Phối hợp một số phương pháp dạy học khi giảng dạy “phương pháp đổi biến số trong tìm tích phân không xác định”

Trong bài viết này, tác giả trình bày kết quả nghiên cứu đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của sinh viên trong dạy học Giải tích ở các trường cao đẳng sư phạm nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào bằng cách phối hợp các phương pháp giảng dạy.

This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn

PHỐI HỢP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC KHI GIẢNG DẠY “PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÌM TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH”

Jab Vongthavy

Trường CĐSP Luông Nằm Thà - CHDCND Lào

E-mail: Jabvongthavy@gmail.com

Tóm tắt Trong bài viết này, tác giả trình bày kết quả nghiên cứu đổi mới phương

pháp giảng dạy nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của sinh viên trong dạy học

Giải tích ở các trường cao đẳng sư phạm nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào

bằng cách phối hợp các phương pháp giảng dạy: Phát hiện và giải quyết vấn đề;

Thuyết trình; Vấn đáp - gợi mở; Hợp tác nhóm được thể hiện qua bài dạy “Phương

pháp đổi biến số trong tìm tích phân không xác định”

Từ khóa: Dạy học tích phân, phương pháp giảng dạy Toán.

1 Mở đầu

Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, việc đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) ở các trường cao đẳng sư phạm (CĐSP) nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân (CHDCND) Lào cần được thực hiện theo định hướng hoạt động hóa người học, tức là tổ chức cho sinh viên (SV) học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Với đặc trưng của dạy học tích cực, bên cạnh việc vận dụng từng PPDH

cụ thể, GV cần phối hợp các PPDH với nhau để có thể kết hợp được những ưu điểm của các PPDH truyền thống và PPDH tích cực Vì vậy, chúng tôi đặt vấn đề phối hợp các PPDH để tích cực hóa hoạt động học tập cho SV trong dạy học Giải tích 2 ở các trường CĐSP Lào

Đặc điểm của SV CĐSP Lào theo bài tổng kết của Vụ đào tạo giáo viên nước CHDCND Lào năm 2011 - 2012 [5; 54]: Năng lực tư duy trừu tượng còn thấp, PPDH chưa phù hợp, SV học tập thụ động, động cơ trong học tập chưa rõ ràng, thiếu hụt kiến thức trung học phổ thông (THPT), truyền thống học tập của gia đình, cộng đồng còn hạn chế

Với mục tiêu tích cực hóa hoạt động học tập môn Giải tích của SV CĐSP Lào, chúng tôi đã đề xuất phương án phối hợp một số PPDH, thể hiện trong dạy bài “Phương pháp (PP) đổi biến số trong tìm tích phân không xác định”

Bài PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định nằm trong chương 1, bài 1 của Giáo trình 2 (dành cho SV các trường CĐSP nước CHDCND Lào)

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Dạy học theo kiểu truyền thống ở trường CĐSP nước CHDCND Lào

Thông thường GV đã dạy theo dàn ý như sau (tham khảo [3, 6]):

HĐ 1 Kiểm tra bài cũ

GV: Hãy tìm tích phân không xác định sau đây:

1) R (x2− x + 1)dx

2) R (2x2− 3x + 5)dx

3) R (sinx − cosx)dx)

GV: Gọi một SV lên bảng giải thích cách làm và gọi SV khác ở trong lớp nhận xét GV: Kết luận bài cũ

HĐ 2 Bài mới (PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định)

HĐ 2.1 GV nêu cơ sở của PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định

Để tìm R f(x)dx bằng PP đổi biến số, ta thực hiện như sau:

+ Đặt x = u(t) thì dx = u′

(t)dt + Biến đổi f(x)dx = f[u(t)]u′

(t)dt = g(t)dt + Tìm R f(x)dx = R g(t)dt = G(t) + C

HĐ 2.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm R (1 + x)20dx bằng PP đổi biến số (GV làm mẫu):

+ Đặt u = 1 − x thì du = dx

+ Biến đổi (1 + x)20dx = u20du

+ Do đó R (1 + x)20dx =R u20du = 1

21u

21+ C = 1

21(1 + x)

21+ C

Ví dụ 2: Tìm R (2x − 1)10dx (GV và SV cùng làm)

Ví dụ 3: Tìm R √

2x + 3dx (SV làm có sự giúp đỡ của GV khi cần thiết)

HĐ 3 GV cho bài tập cho SV luyện tập

HĐ 4 GV giao bài tập về nhà

2.2 Dạy học theo kiểu phối hợp một số PPDH

Chúng tôi đã tiến hành theo các bước chính như sau (tham khảo [1, 2, 3, 4]):

HĐ 1: Kiểm tra bài cũ

GV: Hãy tìm tích phân không xác định sau đây:

1) R (x2− x + 1)dx

2) R (2x2− 3x + 5)dx

3) R (sinx − cosx)dx

Ba bài trên liên quan với việc tìm tích phân không xác định theo những biến khác nhau Vì vậy, cần kiểm tra xem SV đã nắm vững kiến thức hay chưa

Gọi một SV lên bảng trình bày (có yêu cầu SV giải thích cách làm và gọi SV khác

ở trong lớp nhận xét)

HĐ 2 Hình thành PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định

Ở đây chúng tôi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề phối hợp với phương pháp vấn đáp - gợi mở

HĐ 2.1 Gợi động cơ

GV: Tìm I = R (1 + x)mdx , với m là số tự nhiên lớn hơn 1

GV: Sử dụng PP vấn đáp gợi mở để dẫn dắt SV tiến hành trả lời từng bước vấn đề đặt ra: Tìm tích phân không xác định này với từng trường hợp cụ thể: m = 2; m = 3;

m = 4;

• Với m = 2: Bằng cách khai triển nhị thức ta tính được

I1 =

Z (1 + x)2dx =

Z (1 + 2x + x2)dx

= 1 + x + x2+1

3x

3+ C = 1

3(1 + x)

3+ C

• Với m = 3: Bằng cách tương tự, ta có thể tính được

I2 =

Z (1 + x)3dx =

Z (1 + 3x + 3x2+ x3)dx

= 1 + x +3

2x

2+ x3+ 1

4x

4 + C = 1

4(1 + x)

4+ C

• Khi m ≥ 4:

I3 =R (1 + x)4dx, I4 =R (1 + x)5dx, I5 =R (1 + x)6dx có thể tính được không? GV: Gợi ý, tính được I3; I4; I5 nhờ công thức nhị thức Niutơn, mặc dù mất khá nhiều công sức, nhưng ta vẫn có thể tính được các tích phân đó

GV sử dụng PP vấn đáp - gợi mở, dẫn dắt SV vào tình huống gợi vấn đề: Vậy với

m = 20, m = 50, làm thế nào để tính đượcR (1 + x)mdx? Có gặp khó khăn gì không? SV: Khi tìm R (1 + x)20dx ta gặp khó khăn trong việc khai triển (1 + x)20;

GV gợi ý cho SV tìm hướng giải quyết vấn đề: Có cách nào để khắc phục khó khăn trên không? Phải chăng là chuyển bài toán về dạng quen thuộc, mà ta có thể dùng những công thức đã biết để tính tích phân?

HĐ 2.2 Xây dựng quy tắc - PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định

GV: Gợi ý:

- Chúng ta có thể khắc phục khó khăn trên bằng cách: Đặt t = 1 + x thì dt = dx Khi đó:

I1 =

Z (1 + x)2dx =

Z

t2dt = 1

3t

3+ C = 1

3(1 + x)

3+ C

I2 =

Z (1 + x)3dx =

Z

t3dx = 1

4t

4+ C = 1

4(1 + x)

4+ C

GV: Hãy so sánh kết quả I1trong hai cách?

