Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi Trung học phổ thông

Nguyên lí Dirichlet chứa đựng nội dung đơn giản nhưng có ứng dụng sâu sắc và hiệu quả trong các bài toán chứng minh, đặc biệt là trong các chứng minh về sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn tính chất nào đó. Ở nước ta hiện nay, nguyên lí Dirichlet chưa có vị trí chính thức trong chương trình Toán dành cho học sinh phổ thông.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol 58, pp 28-35 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DẠY HỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Thị Ngọc Ánh Trường THPT Chuyên - Thái Nguyên E-mail: anhtoan416@gmail.com Tóm tắt Nguyên lí Dirichlet chứa đựng nội dung đơn giản có ứng dụng sâu sắc hiệu toán chứng minh, đặc biệt chứng minh tồn đối tượng thỏa mãn tính chất Ở nước ta nay, ngun lí Dirichlet chưa có vị trí thức chương trình Tốn dành cho học sinh phổ thơng Chúng tơi nghiên cứu đưa nội dung vào dạy học trường trung học phổ thông (THPT) với ba nhiệm vụ: điều tra thực trạng dạy học nguyên lí Dirichlet nhà trường phổ thông Việt Nam, xác định mục đích việc dạy học nguyên lí cho học sinh giỏi THPT đề xuất nội dung, cách thức tổ chức việc dạy học nguyên lí Dirichlet cho đối tượng học sinh nêu Từ khóa: Ngun lí Dirichlet, phương pháp giảng dạy Toán Mở đầu Nguyên lí Dirichlet mang tên nhà tốn học người Đức: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) Nguyên lí cịn có tên gọi ngun lí chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole principle) hay nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer principle) Nguyên lí Dirichlet phát biểu lần vào năm 1834 với nội dung dễ hiểu có ứng dụng sâu sắc hiệu nhiều lĩnh vực khác tốn học Tuy nhiên, ngun lí chưa có vị trí thức chương trình mơn Tốn trường phổ thơng nước ta Do đó, chúng tơi tiến hành nghiên cứu nhằm đưa nguyên lí Dirichlet vào giảng dạy trường phổ thông Việt Nam, trước tiên với đối tượng học sinh THPT giỏi 2.1 Nội dung nghiên cứu Thực trạng dạy học nguyên lí Dirichlet trường phổ thơng nước ta Qua tìm hiểu chương trình mơn Tốn, nội dung sách giáo khoa (SGK) sách tham khảo mơn Tốn chúng tơi có nhận xét: 28 Dạy học ngun lí Dirichlet cho học sinh giỏi Trung học Phổ thông - SGK THPT theo chương trình nâng cao khơng có mục thức đề cập đến ngun lí Dirichlet Tài liệu giáo khoa chun tốn có viết nguyên lí chuyên đề nhỏ Chúng tơi tìm thấy nội dung ngun lí Dirichlet tiếng Việt số tài liệu Toán rời rạc dành cho bậc đại học, cao đẳng, số sách tham khảo dành cho học sinh giáo viên THPT GS.TSKH Hà Huy Khoái, nguyên Viện trưởng Viện Toán học Việt Nam, Viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học nước giới thứ ba, đợt tập huấn chun mơn mơn Tốn dành cho giáo viên cốt cán nước tháng 8/2012, nhận định Tốn rời rạc cịn điểm yếu học sinh trong kì thi Olympic Tốn học Quốc tế (IMO) Ví dụ, xét hai kì thi IMO gần nhất, năm 2011 đề thi có hai Tốn rời rạc 4, năm 2012 có Tổng số điểm học sinh thuộc đội tuyển IMO số nước cho nêu Bảng 1: Bảng Kết thi phần Toán rời rạc đội tuyển IMO số nước năm 2011, 2012 Năm 2011 Bài Bài Năm 2012 Bài Trung Quốc 12 42 14 Mỹ 18 42 33 Singapo 27 42 11 Nga 10 40 21 