từ số liệu đầu ta có µ0 = 55, n = 64, x = 56.3281, s = 5.4 suy giá trị quan sát x − µ0 √ 56.3281 − 55 √ uqs = n= 64 1.9676 s 5.4 Bước Vì uqs = 1.9676 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức suất trung bình loại hoa màu A khơng có xu hướng tăng lên với mức ý nghĩa 1% Gọi p tỷ lệ điểm có suất 60 tạ/ha loại hoa màu A Đây toán kiểm định giả thuyết tỷ lệ tổng thể Bước Đặt giả thuyết H0 : p = p0 , đối thuyết H1 : p = p0 với p0 = 0.15 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = f − p0 p0 (1 − p0 ) √ n giả thuyết H0 Vì np0 = 9.6 > n(1 − p0 ) = 54.4 > lớn nên U ∼ N (0, 1) Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị phân phối chuẩn tắc u1− α = u0.975 = 1.96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = −∞, −u1− α ∪ u1− α , +∞ = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, +∞) 2 m Bước Từ số liệu cho ta có n = 64, m = 12 tính f = = = 0.1875, với n 16 p0 = 0.15 suy giá trị quan sát uqs = √ 0.1875 − 0.15 √ n= √ 64 ≈ 0.8402 0.15 × 0.85 p0 (1 − p0 ) f − p0 Bước Vì uqs = 0.8402 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức tin vào kết luận tài liệu thống kê với mức ý nghĩa 5% 139 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bài tập 5.30 Điều tra doanh thu hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng A địa phương B, người ta điều tra 100 hộ kinh doanh loại mặt hàng tháng năm 2019 thu bảng số liệu Doanh thu (triệu đồng) 20 24 28 32 36 40 44 48 52 Số hộ gia đình 10 17 25 20 10 Với độ tin cậy 95% ước lượng doanh thu trung bình hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng nói Để độ xác ước lượng nhỏ triệu đồng cần điều tra hộ? Theo số liệu điều tra năm 2018 tỷ lệ hộ gia đình đạt doanh thu 28 triệu đồng 20% Theo anh chị tỷ lệ năm 2019 có giảm hay khơng? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 1% Hãy ước lượng tỷ lệ hộ có doanh thu 40 triệu đồng với độ tin cậy 99%? Nếu yêu cầu độ tín cậy 95%, độ xác ước lượng 0,02 cần điều tra ngẫu nhiên hộ gia đình? Một tài liệu báo cáo cho biết doanh thu trung bình hộ kinh doanh loại mặt hàng A địa phương B 30 triệu đồng tháng Tài liệu báo cáo có làm giảm doanh thu trung bình hộ gia đình kinh doanh mặt hàng A để giảm thuế hay không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 5% Theo điều tra cách năm doanh thu trung bình hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng 30 triệu đồng/tháng, đánh giá xem doanh thu trung binh sau năm có thay đổi không với mức ý nghĩa 5% Điều tra doanh thu 200 hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng A địa phương C năm 2019 người ta tính doanh thu trung bình/tháng 37 triệu đồng độ lệch chuẩn mẫu 1,1 triệu đồng Doanh thu trung bình loại mặt hàng A địa phương C B có hay khơng? Hãy kết luận với độ tín cậy 95% Gọi X doanh thu hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng A, X ∼ N µ, σ với phương sai σ chưa biết Doanh thu trung bình hộ gia đình E[X] = µ chưa biết cần ước lượng X − µ√ Bước Chọn thống kê U = n Vì n = 100 > 30 nên thống kê U ∼ N (0, 1) S Bước Khoảng tin cậy đối xứng cho E[X] = µ s s x − u1− α √ , x + u1− α √ 2 n n α = 0.05, u1− α = u0.975 = 1.96, tra từ bảng giá trị phân phối chuẩn tắc 140 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bước Từ số liệu cho tính n = 100, x = 33.36, s = 7.1964 Suy khoảng tin cậy đối xứng E[X] = µ 7.1964 7.1964 , 33.36 + 1.96 × √ 33.36 − 1.96 × √ 100 100 = (31.9495, 34.7705) Bước Kết luận, với độ tin cậy 95% doanh thu trung bình hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng A từ 31.9495 triệu đồng đến 34.7705 triệu đồng s Sai số ước lượng ε = u1− α √ Để độ xác ước lượng nhỏ triệu n đồng, hay ε < cỡ mẫu phải lấy n> u21− α s2 ε2 = 1.962 × 7.19642 ≈ 49.7374 22 Vậy cần chọn mẫu nhỏ có cỡ n = 50 Gọi p tỷ lệ hộ gia đình đạt doanh thu 28 triệu đồng Đây toán kiểm định giả thuyết tỷ lệ tổng thể Bước Đặt giả thuyết H0 : p = p0 , đối thuyết H1 : p < p0 với p0 = 0.2 f − p0 √ Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = n giả thuyết H0 p0 (1 − p0 ) Vì np0 = 20 > n(1 − p0 ) = 80 > lớn nên U ∼ N (0, 1) Bước Với α = 0.01, tra bảng giá trị phân phối chuẩn tắc u1−α = u0.99 = 2.33 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = (−∞, u1−α ) = (−∞, −2.33) m Bước Từ số liệu cho ta có n = 100, m = 15 tính f = = = 0.15, với n 20 p0 = 0.2 suy giá trị quan sát uqs = √ 0.15 − 0.2 √ n= √ 100 ≈ −1.25 0.2 × 0.8 p0 (1 − p0 ) f − p0 Bước Vì uqs = −1.25 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức chưa thể kết luận tỷ lệ hộ gia đình đạt doanh thu 28 triệu đồng năm 2019 giảm với mức ý nghĩa 1% 13 Gọi p tỷ lệ hộ có doanh thu 40 triệu đồng Kiểm tra nf = 100 × = 100 87 13 > n(1 − f ) = 100 × = 87 > 100 f −p √ Bước Chọn thống kê Z = n Thống kê Z ∼ N (0, 1) f (1 − f ) 141 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Bước Khoảng tin cậy đối xứng sác xuất p  f − u1− α f (1 − f ) , f + u1− α n  f (1 − f )  n u1− α = u0.995 = 2.58 tra từ bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Bước Với n = 100, m = 13, f = m = 0.13, suy khoảng tin cậy đối xứng p n   0.13 × 0.87 0.13 × 0.87  0.13 − 2.58 , 0.13 + 2.58 = (0.0432, 0.2168) 100 100 Bước Kết luận, tỷ lệ hộ có doanh thu 40 triệu đồng từ 4.32% đến 21.68% với độ tin cậy 99% f (1 − f ) Với độ tin cậy γ = − α = 0.95 n độ xác ε0 = 0.02 cho trước kích thước mẫu cần thiết số tự nhiên n nhỏ thỏa mãn Độ xác ước lượng ε = u1− α n≥ u21− α f (1 − f ) ε20 = 1.962 × 0.13 × 0.87 ≈ 1086.2124 0.022 Như mẫu cần tìm có cỡ n = 1087 Gọi X doanh thu hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng A Ta thấy E[X] = µ doanh thu trung bình hộ gia đình chưa biết Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n = 100 > 30 Bước Kiểm tra giả thuyết H0 : µ = µ0 , đối thuyết H1 : µ > µ0 với µ0 = 30 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = N (0, 1) X − µ0 √ n giả thuyết H0 U ∼ S Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị phân phối chuẩn tắc u1−α = u0.95 = 1.65 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = (u1−α , +∞) = (1.65, +∞) Bước Từ số liệu đầu ta có µ0 = 30, n = 100, x = 33.36, s = 7.1964 suy giá trị quan sát x − µ0 √ 33.36 − 30 √ uqs = n= 100 4.669 s 7.1964 Bước Vì uqs = 4.669 ∈ Wα nên có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức tài liệu báo cáo làm giảm mức doanh thu trung bình hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng A để giảm thuế với mức ý nghĩa 5% 142 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Gọi X doanh thu hộ gia đình kinh doanh loại mặt hàng A Ta thấy E[X] = µ doanh thu trung bình hộ gia đình chưa biết Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n = 100 > 30 Bước Kiểm tra giả thuyết H0 : µ = µ0 , đối thuyết H1 : µ = µ0 với µ0 = 30 X − µ0 √ Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = n giả thuyết H0 U ∼ S N (0, 1) Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị phân phối chuẩn tắc u1− α = u0.975 = 1.96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = −∞, −u1− α ∪ u1− α , +∞ = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, +∞) 2 Bước Từ số liệu đầu ta có µ0 = 30, n = 100, x = 33.36, s = 7.1964 suy giá trị quan sát 33.36 − 30 √ x − µ0 √ uqs = n= 100 4.669 s 7.1964 Bước Vì uqs = 4.669 ∈ Wα nên có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức doanh thu trung bình sau năm có thay đổi với mức ý nghĩa 5% Gọi X, Y doanh thu loại mặt hàng A năm 2019 địa phương B C Ta có X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) Đây toán so sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n1 = 100 > 30, n2 = 200 > 30 Bước Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 = µ2 Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = X −Y S12 S22 + n1 n2 H0 U ∼ N (0, 1) Bước Với α = 0.05, tra bảng giá trị phân phối chuẩn tắc u1− α = u0.975 = 1.96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = −∞, −u1− α ∪ u1− α , +∞ = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, +∞) 2 Bước Từ số liệu cho ta có n1 = 100, n2 = 200, x = 33.36, s21 = 7.19642 , y = 200 37, s22 = × 1.12 = 1.2161 suy giá trị quan sát 199 uqs = x−y s21 s2 + n1 n2 = 33.36 − 37 7.19642 1.2161 + 100 200 ≈ −5.0286 Bước Vì uqs = −5.0286 ∈ Wα nên có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Tức doanh thu trung bình mặt hàng A địa phương B C không với mức ý nghĩa 5% 143 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 Tài liệu tham khảo Bài giảng Xác suất thống kê, PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy, Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội, 2020 Đề cương tập Xác suất thống kê, Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội, 2020 Introduction to Probability, Dimitri P Bertsekas & John N Tsitsiklis, MIT Publisher, 2008 An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications, Richard J Larsen & Morris L Marx, Pearson, 2018 144 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 ... 0.5208 Bài tập 1.36 Một tổ có 15 sinh viên có sinh viên học giỏi mơn "Xác suất thống kê" Cần chia làm nhóm, nhóm sinh viên Tính xác suất để nhóm có sinh viên học giỏi mơn "Xác suất thống kê" Gọi... xác suất kiện A P (A) = |H| = = 0.25 |G| 12 Nguyễn Quang Huy 20185454 MI2 K63 Đề cương MI2020 học kỳ 20192 y x O 1.3 Xác suất điều kiện Công thức cộng, nhân xác suất Công thức Bernoulli Bài tập. .. A Bài tập 1.35 Theo thống kê gia đình có hai xác suất để thứ thứ hai trai 0,27 hai gái 0,23, xác suất thứ thứ hai có trai gái đồng khả Biết kiện xét gia đình chọn ngẫu nhiên có thứ gái, tìm xác