Bài giảng này cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về biến đổi z. Những nội dung cơ bản được trình bày trong bài gồm có: Giới thiệu về biến đổi z, định nghĩa biến đổi z, liên hệ với biến đổi fourier, các điểm cực và không, các tính chất của ROC,… Mời các bạn cùng tham khảo.
ET 2060 - Tín hiệu hệ thống Biến đổi z TS Đặng Quang Hiếu th an co ng 2013-2014 c Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông om http://ss.edabk.org cu u du on g Giới thiệu biến đổi z ◮ Do Ragazzini Zadeh giới thiệu vào năm 1952 ◮ Tương đương với biến đổi Laplace hệ thống liên tục ◮ Chập miền n ≡ tích miền z ◮ Phân tích, tổng hợp, đánh giá hệ thống LTI CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa biến đổi z z n z z −1 z x[n] ←− −→ X (z) ∞ X (z) = x[n]z −n c n=−∞ om z biến số phức z = re jω , ng Miền hội tụ: co ROC{X (z)} = {z ∈ C : |X (z)| < ∞} th an Ví dụ: Tìm biến đổi z x1 [n] = δ[n] x2 [n] = u[n] Biến đổi Fourier biến đổi z xét vòng tròn đơn vị z = e jω X (e jω ) = X (z)|z=e jω cu u ◮ du on g Liên hệ với biến đổi Fourier ◮ Biến đổi z biến đổi Fourier x[n]r −n X (z) = ∞ n=−∞ ◮ x[n](re jω )−n = FT{x[n]r −n } Điều kiện hội tụ: ∞ n=−∞ CuuDuongThanCong.com |x[n]r −n |dt < ∞ https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Tìm biến đổi z vẽ miền hội tụ cho trường hợp sau: (a) x[n] = 2δ[n − 2] + δ[n] − 3δ[n + 1] (b) x[n] = an u[n] (c) x[n] = −an u[−n − 1] (d) x[n] = 2n u[n] − (3j)n u[−n − 1] om (e) x[n] = (−3)n u[n] + 2n u[−n − 1] th an co ng c (f) x[n] = cos(ω0 n)u[n] du on g Các điểm cực không cu u b0 + b1 z + · · · + bM z M N(z) = X (z) = D(z) a0 + a1 z + · · · + aN z N ◮ ◮ Các điểm không (zeros) z0r : X (z0r ) = → nghiệm N(z) Các điểm cực (poles) zpk : X (zpk ) = ∞ → nghiệm D(z) Ví dụ: Cho dãy x[n] = an rectN [n] (a) Tìm biến đổi z miền hội tụ (b) Tìm điểm cực, điểm khơng vẽ mặt phẳng phức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất ROC (i) ROC có dạng tổng qt hình vành khun: r1 < |z| < r2 (ii) ROC không chứa điểm cực (iii) Nếu x[n] có chiều dài hữu hạn ROC mặt phẳng phức (có thể bỏ ∞) (v) Nếu x[n] dãy hai phía ROC ntn? g du on Biến đổi z ngược th an co ng c (vi) Nếu X (z) hữu tỷ với điểm cực zpk ? om (iv) Nếu x[n] dãy phía (trái phải) ROC ntn? cu u Áp dụng biến đổi Fourier ngược: x[n]r −n = Ta có: x[n] = 2π 2πj X (re jω )e jωn dω 2π X (z)z n−1 dz C đó, C đường cong khép kín nằm ROC{X (z)} CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất ◮ Tuyến tính ◮ Dịch thời gian: x[n − n0 ] ←− −→ z −n0 X (z) ◮ ◮ ◮ ◮ z Đảo trục thời gian: x[−n] ←− −→ X (1/z) z Liên hợp phức: x ∗ [n] ←− −→ X ∗ (z ∗ ) z Chập: x1 [n] ∗ x2 [n] ←− −→ X1 (z)X2 (z) z Đạo hàm miền z: nx[n] ←− −→ −z dXdz(z) Định lý giá trị đầu: Nếu tín hiệu nhân (x[n] = 0, ∀n < 0) x[0] = lim X (z) ng z→∞ Tương quan, tích? th an co ◮ om ◮ z Co dãn miền z: an x[n] ←− −→ X (z/a) c ◮ z on g Biến đổi z ngược: Khai triển thành chuỗi lũy thừa cu u du Cho trước X (z) ROC, khai triển X (z) thành chuỗi lũy thừa có dạng ∞ X (z) = cn z −n n=−∞ hội tụ ROC cho Khi đó, x[n] = cn , ∀n Nếu X (z) hàm hữu tỷ, thực phép chia đa thức Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược + 2z −1 X (z) = − 2z −1 + z −2 (a) x[n] dãy nhân (b) x[n] dãy phản nhân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khai triển thành phân thức tối giản (1) b0 + b1 z + · · · + bM z M N(z) = X (z) = D(z) a0 + a1 z + · · · + aN z N Xét M < N, khai triển X (z) dạng N X (z) = k=1 Ak z − zpk Ak = (z − zpk )X (z) z=zpk N ′ (z) D(z) với M ′ < N .c Nếu M ≥ N chia đa thức: X (z) = G (z) + om zpk cực đơn X (z) co X (z) = ng Ví dụ: Cho biến đổi z − 1.5z −1 + 0.5z −2 th an Tìm x[n]? on g Khai triển thành phân thức tối giản (2) cu u du Trường hợp điểm cực bội zpk bậc ℓ, khai triển X (z) phải chứa phân thức tối giản sau: A1k A2k Aℓk + + · · · + z − zpk (z − zpk )2 (z − zpk )ℓ ◮ Phương pháp tính Aik ? ◮ Biến đổi ngược (z−zpk )m ? Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược X (z) = z (z − 2 ) (z − 1) Trường hợp nghiệm phức? Tự đọc! CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm truyền đạt H(z) hệ thống LTI rời rạc x[n] h[n] y [n] y [n] = x[n] ∗ h[n] c om Biến đổi z hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có hàm truyền đạt hệ thống: Y (z) H(z) = X (z) Y (z) ng H(z) on g Hàm truyền đạt (2) th an co X (z) cu u du Hệ thống LTI biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số M N y [n] = − k=1 ak y [n − k] + r =0 br x[n − r ] Biến đổi z hai vế, rút gọn H(z) = 1+ M −r r =0 br z N −k k=1 ak z → Hệ thống cực - không (pole-zero system) ◮ Nếu ak = 0, ≤ k ≤ N → hệ thống FIR gồm tồn điểm khơng điểm cực bội bậc M tầm thường gốc ◮ Nếu br = 0, ≤ r ≤ M → hệ thống IIR gồm toàn điểm cực điểm không bội bậc N tầm thường gốc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ thống LTI nhân ổn định ◮ Nhân quả: ROC{H(z)} nằm ngồi vịng trịn có chứa ∞ Ổn định: ROC{H(z)} chứa vịng tròn đơn vị (z = e jω ) ◮ Nhân quả, ổn định, H(z) hữu tỷ: Tất điểm cực H(z) nằm bên vòng tròn đơn vị ◮ Tiêu chuẩn ổn định Jury, Schur-Cohn: Kiểm tra xem liệu tất nghiệm đa thức có nằm vịng trịn đơn vị khơng Thường thực máy tính th an co ng c om ◮ du on g Hàm truyền đạt sơ đồ khối hệ thống cu u Hãy viết phương trình sai phân hệ thống LTI biểu diễn sơ đồ −1 X (z) z −1 0.5 z −1 −1 z −1 −2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Y (z) Biến đổi z phía + + X (z) = ZT {x[n]} = ∞ x[n]z −n n=0 Các tính chất tương tự biến đổi z hai phía, ngoại trừ: ◮ Trễ k [X (z) + n=1 k−1 ZT+ {x[n + k]} = z −k [X + (z) − Định lý giá trị cuối x[n]z −n ], n=0 k >0 k >0 ng ◮ x[−n]z n ], + om −k c ZT {x[n − k]} = z + co lim x[n] = lim (z − 1)X + (z) n→∞ th an z→1 u du on g Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số cu Ví dụ: Giải phương trình sai phân (tìm y [n], n ≥ 0): y [n] − 3y [n − 1] + 2y [n − 2] = x[n] với đầu vào x[n] = 3n−2 điều kiện đầu: y [−2] = − , CuuDuongThanCong.com y [−1] = − https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Matlab Sử dụng hàm zplane để vẽ cực không hệ thống LTI rời rạc Dùng hàm residuez để thực biến đổi z ngược trường hợp X (z) hàm hữu tỷ cu u du on g th an co ng c om Viết chương trình kiểm tra tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Jury, Schur-Cohn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ...Định nghĩa biến đổi z z n z z −1 z x[n] ←− −→ X (z) ∞ X (z) = x[n ]z −n c n=−∞ om z biến số phức z = re jω , ng Miền hội tụ: co ROC{X (z) } = {z ∈ C : |X (z) | < ∞} th an Ví dụ: Tìm biến đổi z x1 [n]... giản (1) b0 + b1 z + · · · + bM z M N (z) = X (z) = D (z) a0 + a1 z + · · · + aN z N Xét M < N, khai triển X (z) dạng N X (z) = k=1 Ak z − zpk Ak = (z − zpk )X (z) z= zpk N ′ (z) D (z) với M ′ < N... X (z) phải chứa phân thức tối giản sau: A1k A2k Aℓk + + · · · + z − zpk (z − zpk )2 (z − zpk )ℓ ◮ Phương pháp tính Aik ? ◮ Biến đổi ngược (z? ??zpk )m ? Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược X (z) = z (z −