Phần 2 bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn fourier của tín hiệu và hệ thống LTI cung cấp cho người học các kiến thức: Tín hiệu dạng sin và hệ thống LTI thời gian rời rạc, biểu diễn Fourier của tín hiệu tuần hoàn,... Mời các bạn cùng tham khảo.
CHƯƠNG 3: BIỄU DIỄN FOURIER CỦA TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI GV: ThS Đinh Thị Thái Mai CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3.2 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU THỜI GIAN RỜI RẠC • Tín hiệu dạng sin hệ thống LTI thời gian rời rạc • Biểu diễn Fourier tín hiệu tuần hồn • Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn thời gian rời rạc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng hệ thống LTI thời gian rời rạc tín hiệu đầu vào dạng sin • Xét hệ thống LTI rời rạc với đáp ứng xung h(n), đáp ứng hệ thống với tín hiệu đầu vào thời gian rời rạc 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 tính sau: 𝑗𝑗Ω(𝑛𝑛−𝑘𝑘) 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∗ ℎ 𝑛𝑛 = ∑+∞ 𝑘𝑘=−∞ ℎ(𝑘𝑘) 𝑒𝑒 −𝑗𝑗Ω𝑘𝑘 = 𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 ∑+∞ = 𝐻𝐻(Ω)𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 𝑘𝑘=−∞ ℎ(𝑘𝑘) 𝑒𝑒 Trong đó, 𝐻𝐻(Ω) gọi đáp ứng tần số: +∞ 𝐻𝐻 Ω = � ℎ(𝑘𝑘) 𝑒𝑒 −𝑗𝑗Ω𝑘𝑘 𝑘𝑘=−∞ • Tín hiệu đầu có tần số với tín hiệu đầu vào dạng sin • Sự thay đổi pha biên độ tín hiệu đầu so với tín hiệu đầu vào đặc trưng hóa đáp ứng tần số 𝐻𝐻(Ω) với hai thành phần sau: 𝐻𝐻(Ω) = [𝐼𝐼𝐼𝐼(𝐻𝐻(Ω))]2 +[𝑅𝑅𝑅𝑅(𝐻𝐻(Ω))]2 𝜑𝜑 Ω = arctan 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐻𝐻 Ω 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐻𝐻 Ω 𝐻𝐻(Ω) 𝜑𝜑 Ω gọi đáp ứng biên độ đáp ứng pha hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng hệ thống LTI thời gian rời rạc tín hiệu đầu vào dạng sin • Khi tín hiệu đầu biểu diễn theo dạng sau: 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝐻𝐻(Ω) 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜙𝜙(Ω) 𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 = 𝐻𝐻(Ω) 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜙𝜙 Ω +Ω𝑛𝑛) Điều có nghĩa là, so sánh với tín hiệu đầu vào dạng sin, tín hiệu đầu có biến độ gấp 𝐻𝐻(Ω) lần biên độ tín hiệu đầu vào, pha tín hiệu đầu bị dịch góc 𝜙𝜙 Ω so với tín hiệu đầu vào CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn thời gian rời rạc • Một tín hiệu tuần hồn với chu kỳ N biểu diễn xác chuỗi Fourier: 𝑁𝑁−1 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = � 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 𝑘𝑘=0 đó, Ω0 = 2𝜋𝜋/𝑁𝑁 tần số 𝑥𝑥 𝑛𝑛 • Nói cách khác, tín hiệu tuần hồn thời gian rời rạc biểu diễn tổng tuyến tính tín hiệu dạng sin phức có tần số bội nguyên lần tần số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn đáp ứng hệ thống LTI tín hiệu đầu vào tuần hồn • Đáp ứng hệ thống LTI thời gian rời rạc có đáp ứng tần số 𝐻𝐻(Ω) thành phần 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 𝐻𝐻 𝑘𝑘Ω0 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0𝑛𝑛 đáp ứng hệ thống tín hiệu tuần hồn 𝑥𝑥 𝑛𝑛 biểu diễn sau: 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 y 𝑛𝑛 = ∑𝑁𝑁−1 𝑐𝑐 𝐻𝐻(𝑘𝑘Ω )𝑒𝑒 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘 Biểu thức biểu diễn chuỗi Fourier y(n) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính trực giao tập 𝒆𝒆𝒋𝒋𝒋𝒋𝛀𝛀𝟎𝟎𝒏𝒏 • Hai tín hiệu tuần hồn f(n) g(n) có chu kỳ N gọi trực giao điều kiện sau thỏa mãn: ∗ ∑𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=0 𝑓𝑓 𝑛𝑛 𝑔𝑔 𝑛𝑛 = • Hai tín hiệu 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑙𝑙𝛺𝛺0 𝑛𝑛 , tần số Ω0 = 2𝜋𝜋/𝑁𝑁, trực