Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 3 Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z gồm có những nội dung cơ bản sau: Phép biến đổi Z, miền hội tụ, điểm cực, điểm không, hàm tf2zp, một số hàm liên quan, một số tính chất của biến đổi Z, biến đổi Z của một số dãy cơ bản, biến đổi Z ngược. Mời các bạn cùng tham khảo.
Xử lý tín hiệu nâng cao -Advanced signal processingChương Biểu diễn hệ thống tín hiệu rời rạc miền Z Phép biến đổi Z Phép biển đổi Z hai phía +∞ X ( z ) = ZT [ x(n)] = ∑ x ( n) z −n n = −∞ Z biến phức miền hội tụ (ROC) biến đổi Z: tập hợp giá trị Z X(z) hội tụ Miền hội tụ Ví dụ: xét tính hội tụ dãy anu(n) với a ≠ ∞ X ( z) = ∑ a z n −n n z a = ∑ = z−a z ∞ Hội tụ |a/z| < hay |z| > |a| Miền hội tụ Mặt phẳng Z r=a Re[z] Điểm cực, điểm không Điểm cực (pole): điểm mà X(z)=∞ Điểm khơng (zero): điểm mà X(z)=0 Như ta biểu diễn X(z) dạng phân số thì: điểm cực nghiệm đa thức mẫu số điểm không nghiệm đa thức tử số Điểm cực, điểm không Biến đổi Z dạng hữu tỉ Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất cần quan tâm vị trí điểm zero-pole Điểm cực, điểm không Các cách biểu diễn biến đổi Z dạng hữu tỉ: Dạng mũ âm: M N(z) b + b1z −1 + + b M z − M X(z) = = = −1 −N D(z) a + a 1z + + a N z Dạng mũ dương: −k b z ∑ k k =0 N ∑a −k z k k =0 b1 M −1 bM z + z + + b0 b0 aN a1 N −1 N z + z + + a0 a0 M N(z) b N −M X(z) = = z D(z) a Dạng zero & pole: b G= a0 M ( z − zk ) ∏ z z z z z z − − − ( )( ) ( ) M X(z) = Gz N − M = Gz N − M kN=1 ( z − p1 )( z − p2 ) ( z − p N ) (z − p ) ∏ Độ gợi (gain) k =1 k Điểm cực, điểm không Trong matlab ta sử dụng hàm: tf2zp để tìm điểm cực, điểm khơng, zplane để biễn diễn kết mặt phẳng z Hàm tf2zp [Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) tìm điểm cực, điểm khơng độ gợn: (z − z1)(z − z2) (z − zn) H(s) = K (z − p1)(z − p2) (z − pn) num den: hệ số H(z) z: vector chứa điểm không p: vector chứa điểm cực k: độ gợn Điểm cực, điểm không Trong matlab ta sử dụng hàm: tf2zp để tìm điểm cực, điểm khơng, zplane để biễn diễn kết mặt phẳng z Ví dụ 0.5 Imaginary Part a= [1,2,3]; b=[4,5,6]; [z,p,k]=tf2zp(b,a) zplane(b,a) 1.5 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 Real Part 0.5 1.5 Biến đổi Z ngược Phương pháp thặng dư: n −1 n −1 x ( n) = X ( Z ) Z dZ = ∑ Re s[ X ( Z ) Z | Z = Z pk ] ∫ 2πj c k Zpk cực Res: thặng dư Biến đổi Z ngược X(z) biểu diễn: rn B( z ) r1 r2 −1 X ( z) = = + + + + k (1) + k (2) z −1 −1 −1 A( z ) − p1 z − p2 z − pn z Trong Matlab sử dụng hàm: [r,p,k]=residuez(b,a) [b,a]=residuez(r,p,k) residuez hàm [r p k] = residuez (b, a) để xác định hệ số việc phân rã H(z) b a hệ số H(z) p: vector chứa điểm cực k: chứa residuez Ví dụ: b = [0 ] a = [ -6 11 -6 ] [ r p k ] = residuez (b, a) Ta thu được: • r = 0.5000, –1.0000, 0.5000 • p = 3.0000, 2.0000, 1.0000 • k=[] Khi đó: Ví dụ Xét: z X ( z) = 3z − z + −1 −1 z + z Có thể biểu diễn: X ( z) = = −1 −2 − 4z + z − z −1 + z − Sử dụng Matlab r = 0.5000 -0.5000 p = a=[3,-4,1]; 1.0000 0.3333 [r,p,k]=residuez(b,a) k = [] b=[0,1]; 1 ⇒ X ( z ) = −1 − 1− z − z −1 Ví dụ (tiếp) Từ biểu thức: Ta có: 1 X ( z ) = −1 − −1 1− z 1− z n 1 1 x ( n) = u ( n) − u ( n) 2 3 Ví dụ Quay lại cách biểu diễn trước hàm residuez [b,a]=residuez(r,p,k) Sử dụng Matlab r=[0.5; -0.5] p=[1;1/3] k=[] [b,a]=residuez(r,p,k) Thu được: b = 0.3333 1.0000 -1.3333 a = 0.3333 −1 0+ z z ⇒ X ( z) = = −1 −2 3z − z + 1− z + z 3 Bài tập Cho z+2 X ( z) = 2z − 7z + Tìm biến đổi z ngược hai cách: Khai triển thành phân thức tối giản Kiểm tra lại hàm iztrans Matlab % Tim bien doi z nguoc syms z f = (z+2)/(2*z^2-7*z+3); iztrans(f) Bài tập Sử dụng lệnh residuez Matlab, tính điểm z+2 cực, thặng dư điểm cực X ( z) = 2z − 7z + BT1 Từ viết dạng tổng hàm phân thức đơn giản X(z) so sánh với kết BT1 % Tinh thang du va diem cuc b=[0 2]; a=[2 -7 3]; [r,p,k]=residuez(b,a) % [b,a]=residuez(r,p,k;) Bài tập Cho hàm X ( z) = −1 −1 (1 − z )(1 − z ) Viết chương trình Matlab sử dụng lệnh residuez để tìm biến đổi z ngược X(z) • (gợi ý: sử dụng hàm poly để xây dựng đa thức từ danh sách nghiệm) Hàm truyền đạt Là tỷ số biến đổi Z tín hiệu vào tín hiệu ra: Y ( z) H ( z) = X ( z) H(z) biến đổi Z đáp ứng xung h(n) H ( z ) = Z [h(n)] Hàm truyền đạt (tiếp) Phương trình sai phân N ∑a M k k =0 y (n − k ) =∑ br x(n − r ) r =0 Biểu diễn H(z) M Y ( z) H ( z) = = X ( z) −r b z ∑r r =0 N ∑a z k k =0 −k Hàm truyền đạt (tiếp) Hệ không đệ quy M Y ( z) H ( z) = = X ( z) −r b z ∑r r =0 a0 Trong trường hợp ao=1 M H ( z ) = ∑ br z −r r =0 Hàm truyền đạt (tiếp) Biểu diễn điểm cực điểm không M H ( z ) = b0 z N −M Π ( z − zi ) i =1 N Π ( z − pk ) k =1 bo gọi hệ số chuẩn hóa Bài tập Cho hai hệ thống sau: y ( n) = 0, y ( n − 1) − 0, 08 y ( n − 2) + x ( n) y ( n) = 0, y ( n − 1) − 0,1 y ( n − 2) + x (n) − 0,5 x ( n − 2) a Tính hàm truyền đạt H(z) hệ thống b Sử dụng lệnh zplane để biểu diễn điểm cực, điểm không hàm truyền đạt xét tính ổn định hệ thống c Viết chương trình tìm đáp ứng xung hệ thống (gợi ý: sử dụng lệnh residuez) ... dụ: X1 (z) =2+ 3z- 1+ 4z- 2 X2 (z) =3+ 4z- 1+ 5z- 2+ 6z- 3 Cần tính X3=X1X2 => X3=6+1 7z- 1+3 4z- 2+4 3z- 3+3 8z- 4+2 4z- 5 Ngồi sử dụng phép nhân chập x1(n)={2,3,4} x2(n)={3,4,5,6} Ví dụ Ta sử dụng matlab để tính nhân... X3=6+1 7z- 1+3 4z- 2+4 3z- 3+3 8z- 4+2 4z- 5 Biến đổi Z số dãy Sequence δ ( n) Transform ROC z u ( n) − u (−n − 1) n a u ( n) n − b u (−n − 1) 1− z −1 1− z −1 1− az −1 1−bz −1 | z |> | z |< | z |>| a | | z. .. z Dạng mũ dương: −k b z ∑ k k =0 N ∑a −k z k k =0 b1 M −1 bM z + z + + b0 b0 aN a1 N −1 N z + z + + a0 a0 M N (z) b N −M X (z) = = z D (z) a Dạng zero & pole: b G= a0 M ( z − zk ) ∏ z z z z z