Bài báo trình bày về vai trò của lí thuyết đa trí tuệ và biểu diễn bội trong dạy học môn toán ở trường phổ thông. Sử dụng các dạng biểu diễn khác nhau giúp học sinh (HS) tiếp cận các khái niệm toán học bằng nhiều phương pháp khác nhau.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2013, Vol 58, No 8, pp 70-78 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn VAI TRÒ CỦA BIỂU DIỄN BỘI TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Nguyễn Danh Nam Khoa Tốn, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tóm tắt Bài báo trình bày vai trị lí thuyết đa trí tuệ biểu diễn bội dạy học mơn tốn trường phổ thông Sử dụng dạng biểu diễn khác giúp học sinh (HS) tiếp cận khái niệm toán học nhiều phương pháp khác Từ đó, giúp em hiểu sâu chất khái niệm biết cách lựa chọn phương pháp biểu diễn tốt để sử dụng giải toán Đặc biệt, với hỗ trợ phần mềm toán học động, biểu diễn bội góp phần hình thành mối liên hệ hình học - đại số phát triển tư linh hoạt cho HS giải vấn đề khác Từ khóa: Biểu diễn bội, đa trí tuệ, khái niệm tốn học, quan hệ tốn học Mở đầu Dựa phân loại dạng trí thơng minh Howard Gadner [4], nhà giáo dục học vận dụng lí thuyết đổi phương pháp dạy học theo quan điểm HS thường tiếp cận vấn đề theo cách khác dạng biểu diễn toán học có ưu điểm riêng Do vậy, vận dụng biểu diễn bội dạy học khái niệm hay tình tốn học giúp HS rèn luyện lực tư linh hoạt thơng hiểu chất khái niệm hay tình tốn học (Duval, 2002) Vì thế, giảng dạy tốn học giáo viên cần kết hợp sử dụng nhiều loại biểu diễn khác để kích thích tư HS: chữ viết, đồ thị (dạng động tĩnh), bảng biểu, biểu đồ, sơ đồ, kí hiệu, cơng thức, thuật tốn, ngơn ngữ, hình ảnh thực tế, video, [1, 3, 5] Trong thực tế dạy học nay, phần mềm dạy học (đặc biệt phần mềm tốn học động) tạo hình thức biểu diễn khác hiển thị đồng thời hình máy vi tính Điều giúp cho HS so sánh, đối chiếu lựa chọn dạng biểu diễn tốt Từ đó, giúp em định hướng giải vấn đề cách tối ưu Ngày nhận bài: 15/8/2012 Ngày nhận đăng: 15/9/2013 Liên hệ: Nguyễn Danh Nam, e-mail: danhnam.nguyen@dhsptn.edu.vn 70 Vai trò biểu diễn bội dạy học mơn Tốn Theo NCTM (2000), sử dụng biểu diễn bội để: Mô tả ý tưởng tốn học hình thức khác nhau; Lựa chọn, sử dụng phiên dịch cách biểu diễn toán học để giải vấn đề; Mơ hình hóa tượng toán học thực tiễn Hơn nữa, Dreyfus Eisenberg (1996) cho linh hoạt phiên dịch chuyển đổi dạng biểu diễn bội khác dấu hiệu thành thạo tư toán học, kĩ giải vấn đề thơng hiểu khái niệm tốn học Sự linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải vấn đề thể lực sáng tạo sử dụng ngơn ngữ, kí hiệu, minh họa hình ảnh trực quan giải toán [2, 4] Nội dung nghiên cứu 2.1 Biểu diễn bội mô tả khái niệm toán học Các nghiên cứu thực nghiệm khẳng định q trình thơng hiểu khái niệm quan hệ toán học phụ thuộc vào khả biểu diễn khái niệm quan hệ nhiều dạng khác đồ thị, phương trình, bảng, biểu đồ, kí hiệu, cơng thức, ngơn ngữ, (Kaput, 1989; Sfard, 1992; Yerushalmy, 1997; Goldin, 1998; Reading, 1999; NCTM, 2000; Porzio, 1999) Ví dụ hàm số bậc xem tập hợp cặp thự tự, tương ứng bảng hay ánh xạ, đồ thị, biểu thức đại số Tương tự, khái niệm miền giá trị hàm số biểu diễn qua dạng đồ thị, bảng giá trị tương ứng dạng biểu thức đại số hàm số Mayer & Hegarty (1996) cho rằng, q trình dạy học tốn sử dụng biểu diễn bội gồm giai đoạn: sử dụng biểu diễn đơn, sử dụng biểu diễn bội, tạo mối liên hệ loại biểu diễn, tích hợp chuyển đổi linh hoạt loại biểu diễn [2, 4, 7] 