SV: Ta thấy kết quả của I1 trong hai cách là giống nhau

GV: Hãy so sánh kết quả I2trong hai cách?

SV: Ta thấy kết quả của I2 trong hai cách là giống nhau

GV: Trong hai cách giải của từng tích phân I1, I2, cách nào hay hơn, nhanh hơn? SV: Cách thứ hai hay hơn và nhanh hơn

GV: Hãy tìm R (1 + x)20dx

GV: Gợi ý cho SV giải quyết tình huống có vấn đề:

Ta có cách hai để giải được bài toán trên:

SV: R (1 + x)20dx =R t20dt = 1

21t

21+ C = 1

21(1 + x)

21+ C

SV tự làm và đưa ra kết quả đúng

Sau đó GV tổ chức SV khái quát hóa: Từ các ví dụ trên, yêu cầu sinh viên hãy xây dựng quy tắc - PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định:

Để tìm R f(x)dx bằng PP đổi biến số, ta thực hiện như sau:

+ Đặt x = u(t) thì dx = u′

(t)dt + Biến đổi f(x)dx = f[u(t)]u′

(t)dt + Do đó R f(x)dx = R f[u(t)]u′

(t)dt (1) (1) được gọi là công thức tìm tích phân không xác định bằng PP đổi biến số

HĐ 2.3 Củng cố

Ý nghĩa của công thức (1): Trong thực hành nhiều trường hợp không thể tìm được

R f (x)dx bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, vì không phải lúc nào ta cũng tìm được nguyên hàm F (x) của f(x) một cách dễ dàng Nhờ công thức (1), ta đổi biến bằng cách đặt x = u(t) và lúc đó R f(x)dx = R f[u(t)]u′

(t)dt trong đó hàm dưới dấu tích phân

f [u(t)]u′

(t) có dạng đơn giản và dễ tính nguyên hàm hơn

Như vậy, trong việc tổ chức các hoạt động như trên, GV đã phối hợp một số PPDH như: Phát hiện và giải quyết vấn đề; Phương pháp thuyết trình, vận dụng theo hướng giải

thích minh họa; Phương pháp vấn đáp - gợi mở để tích cực hóa hoạt động học tập của SV; giúp sinh viên thực hiện nhiệm vụ học tập đã đề ra

HĐ 3 Nhận dạng tích phân không xác định có thể tìm bằng đổi biến số

Ở đây chúng tôi tổ chức cho SV nhận dạng tích phân không xác định có thể tìm bằng đổi biến số thông qua hình thức làm việc theo cặp

GV phát phiếu học tập với nội dung như sau cho các cặp như sau:

Có thể sử dụng PP đổi biến số để tìm các tích phân không xác định nào dưới đây? 1) R (sinx + cosx)dx 2) R sin12xdx 3) R xsindx

4) R x3(1 + x4)3dx 5) xe− 2xdx 6) R √3

3x + 5dx GV: Yêu cầu từng SV làm việc độc lập, rồi trao đổi kết quả cho nhau và tự kiểm tra kết quả của nhau Sau đó, GV chọn (ngẫu nhiên) một số SV đứng tại chỗ trình bày kết quả

và gọi SV khác ở trong lớp nhận xét, GV chính xác hóa và cho SV điền kết quả bài làm vào bảng

Như vậy, trong việc tổ chức các hoạt động như trên, GV đã phối hợp một số PPDH như: thuyết trình (viết đề bài lên bảng trình bày cách làm cho cả lớp); hợp tác theo cặp (đổi kết quả cho nhau và tự kiểm tra kết quả của nhau); kiểm tra đánh giá kết quả, để tích cực hóa hoạt động học tập của SV

HĐ 4 Xác định các bước tìm tích phân không xác định bằng PP đổi biến số

Ở đây chúng tôi vận dụng phương pháp thuyết trình để trình bày lời giải 3 trường hợp riêng nhằm gợi ý cho SV tự khái quát hóa các bước tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