Thái Lan 11 42 Đức 11 36 Nhật 15 41 Việt Nam 29 Nước Trong đợt tập huấn chun mơn nói trên, chúng tơi tiến hành điều tra theo hình thức trả lời phiếu thăm dò ý kiến với 70 giáo viên, cán chuyên môn trường THPT Chuyên, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Phú Thọ, Vĩnh Phúc, Bắc Kạn, Thái Nguyên, Tuyên Quang, Bắc Giang, Hịa Bình, Lai Châu, Sơn La, Hưng n, Hà Nội, Thái Bình, Nam Định, Nghệ An, Đà Nẵng, Quảng Trị, Tây Ninh, Vũng Tàu, TP Hồ Chí Minh, Đồng Tháp, Ninh Thuận, Đăk Lăk, Tiền Giang, Kiên Giang, Long An, Trà Vinh, Sóc Trăng, Bình Dương, Đồng Nai, Lâm Đồng, Bạc Liêu Kết thu sau: + 100% ý kiến cho cần đưa nguyên lí Dirichlet vào chương trình dành cho học sinh THPT giỏi + Đa số ý kiến cho nên dạy nguyên lí sau học xong Nguyên lí cộng, Nguyên lí nhân Nhị thức Niutơn + Số tiết học nguyên lí từ đến 20 tiết, tùy theo đối tượng học sinh 29 Nguyễn Thị Ngọc Ánh 2.2 Mục tiêu việc dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh giỏi THPT + Bổ sung nội dung toán học gắn liền với thực tiễn vào chương trình mơn Tốn dành cho học sinh giỏi THPT + Q trình dạy học ngun lí giúp học sinh phát triển tốt khả tư duy, đặc biệt tư sáng tạo Kích thích say mê toán học em + Bồi dưỡng phát triển tri thức Toán rời rạc học sinh giỏi THPT Việt Nam Phấn đấu bắt kịp trình độ học sinh nước tiên tiến giới lĩnh vực Đồng thời, trang bị kiến thức chuẩn bị cho em tiếp cận với khoa học kỹ thuật đại giới 2.3 Đề xuất nội dung dạy nguyên lí Dirichlet chương trình dành cho học sinh giỏi THPT 2.3.1 Nguyên lí Dirichlet dạng đơn giản Nếu nhốt hết n + (n số nguyên dương) thỏ vào n chuồng có chuồng có từ trở lên Ví dụ Trong tập hợp 13 người bất kì, ln tồn người có tháng sinh 2.3.2 Ngun lí Dirichlet dạng tổng quát Nếu nhốt hết n.m + r (m, n, r số nguyên dương) thỏ vào n chuồng phải có chuồng chứa từ m + trở lên Ví dụ Trong tập hợp 30 người bất kì, có người trùng tháng sinh 2.3.3 Bài tập vận dụng Dạng 1: Áp dụng vào giải tốn hình học Bài 1: Trong tam giác có cạnh 4cm lấy 17 điểm phân biệt Chứng minh 17 điểm có điểm mà khoảng cách chúng nhỏ cm Bài 2: Trong hình trịn có diện tích ta lấy 17 điểm bất kì, khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh có điểm hợp thành tam giác có diện tích nhỏ Bài 3: Trong mặt phẳng có 2013 điểm cho điểm có điểm cách khoảng nhỏ cm Chứng minh điểm cho có 1007 điểm nằm hình trịn bán kính cm Bài 4: Mỗi đỉnh đa giác có cạnh tơ hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn hai tam giác đồng dạng mà đỉnh hai tam giác màu xanh màu đỏ 30 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh giỏi Trung học Phổ thông Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đa giác lồi có số cạnh lớn tất đỉnh có tọa độ nguyên (ta gọi chúng điểm nguyên) Chứng minh bên cạnh đa giác có điểm ngun khác Dạng 2: Áp dụng vào giải toán số học Bài 6: Cho X = {0, 1, 2, , 10} S tập X có phần tử Chứng minh tồn phần tử S mà tổng chúng 10 Bài 7: Chứng minh có số dạng 20152015 2015 (gồm số 2015 viết liên tiếp) chia hết cho 2013 Bài 8: Cho tập hợp X gồm n số nguyên Chứng minh X ln có tập mà tổng số nguyên có tập hợp chia hết cho n Bài 9: Chứng minh n + số nguyên dương không vượt 2n, có số chia hết cho số khác (theo [4]) Bài 10: Giả sử a1 , a2 , , an số thực cho trước Chứng minh ln có số thực x cho tất số a1 + x, a2 + x, , an + x số vô tỷ Dạng 3: Áp dụng vào toán thực tế Bài 11: Có n đội bóng tham gia thi đấu vịng trịn tính điểm Biết đội có trận thắng (cả giải khơng có trận hịa nào) Chứng minh tồn đội có số trận thắng Bài 12: Một tủ chứa 20 áo có màu đỏ, màu trắng màu xanh Hỏi phải lấy áo (khi lấy khơng nhìn thấy màu sắc áo lấy ra) để có được: a) Năm áo màu b) Chín áo màu (theo [5]) Bài 13: Trong thi có 20 thí sinh Mỗi người phải thi vòng Điểm vòng thi cho số tự nhiên từ đến 10 Người ta so sánh điểm vòng thi tương ứng (vòng 1, vịng 2) thí sinh Người A gọi so sánh với người B điểm vịng thi A khơng nhỏ điểm vịng thi tương ứng B Biết khơng có hai thí sinh có cặp điểm số tương ứng Chứng minh chọn ba thí sinh A, B, C cho A so sánh với B B so sánh với C Bài 14: Trên sân trường có hình ngũ giác lồi ABCDE, độ dài cạnh độ dài đường chéo AC, AD khơng vượt q mét Giả sử có 2013 kiến nằm ngũ giác Chứng minh có hình trịn bán kính mét, tâm nằm cạnh ngũ giác, chứa 504 kiến Bài 15: Có 65 người đến từ hai tỉnh, người làm nghề Biết người nghề có hai người tuổi Chứng minh có người tuổi, làm nghề đến từ tỉnh (theo [5]) 31 Nguyễn Thị Ngọc Ánh 2.4 Phương pháp hình thức tổ chức dạy học Chúng tơi xin đề xuất hình thức tổ chức dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh giỏi THPT gồm hai mức độ: Mức độ 1: Mức độ Giáo viên dành đến tiết lớp để giúp học sinh nắm hai dạng nguyên lí Dirichlet giải 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 13 nêu Theo chúng tôi, mức độ thầy (cô) hướng dẫn em giải số tốn cách sử dụng ngun lí Dirichlet theo hai bước sau: Bước 1: Tìm hiểu đề bài, xác định hai đối tượng “chuồng” “thỏ” tốn Tập hợp “thỏ” ln có số lượng phần tử lớn tập hợp “chuồng” Bước 2: Áp dụng ngun lí Dirichlet đưa lời giải tốn Sau đó, giáo viên chia lớp thành ba nhóm tương ứng với ba dạng tập nêu Yêu cầu em nhà tìm thêm tốn khác theo nội dung nhóm Ngồi ra, chọn số tốn hay, độc đáo có lời giải sử dụng ngun lí Dirichlet Thầy (cơ) dành tiết cho em báo cáo kết hoạt động nhóm tổng kết kinh nghiệm giải số tốn sử dụng ngun lí vừa học Mức độ 2: Mức độ nâng cao Ngoài yêu cầu mức độ bản, mức độ giáo viên giúp học sinh hình thành bốn phương pháp thường dùng để xây dựng yếu tố “chuồng” “thỏ” tốn [3] Sau đó, hướng dẫn em hồn thành hết tập lại mục Cuối cùng, chia lớp thành nhóm tương ứng phương pháp học Yêu cầu em lên lớp phân loại tập nêu, tìm tịi thêm tốn khác theo nội dung phương pháp giải nhóm Ngồi ra, em đề xuất thêm tốn có lời giải hay, độc đáo cách vận dụng nguyên lí học Thầy (cơ) dành đến tiết lớp cho em báo cáo kết Yêu cầu giai đoạn kích thích khả tự học, khả làm việc theo nhóm học sinh Giúp em tổng kết, khắc sâu lại kiến thức cần ghi nhớ, hình thành kỹ vận dụng ngun lí học vào giải tốn Qua đó, tập hợp tài liệu bổ ích nguyên lí Dirichlet để em tham khảo Thời gian hoạt động nhóm tăng thêm với đối tượng học sinh chuyên toán Phương pháp 1: Phân chia tập hợp để tạo n chuồng Nội dung phương pháp chia đối tượng lớn thành nhiều đối tượng nhỏ (các chuồng) Áp dụng nguyên lí Dirichlet cho đối tượng nhỏ Ví dụ, hướng dẫn em giải mục 