2.1.1 Khái niệm hàm số Piez Voxman (1997) cho HS hiểu sâu khái niệm hàm số em tiếp cận thông qua phương pháp đại số, phương pháp giải tích hay sử dụng đồ thị minh họa Vì thế, dạng biểu diễn khác giúp HS hiểu rõ chất vấn đề, đồng thời rèn luyện cho em cách nhìn linh hoạt tình phát mối quan hệ trình bày theo quan điểm khác (NCTM, 2000) Đặc biệt, kiểu biểu diễn bội song song đóng vai trị quan trọng hoạt động nhận dạng thể khái niệm tốn học Ví dụ Hãy liệt kê dạng biểu diễn khác hàm số y = 2x nêu mối quan hệ chúng Kết cho thấy dạng biểu diễn khác hàm số Thơng qua ví dụ này, giáo viên rèn luyện cho HS thao tác phiên dịch chuyển đổi biểu diễn khác hàm số y = 2x dạng đồ thị, dạng hình học, dạng kí hiệu dạng bảng Từ giúp HS thấy ý nghĩa dạng biểu diễn việc đề xuất phương pháp giải dạng toán khác phương pháp đồ thị, 71 Nguyễn Danh Nam Hình Các dạng biểu diễn khác hàm số y = 2x phương pháp đại số hay phương pháp thống kê tốn học Ngồi ra, với chức biểu diễn bội phần mềm tốn học động, giáo viên dễ dàng tổ chức hoạt động nhóm nhằm rèn luyện kĩ phiên dịch chuyển đổi ba dạng biểu diễn hàm số thường gặp, dạng đồ thị, dạng đại số (phương trình tổng quát) dạng bảng Ví dụ (Hoạt động nhóm) Hãy xác định dạng hàm số biểu diễn dãy điểm cho bảng tính (cột A: giá trị biến số x; cột B: giá trị tương ứng hàm số f (x); cột C: giá trị tương ứng hàm số g(x)) Hoạt động Giáo viên yêu cầu nhóm HS sử dụng phần mềm toán học động GeoGebra nhập tọa độ điểm dãy (x; f (x)) (x; g(x)) Sau thực lệnh vẽ dãy điểm dự đốn dạng hàm số có đồ thị chứa dãy điểm Sau dự đoán, giáo viên hướng dẫn nhóm HS nhập tham số m n hàm số có dạng √ f (x) = m x g(x) = nx2 Thay đổi giá trị tham số đồ thị hàm số chứa hoàn toàn dãy điểm nói u cầu nhóm trình bày báo cáo so sánh với kết nhóm Qua ví dụ trên, HS làm quen với hoạt động phiên dịch chuyển đổi √ dạng biểu diễn khác hàm số y = 1.6 x y = 1.4x2 Điều giúp HS nắm khái niệm tính chất hàm số bậc hai hàm số bậc hai x Đặc biệt, thao tác giúp HS nhận dạng vẽ đồ thị hàm số biết chúng qua điểm cho trước 2.1.2 Khái niệm giới hạn dãy số dạng biểu n+3 diễn khác bảng biểu hình ảnh trục số hệ trục tọa độ Hoạt động Trước tiên, giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng giá trị số hạng tương ứng dãy số Với n lớn, nhận xét giá trị số hạng un dãy, un dần tới số nào? Ví dụ Minh họa khái niệm giới hạn dãy số un = 72 Vai trò biểu diễn bội dạy học mơn Tốn Hình Xác định dạng hàm số chứa dãy điểm cho trước Bảng Giá trị số hạng dãy số un n (n + 3) 0.25 0.2 0.1667 0.1428 0.125 500 0.1111 0.002 Giáo viên tiếp tục minh họa hình ảnh dãy số trục số (xem Hình 3b) Nhìn vào hình ảnh số hạng trục số, HS cần rút nhận xét có nhiều số hạng dãy số tập trung (phân bố) gần điểm 0, gần điểm số hạng gần a b Hình Hình ảnh dãy số có giới hạn 73 Nguyễn Danh Nam Trên hệ trục tọa độ, giáo viên tiếp tục minh họa hình ảnh dãy số hướng dẫn HS rút nhận xét n lớn số hạng dãy un tiến sát trục hoành, tức giá trị số hạng dần tới Như vậy, kết hợp với định nghĩa lời, giáo viên cần sử dụng biểu diễn bội (bảng, hình ảnh) để giúp học sinh hiểu rõ chất dãy số có giới hạn dần tới 2.2 Biểu diễn bội hình thành mối liên hệ hình học đại số Hiểu mối liên hệ hình học đại số giúp HS dễ dàng chuyển từ tiếp cận đối tượng hình học phương pháp tổng hợp sang phương pháp tọa độ Phương pháp cơng cụ để nghiên cứu hình học theo quan điểm đại góp phần bồi dưỡng cho HS khả suy luận, khái quát tư trừu tượng Trong biểu diễn bội liên kết