HĐ 4.1 SV tập luyện tìm một số tích phân không xác định bằng PP đổi biến số thông qua ba bước dưới sự hướng dẫn của giảng viên

Ví dụ 1 Tìm R x2e3x 3

dx bằng PP đổi biến số (GV làm mẫu)

B1: Đặt t = 3x3 thì 1

9dt = x

2dx

B2: Biến đổi x2e3x 3

dx = 1

9e

tdt

B3: Do đó R x2e3x 3

dx = 1

9e

tdt = 1

9e

t+ C = 1

9e

3x 3

+ C

Ví dụ 2: Tìm R x2√

1 + x3dx (GV và SV cùng làm)

Ví dụ 3: Tìm R

√

1 + lnx

x dx (SV làm có sự giúp đỡ của GV khi cần thiết).

HĐ 4.2 SV khái quát hóa thành quy trình ba bước tìm tích phân không xác định bằng phương pháp đổi biến số

GV: Tổ chức SV khái quát hóa ba bước tìm tích phân không xác định bằng PP đổi biến số như sau:

Bước 1: Đặt ẩn số phụ.

Bước 2: Biến đổi tích phân không xác định đã cho về tích phân không xác định mới

theo ẩn mới

Bước 3: Tìm tích phân không xác định mới và trả lời.

HĐ 4.3 Luyện tập vận dụng PP đổi biến số để tìm tích phân không xác định

Ở đây chúng tôi tổ chức cho SV vận dụng PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định trên để giải một vài bài toán, thông qua hình thức hợp tác theo nhóm

Bước 1: Chia nhóm

+ Trong mỗi nhóm đều có SV có các học lực khác nhau, SV sẽ có cơ hội và nhu cầu hợp tác với nhau

+ Trong lớp học có 32 SV, chia thành 8 nhóm, mỗi nhóm có 4 SV

+ Mỗi nhóm bầu ra 1 SV làm trưởng nhóm để điều hành và giúp đỡ các bạn trong nhóm

Bước 2: Xác định nhiệm vụ cho các nhóm

Tất cả các nhóm đều có cùng 1 nhiệm vụ: Áp dụng PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định sau:

Bài 1 R x3(1 + x4)3dx;

Bài 2 R 5xdx

(x2 + 4)2

Bài 3 R √3

3x + 5dx;

Bài 4 R sinxdx

1 + cosx Trong 4 bài tập trên được sắp xếp từ dễ đến khó để trong từng nhóm phân công nhiệm vụ phù hợp với mức độ nhận thức của những SV trong nhóm

Bước 3: Làm việc theo nhóm

GV: Yêu cầu các nhóm sắp xếp bàn ghế sao cho các SV trong nhóm có thể đối diện nhau để thảo luận (cần làm nhanh và giữ trật tự)

GV thông báo sẽ gọi ngẫu nhiên 2 SV của 2 nhóm lên bảng trình bày (điều này buộc mọi SV tích cực tham gia hoạt động của nhóm)

GV sẽ hỏi tương tự như nhiệm vụ ở trên:

- Nếu SV nhóm nào trả lời được câu hỏi, thì cho điểm cả nhóm

- Nếu SV nhóm nào không trả lời được câu hỏi, thì cho điểm thấp cả nhóm

GV: Yêu cầu từng cá nhân suy nghĩ khoảng 5 - 6 phút, rồi trao đổi ý kiến, tranh luận, chia sẻ, thảo luận trong nhóm lớn xem những ai có khả năng tìm lời giải cho câu hỏi nào trong 4 câu hỏi

GV: Hướng dẫn các trưởng nhóm chia nhóm của mình thành 2 nhóm nhỏ (mỗi nhóm

có 2 SV) và giao nhiệm vụ cho nhóm nhỏ phù hợp với khả năng và mức độ của SV + Trưởng nhóm phân công nhiệm vụ trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập, sau đó trao đổi ý kiến, chia sẻ, thảo luận trong nhóm nhỏ để thống nhất lời giải

