Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2013–2014 - Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Bình

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2013–2014 - Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Bình là tư liệu tham khảo giúp giáo viên trong quá trình phân loại và tuyển chọn đội ngũ học sinh giỏi tham dự các kì thi sắp diễn ra.

Đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2013 – 2014 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP 12 Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 (4.0 điểm) Giải phương trình  Câu 2 (4.0 điểm) Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số  được xác định như sau:  (tử số có n dấu căn);  Tính giới hạn của dãy số  Câu 3 (4.0 điểm) Tìm các hàm số  thỏa mãn: Câu 4 (4.0 điểm) Cho tam giác  và  là hai điểm di động trên đường thẳng  sao cho . Đường thẳng  đi qua   và vng góc với , đường thẳng  đi qua  và vng góc với . Gọi  là giao điểm của  và .  Chứng minh rằng trung điểm  của đoạn  ln nằm trên một đường thẳng cố định Câu 5 (4.0 điểm) Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ ln có ít nhất một số có tổng  các chữ số chia hết cho 11 Câu 6 (5,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 7 (5,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: Câu 8 (5,0 điểm) Cho hai đường trịn  và  cắt nhau tại  và  sao cho . Đường thẳng  cắt hai đường trịn tại  sao cho các điểm  nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó.  cắt đường trịn  tại điểm thứ  hai  và cắt  tại .  cắt đường trịn  tại điểm thứ hai  và  tại  a) Chứng minh rằng:  b) Chứng minh rằng:  Câu 9 (5,0 điểm) Cho các số ngun dương  với  và . Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường  thẳng. Tơ n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tơ đúng một màu). Tìm số  cách tơ màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn: 1) Có đúng k điểm được tơ bởi màu xanh 2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tơ  màu đỏ 3) Ở bên phải điểm tơ màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tơ màu đỏ (Hai cách tơ màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tơ màu khác  nhau trong hai cách đó)  ... Cho hai đường trịn ? ?và? ? cắt nhau tại ? ?và? ? sao cho . Đường thẳng  cắt hai đường trịn tại  sao cho các điểm  nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó.  cắt đường trịn  tại điểm thứ  hai ? ?và? ?cắt  tại .  cắt đường trịn  tại điểm thứ hai ? ?và? ? tại ... hai ? ?và? ?cắt  tại .  cắt đường trịn  tại điểm thứ hai ? ?và? ? tại  a) Chứng minh rằng:  b) Chứng minh rằng:  Câu 9 (5,0 điểm) Cho các số ngun dương  với ? ?và? ?. Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường