Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao (Advanced signal processing) - Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z

Chương 3 Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z gồm có những nội dung cơ bản sau: Phép biến đổi Z, miền hội tụ, điểm cực, điểm không, hàm tf2zp, một số hàm liên quan, một số tính chất của biến đổi Z, biến đổi Z của một số dãy cơ bản, biến đổi Z ngược. Mời các bạn cùng tham khảo.

Xử lý tín hiệu nâng cao

-Advanced signal

processing-Chương 3Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc

trên miền Z

x ZT z

 Z là một biến phức

 miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z: tập hợp các giá

trị của Z để cho X(z) hội tụ.

Miền hội tụ

Ví dụ: xét tính hội tụ của dãy a n u(n) với a ≠ 0.

a z

z z

a z

a z

X

n n

 Hội tụ khi |a/z| < 1 hay khi |z| > |a|

a z

Miền hội tụ

r=a Mặt phẳng Z

Re[z]

Điểm cực, điểm không

Điểm cực (pole): là điểm mà tại đó X(z)=∞

Điểm không (zero): là điểm mà tại đó X(z)=0

 Như vậy nếu ta biểu diễn X(z) dưới dạng phân số thì:

 các điểm cực là nghiệm của đa thức mẫu số

 các điểm cực là nghiệm của đa thức mẫu số

 các điểm không là nghiệm của đa thức tử số.

Điểm cực, điểm không

Biến đổi Z dạng hữu tỉ

 Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG

 Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào

đ ó  chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm

zero-pole

Điểm cực, điểm không

Các cách biểu diễn biến đổi Z dạng hữu tỉ:

b G

a

= Độ gợi (gain)

Điểm cực, điểm không

Trong matlab ta sử dụng hàm:

 tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không,

 zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z

Hàm tf2zp

[Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) tìm các điểm cực, điểm không và độ gợn:

(z z1)(z z2) (z zn) H(s) K

(z p1)(z p2) (z pn)

=

 num và den: là các hệ số của H(z)

 z: là vector chứa các điểm không

 p: là vector chứa các điểm cực

 k: là độ gợn

(z p1)(z p2) (z pn) − − −

Điểm cực, điểm không

Trong matlab ta sử dụng hàm:

 tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không,

 zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z

-1 -0.5 0 0.5 1

Hàm zp2tf

[NUM,DEN] = ZP2TF(Z,P,K) hình thành hàm truyền đạt

 num và den: là các hệ số của H(z)

 z: là vector chứa các điểm không

 p: là vector chứa các điểm cực

 p: là vector chứa các điểm cực

 k: là độ gợn

( )( )

NUM s H(s)

DEN s

=

Điểm cực, điểm không

Ví dụ: Tìm dạng hữu tỉ và vẽ giản đồ zero-pole cho X(z):

[num,den]=zp2tf(z,p,1);

disp(num);

disp(den);

zplane(z,p);

residuez: trả về các điểm cực và các hệ số tương ứng với

các điểm cực đó trong phân tích một hàm phân thức hữu tỷ ở miền Z thành các thành phần là các hàm phân thức đơn giản, ngược lại nếu đầu vào là danh sách các điểm cực và các hệ

số, hàm residuez sẽ trả về hàm phân thức hữu tỷ ở miền Z

poly: xây dựng một đa thức từ danh sách các nghiệm của nó

ztrans: trả về biến đổi Z của một hàm số được định nghĩa

theo công thức của một biểu tượng (symbol)

Một số hàm liên quan

iztrans: hàm ngược lại của hàm ztrans

zplane: thể hiện phân bố điểm cực và điểm không của một

hàm phân thức hữu tỷ lên mặt phẳng Z

freqz: trả về đáp ứng tần số của một hệ thống tại một số hữu

hạn các điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị khi biết hàm truyền đạt của nó

đạt của nó

clock: trả về thời gian thực hiện tại

etime: trả về thời gian tính bằng giây giữa 2 thời điểm

Ví dụ

Tìm biến đổi z của dãy bằng các cách:

 Tính dựa trên định nghĩa

 Kiểm tra lại bằng hàm ztrans trong Matlab.