+ Sau khi 2 nhóm nhỏ làm việc xong nhiệm vụ của mình, tất cả SV trong nhóm lớn phải cùng nhau trao đổi ý kiến, tranh luận, chia sẻ, rút kinh nghiệm, thảo luận trong nhóm

về kết quả của các nhóm nhỏ xem đúng hay không, nếu không đúng thì cùng nhau trao đổi chỉnh sửa lại Nhóm trưởng ghi lại kết quả của nhóm sau khi đã thống nhất

GV: Kiểm tra 8 nhóm trong quá trình SV đang thảo luận để kiểm tra tiến độ và để giúp đỡ các SV khi cần thiết

Bước 4: Trình bày kết quả và đánh giá

GV: Chọn (ngẫu nhiên) một thành viên của nhóm 3 lên bảng trình bày kết quả làm việc của nhóm

Bài 3 Tìm R √3

3x + 5dx bằng PP đổi biến số

Lời giải của nhóm 3:

Đặt t = √3

3x + 5⇒ t3 = 3x + 5 thì dx = t2dt

Biến đổi√3

3x + 5dx = t3dt Do đó:

Z

3

√ 3x + 5dx =

Z

t3dt = 1

4t

4+ C

= 1

4(3x + 5)

3

√ 3x + 5 + C GV: Đối với bài 1, 2, 4 là thực hiện như bài 3, về nhà tự làm, tự tìm hiểu với nhau

GV và các SV cả lớp theo dõi nhóm 3 trình bày

GV: Hỏi các nhóm 1, 2, 5, 6, 7, 8 có nhóm nào làm giống với nhóm 3 không? (GV chưa vội công bố đáp số cuối cùng)

SV: Nhóm 1, 5, 7, 8 làm giống với nhóm 3, còn nhóm 2 và nhóm 6 có cách giải khác nhóm 3 một chút

GV: Yêu cầu đại diện nhóm 2 (có lời giải khác nhóm 3) lên bảng trình bày

Lời giải của nhóm 2:

Đặt t = 3x + 5 thì dx = 1

3dt Biến đổi√3

3x + 5dx = 1

3

3

√ tdt

Do đó R √3

3x + 5dx = 1

3

R √3

tdt = 1

4t

3

√

t + C = 1

4(3x + 5)

3

√ 3x + 5 + C

GV và các SV cả lớp theo dõi nhóm 2 trình bày

GV: (Hỏi) Nhóm 6 có làm giống với nhóm 2 không?

SV: (Trả lời) Thưa thầy (cô) Không!

GV: Yêu cầu đại diện nhóm 6 (có lời giải khác nhóm 3 và nhóm 2) lên bảng trình bày

Lời giải của nhóm 6:

R √3

3x + 5dx = 1

3R (3x + 5)

1

3 d(3x + 5) = 1

4(3x + 5(

3

√ 3x + 5) + C Sau khi các nhóm kết thúc trình bày, GV tổ chức cả lớp nhận xét, thảo luận, đánh giá kết quả của từng nhóm

Bước 5: Nhận xét và đánh giá kết quả

+ Đánh giá tinh thần làm việc

GV: Khen ngợi các ý kiến mà nhóm 2, nhóm 3 và nhóm 6 vừa trình bày

GV: Phân tích kết quả của ba nhóm: Cả ba nhóm trình bày đều đúng

+ Kết luận của GV:

Để tìm R f(x)dx bằng PP đổi biến số, có thể thực hiện như sau: Đặt x = u(t);

dx = u′

(t)dt thìR f (x)dx = R f [u(t)]u′

(t)dt

+ Củng cố kiến thức

GV yêu cầu giải bài tập sau: Bài 1 R √

2x + 2dx; Bài 2.R √3

2− 5xdx

3 Một số nhận xét ban đầu

Sau khi dự giờ ở cả hai lớp dạy học theo PP truyền thống và dạy học theo PP phối hợp một số PPDH, các GV đều có nhận xét như sau:

