Bài giảng này cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về biến đổi Laplace. Những nội dung cơ bản được trình bày trong bài gồm có: Giới thiệu về biến đổi Laplace, liên hệ với biến đổi Fourier, điểm cực và điểm không, các tính chất của ROC, biến đổi Laplace ngược, hàm truyền đạt H(s) của hệ thống LTI,...
ET 2060 Biến đổi Laplace TS Đặng Quang Hiếu th an co ng 2011-2012 c Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông om http://ss.edabk.org du on g Giới thiệu biến đổi Laplace cu u Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t) đầu vào x(t) = e st , ta có: y (t) = H(s)e st H(s) = ∞ h(t)e −st dt −∞ ◮ Có thể coi biến đổi Fourier trường hợp riêng biến đổi Laplace (với s = jΩ) ◮ Phân tích hệ thống LTI, đặc biệt tính ổn định ◮ Ứng dụng lý thuyết mạch, lý thuyết điều khiển, v.v CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa L s t L−1 Biến đổi Laplace L om x(t) ←− −→ X (s) X (s) x(t)e −st dt −∞ ng ∞ c s biến số phức: s = σ + jΩ th an co Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace x(t) = e at u(t) du Biến đổi Fourier biến đổi Laplace xét trục ảo s = jΩ X (jΩ) = X (s)|s=jΩ cu u ◮ on g Liên hệ với biến đổi Fourier ◮ Biến đổi Laplace biến đổi Fourier x(t)e −σt X (s) = ∞ −∞ ◮ x(t)e −(σ+jΩ)t dt = FT{x(t)e −σt } Miền hội tụ (ROC) giá trị s mặt phẳng phức cho X (s) < ∞ (tức tồn biến đổi Fourier x(t)e −σt ) Điều kiện hội tụ: ∞ −∞ CuuDuongThanCong.com |x(t)e −σt |dt < ∞ https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Tìm biến đổi Laplace vẽ miền hội tụ cho trường hợp sau: (a) x(t) = δ(t) (b) x(t) = −e at u(−t) (c) x(t) = e 2t u(t) + e 3t u(−t) th an co ng c om (d) x(t) = cos(Ω0 t)u(t) ◮ Điểm không: s = s0k X (s0r ) = cu ◮ Điểm cực: s = spk X (spk ) = ∞ u ◮ du on g Điểm cực điểm không Nếu X (s) biểu diễn hàm hữu tỉ: X (s) = N(s) D(s) spk nghiệm đa thức D(s) s0r nghiệm đa thức N(s) Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace vẽ điểm cực, điểm không x(t) = δ(t) − 3e −2t u(t) + 2e t u(t) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất ROC (i) ROC chứa dải song song với trục ảo mặt phẳng s (ii) ROC khơng chứa điểm cực (iii) Nếu x(t) có chiều dài hữu hạn mặt phẳng phức ∞ −∞ |x(t)|dt < ∞ ROC om (iv) Nếu x(t) dãy phía (trái phải) ROC? th an co ng c (v) Nếu x(t) dãy hai phía ROC? on g Biến đổi Laplace ngược du Áp dụng biến đổi Fourier ngược: cu u x(t)e −σt Ta có: = 2π ∞ X (σ + jΩ)e jΩt dΩ −∞ x(t) = 2πj σ+j∞ X (s)e st ds σ−j∞ ◮ Nếu X (s) hàm hữu tỷ biến đổi ngược cách khai triển thành phân thức tối giản ◮ Lưu ý ROC Ví dụ: Tìm biến đổi ngược X (s) = −5s − , (s + 1)(s − 1)(s + 2) CuuDuongThanCong.com ROC : −1 < Re{s} < https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất ◮ Tuyến tính ◮ Dịch thời gian: x(t − t0 ) ←− −→ e −st0 X (s) ◮ ◮ ◮ ◮ Liên hợp phức: x ∗ (t) ←− −→ X (s ∗ ) L Chập: x1 (t) ∗ x2 (t) ←− −→ X1 (s)X2 (s) dx(t) dt Đạo hàm miền t: L ←− −→ sX (s) L Đạo hàm miền s: −tx(t) ←− −→ Tích phân miền t: t −∞ x(τ )dτ om ◮ |a| X (s/a) L ∗ dX (s) ds = 1s X (s) c ◮ L Co dãn: x(at) ←− −→ Định lý giá trị đầu cuối: Nếu tín hiệu nhân (x(t) = 0, ∀t < 0) ng ◮ L Dịch miền s: e s0 t x(t) ←− −→ X (s − s0 ) co ◮ L x(0+ ) = lim sX (s), lim x(t) = lim sX (s) t→∞ s→0 th an s→∞ du on g Hàm truyền đạt H(s) hệ thống LTI h(t) y (t) cu u x(t) y (t) = x(t) ∗ h(t) Biến đổi Laplace hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có: H(s) = Y (s) X (s) H(s) ◮ Hệ thống nghịch đảo: Hinv (s) = ◮ Hệ thống pha tối thiểu: H(s) Hinv (s) nhân quả, ổn định CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ thống LTI nhân ổn định Nhân quả: ROC H(s) nửa bên phải mặt phẳng phức ◮ Nhân quả, với H(s) hàm hữu tỷ: ROC phần mặt phẳng bên phải điểm cực ◮ Ổn định: ROC chứa trục ảo (s = jΩ) ◮ Nhân quả, ổn định, H(s) hữu tỷ: Tất điểm cực H(s) nằm bên trái trục ảo mặt phẳng phức ◮ Hệ thống pha tối thiểu: Tất điểm cực điểm không H(s) nằm bên trái trục ảo th an co ng c om ◮ u du on g Tìm đáp ứng xung hệ thống LTI cu Cho hệ thống LTI biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: d3 d2 d2 d x(t) + 8x(t) y (t) + y (t) − 4y (t) = x(t) + 15 dt dt dt dt Hãy tìm đáp ứng xung h(t) trường hợp hệ thống nhân quả, ổn định CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace phía ∞ X (s) x(t)e −st dt Ký hiệu: L x(t) ←− −u→ X (s) th an co ng c dx(t) Lu ←− −→ sX (s) − x(0− ) dt om Các tính chất tương tự biến đổi Laplace hai phía, ngoại trừ: u du on g Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số cu Cho hệ thống LTI biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính hệ số d2 d d y (t) + 6y (t) = x(t) + 6x(t) y (t) + dt dt dt Hãy tìm đầu y (t) hệ thống có đầu vào x(t) = u(t) ,với điều kiện đầu: y (0− ) = y ′ (0− ) = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Sử dụng hàm roots để tìm điểm cực điểm khơng hàm truyền đạt H(s) Sử dụng hàm residue để phân tích H(s) hữu tỷ thành phân thức tối giản cu u du on g th an co ng c om Tìm hiểu cách sử dụng hàm tf, zpk, ss, pzmap, tzero, pole, bode freqresp để biểu diễn phân tích hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... t L−1 Biến đổi Laplace L om x(t) ←− −→ X (s) X (s) x(t)e −st dt −∞ ng ∞ c s biến số phức: s = σ + jΩ th an co Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace x(t) = e at u(t) du Biến đổi Fourier biến đổi Laplace. .. Liên hệ với biến đổi Fourier ◮ Biến đổi Laplace biến đổi Fourier x(t)e −σt X (s) = ∞ −∞ ◮ x(t)e −(σ+jΩ)t dt = FT{x(t)e −σt } Miền hội tụ (ROC) giá trị s mặt phẳng phức cho X (s) < ∞ (tức tồn biến. .. https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace phía ∞ X (s) x(t)e −st dt Ký hiệu: L x(t) ←− −u→ X (s) th an co ng c dx(t) Lu ←− −→ sX (s) − x(0− ) dt om Các tính chất tương tự biến đổi Laplace hai phía,