Luận văn thạc sĩ bài toán hàm ẩn và một số dạng tích phân liên quan trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN e Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Hàm ẩn Đạo hàm hàm số ẩn Cơ sở lý thuyết đồng biến nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số 1.3.1 Các kiến thức đồng biến nghịch biến hàm số 1.3.2 Các kiến thức cực trị hàm số 1.3.3 Các kiến thức giá trị lớn giá trị nhỏ 1.3.4 hàm số 10 Sự tương giao đồ thị hàm số 11 Khảo sát số vấn đề liên quan đến hàm ẩn 2.1 12 Khảo sát tính đơn điệu hàm ẩn thơng qua số điều kiện biết 12 i e 2.1.1 Xác định khoảng đơn điệu hàm số y = f (u(x)) dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm y = f (x) với hàm u(x) biết 12 2.1.2 Xác định khoảng đơn điệu hàm y = f (u(x)) + g(x) dựa vào bảng biến thiên đồ thị y = f (x), với hàm u(x) biết 2.1.3 15 Sáng tác số toán hàm ẩn liên quan tính đơn điệu hàm số 18 2.2 Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 21 2.2.1 Xác định cực trị hàm số y = f (u(x)) biết đồ thị bảng biến thiên hàm f (x), với u(x) hàm biết 21 2.2.2 Xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) + v(x) biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f (x), với u(x) v(x) hàm biết 24 2.2.3 2.3 Sáng tác số toán cực trị hàm ẩn 26 Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 30 ii e 2.3.1 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) thông qua đồ thị, bảng biến thiên y = f (x) y = f (x) miền D, với u(x) biết 30 2.3.2 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) + v(x) khoảng K thông qua đồ thị hàm số y = f (x), với u(x) v(x) hàm biết 32 2.3.3 Sáng tác số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn 34 2.4 Khảo sát tương giao đồ thị hàm ẩn 39 2.4.1 Dạng toán cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f (x), xét tốn liên quan đến phương trình f (u(x)) = a, với u(x) hàm biết 39 2.4.2 Dạng toán tương giao biện luận nghiệm phương trình f (u(x)) = g(m) cho biết đồ thị bảng biến thiên f (x) với u(x) hàm biết 2.4.3 41 Biết đồ thị bảng biến thiên y = f (x), xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f (u(x)) = f (m),với hàm u(x) biết 44 iii e 2.4.4 Dạng toán hàm ẩn liên quan đến phương trình có dạng f (|x|) = a; |f (x)| = a; f (|u(x)|) = a |f (u(x))| = a với hàm u(x) biết 49 2.4.5 Dạng toán liên quan đến đồ thị bảng biến thiên hàm y = f (x) Xét toán liên quan đến phương trình f (u(x)) = g(x) với hàm u(x), g(x) biết 56 2.4.6 Sáng tác toán tương giao hàm ẩn 60 Tích phân hàm ẩn 69 3.1 Tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến 69 3.2 Tích phân hàm ẩn phương pháp phần 76 3.3 Một số tốn tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức: f (x) + p(x) · f (x) = h(x) (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) 83 3.4 Sáng tác tốn tích phân hàm ẩn 85 Kết luận 89 Tài liệu tham khảo 90 iv e MỞ ĐẦU Theo xu đổi giáo dục, trình dạy học để đạt kết cao đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh, để đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Mỗi người thầy, cô giáo luôn học hỏi cập nhật sáng tạo phương pháp cách giải cho học sinh dễ tiếp cận để học sinh thích nghi với thay đổi kì thi thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia Không giúp học sinh vượt qua nỗi lo âu, sợ hãi phải luyện tập câu mức độ vận dụng cao giải tập đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia Từ năm học 2016-2017 (kì thi THPT Quốc Gia 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Qua kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018, 2019 gần năm 2020 kiến thức toán THPT xây dựng phát triển theo nhiều hướng Đây thách thức lớn hội để giáo viên phải luôn học hỏi nâng cao kỹ giảng dạy thân Trong mảng kiến thức mà Bộ Giáo dục thường xuyên trọng xoáy sâu “Khảo sát đồ thị hàm số liên quan đến hàm ẩn” “Tích phân liên quan đến hàm ẩn” Các toán liên quan đến chuyên đề “Hàm số tích phân phong phú đa dạng Chính phương pháp để giải dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm ẩn tích phân hàm ẩn cần thiết giúp giáo viên có trình độ kiến thức giảng dạy học sinh e để tiếp cận giúp cho học sinh vận dụng kiến thức tốt để xử lí câu mức độ vận dụng cao đề thi TN THPT Quốc Gia cho năm tới Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương I: Giới thiệu, nhắc lại số kiến thức chung hàm số sơ cấp chương trình phổ thơng Chương II: dành để trình bày phương pháp xử lý tốn hàm ẩn liên quan đến tính chất đồ thị hàm số tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số Cụ thể chương phân mục tương ứng cho nội dung đặt Chương III: dành để trình bày phương pháp xử lý tốn tích phân hàm ẩn Cụ thể chương phân mục đích tích phân biến đổi số tích phân phần Và cuối chương II III có mục sáng tác riêng dạng tốn thường gặp kì thi TN THPT Quốc Gia Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Mai Thành Tấn, Phó Trưởng khoa Tốn Thống Kê Qua tơi muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Mai Thành Tấn – giảng viên hướng dẫn tơi thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp trường Đại học Quy Nhơn tồn thể q thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn ln quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa e qua Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả luận văn CHÂU ĐÌNH TÍN e Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm ẩn Cho phương trình F (x, y) = (1.0.1) Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp U ⊂ R2 Nếu với giá trị x = x0 khoảng I đó, có hay nhiều giá trị y0 cho F (x0 , y0 ) = 0, ta nói phương trình (1.0.1) xác định hay nhiều hàm số ẩn y theo x khoảng I Vậy hàm số f : I → R hàm số ẩn xác định (1.0.1) ∀x ∈ I, (x, f (x)) ∈ U F (x, f (x)) = Tương tự vậy, phương trình F (x, y, z) = (1.0.2) Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp mở U ⊂ R3 , có thê xác định hay nhiều hàm số ẩn x biến số x, y Hệ hai phương trình   F (x, y, z, u, v) =  G(x, y, z, u, v) = F : U → R, G : U → R hàm số xác định tập hợp U ⊂ R5 , xác định hay nhiều cặp hàm só ẩn u, v biến số x, y, z Ta có định lí sau tồn tại, tính liên tục tính khả vi hàm số ẩn e g (−3) = f (−3) − g(3) = f (3) − Dựa vào đồ thị f ta thấy: R1 −3 f (x)dx > ⇒ f (1) − f (−3) > ⇒ f (−3) < ⇒ g (−3) < Tương tự dựa vào đồ thị f ta thấy: R3 f (x)dx > ⇒ f (3) − f (1) > ⇒ f (3) > ⇒ g (3) > Vậy phương trình g(x) = có nghiệm [−3; 3] 2.4.6 Sáng tác toán tương giao hàm ẩn Từ ví dụ mẫu ta dựa sở thay đổi nhiều yếu tố tốn mà sáng tác vơ số tốn mức độ vận dụng cao cho học sinh Từ thay yếu tố bảng biến thiên sang bảng xét dấu đồ thị hàm f (x) hàm f (x) Thay đổi từ giải phương trình sang bất phương trình, thay đổi hàm u(x), hàm v(x) thay đổi tìm nghiệm sang biện luận m,v.v Ví dụ ta thay hàm u(x) thành hàm số lượng giác hàm v(x) hàm số lượng giác chứa m để đưa thành toán biện luận m 60 e Ví dụ 2.4.16 Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình sau Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình sin3 x cos 2x 2f (sin x − 2) − + sin x > m +  π π nghiệm với x ∈ − ; 2 Lời giải sin3 x cos 2x Ta có 2f (sin x − 2) − + sin x > m +
