Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn fourier của tín hiệu và hệ thống LTI cung cấp cho người học các kiến thức: Tín hiệu dạng sin và hệ thống LTI, biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn, biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn.
t), với biến số f thay cho tần số góc ω: ∞ = X ( f ) F= [x(t)] ∫ x(t)e− j2π ftdt −∞ • Cơng thức biến đổi Fourier nghịch tương đương ∞ x(t) = F −1[X(f )]= ∫ X ( f )e j2π ftdf −∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Hàm X(ω) gọi phổ (Fourier) tín hiệu x(t) theo tần số • Hàm biểu diễn = X (ω) Re[ X (ω)]2 + Im[ X (ω)]2 gọi phổ biên độ tín hiệu x(t) theo tần số • Hàm Im[ X (ω)] Re[ X ( ω )] ϕ(ω) = arctan gọi phổ pha tín hiệu x(t) theo tần số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Điều kiện hội tụ • Điều kiện để biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu x(t) tồn x(t) phải tín hiệu lượng, nghĩa là: ∞ ∫ x(t) dt < ∞ −∞ • Điều kiện để tín hiệu khơi phục từ biến đổi Fourier tín hiệu x(t) hội tụ x(t) thời điểm, ngoại trừ điểm khơng liên tục (Điều kiện Dirichlet): • ∫ x(t) dt < ∞ ∞ −∞ • Số điểm cực trị x(t) hữu hạn • Số điểm khơng liên tục x(t) hữu hạn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Các tính chất biến đổi Fourier • Tính tuyến tính: F[α x1(t) + β x2(t)] = α X1(ω) + β X 2(ω) • Dịch thời gian • Dịch tần số − jωt0 F[x(t − t0)] = X (ω)e jγ t F[x(t)e= ] X (ω − γ ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Co giãn trục thời gian: ω F[x(at)] = X( ) |a| a • Đạo hàm dx(t) F[ ] = jω X (ω) dt • Tích phân t X (ω) F ∫ x(τ )dτ = jω −∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Biến đổi Fourier tích chập: F[ f (t) * g(t)] = F (ω)G(ω) • Biến đổi Fourier tích thường (điều chế) F[ f (t)g(t)] = F (ω) * G(ω) 2π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Cơng thức Parseval: ∞ ∫ −∞ x(t) dt = 2π ∞ ∫ X (ω) dω −∞ Giá trị |X(ω)|2 coi đại diện cho lượng tín hiệu thành phần ejωt tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn |X(ω)|2 theo tần số ω cho ta biết phân bố lượng tín hiệu x(t) gọi phổ mật độ lượng x(t) Chú ý: phổ mật độ lượng tín hiệu khơng tuần hồn hàm theo tần số liên tục CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Tính đối xứng: • Phổ mật độ lượng x(t) hàm chẵn, nghĩa là: ∀ω : X (ω) = X (−ω) • Nếu x(t) tín hiệu thực: ∀ω : X (ω) = X *(−ω) • Nếu x(t) tín hiệu thực chẵn: X(ω) hàm chẵn, nghĩa là: ∀ω : X (ω) = X (−ω) 2 • Nếu x(t) tín hiệu thực lẻ: X(ω) hàm lẻ, nghĩa là: ∀(ω) : X (ω) = − X (−ω) Tính đối ngẫu: X(ω) biến đổi Fourier tín hiệu x(t) thì: F[ X= (t)] 2π x(−ω) • CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Chu kỳ hiệu dụng tín hiệu x(t) định nghĩa 1/2 ∞ sau: 2 ∫ t x(t) dt Td = −∞∞ ∫ x(t) dt −∞ • Băng thơng hiệu dụng tín hiệu x(t) định 1/2 nghĩa là: ∞ ∫ ω X (ω) dω Bω = −∞∞ ω ω X ( ) d ∫ −∞ • Tích băng thơng với thời gian tín hiệu bị chặn dưới: TdBω≥1/2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Tần số cộng hưởng băng thơng hệ thống • Tần số cộng hưởng ωr hệ thống có đáp ứng tần số H(ω) tần số |H(ω)| cực đại • Để xác định ωr, giải phương trình d|H(ω)|/dω=0 • Giá trị |H(ωr)| gọi đỉnh cộng hưởng hệ thống • Băng thơng tần số hệ thống dải tần số độ suy giảm hệ thống không lớn 1/√2 (băng thông 3-dB) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Chu kỳ hiệu dụng tín hiệu x(t) định nghĩa 1/2 ∞ sau: 2 ∫ t x(t) dt Td = −∞∞ ∫ x(t) dt −∞ • Băng thơng hiệu dụng tín hiệu x(t) định... pha tín hiệu x(t) theo tần số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Điều kiện hội tụ • Điều kiện để biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu. .. Fourier thuận nghịch tín hiệu x(t) tồn x(t) phải tín hiệu lượng, nghĩa là: ∞ ∫ x(t) dt < ∞ −∞ • Điều kiện để tín hiệu khơi phục từ biến đổi Fourier tín hiệu x(t) hội tụ x(t) thời điểm, ngoại trừ điểm