 X(z) trong Matlab bằng hàm ztrans

• Trước hết, định nghĩa biến n bằng câu lệnh syms:

% Tim bien doi z syms n positive x=2.^n;

Một số tính chất của biến đổi Z

Tính tuyến tính:

);(

)()]

()

([a1x1 n a2x2 n a1X1 z a2 X2 z

2 1

Một số tính chất của biến đổi Z

Tính chất của biến đổi Z

Tính chất của biến đổi Z

Dịch tần số - Co giãn trong miền Z:

Tính chất của biến đổi Z

Biến số đảo - Đảo thời gian:

• ROC[X(z)] là nghịch đảo của ROC[X(z -1 )]

• Nếu z0 ∈ ROC[X(z)] thì 1/z0 ∈ ROC[X(z -1 )]

Tính chất của biến đổi Z

Một số tính chất của biến đổi Z

Tích của hai dãy:

)/()

(2

1)]

()

n x

π

2 1

j

∩

π

Một số tính chất của biến đổi Z

Tích chập:

2 1

:

) (

) (

)]

(

* ) (

x

ROC ROC

z X

z X

n x

n x

Z

∩

=

2 1

 x 1 (n)={2,3,4} và x 2 (n)={3,4,5,6}

Biến đổi Z của một số dãy cơ bản

1

|

| )

(

1 )

z n

ROC Transform

1 (

|

|

|

| )

(

1

|

| )

1 (

1

|

| )

(

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

b z

n u

b

a z

n u a

z n

u

z n

u

bz n

az n

z z

Biến đổi Z của một số dãy cơ bản

(

1 )

( ] cos

cos 2

( 1

) sin

( )

( ] sin

[

1 0

0

2 2 1

0

1 0

0

a z

z w

a n

u n w a

a

z z

a z

w a

z w

a n

u n w a

ROC Transform

1 (

) 1 (

|

|

|

| )

1 (

) (

|

|

|

| )

cos 2

( 1

) ( ] cos

[

2 1 1

2 1 1

2 2 1

0

0 0

b

z bz

bz n

u nb

a

z az

az n

u na

a

z z

a z

w a

n u n w a

Biến đổi Z ngược

z

X j

z X

Z n

2

1 )]

( [

)

(

π j

2 π

Biến đổi Z ngược

c

n

pk

Z Z X s dZ

Z Z

X j

n

2

1 )

π

 Zpk là các cực

 Res: thặng dư

Biến đổi Z ngược

Ví dụ

Xét:

 Có thể biểu diễn:

1 4

z z

X

2 1

1 2

1

1

4 3

0 4

−

=

z z

z z

z

z z

p =

1.0000 0.3333

1 3

Ví dụ (tiếp)

Từ biểu thức:

1 1

3

1 1

2

1 1

2

1 )

z X

)

( 3

1 2

1 )

( 2

1 )

Bài tập 1

Cho

Tìm biến đổi z ngược bằng hai cách:

 Khai triển thành phân thức tối giản

2

2 ( )

 Kiểm tra lại bằng hàm iztrans trong Matlab

% Tim bien doi z nguoc syms z

f = (z+2)/(2*z^2-7*z+3);

iztrans(f)

 Viết chương trình Matlab sử dụng lệnh residuez

để tìm biến đổi z ngược của X(z).

• (gợi ý: sử dụng hàm poly để xây dựng đa thức từ danh

sách các nghiệm).

Hàm truyền đạt

Là tỷ số biến đổi Z của tín hiệu vào và tín hiệu ra:

)(

)

()

(

z X

z

Y z

H(z) là biến đổi Z của đáp ứng xung h(n)

)]

( [ )

( z Z h n

H =

k y n k b x n r

a

0 0

)(

)(

M

r

r r

z a

z b z

X

z

Y z

H

0

0

)(

)

()

(

( )

(

a

z b z

X

z

Y z

H

M

r

r r

H

0

)(

Hàm truyền đạt (tiếp)

Biểu diễn bằng các điểm cực và điểm không

)(

)

()

k N

i

M

i M N

p z

z

z z

b z

H

−Π

 a Tính hàm truyền đạt H(z) của mỗi hệ thống.

 b Sử dụng lệnh zplane để biểu diễn các điểm

cực, điểm không của hàm truyền đạt và xét tính ổn định của từng hệ thống.

 c Viết chương trình tìm đáp ứng xung của hệ

thống (gợi ý: sử dụng lệnh residuez)