bài giảng tín hiệu và hệ thống cho sinh viên tự động hóa

bài giảng tín hiệu và hệ thống cho sinh viên tự động hóa của đại học công nghiệp hà nội cho sinh viên TDH chương 3

Chương 3:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG

MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

Bài 1 BIẾN ĐỔI FOURIER

Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

Bài 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F

Bài 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ Bài 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Ký hiệu:

x(n) X() hay X() = F{x(n)}

X() x(n) hay x(n) = F -1 {X()}

BÀI 1 BIẾN ĐỔI FOURIER

1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts

 - tần số của tín hiệu liên tục

Ts - chu kỳ lấy mẫu

Biến đổi Fourier của x(n): 

e n x

(

X() biểu diễn dưới dạng modun & argument:

Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:

) (

) ( )

e n x

2

k

k dk

(

Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của các dãy:

1 :

) ( )

nu n e a

) 1 (

e n x

e n

Ví dụ 2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:

) ( ) 5 0 ( )

(

2 n u n

) ( )

(

n

n

2 5

0 1

BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

a) Tuyến tính

) ( )

x   F

) ( )

( )

( )

x    F

) 2 (

( )

( )

( )

n n

x   F

Nếu:

) (

* )

d) Đảo biến số

) ( )

x   F

) (

) (  n    X  

1 )

1 )

1 )

e) Vi phân trong miền tần số

1 );

( )

1 a

; 1

1 )

( )

( )

u a n

x

) ( )

x   F

)

x

n   F

) ( )

ae d

dX j

G

j

j F

f) Dịch theo tần số

1 );

( ) cos(

)

1 a

; 1

1 )

( )

( )

u a n

x

) ( )

x   F

) -

( )

) ( )

y  n  a n u n e j 0n e j 0n

2

1 )

g) Tích 2 dãy

) ( )

( )

(

1 )

1 (

1 2

1 )

Y

) ( )

g) Tích chập 2 dãy

) ( )

x   F

) ( )

( )

(

* )

( ) (

) ( )

(

* ) ( )

) ( 2 )

4 (

)

- gọi là phổ mật độ năng lượng

g) Quan hệ Parseval

) ( )

( )

1 )

(

Với: S (  )  X (  ) 2

( )

1

BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z

Hay biến đổi Fourier chính là

biến đổi Z được lấy trên vòng

F X ( ) x ( n ) e )

Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy:

Giải:

) ( 2 )

(

2 n u n

5 0

; 5

0 1

1 )

) ( ) 5 0 ( )

1 )

( )

1

2

; 2

1

1 )

Do ROC[X 2 (z)] không chứa /z/=1, nên X 2 () không tồn tại

BÀI 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC

) ( j

e ) ( H )

H

) (



- Đáp ứng biên độ

- Đáp ứng pha

Ví dụ: 1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:

Giải:

Biến đổi Fourier của h(n):

h(n)=rect3(n)

n j n

e n rect

0

) (

)

(

2 / 2

/ 2

/

2 / 3 2

/ 3 2

/ 3

j

j j

j

e e

e

e e

) 2 / 3

sin(

) 2 / sin(

) 2 / 3

) 2 / 3

) ( A

: )

- -2/3 0 2/3  

/2

-/2 - -2/3 0 2/3  

1

/H()/

3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức

) (

) (

) (

* ) ( )

(

* ) ( )

) ( )

m

Ae m

h n

3 2

1 1

1 2

) ( ) ( )

e

e H

n x n



j

n j

4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos, sin

A )

n cos(

A )

n

(

20

( H ) n ( x )

n

(

0 0

n

(

0 0

02

Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:

Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:

) ( j

e ) ( H )

 H ( ) e  A H ( ) cos  n ( ) 

Re A )

n sin(

A )

n

(

20

n

(

BÀI 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU

1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu

Mã hóa x d (n)

Rời rạc hóa

Tín hiệu tương tự

x a (t)

t 0

x a (nT s )

n

0 Ts 2Ts …

Tín hiệu rời rạc Tín hiệu được lấy mẫu

x s (t)

n

0 Ts 2Ts …

t 0

Chuỗi xung lấy mẫu

2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc

 - tần số của tín hiệu tương tự

T s - chu kỳ lấy mẫu

3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và

s s

) mF F

( X

F F

F X

f X

Ví dụ: 1: Hãy vẽ phổ biên độ tín

hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín

hiệu tương tự cho như hình vẽ,

với các tốc độ lấy mẫu:

a)F s >2F M b) F s =2F M c) F s <2F M

Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc

X a (F) – phổ của tín hiệu tương tự

F 0

1

F 0

4 Định lý lấy mẫu

“Tín hiệu tương tự x a (t) có dải phổ hữu hạn (-F M ,F M ) chỉ

có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu x a (nT s ) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa man F s ≥ 2F M ”

Ví dụ 2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự:

F s =2FM=F N: Tốc độ (tần số) Nyquist

t t

t t

xa( )  3 cos 2000   5 sin 6000   10 cos 12000 

Giải:

Tín hiệu có các tần số: F 1=1 kHz, F 2=3 kHz, F 3=6 kHz

F M=max{F 1, F 2 , F 3}=6 kHz  F N =2FM = 12 kHz

5 Khơi phục lại tín hiệu tương tự

Để khơi phục lại tín hiệu tương tự x a (t) thì phổ của tín hiệu được khơi phục phải giống với phổ ban đầu của x a (t)

Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vơ hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu x a (nT s ) đi qua mạch lọc thơng thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa man định lý lấy mẫu cĩ đáp ứng tần số:

tầncác

ở :

2

f2

f - :

) (

] ) (

sin[

) (

) ( )

( )

(

s s

s s

lp s

a a

nT t

F

nT t

F nT

x t

h nT

x t

t

f df

e f H

d e

H t

h

s

s ft

j lp

t

j lp

( )

( 2

1 )