− sin2 x sin3 x hay m < 2f (sin x − 2) − + sin x − 3 π π  Đặt t = sin x − (với x ∈ − ; thi t ∈ (−3; −1), bất phương 2 2(t + 2)3 [1 − 2(t + 2)2 ] trình viết lại thành: m < 2f (t)− +(t+2)− 65 3 (∗) hay m < 2f (t) − t − t + 3t + 12 65 Xét hàm số g(t) = 2f (t) − t3 − t2 + 3t + đoạn [−3; −1] 12 3 Ta có g (t) = 2f (t)−2t2 −3t+3 Do g (t) = f (t) = t2 + t− 2 61 e Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f (t) parabol 3 y = t2 + t − đoạn [−3; −1] g (t) = suy t ∈ {−3; −1} 2 Suy bảng biến thiên hàm số g(t) đoạn [−3; −1] sau:  π π Bất phương trình cho nghiệm với x ∈ − ; chi 2 bất phương trình (*) nghiệm với t ∈ (−3; −1) Điều tương 19 đương với m ≤ g(−1) = 2f (−1) + dựa vào tính liên tục hàm số 12 g(t) 62 e Ví dụ 2.4.17 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f (sin x) − m + = sin x có nghiệm thuộc khoảng (0; π) Hỏi tổng phần tử S bằng? Lời giải Đặt t = sin x, với x ∈ (0; π) t ∈ (0; 1] Ta phương trình: f (t) − 2t = m − hay f (t) = 2t + m − 2(1) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f (t) đường thẳng y = 2t + m − 2(r) Gọi (p) : y = 2x + song song với đường thẳng (∆) : y = 2t qua điểm A(0; 1) Gọi q : y = 2x − song song với đường thẳng (∆) : y = 2t qua điểm B(1; −1) 63 e Để phương trình f (sin x)−m+2 = sin x có nghiệm thuộc khoảng (0; π) phương trình (1) phải có nghiệm t ∈ (0; 1], suy đường thẳng r nằm miền nằm hai đường thẳng q p (có thể trùng lên q bỏ p ) Khi −3 ≤ m − < suy −1 ≤ m < hay m ∈ {−1; 0; 1; 2} Vậy S = {−1; 0; 1; 2} Do tổng phẩn từ là: −1 + + + = Việc thay đổi u(x) hàm xác định thường dễ suy luận hơn, ta cho u(x) phụ thuộc vào m tốn nâng mức độ tư học sinh Bài tốn sau ví dụ minh hoạ cho trường hợp Ví dụ 2.4.18 Cho hàm số f (x) = x3 + x + Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình  p 3 f f (x) + f (x) + m = −x − x + có nghiệm x ∈ [−1; 2]? Lời giải Xét hàm số f (t) = t3 + t + 2, ta có f (t) = 3t2 + > 0, với t ∈ R Do hàm số f đồng biến R p  3 f (x) + f (x) + m = f (−x) Ta có f p x = f (x) + f (x) + m hay f (x) + f (x) + x3 + m = Xét h(x) = f (x) + f (x) + x3 + m đoạn [−1; 2] Ta có h0 (x) = 3f (x) · f (x) + f (x) + 3x2 = f (x) [3f (x) + 1] + 3x2 64 e Ta có f (x) = 3x2 +1 > 0, với x ∈ [−1; 2] ta h0 (x) > 0, với x ∈ [−1; 2] Hàm số h(x) đồng biến [−1; 2] nên min[−1,2] h(x) = h(−1) = m − 1, max[−1:2] h(x) = h(2) = m + 1748 Phương trình (1) có nghiệm chi h(x) · max h(x) ≤ ⇔ h(−1) · h(2) ≤ [−7,2] [−1;2] ⇔ (m − 1)(1748 + m) ≤ ⇔ −1748 ≤ m ≤ Do m nguyên nên tập giá trị m thỏa mãn S = {−1748; −1747; ; 0; 1} Vậy có tất 1750 giá trị nguyên m thoả mãn Để toán lạ ta biến đổi thành phương trình bậc hai theo ẩn f (u(x)) phương trình bậc hai giải nghiệm để biện luận ví dụ sau Ví dụ 2.4.19 Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Hỏi số giá trị nguyên tham số m để phương trình f (cos x) + (m − 2019)f (cos x) + m − 2020 = có nghiệm phân 65 e biệt thuộc đoạn [0; 2π] là? Lời giải Ta có f (cos x) + (m − 2019)f (cos x) + m − 2020 = f (cos x) = −1; f (cos x) = 2020 − m Với f (cos x) = −1, dựa vào đồ thị ta có f (cos x) = −1 suy cos x = 0; cos x = x1 (x1 > 1) (Vô nghiệm) Phương  trình π 3π π ; cos x = suy x = + kπ Vì x ∈ [0; 2π] nên x ∈ 2 Với f (cos x) = 2020 − m Đặt t = cos x (t ∈ [−1; 1]) Với t ∈ (−1; 1] phương trình t = cos x có hai nghiệm phân biệt thuộc [0; 2π] Với t = −1 phương trình t = cos x có nghiệm thuộc [0; 2π] Phương trình trờ thành f (t) = 2020 − m Để phương trình f (cos x) + (m − 2019)f (cos x) + m − 2020 = có tất nghiệm phân biệt phương trình f (cos x) = 2020 − m có nghiệm phân biệt, hay phương trình f (t) = 2020 − m có hai nghiệm t ∈ (−1; 1] 66 e Dựa vào đồ thị ta có để phương trình f (t) = 2020 − m có hai nghiệm t ∈ (−1; 1] −1 < 2020 − m ≤ ⇔ 2019 ≤ m < 2021 Vì m nguyên nên m ∈ {2019; 2020} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Ví dụ 2.4.20 Cho hàm số f (x) = x2 − 4x + Hó giá trị nguyên tham số m để phương trình f (|x|) − (m − 6)f (|x|) − m + = có nghiệm thực phân biệt? Lời giải Hàm số f (x) = x2 − 4x + có bảng biến thiên Hàm số y = f (|x|) có bảng biến thiên 67 e Đặt t = f (|x|), t ≥ −1 Nhận xét: Với t0 = −1; t0 > phương trình t = f (|x|) có nghiệm; Với t0 = phương trình t = f (|x|) có nghiệm; Với t0 ∈ (−1; 3) phương trình t = f (|x|) có nghiệm Phương trình f (|x|) − (m − 6)f (|x|) − m + = trở thành t2 − (m − 6)t − m + = t = −1; t = m − Yêu cầu toán suy −1 < m − < hay < m < mà m ∈ Z nên m ∈ {5; 6; 7} 68 e Chương Tích phân hàm ẩn Chương trình bày ba vấn đề chuyên đề tích phân liên quan đến hàm ẩn Thứ tích phân hàm ẩn sử dụng phương pháp đổi biến số Thứ hai tích phân hàm ẩn liên quan đến phương pháp tích phân phần thứ ba số tốn tích phân sử dụng phương pháp giải phương trình vi phấn tuyến tính cấp 3.1 Tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến Trong mục Luận Văn trình bày phương pháp giải dạng toán vận dụng cao thường gặp tích phân hàm ẩn liên quan đến phương pháp đổi biến Rb Rb Dạng 1:[8] Cho a f (x)dx, tính a u0 (x).f (u(x)) dx Rb Rb Hoặc cho a u0 (x).f (u(x)) dx, tính a f (x)dx với u(x) biết Phương pháp: Ta đặt t = u(x) suy dt = u0 (x)dx Đổi cận x a b t u(a) u(b) Z b Z u(b) u (x)f (u(x)) dx = a f (t)dt u(a) 69 e Vì giá trị tích khơng phụ thuộc vào biến nên Z u(b) Z u(b) f (t)dt = u(a) Ví dụ 3.1.1 Cho R4 f (x)dx u(a) f (x)dx = 16, tính R2 f (2x)dx Lời giải Đặt t = 2x ta dt = 2dx Đổi cận x t 4 f (x)dx = 16 = 0 √ R f ( x) R2 Ví dụ 3.1.2 Cho f (x)dx = 2, tính √ dx x Z Z f (2x)dx = dt f (t) = 2 Z Lời giải Đặt t = √ x hay t2 = x suy 2tdt = dx Đổi cận: x t Z √ Z Z Z f ( x) f (t) √ dx = 2tdt = f (t)dt = f (x)dx = x t 1 Ví dụ 3.1.3 (Chuyên √ Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f (x) liên tục R 16 f ( x) Rπ √ dx = 02 f (sinx)cosxdx = R thỏa mãn x R4 Tính I = f (x)dx Lời giải √ R 16 f ( x) √ dx = Xét √ x Đặt t = x hay t2 = x suy 2tdt = dx 70 e Đổi cận: x 16 t 16 Z √ Z Z Z f (t) f ( x) √ dx = 2tdt = f (t)dt = f (x)dx = x t 1 R4 f (x)dx = Rπ Xét 02 f (sinx)cosxdx = Đặt t = sinx suy dt = cosxdx Đổi cận: π x t π Z Z Z f (t)dt = f (sinx)cosxdx = 0 f (x)dx = Như Z Z f (x)dx = Z f (x)dx + f (x)dx = + = Ví dụ 3.1.4 (SGD - Nam Định - 2018) Cho hàm số f (x) liên tục [1;4] thỏa√ mãn f (x) = R4 f (2 x − 1) lnx √ + Tính I = f (x)dx x x Lời giải Z Z  f (x)dx = 1 Xét √ √ √ √  Z Z f (2 x − 1) lnx f (2 x − 1) lnx √ √ dx = + dx+ dx x x x x 1 R f (2 x − 1) √ x dx x Đặt t = x − suy dt = · √ dx Đổi cận: x t 71 e Z √ Z Z f (2 x − 1) √ dx = f (t)dt = f (x)dx x 1 R lnx ln x ... thị hàm số liên quan đến hàm ẩn? ?? ? ?Tích phân liên quan đến hàm ẩn? ?? Các toán liên quan đến chuyên đề ? ?Hàm số tích phân phong phú đa dạng Chính phương pháp để giải dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm. .. Khảo sát số vấn đề liên quan đến hàm ẩn Chương trình bày dạng toán mức độ vận dụng cao phần hàm số chương trình trung học phổ thơng liên quan đến hàm ẩn Phân dạng rõ dạng toán liên quan, phương...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người