Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 (Lecture 9) - Trần Quang Việt

Chương 5 trang bị cho người học những kiến thức về lấy mẫu (Sampling). Trong lecture 9 sẽ tập trung trình bày những nội dung chính sau: Lý thuyết lấy mẫu, biến đổi Fourier rời rạc (DFT), biến đổi Fourier nhanh (FFT). Mời các bạn cùng tham khảo.

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling) Lecture-9 5.1 Lý thuyết lấy mẫu 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 5.3 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1 Lý thuyết lấy mẫu 5.1.1 Lấy mẫu miền thời gian 5.1.2 Lấy mẫu miền tần số Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.1 Lấy mẫu miền thời gian Có vơ số tín hiệu khơi phục từ mẫu biết trước Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn khôi phục lại từ mẫu biết trước lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.1 Lấy mẫu miền thời gian a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu b) Lấy mẫu giữ mẫu bậc khơng c) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn B Hz Tín hiệu f(t) lấy mẫu cách nhân với chuỗi xung đơn vị ∞ ∞ f (t)=f(t) ∑ δ(t − nTs ) f (t)=f(t)p(t) f (t) = n =−∞ ∑ f(nT )δ(t − nT ) s s n =−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu Phổ tín hiệu lấy mẫu f(t) ↔ F(ω) p(t) ↔ P(ω) = − − f (t) ↔ F(ω)= 2π ∞ ∑ δ(ω − nωs ); Fs =1/Ts , ωs =2πFs Ts n =−∞ 1 [F(ω) ∗ P(ω)] = 2π Ts ∞ ∑ F(ω − nω ) s n =−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu Khơi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon Low-pass Filter ωs ≥ 4πB Fs ≥ 2B; Fs =2B Nyquist rate Tín hiệu có phổ giới hạn B Hz khơi phục xác từ mẫu có lấy mẫu đặn với tốc độ Fs≥2B mẫu/s Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ Fs=2B Hz Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 b) Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 b) Lấy mẫu với giữ mẫu bậc khơng Bộ khơi phục tín hiệu cho giữ mẫu bậc không H r (ω)=Ts H1 (ω)H (ω) Không thực được!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 b) Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không Khôi phục gần cho giữ mẫu bậc Low-pass Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn Ideal Filter Practical Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế Băng tần tín hiệu vơ hạn – tượng alias Giải pháp: Anti-aliasing Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.2 Lấy mẫu miền tần số Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn phổ hình vẽ Lấy mẫu F(ω) thang tần số với chu kỳ lấy mẫu ω0 +∞ FT0 (ω)=F(ω) ∑ δ(ω − nω0 ) = ∑ F(nω )δ(ω − nω ) 0 +∞ T0 f(t) ∗ ∑ δ(t − nT0 );T0 =2π/ω0 2π n= −∞ f T0 (t)= n= −∞ T0 +∞ ∑ f(t − nT0 ) 2π n=−∞ T0/2π n= −∞ f T0 (t)= +∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.2 Lấy mẫu miền tần số Điều kiện khơi phục lại tín hiệu gốc lấy mẫu phổ tín hiệu T0 ≥ τ ω0 ≤ 2π/τ T0/2π Lấy mẫu phổ tín hiệu lấy mẫu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT Mục đích: thiết lập mối quan hệ mẫu miền thời gian với mẫu miền tần số T0/2π f(t)= ∞ F(ω)e jωt dω ∫ 2π −∞ ∞ F(ω)=∫ f(t)e−jωtdt −∞ N0 mẫu N0 mẫu N0 =T0 /Ts = ωs /ω0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT Biến đổi DFT thuận: Do f(t) tồn từ đến T0 (tương ứng với N0 mẫu): _ N −1 _ f (t)= ∑ f(kTs )δ(t − kTs ) N −1 F(ω)= ∑ f(kTs )e − jωkTs k=0 k=0 Mặt khác đoạn -ωs/2 đến ωs/2 (tương ứng với N0 mẫu): _ N −1 _ F(ω) F(ω) = F(rω0 )=Ts F(rω0 )=Ts ∑ f(kTs )e − jrω0kTs Ts k=0 Đặt Ω0=ω0Ts=2π/N0; Fr=F(rω0): mẫu thứ r F(ω); fk=Tsf(kTs): mẫu thứ k f(t); ta có: N −1 ∑ f k e− jrΩ k Fr = (Biến đổi DFT thuận) k=0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với e jmΩ0r sau lấy tổng: N −1 ∑ Fr e jmΩ0 r = N −1  N −1 r=0 N −1 ∑ r=0 ∑ Fr e jmΩ0 r r=0  ∑ fke  k=0 − jrΩ k  jmΩ r e   N −1 j(m−k)Ω r  = ∑ fk  ∑ e   r=0  k=0 N −1 N −1 0; k ≠ m  0f k = N 0f m ;k = m ∑ Fr e jmΩ r =  N r=0 fk = N0 N −1 ∑ Fr e jrΩ k (Biến đổi DFT ngược) r=0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Đưa Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải lũy thừa Giảm khối lượng tính tốn: N 02 → N log N fk = N0 N −1 ∑ Fr e jrΩ0 k Fr = r =0 N −1 ∑ Nhân: N0 Cộng: N0-1 f k e − jrΩ0k k =0 Tổng cộng cho hệ số: N0N0 phép nhân N0(N0-1) phép cộng − j 2π / N ) Đặt: WN = e ( = e − jΩ0 Các biểu thức DFT viết lại: N −1 Fr = ∑ fk = N0 f kWNkr0 k =0 N −1 ∑ FrWN−kr r =0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Chia fk thành chuỗi: chẵn lẻ theo số thứ tự: f , f , f , , f N −2 f1 , f , f5 , , f N −1 sequence g k sequence h k Biểu thức DFT viết lại: N0 Fr = −1 ∑ f kWN20kr k =0 N0 + −1 ∑ f k +1WN(2 k +1) r k =0 Ta có: W N0 = WN2 ⇒ Fr = N0 −1 ∑ k =0 f kW kr N0 + WNr N0 −1 ∑ k =0 f k +1W Nkr0 = G + W r H r N0 r Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 10 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT ⇒ Fr = N0 −1 ∑ kr f kW N + WNr k =0 N0 −1 ∑ f k +1W Nkr0 ⇒ Fr = Gr + WNr H r k =0 (0 ≤ r ≤ N − 1) Do Gr Hr DFT N0/2 điểm nên có tính tuần hồn: Gr + N0 = Gr & H r + N0 = H r Mặt khác: N0 WNr + 2 N0 = WN WNr 0 =e − jπ WNr = −WNr N0 ⇒ Fr + N0 = Gr + N0 + WNr + H r + N0 ⇒ Fr + N0 = Gr − WNr H r 2 0 Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 11 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ N0 Fr + N0 = Gr − WNr H r ; ≤ r ≤ Gr −1 N0 Fr ⇔ −1 Hr − W Nr W Nr Fr + N20 Số phép toán nhân cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT: Số phép toán nhân: N log N Số phép toán cộng: N log N Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 12 ... phục tín hiệu thực tế Băng tần tín hiệu vơ hạn – tượng alias Giải pháp: Anti-aliasing Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/1 1-1 2 d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu. .. Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/1 1-1 2 5. 1.2 Lấy mẫu miền tần số Điều kiện khơi phục lại tín hiệu gốc lấy mẫu phổ tín hiệu T0 ≥ τ ω0 ≤ 2π/τ T0/2π Lấy mẫu phổ tín hiệu lấy... Semester: 2/1 1-1 2 d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn Ideal Filter Practical Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/1 1-1 2 d)