tích hợp, dạng biểu diễn nhấn mạnh đến khía cạnh khác khái niệm hay đối tượng toán học Kĩ phiên dịch chuyển đổi dạng bảng biểu, phương trình đồ thị hàm số tạo điều kiện cho HS hiểu mối liên hệ tương ứng số học, đại số hình học (Davis, 1987) Hơn nữa, giáo viên sử dụng biểu diễn thực tế tích hợp với biểu diễn dạng bảng, dạng đồ thị dạng đại số hàm số để tổ chức hoạt động mơ hình hóa tượng thực tiễn dạy học tốn trường phổ thơng (NCTM, 2000) Hình Parabol biểu diễn quỹ đạo rơi nước mưa Các nghiên cứu cho thấy, sử dụng biểu diễn bội giúp học sinh giải toán hình học đại số tốt (Bidwell & Clason, 1970) Dienes’s (1960) cho khái niệm quan hệ tốn học mơ tả nhiều dạng khác giúp học sinh nắm chất trừu tượng tốn học, tối ưu hóa việc học tập tốn học sinh Driscoll (1999) 74 Vai trị biểu diễn bội dạy học mơn Tốn cho q trình phiên dịch trơi chảy dạng biểu diễn khái niệm toán học với phát triển thơng hiểu [6] Ví dụ (Hoạt động nhóm) Sử dụng phần mềm tốn học động, xác định phương trình biểu diễn quỹ đạo rơi nước mưa từ mái nhà chảy xuống (xem Hình 4) Hoạt động Giáo viên yêu cầu nhóm HS tạo trượt biểu diễn hệ số a, b, c parabơn có dạng tổng qt y = ax2 + bx + c Kéo trượt để thay đổi hệ số cho quỹ đạo rơi nước mưa trùng với nhán parabơn Nhóm HS cần hiểu phép biến đổi đồ thị (phép tịnh tiến, phép co giãn) tương ứng với thay đổi hệ số a, b, c để xác định phương trình parabơn chứa đường biểu diễn quỹ đạo rơi nước mưa Qua đó, giáo viên giúp HS thấy quỹ đạo chuyển động vòi phun nước đường parabơn 2.3 Biểu diễn bội mơ tả q trình mơ hình hóa Bảng biểu, biểu đồ, đồ thị, mơ hình tốn học biểu diễn số liệu thực tế dự đoán xu hướng phân bố số liệu vật tượng Do đó, thơng qua q trình mơ hình hóa, giáo viên cần giúp cho HS mơ hình hóa số liệu gần gũi sống mức thu nhập gia đình tháng khu phố, đo chiều cao HS lớp học, tính điểm số trung bình HS lớp, Sau biểu diễn số liệu (biểu diễn bội) mơ hình tương ứng, giáo viên hướng dẫn HS cách đọc hiểu ý nghĩa mơ hình này, đồng thời có phương án điều chỉnh mơ hình cần thiết Ví dụ Sử dụng biểu diễn bội minh họa mơ hình mối tương quan điểm số lớp thời gian học tập nhà HS Từ đó, rút kết luận cần thiết Bảng Bảng thống kê điểm số thời gian học nhà HS Thời gian 10 11 12 Điểm số 60 55 65 65 77 80 83 80 75 90 72 68 Sau hướng dẫn HS lập bảng biểu diễn dãy số liệu mối tương quan điểm số lớp thời gian học nhà 12 HS, giáo viên đưa mô hình phù hợp để HS chọn (mơ hình tuyến tính mơ hình đường bậc hai) (Hình 6) Như vậy, thơng qua minh họa (Hình 6), HS rút kết luận rằng, mơ hình đường bậc hai biểu diễn số liệu bảng tốt mô hình đường thẳng Điều có nghĩa HS phải biết xếp thời gian học tập nhà cách tối ưu để đạt kết tốt Ví dụ (Bài tốn xây cầu) Cho hai thành phố A B nằm hai phía dịng sơng Tìm vị trí để xây dựng cầu nối hai thành phố cho tổng quãng đường hai thành phố nhỏ (giả sử hai bờ sông song song với cầu 75 Nguyễn Danh Nam Hình Biểu diễn số liệu bảng trục số Hình Mối tương quan số điểm số học nhà HS xây vng góc với bờ sơng) Hoạt động Giáo viên hướng dẫn HS sử dụng phần mềm toán học động GeoGebra mơ hình hóa tốn theo bước sau: Bước 1: Dựng hai đường thẳng song song cố định biểu diễn hai bờ sông Hai điểm A, B cố định biểu diễn hai thành phố Bước 2: Dựng điểm D (di động) hai đường thẳng Dựng điểm E hình chiếu vng góc điểm D đường thẳng lại Bước 3: Tính tổng khoảng cách (AD + DE + EB) 76 Vai trị biểu diễn bội dạy học mơn Tốn Hình Bài tốn xây dựng cầu nối hai thành phố Bước 4: Di