Bài toán biên hilbert và các phương trình tích phân liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG QUẾ HƯỜNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG QUẾ HƯỜNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 Mục lục Lời mở đầu Một số khái niệm 1.1 Các khái niệm 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Bài toán biên Riemann 1.3 Toán tử Schwarz 1.3.1 1.3.2 Bài toán biên Hilbert 2.1 Thừa số quy hóa 2.1.1 2.1.2 2.2 Các dạng toán biên Hilb 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 Mối liên hệ toán biê mann Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan 3.1 Mối quan hệ phương trì nhân Hilbert tốn biên 3.2 Các dạng phương trình tích 3.2.1 3.2.2 3.2.3 Ví dụ áp dụng 4.1 Bài toán biên Hilbert 4.2 Phương trình tích phân kì dị Kết luận Tài liệu tham khảo Lời mở đầu Bài tốn tìm hàm giải tích miền xác định từ hệ thức liên hệ phần thực phần ảo giá trị biên hàm, lần đưa G F B Riemann vào năm 1857, gọi toán biên Riemann Tương tự vậy, David Hilbert xây dựng toán sau: Tìm hàm + F(z) = u(z) + iv(z) hàm giải tích miền đơn liên D giới hạn chu + tuyến L liên tục D [ L, với điều kiện biên a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t) a(t), b(t) c(t) hàm thực liờn tc Holderă trờn L Bi toỏn trờn cng thuc vào nhóm tốn giá trị biên hàm giải tích, tốn lâu đời dạng thường gọi tốn biên Hilbert Mục đích luận văn nghiên cứu dạng thứ hai tốn biên hàm giải tích lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng Tiếp theo, khảo sát số vấn đề liên quan hỗ trợ cho việc giải toán biên Hilbert tốn tử Schwarz, thừa số quy hóa, Nội dung khóa luận chia làm bốn chương Chương 1: Một số khái niệm kiến thức bổ trợ Chương 2: Bài toán giá trị biên Hilbert cho miền đơn liên, khảo sát nghiệm toán nhất, tốn khơng nhất, tốn cho miền miền ngồi đường trịn đơn vị thơng qua thừa số quy hóa số hàm số Chương 3: Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert Từ nghiệm toán giá trị biên Hilbert suy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị tương ứng tính chất phương trình với nhân Hilbert Chương 4: Áp dụng toán biên Hilbert giải số phương trình tích phân liên quan LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng 08 năm 2016 Học viên Hoàng Quế Hường Chương Một số khái niệm Trong chương này, lí thuyết tốn biên Riemann trình bày với đa số kí hiệu dùng sách F D Gakhov [1] Dưới số kiến thức chuẩn bị 1.1 Cỏc khỏi nim c bn 1.1.1 iu kin Holderă Gi sử L chu tuyến trơn j(t) tham số hóa tọa độ L Ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm j(t) gi l tha iu kin Holderă nu vi mi cặp điểm phân biệt tùy ý L có jj (t1) j (t2)j Ajt1 t2j l A l số dương A gọi hng s Holder,ă l c gi l ch s Holderă (0 < l 1) Với l > (1.1) trở thành j(t1) t1 lấy giới hạn hai vế t1 ! t2 ta j (t2) = với t2 thuộc miền xác định Khi đó, j(t) số (tức chu tuyến L suy biến thành điểm) Do đó, luận văn này, ta xét trường hợp < l Với l = điều kiện gọi điều kiện Lipschitz p Ví dụ 1.1 Xét hàm j(t) = sin p p j sin t1 sin t2j Do ú hm j tha iu kin Hoălder vi hng số A = số l = 1/2 Ví dụ 1.2 Ta xét hàm j(t) = Do t nên với số A, l, tồn t đủ nhỏ cho jj(t) j(0)j = Cho nên hàm j xác định không thỏa 1.1.2 Chỉ số hàm số Cho L chu tuyến đóng, đơn, trơn G(t) hàm số liên tục không triệt tiêu L Định nghĩa 1.2 Chỉ số hàm số G(t) dọc theo chu tuyến L tỷ số độ tăng trưởng (số gia) argumen chuyển động hết lượt (theo chiều dương) dọc theo chu tuyến L với 2p Ta ký hiệu Ind G(t) số hàm G(t) Ký hiệu [w]L số gia w dọc theo L số G(t) viết dạng { = IndG(t) = 2p [arg G(t)]L Chỉ số dễ dàng tính thơng qua biến thiên logarit hàm số; tức ln G(t) = ln jG(t)j + i arg G(t) Sau chuyển động dọc theo L, jG(t)j trở lại giá trị ban đầu Vậy nên [arg G(t)]L = i [ln G(t)]L, tuyệt đối toán ứng với { = > số h1 h2 chọn tùy ý # 48 Ví dụ 4.2 Giải tốn giá trị biên Hilbert cho đường trịn đơn vị (cos 2s cos s + )u (sin 2s sin s)v = cos 2s + h1 cos s + h2 Giải Từ số toán { = < nói chung tốn khơng giải Nó giải có lựa chọn đặc biệt số h1 h2 Biến đổi tương tự toán trước dẫn đến điều kiện biên : Re[(t Do F(z) = (z suy F(z) = (z Đối với h1 h2 hàm có cực điểm cấp hai điểm z = 2, để loại bỏ cực điểm ta cần chọn số h = 1, h2 = F(z) = + (z Ví dụ 4.3 Giải tốn Hilbert cho đường trịn đơn vị e sin 2s cos(cos 2s)u(s) e sin 2s