2.3.3 cách chia nhỏ tam giác cho thành 16 tam giác đều, tam giác có độ dài cạnh 1cm Khi đó, tập hợp “thỏ” “chuồng” tương ứng với tập hợp 17 điểm cho tập hợp 16 tam giác nêu Phương pháp 2: Xây dựng n chuồng theo đối tượng xuất phát Để tạo n chuồng, ta chọn “đối tượng xuất phát” Từ đối tượng này, ta lập luận để suy đối tượng 32 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh giỏi Trung học Phổ thông (trường hợp) Ví dụ, với mục 2.3.3, cách chọn “đối tượng xuất phát” điểm số 2013 điểm cho Xét hình trịn tâm , bán kính - Nếu tất 2013 điểm thuộc hình trịn cần tìm - Nếu có điểm cho xét thêm hình trịn ′ tâm , bán kính Với điểm 2011 điểm cịn lại thuộc thuộc ′ Từ có điều phải chứng minh Phương pháp 3: Xây dựng dãy số từ toán Các số hạng dãy coi “thỏ” Ví dụ, với mục 2.3.3, ta giả sử (1) với n Xét dãy n n Nếu dãy (1) có tổng chia hết cho n yêu cầu toán thỏa n mãn Ngược lại, xét n “thỏ” n số hạng dãy (1) Các “chuồng” số dư chia số nguyên cho Theo ngun lí Dirichlet có hai số i j dãy (1) có số dư chia cho Do đó, i j i i j tổng chia hết cho Phương pháp 4: Xây dựng bảng áp dụng nguyên lí Dirichlet cho hàng (cột) để suy tính chất cần sử dụng Ví dụ, với 13, mục 2.3.3 giáo viên hướng dẫn em giải sau: Xét hình vng 10 x 10 hình vẽ (gồm 10 hàng 10 cột) Giả sử người có điểm vịng , điểm vòng biểu diễn ô vuông hàng cột với nhận giá trị từ đến 10 Điểm 20 thí sinh biểu diễn 20 vng khác Ta chia hình vuông thành 10 miền sau: + Miền 1: ô cột hàng 10 + Miền 2: cịn lại cột hàng Hình Hình vng 10 hàng, 10 cột + Miền : cịn lại cột hàng + Miền 10: ô cột 10 hàng Dễ thấy điểm thí sinh biểu diễn ô thuộc miền so sánh với Giả sử khơng có thí sinh có điểm biểu diễn ô thuộc miền, suy miền chứa ô biểu diễn điểm số 20 thí sinh nên miền 10 phải có phân biệt, trái với kết chia miền Từ có điều phải chứng minh 33 Nguyễn Thị Ngọc Ánh Chúng tiến hành dạy thực nghiệm lớp chuyên toán K22 K23 trường THPT Chuyên Thái Nguyên theo mức độ Giáo viên dẫn dắt học sinh nắm hai dạng nguyên lí Dirichlet thông qua phương pháp đàm thoại phát [1] với hệ thống câu hỏi sau: Bước 1: Phát chứng minh nguyên lí Dirichlet dạng đơn giản Câu hỏi 1: Hãy liệt kê cách nhốt hết thỏ vào chuồng cho trước Mỗi cách nhốt tương ứng với ba số (a, b, c) Hai cách nhốt coi giống chúng hoán vị ba số? Câu hỏi 2: Với trường hợp trên, kiểm tra khẳng định “có chuồng chứa từ thỏ trở lên” hay sai? Câu hỏi 3: Khẳng định “Nếu nhốt hết n + thỏ vào n chuồng (n số nguyên dương) có chuồng chứa từ trở lên” (*) hay sai? Các em phán đoán khẳng định chứng minh phương pháp phản chứng Sau học sinh hoàn thành câu hỏi 3, giáo viên thông báo cho học sinh biết mệnh đề (*) nguyên lí Dirichlet dạng đơn giản Bước 2: Phát chứng minh nguyên lí Dirichlet dạng tổng quát Câu hỏi 4: Hãy điền vào chỗ trống số tự nhiên lớn thỏa mãn khẳng định sau đúng: “Nếu nhốt hết thỏ vào chuồng có chuồng chứa từ thỏ trở lên” Nhiều em trả lời số cần điền số Câu hỏi 5: Hãy điền vào chỗ trống số tự nhiên lớn thỏa mãn khẳng định sau đúng: “Nếu nhốt hết m×n+ r thỏ (m, n, r số nguyên dương, < r < n) vào n chuồng có chuồng chứa từ thỏ trở lên” (**) Các em phán đoán câu trả lời cho câu hỏi số (m + 1) Để chứng minh phán đoán em lại dùng