chuyển điểm D đường thẳng quan sát vị trí cho tổng khoảng cách đạt giá trị nhỏ Giáo viên minh họa cửa sổ thứ hai biểu diễn giá trị tương ứng tổng (AD + DE + EB) Sử dụng biểu diễn bội song song toán giúp HS nhận vị trí điểm D mà tổng đạt giá trị nhỏ (điểm biểu diễn cửa sổ tương ứng trùng với vị trí thấp đồ thị parabơn) Từ đó, giáo viên hướng dẫn HS rút nhận xét tổng (AD + DE + EB) đạt giá trị nhỏ hai đường thẳng AD EB song −−→ song với sử dụng phép tịnh tiến (theo véctơ ED) giải toán Kết luận Bài báo trình bày vai trị biểu diễn bội dạy học toán hướng dẫn giáo viên tổ chức số hoạt động sử dụng loại biểu diễn bội việc giúp học sinh hiểu khái niệm hàm số, giới hạn dãy số, mơ hình hóa số tượng tốn học thực tiễn Thơng qua góp phần hình thành mối liên hệ hình học - đại số phát triển tư linh hoạt, sáng tạo cho HS giải toán Các hoạt động tích hợp liên kết hợp lí dạng biểu diễn lớp học truyền thống giúp HS kiến tạo tri thức cách tích cực, hỗ trợ giải vấn đề theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt vấn đề nảy sinh từ thực tiễn 77 Nguyễn Danh Nam TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [1] Thomas Armstrong, 2009 Multiple intelligences in the classroom ASCD Publications [2] Albert A Cuoco, 2001 The roles of representations in school mathematics National Council of Teachers of Mathematics, USA [3] Mike Fleetham, 2006 Multiple Intelligences in practice: Enhaning self-esteem and learning in the classroom The Continuum International Publishing Group [4] Athanasios Gagatsis, Constantinos Christou and Iliada Elia, 2004 The nature of multiple representations in developing mathematical relationships Quaderni di Ricerca in Didattica, No.14, Italy [5] Howard Gardner, 1983 Frames of mind: The theory of multiple intelligences Basic Books Publisher ă [6] Mehmet Fatih Ozmantar, Hatice Akkoc, Erhan Bingăolbali, Servet Demir and Berna Ergene, 2010 Pre-service mathematics teachers use of multiple representations in technology-rich environments Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, No.6, Turkey [7] Maarten W van Someren, Peter Reimann, Henny P.A Boshuizen & Ton de Jong, 1998 Learning with multiple representations Elsevier Secience Ltd ABSTRACT The role of multiple representations in the teaching of mathematics This paper presents the use of the theory of multiple intelligences and multiple representations in the teaching of mathematics The use of various types of representations help students approach mathematical concepts in different ways As a result, students can interpret the nature of these concepts and know how to choose the best way to solve the mathematical problem With the support of dynamic mathematics software, multiple represenations connect geometry and algebra, and develop students’ ability to think flexibly when tackling mathematical problems 78 .. .Vai trị biểu diễn bội dạy học mơn Toán Theo NCTM (2000), sử dụng biểu diễn bội để: Mơ tả ý tưởng tốn học hình thức khác nhau; Lựa chọn, sử dụng phiên dịch cách biểu diễn toán học để giải... khái niệm quan hệ tốn học mơ tả nhiều dạng khác giúp học sinh nắm chất trừu tượng toán học, tối ưu hóa việc học tập tốn học sinh Driscoll (1999) 74 Vai trò biểu diễn bội dạy học mơn Tốn cho q trình... trình dạy học toán sử dụng biểu diễn bội gồm giai đoạn: sử dụng biểu diễn đơn, sử dụng biểu diễn bội, tạo mối liên hệ loại biểu diễn, tích hợp chuyển đổi linh hoạt loại biểu diễn [2, 4, 7] 2.1.1 Khái