+ Đối với lớp thông thường:

Về lí thuyết SV chưa hiểu rõ cách đặt ẩn số phụ và biến đổi tích phân không xác định đã cho về tích phân không xác định mới theo ẩn mới bởi vì GV chỉ dạy sơ bộ phần lí thuyết rồi đi thẳng vào giảng các bài tập tìm tích phân không xác định bằng PP đổi biến

số theo các công thức một cách áp đặt

GV không tạo ra tình huống gợi vấn đề cho SV tự chiếm lĩnh tri thức, SV học một cách thụ động

Về khả năng tính toán SV chỉ bắt chước được theo bài mẫu của thầy, còn bài tương

tự thì đa số SV không thể làm được

+ Đối với lớp dạy học theo PP phối hợp một số PPDH:

Về lí thuyết SV đã hiểu rõ cách đặt ẩn số phụ và biến đổi tích phân không xác định

đã cho về tích phân không xác định mới theo ẩn mới, vì các em được tham gia vào quá trình xây dựng quy tắc - PP đổi biến số trong tìm tích phân không xác định

GV đã tạo ra tình huống gợi vấn đề cho SV tự chiếm lĩnh tri thức, SV học một cách chủ động và hứng thú

Về khả năng tính toán: Đa số SV có thể tự giải những bài tương tự

3 Kết luận

Trong dạy học những môn Toán ở trường CĐSP Lào, GV có thể phối hợp một số PPDH truyền thống và PHDH tích cực nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của SV, góp phần tạo hứng thú, nâng cao chất lượng dạy học Tình huống tổ chức dạy học “PP đổi biến

số trong tìm tích phân không xác định” là một ví dụ về việc phối hợp các PPDH trong môn Giải tích ở trường CĐSP Lào

Việc kết hợp các PPDH như trên đã thúc đẩy SV hứng thú, tích cực tham gia vào quá trình dạy học, được hợp tác cùng nhau để giải quyết các nhiệm vụ học tập đặt ra, tạo điều kiện cho các em tìm tòi, phát hiện kiến thức mới một cách hợp lí

Việc phối hợp trên sẽ giúp cho GV đảm bảo được thời lượng theo yêu cầu của chương trình, mặt khác giúp GV lựa chọn các bài học để tổ chức dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của SV một cách dễ dàng hơn (không bị hạn chế như khi lựa chọn một bài dạy chỉ áp dụng một PPDH tích cực nào đó mà thôi)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Bá Kim, 2009 Phương pháp dạy học môn Toán Nxb Đại học Sư phạm,

Hà Nội

[2] Bùi Văn Nghị, 2008 Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán Nxb

Đại học Sư phạm, Hà Nội

[3] Ma U Ly - Bua Khay, 2005 Giải tích 2 dành cho SV Cao đẳng Sư phạm Lào Nxb

Giáo dục, Viêng Chăn

[4] Geofrey Petty, 2003 Dạy học ngày nay Nxb Stanley Thomes.

[5] Vụ đào tạo giáo viên, 2001 Bài tổng kết 2011 - 2012 Viêng Chăn.

[6] Bun Suôi, Chít Tạ Vong, Phim Ma Son, 2009 Phương pháp dạy học môn Toán dành cho sinh viên cao đẳng sư phạm Lào Nxb Giáo dục, Viêng Chăn.

ABSTRACT

A combination of teaching methods to activate students learning activities at Teachers Training Colleges in Laos PDR when teaching "Methods of changing

variables in calculating integrals"

In this article, the author presents research results on activating students’ learning activities when teaching Calculus at Teachers Training Colleges in Laos PDR by combining the following teaching methods: problems solving, lectures, eliciting -interviewing and groupwork, all illustrated by teaching the lesson "Methods of changing variables in calculating integrals."