sin(cos 2s)v(s) = e Giải Ta có = = ei(cos 2s+i sin 2s) eit cos s cos(sin s) 49 Điều kiện biên toán viết dạng Re [F(t) (a ib)] = c(s) , Re [F(t) e it2 cos s ]=e cos(sin s) Hàm khơng có 0- điểm cực điểm nên số { = is Đặt cos s + i sin s = e = z, jzj = Ta có ez = e(cos s+i sin s) = ecos s ei sin s = e = e cos s (cos(sin s) + i sin(sin s)) cos s cos(sin s) + i e cos s sin(sin s) e cos s z cos(sin s) = Re e suy theo tính hàm giải tích xác định tích phân Schwarz, ta có S (e cos s z cos(sin s)) = e Như vậy, nghiệm tốn có dạng F(z) e ) iz2 = S (e F(z) = e cos s iz2 cos(sin s)) + ib0 z (e + ib0), b0 = Im F(0) Ví dụ 4.4 Giải tốn Hilbert cho đường trịn đơn vị cos s u(s) (sin s + 2)v(s) = cos 2s + h Giải Ta có a i ib = cos s + i sin s + = i t+2 50 Điều kiện biên tốn có dạng Re , Re [F(t) (a ib)] = c(s) " # , Re Hàm số có cực điểm bên đường trịn đơn vị nên hàm số có số {= Đặt z = cos s + i sin s, jzj = Từ đó, ta có cos 2s + h = Re[z + h], theo tính hàm giải tích xác định tích phân Schwarz, ta có S(cos 2s + h) = z + h Khi nghiệm tốn có dạng F(z) = (z + Hay i F(z) = (z + ) (z + h + iC) Do C tùy ý nên chọn C = Vì số toán { = < nên toán giải cực điểm z i = loại bỏ Để có điều ta chọn h = Khi =z Im F(0) = 51 4.2 Phương trình tích phân kì dị Ví dụ 4.5 Giải phương trình tích phân kỳ dị khơng cho đường trịn đơn vị (cos s + 2)u(s) Giải Ta có tốn biên Hilbert tương ứng a1(s)u(s) + b1(s)v(s) = c1(s) , (cos s + 2)u(s) + sin s v(s) = sin s ( ) Ta có 2 2 a + b1 = (cos s + 2) + sin s = + cos s 6= Phương trình ( ) tương đương với Xét biểu thức Đặt cos s + i sin s = e is a Điều kiện biên toán viết dạng Re [F(t) (a ib)] = c(s) , Re Hàm có số { = Từ is Đặt cos s + i sin s = e = t, cos s = F(z) = (z + 2) 2ip Z jt j=1 Ta có 2p nên F(z) = (z + 2) Xét tích phân ta thu Do b0 = Im F(0) = Suy F(z) = (z + 2)( Thay giá trị z = cos s + i sin s ta thu F(z) = i(cos s + i sins) Khi Vậy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị : u(s) = sin s 53 Ví dụ 4.6 Giải phương trình tích phân kỳ dị khơng cho đường tròn đơn vị cos s u(s) Giải Ta có tốn biên Hilbert tương ứng a2(s)u(s) + b2(s)v(s) = c2(s) , cos s u(s) + (sin s Ta có Phương trình ( ) tương đương với Xét biểu thức is Đặt cos s + i sin s = e = t, Điều kiện biên toán viết dạng Re [F(t) (a ib)] = c(s) , Re Hàm có số { = 2i) S Từ F(z) = (z 2i) = (z 2p 54 Đặt cos s + i sin s = F(z) = (z 2i) Ta có nên F(z) = (z 2i) dt jtj=1 t Xét tích phân 2ip Z jtj=1 = 2ip Z ( t jtj=1 ta thu F Do = z + z(3i + ib0) + 2b0 Thay giá trị z = cos s + i sin s ta thu F(z) = cos 2s + sin s b0(sin s 2) + i( sin 2s cos s + b0 cos s) 55 Khi u(s) = Re F(z) = cos 2s + sin s b0(sin s Vậy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị là: u(s) = b0 = Im F(0) = cos 2s + sin s b0(sin s 2), 2) 56 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết sau: - Phát biểu chứng minh chi tiết số định lý toán giá trị biên Hilbert phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng Đồng thời, trình bày số ví dụ minh họa - Sử dụng thừa số quy hóa số hàm số để biện luận nghiệm tốn giá trị biên Hilbert phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng - Trình bày cách giải toán Hilbert cho miền đơn liên, cụ thể cho trường hợp đường tròn đơn vị - Khảo sát phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert thơng qua nghiệm tốn biên Hilbert, từ tìm tính chất phương trình tích phân kỳ dị tương ứng 57 Tài liệu tham khảo [1] Gakhov F.D (1990), Boundary value problems, Dover Pub., Inc., New York [2] Nguyen Van Mau (1997), Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Space, VNU Pub Ha Noi [3] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer ... 2.2.4 2.3 Mối liên hệ toán biê mann Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan 3.1 Mối quan hệ phương trì nhân Hilbert toán biên 3.2 Các dạng phương trình tích 3.2.1 3.2.2... dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan Trong chương ta xét phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert có dạng đặc trưng có mối liên hệ mật thiết với toán biên Hilbert 3.1 Mối quan hệ phương. .. tích phân kỳ dị với nhân Hilbert Từ nghiệm toán giá trị biên Hilbert suy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị tương ứng tính chất phương trình với nhân Hilbert 4 Chương 4: Áp dụng toán biên Hilbert