giao 𝑘𝑘 ≠ 𝑙𝑙: 𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 = ∀ 𝑘𝑘 ≠ 𝑙𝑙: ∑𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=0 𝑒𝑒 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xác định hệ số chuỗi Fourier • Các hệ số chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn x(n) tính tốn cách tận dụng tính trực giao tập thành phần dạng sin phức 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 sau: −𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 = ∑𝑁𝑁−1 ∑𝑁𝑁−1 𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑙𝑙𝛺𝛺0 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 ∑𝑁𝑁−1 𝑥𝑥(𝑘𝑘)𝑒𝑒 𝑛𝑛=0 𝑛𝑛=0 𝑙𝑙=0 𝑙𝑙 𝑁𝑁−1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 ∑ = ∑𝑁𝑁−1 𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑙𝑙=0 𝑙𝑙 𝑛𝑛=0 𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑘𝑘 = CuuDuongThanCong.com = 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑁𝑁−1 ∑𝑛𝑛=0 𝑥𝑥(𝑛𝑛) 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝛺𝛺0 𝑛𝑛 𝑁𝑁 https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biểu diễn chuỗi Fourier • Tính tuyến tính 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 z 𝑛𝑛 = ∑𝑁𝑁−1 𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ∑𝑁𝑁−1 𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑛𝑛 = ∑𝑁𝑁−1 (𝛼𝛼𝑐𝑐 +𝛽𝛽𝑑𝑑 )𝑒𝑒 𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑘𝑘=0 • Tính dịch thời gian: 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ∑𝑁𝑁−1 𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑘𝑘 𝑘𝑘=0 −𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛0 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 = ∑𝑁𝑁−1 𝑘𝑘=0 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biểu diễn chuỗi Fourier • Định lý Paserval: 𝑁𝑁−1 ∑ 𝑁𝑁 𝑛𝑛=0 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = ∑𝑁𝑁−1 𝑘𝑘=0 𝑐𝑐𝑘𝑘 Giá trị 𝑐𝑐𝑘𝑘 biểu diễn cơng suất thành phần 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0𝑛𝑛 tín hiệu x(n) vẽ đại lượng 𝑐𝑐𝑘𝑘 theo biến tần số Ω𝑘𝑘 = 𝑘𝑘Ω0 (𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍) biểu diễn phân bố cơng suất tín hiệu x(n) tần số khác gọi phổ công suất tín hiệu x(n) Lưu ý: Phổ cơng suất tín hiệu tuần hồn hàm rời rạc tuần hồn với chu kỳ N CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biểu diễn chuỗi Fourier • Tính đối xứng: Một tín hiệu tuần hồn x(n) có biểu diễn chuỗi Fourier: 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ∑𝑁𝑁−1 𝑘𝑘=0 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 Thì phổ công suất x(n) hàm chẵn, tức là: ∀𝑘𝑘: 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 𝑐𝑐−𝑘𝑘 Nếu x(n) có giá trị thực: ∀𝑘𝑘: 𝑐𝑐𝑘𝑘 =𝑐𝑐−𝑘𝑘 ∗ Nếu x(n) thực chẵn : ∀𝑘𝑘: 𝑐𝑐𝑘𝑘 =𝑐𝑐−𝑘𝑘 Nếu x(n) thực lẽ: CuuDuongThanCong.com ∀𝑘𝑘: 𝑐𝑐𝑘𝑘 =−𝑐𝑐−𝑘𝑘 https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier mở rộng • Cho tín hiệu khơng tuần hồn thời gian rời rạc x(n), xem x(n) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ 𝑁𝑁 → ∞ (hoặc Ω0 → 0), x(n) biểu diễn chuỗi Fourier sau: đó: ∞ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim � 𝑐𝑐𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0𝑛𝑛 Ω0 →0 𝑘𝑘=−∞ ∞ 𝑐𝑐𝑘𝑘 = lim � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0𝑛𝑛 Ω0 →0 𝑁𝑁 Ω0 ∞ ∑𝑛𝑛=−∞ 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗Ω0𝑛𝑛 Ω0 →0 2𝜋𝜋 = lim CuuDuongThanCong.com 𝑛𝑛=−∞ https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier mở rộng • Vì Ω0 → 0, nên Ω =kΩ0 liên tục, viết lại phương trình dạng sau: 2𝜋𝜋 � 𝑐𝑐(Ω) 𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 𝑑𝑑Ω 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim Ω0 →0 Ω0 +𝜋𝜋 𝑐𝑐(Ω) 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 = lim � 𝑒𝑒 𝑑𝑑Ω Ω0 →0 Ω0 −𝜋𝜋 đó: 𝑐𝑐 Ω hàm tần số liên tục định nghĩa sau: +∞ Ω0 𝑐𝑐 Ω = lim � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 Ω0 →0 2𝜋𝜋 CuuDuongThanCong.com 𝑛𝑛=−∞ https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier thời gian rời rạc • Cho 𝑋𝑋 Ω = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 Ω Ω0 , tính cơng thức cho biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu x(n): • ∞ 𝑋𝑋 Ω = ℱ 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑒𝑒 −𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞ Công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ℱ −1 𝑋𝑋 Ω 𝜋𝜋 = � 𝑋𝑋(Ω) 𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 𝑑𝑑Ω 2𝜋𝜋 −𝜋𝜋 • Điều kiện để tồn biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược x(n) phải tín hiệu lượng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier thời gian rời rạc • Một dạng khác biến đổi Fourier thời gian rời rạc tín hiệu x(n) sử dụng biến tần số F thay cho tần số góc Ω: −𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑋𝑋 𝐹𝐹 = ∑+∞ 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑒𝑒 −∞ biến đổi Fourier ngược tương ứng là: 1/2 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = � 𝑋𝑋(𝐹𝐹) 𝑒𝑒 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 −1/2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier thời gian rời rạc • Hàm 𝑋𝑋 Ω gọi phổ Fourier tín hiệu x(n) • Đại lượng 𝑋𝑋 Ω = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 Ω + 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑋𝑋 Ω gọi phổ biên độ tín hiệu x(n) miền tần số • Hàm 𝜙𝜙 Ω = arctan 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑋𝑋 Ω /𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 Ω pha tín hiệu x(n) miền tần số CuuDuongThanCong.com gọi phổ https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biến đổi Fourier thời gian rời rạc • Tính tuyến tính: ℱ 𝛼𝛼𝑥𝑥1 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽𝑥𝑥2 𝑛𝑛 • Tính dịch thời gian: = 𝛼𝛼𝑋𝑋1 Ω + 𝛽𝛽𝑋𝑋2 Ω ℱ 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ) = 𝑋𝑋(Ω)𝑒𝑒 −𝑗𝑗Ω𝑛𝑛0 • Tính dịch tần: ℱ 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑒𝑒 −𝑗𝑗Γ𝑛𝑛 = X(Ω − Γ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biến đổi Fourier thời gian rời rạc • Tích chập: ℱ 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ∗ 𝑔𝑔(𝑛𝑛) = 𝐹𝐹 Ω 𝐺𝐺 Ω • Tính điều biến: ℱ 𝑓𝑓 𝑛𝑛 𝑔𝑔(𝑛𝑛) = 𝐹𝐹 2𝜋𝜋 Ω ⊛2𝜋𝜋 𝐺𝐺 Ω Trong đó, ký tự ⊛2𝜋𝜋 biểu diễn tích chập tuần hồn khoảng 2𝜋𝜋, tức là: 𝐹𝐹 Ω ⊛2𝜋𝜋 𝐺𝐺 Ω = CuuDuongThanCong.com 2𝜋𝜋 ∫0 𝐹𝐹 𝜃𝜃 𝐺𝐺 Ω − 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝜃𝜃 https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biến đổi Fourier thời gian rời rạc • Định lý Paserval: ∑+∞ 𝑛𝑛=−∞ 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = 𝜋𝜋 ∫ 2𝜋𝜋 −𝜋𝜋 𝑋𝑋(Ω) 𝑑𝑑Ω Đại lượng 𝑋𝑋(Ω) biểu diễn lượng thành phần 𝑒𝑒 𝑗𝑗Ω𝑛𝑛 tín hiệu x(n) vẽ 𝑋𝑋(Ω) theo biến tần số Ω biểu diễn mật độ lượng x(n) miền tần số gọi phổ lượng x(n) Lưu ý: phổ lượng hàm tuần hoàn liên tục chu kỳ 2𝜋𝜋 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biến đổi Fourier thời gian rời rạc • Tính đối xứng: Phổ lượng tín hiệu x(n) hàm chẵn, tức là: ∀Ω: 𝑋𝑋(Ω) = 𝑋𝑋(−Ω) Nếu x(n) có giá trị thực: ∀Ω: 𝑋𝑋(Ω) = 𝑋𝑋 ∗ (−Ω) Nếu x(n) thực chẵn 𝑋𝑋(Ω) chẵn, tức ∀Ω: 𝑋𝑋(Ω) = 𝑋𝑋(−Ω) Nếu x(n) thực lẽ 𝑋𝑋(Ω) lẽ, tức là: CuuDuongThanCong.com ∀Ω: 𝑋𝑋(Ω) = −𝑋𝑋(−Ω) https://fb.com/tailieudientucntt ... có nghĩa là, so sánh với tín hiệu đầu vào dạng sin, tín hiệu đầu có biến độ gấp