Lecture 4 cung cấp cho người học những kiến thức về hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân. Nội dung chính được trình bày trong chương này gồm có: Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân, đáp ứng xung của hệ thống, đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống. Mời các bạn cùng tham khảo.
Ch-2: Phân tích hệ thống LTI miền thời gian Lecture-4 2.4 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mơ tả phương trình vi phân 2.4.2 Đáp ứng xung hệ thống 2.4.3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Trên thực tế tồn nhiều hệ thống mô tả PTVP hệ số Ví dụ: phương trình xác định mối quan hệ vận tốc lực kéo tác dụng lên xe dv(t) m +Kv(t)=f(t) Kv(t) f(t) dt dv(t) 1000 +300v(t)=f(t) Giả sử: m=1000kg; K=300N/(m/s) dt Tổng quát phương trình VP mơ tả cho hệ thống có dạng: m d n y(t) d n-1y(t) dy(t) d mf(t) d m-1f(t) df(t) +a + +a +a y(t)=b +b + +b +b0f(t) n-1 m m-1 n n-1 m m-1 dt dt dt dt dt dt d k y(t) ak k dt k=0 n d k f(t) bk k dt k=0 n m Q(D)y(t) P(D)f(t) m k [ b k Dk ]f(t) a n =1; n m a k D ]y(t) [ k=0 k=0 Q(D) Signals & Systems – FEEE, HCMUT P(D) 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Giải phương trình để xác định đáp ứng: thường dùng phương pháp tích phân kinh điển: tổng đáp ứng tự & cưỡng Đáp ứng tự do: đáp ứng tác nhân nội bên hệ thống, thường lượng tích trữ & tín hiệu vào Đáp ứng cưỡng (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào hệ thống dv(t) 1000 +300v(t)=f(t) dt Với: f(t)=5000e 2t u(t) Ví dụ: dv(t) +0.3v(t)=10 3f(t) dt Bước 1: xác định đáp ứng cưỡng vcb(t)=Ke-2t t>0 -2Ke 2t 0.3Ke 2t 5e 2t K= 2.94 Signals & Systems – FEEE, HCMUT vcb (t)= 2.94e 2t 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Bước 2: xác định đáp ứng tự vtd(t) giải pt dv td (t) +0.3v td (t)=0 dt Phương trình đặc trưng: +0.3=0 v td (t)=K1e = 0.3 0.3t Bước 3: xác định đáp ứng tổng v(t)=v td (t)+vcb (t)=K1e Điều kiện đầu: HT LTI nhân dy(0) y(0)= dt 0.3t 2.94e 2t HT phải trạng thái nghỉ dy n-1 (0) dt n-1 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.1 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân Áp dụng cho ví dụ trước ta v(0)=0 K1 2.94 v(t)=2.94(e v(t)=2.94(e 0.3t 0.3t K1 2.94 e 2t ); t>0 e 2t )u(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.2 Đáp ứng xung hệ thống a) Phương pháp tính trực tiếp b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp Xét hệ thống LTI nhân mô tả PTVP Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp Trình tự xác định h(t): Xét phương trình Q(D)h a (t)= (t) t>0, tức t=0+ trở nên ha(t) nghiệm phương trình Q(D)h a (t)=0 số ha(t) xác định dùng điều kiện đầu t=0+ Do hệ thống trạng thái nghỉ nên dh a (0 ) h a (0 )= dt dh a n (0 ) dt n d k h a (t) ak = (t); a n Từ phương trình: Q(D)h a (t)= (t) k dt k=0 k-1 d h a (t) Kết luận: ; k=1 n-1 phải hàm liên tục 0, suy ra: k-1 dt k k + k k + d h (t) d h (0 ) d h (0 ) d h (0 ) a a a a dt 0 k k k k dt dt dt dt n Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp k d h a (t) + ak = (t) Lấy tích phân từ tới hai vế phương trình: k dt k=0 n Suy ra: 0 d n h a (t) an dt n dt d n-1h a (0+ ) 1/ a n n-1 dt Vậy điều kiện đầu để xác định ha(t) là: d n-1h a (0+ ) d k 1h a (0+ ) 1; n-1 dt dt k 0, k=1 n Xác định h(t)=P(D)h a (t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Phương pháp tính trực tiếp Ví dụ: tính đáp ứng xung HT nhân mô tả PTVP (D+2)y(t)=(3D+5)f(t) Bước 1: Xác định ha(t) Do HT nhân nên ha(t)=0 t0: ha(t) nghiệm PT (D+2)h a (t)=0 Áp dụng ĐK đầu 0+: h a (0+ )=K=1 Bước 2: Xác định h(t) h(t)=P(D)h a (t)=3 dh a (t) +5h a (t) dt h(t)=(3D+5)e 2t u(t) 3δ(t) e 2t u(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT h a (t)=Ke h a (t)=e 2t u(t) 2t b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t) Sơ đồ hệ thống tính đáp ứng xung theo u(t) Ví dụ: tính đáp ứng xung HT mô tả PTVP: (D2 +3D+2)y(t)=Df(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2.4.3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống Đa thức đặc trưng hệ thống: Q(λ)=λ +a n-1λ n n-1 + a1λ+a Nghiệm Q( )=0 định tính ổn định hệ thống: t 0 Img Re{ }0 t Real RHP LHP t 0 t Signals & Systems – FEEE, HCMUT t t 2.4.3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống Kết luận: Hệ thống ổn định tiệm cận tất nghiệm PT đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức Hệ thống ổn biên có nghiệm đơn trục ảo nghiệm lại nằm trái MP phức Hệ thống khơng ổn định có nghiệm nằm phải nghiệm bội trục ảo Signals & Systems – FEEE, HCMUT ...2 .4 Hệ thống LTI nhân mô tả phương trình vi phân 2 .4. 1 Hệ thống LTI nhân mơ tả phương trình vi phân 2 .4. 2 Đáp ứng xung hệ thống 2 .4. 3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống Signals & Systems –. .. Signals & Systems – FEEE, HCMUT 2 .4. 3 Đa thức đặc trưng tính ổn định hệ thống Đa thức đặc trưng hệ thống: Q(λ)=λ +a n-1λ n n-1 + a1λ+a Nghiệm Q( )=0 định tính ổn định hệ thống: t 0 Img Re{... Đáp ứng tự do: đáp ứng tác nhân nội bên hệ thống, thường lượng tích trữ & tín hiệu vào Đáp ứng cưỡng (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào hệ thống dv(t) 1000 +300v(t)=f(t) dt Với: f(t)=5000e