Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và miền hội tụ, biến đổi Laplace ngược, các tính chất bao gồm các nội dung: Dẫn xuất phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược, các tính chất của phép biến đổi Laplace, hàm truyền đạt.
Tín Hiệu Hệ Thống Bài 7: Phép biến đổi Laplace Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ mơn Điều khiển tự động, Khoa Điện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tổ chức EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Pierre Simon de Laplace (1749-1827) EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tại cần phép biến đổi Laplace? Ta có Khi phân tích miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành xung cộng đáp ứng hệ thống với xung Khi phân tích miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành thành phần mũ phức có dạng est s tần số phức s = σ + jω EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa phép biến đổi Laplace Biiến đổi Laplace tín hiệu x(t) định nghĩa Giải thích phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Laplace coi phép biến đổi Fourier tín hiệu x(t) sau nhân với hàm mũ thực e−σ t EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace: Ví dụ Ảnh Fourier tín hiệu mũ thực nhân tồn a > Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có Do với giá trị a, biến đổi Laplace tồn với giá trị σ > -a EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace: Ví dụ Do s = σ+jω, ta viết lại thành Nếu a > 0, X(s) tồn với σ = Re{s} = 0, trở thành X(jω) Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω) Miền hội tụ: Miền giá trị s để biến đổi Laplace hội tụ Biến đổi Laplace bao gồm biến đổi Fourier 10 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ Trường hợp MHT tín hiệu x(t) phải tín hiệu phía phải Ta có Do ảnh Laplace 21 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ Trường hợp MHT tín hiệu x(t) phải tín hiệu hai phía Ta có Do ảnh Laplace 22 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ Trường hợp MHT tín hiệu x(t) phải tín hiệu phía trái Ta có Do ảnh Laplace 23 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các cặp biến đổi Laplace 24 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 25 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính tuyến tính Cho tín hiệu x1(t) x2(t) có ảnh Laplace X1(jω) X2(jω) với MHT tương ứng R1 R2 Ta có ax1 (t ) + bx2 (t ) ↔ aX1 ( s ) + bX ( s ) MHT: R′ ⊃ R1 ∩ R2 Thơng thường, khơng có triệt tiêu điểm cực/điểm không R′ = R1 ∩ R2 Khi R1 R2 không giao nhau, R’ tập rỗng ảnh Laplace ax1 (t ) + bx2 (t ) khơng tồn 26 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính tuyến tính: Ví dụ Xét hai tín hiệu x1(t) x2(t) sau x1 (t ) = e − at u (t ), x2 (t ) = e− at u (t ) − eat u (−t ) Re{s}> − a − a < Re{s} − a s+a u (t ) ↔ , Re {s} > − a + a (s − a) + a ↔ u (t ) , Re {s} > s https://fb.com/tailieudientucntt 29 Tính co giãn Ảnh Laplace x(at) x(at ) ↔ s X ( ), a a R′ = aR jω jω R′ R b c σ ab ac σ Đặc biệt a = -1, ta có x(−t ) ↔ X (− s ), R′ = − R Tính đảo thời gian 30 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đạo hàm tích phân Đạo hàm hai vế biến đổi Laplace ngược theo thời gian t, ta suy dx(t ) ↔ sX ( s ), dt R′ ⊃ R MHTsẽ khơng thay đổi (R’ = R) khơng có triệt tiêu điểm không/điểm cực s = Ví dụ: u (t ) ↔ , s du (t ) = δ (t ) ↔ 1, dt Re {s} > ∀s Theo tính chất đối ngẫu −tx(t ) ↔ dX ( s ) , ds R′ = R 31 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đạo hàm tích phân Ảnh Laplace tích phân tín hiệu x(t) t ∫−∞ x(τ )dτ ↔ X ( s ), s R′ ⊃ R ∩ Re {s} > Ví dụ: Đáp ứng xung h(t ) = e − at u (t ) ↔ H ( s ) = , s+a Re {s} > − a , Re {s} > s( s + a) Đáp ứng bước nhảy với a > s (t ) = ↔ S ( s ) = 32 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích chập Hệ LTI x(t ) Ta có y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ h(t ) ∞ −∞ Y ( s) = ∫ ∞ −∞ x(τ )h(t − τ )dτ y (t )e − st ∞ ∞ ⎡ = ∫ ∫ x(τ )h(t − τ )dτ ⎤ e− st dt ⎥⎦ −∞ ⎢ ⎣ −∞ ∞ ∞ x(τ ) ⎡ ∫ h(t − τ )e − st dt ⎤ dτ = H ( s ) ∫ x(τ )e − sτ dτ ⎢⎣ −∞ ⎥⎦ −∞ −∞ =∫ ∞ e − sτ H ( s ) Do Y ( s ) = H ( s ) X ( s ), R y ⊃ Rh ∩ Rx Thông thường R y = Rh ∩ Rx khơng có triệt tiêu điểm khơng/điểm cực 33 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích chập: Ví dụ Xét đáp ứng hệ bậc (có thể khơng ổn định) với tín hiệu vào x(t) Lấy biến đổi Laplace Do biến đổi Laplace tín hiệu hệ thống biến đổi Laplace ngược 34 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất biến đổi Laplace Tính chất Miền thời gian Ảnh Laplace MHT Tuyến tính ax1 (t ) + bx2 (t ) aX ( s ) + bX ( s ) R′ ⊃ R1 ∩ R2 Dịch thời gian x(t − t0 ) e− st0 X ( s ) R′ = R Điều chế e s0t x(t ) X ( s − s0 ) R′ = R + Re {s0 } Co giãn trục x(at ) s X( ) a a R′ = aR Đảo trục x ( −t ) X (− s) R′ = − R Đạo hàm dx(t ) dt sX ( s ) R′ ⊃ R −tx(t ) dX ( s ) ds X ( s) s X1 ( s) X ( s) R′ = R t Tích phân ∫−∞ x(τ )dτ Tích chập x1 (t ) ∗ x2 (t ) R′ ⊃ R ∩ Re {s} > R′ ⊃ R1 ∩ R2 35 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tổ chức EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com... Laplace ( 174 9-1 8 27) EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tại cần phép biến đổi Laplace? Ta có Khi phân tích miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t)... thực nhỏ điểm cực t2 15 EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com t https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất miền hội tụ Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa phía phải, vừa phía