phương pháp phản chứng Câu hỏi 6: Nếu ta thêm (m + 1) vào chỗ trống bỏ điều kiện < r < n khẳng định (**) có khơng? Học sinh trả lời chứng minh Tương tự bước 1, giáo viên cho em biết mệnh đề câu hỏi nguyên lí Dirichlet dạng tổng quát yêu cầu em ghi nhớ để vận dụng sau Sau học sinh nắm nội dung nguyên lí, giáo viên lấy số ví dụ minh họa cách vận dụng ngun lí vào giải tốn Chúng tơi giúp em hình thành bốn phương pháp thường dùng để xây dựng yếu tố “chuồng” “thỏ” qua việc phân tích kỹ lưỡng cách giải 1, 3, 8, 13 nêu Đồng thời, giúp em rút số kinh nghiệm vận dụng ngun lí vào giải tốn Đa số em hiểu bài, có hứng thú học tập, tích cực tham gia hoạt động nhóm đạt yêu cầu giáo viên đặt 34 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh giỏi Trung học Phổ thông Kết luận Qua báo này, chúng tơi trình bày mục đích, nội dung phương thức tổ chức dạy học nguyên lí Dirichlet cho đối tượng học sinh giỏi THPT Kết thực nghiệm bước đầu cho thấy việc đưa ngun lí Dirichlet vào chương trình mơn Tốn dành cho học sinh giỏi THPT có tính khả thi Chúng tơi tiếp tục tiến hành thực nghiệm sư phạm, tổng hợp ý kiến đóng góp nhà chun mơn, từ hồn thiện nội dung nghiên cứu theo hướng nêu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Nghị , 2009 Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thông Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Phạm Minh Phương, 2010 Một số chuyên đề toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Đồn Quỳnh, Dỗn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, 2009 Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Kenneth H.Rosen, 2007 Toán học rời rạc ứng dụng tin học Nxb Giáo dục, Hà Nội [5] V.K Balakrishnan, ph, 1995 Theory and problems of combinatorics McGraw Hill, INC, Singapore ABSTRACT Teaching the Dirichlet principle to good and excellent high school students Althoguh the Dirichlet principle is simple in content, its applications are very profound and effective in proving problems, especially when proving the existence of some objects in order to satisfy sustained mathematical properties At present in Vietnam, the Dirichlet principle has not been included in the official math curriculum of high school students We propose that this content be added to high schools curriculum with three reasons First, this would raise the status of teaching and learning at many high schools in Vietnam Second, this principle should be taught to good and excellent high school students The third is to propose contents and teaching methods of the Dirichlet principle 35 ... kiến cho cần đưa ngun lí Dirichlet vào chương trình dành cho học sinh THPT giỏi + Đa số ý kiến cho nên dạy nguyên lí sau học xong Nguyên lí cộng, Nguyên lí nhân Nhị thức Niutơn + Số tiết học nguyên. .. thức tổ chức dạy học nguyên lí Dirichlet cho đối tượng học sinh giỏi THPT Kết thực nghiệm bước đầu cho thấy việc đưa nguyên lí Dirichlet vào chương trình mơn Tốn dành cho học sinh giỏi THPT có... màu đỏ 30 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh giỏi Trung học Phổ thông Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đa giác lồi có số cạnh lớn tất đỉnh có tọa độ nguyên (ta gọi chúng điểm nguyên) Chứng