[r]
(1)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 Ch-2: Hệthống tuyến tính bất biến (LTI)
Lecture-3
2.1 Giới thiệu
2.2 Hệthống LTI: tích chập
2.3 Các tính chất của hệthống LTI
2.1 Giới thiệu
Trong môn học ta tập trung khảo sát hệthống LTI:
Nhiều hệthống vật lý thực tếcó tính LTI
Hệthống LTI thỏa nguyên lý xếp chồng & bất biến: biểu diễn tín hiệu vào thành tổng tín hiệu cơbản (hoặc phiên trễ)
đápứng hệthống cách dễdàng
Các ví dụvềbiểu diễn tính hiệu thành tổng tính hiệu cơbản:
Biểu diễn tính hiệu thành tổng xungđơn vị
Biểu diễn tính hiệu thành tổng tính hiệu hàm mũphức: chuỗi Fourier, biếnđổi Fourier, biếnđổi Laplace
(2)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2.2 Hệthống LTI: Tích chập
2.2.1 Biểu diễn tín hiệu thành tổng xungđơn vị
2.2.2 Đápứng xung biểu diễn hệthống LTI tích chập
2.2.1 Biểu diễn tín hiệu thành tổng xungđơn vị Định nghĩa xungδ∆(t):
1 ; 0<t<
(t)=
0; otherwise
τ τ
δ ∆
∆
∆
limτ (t)= (t)
δ δ
∆ ∆ → ⇒
Biểu diễn gầnđúng f(t) dùngδ∆(t):
~ n
f (t)= f(n τ δ) (t n τ) τ
+∞
∆ =−∞
∆ − ∆ ∆
(3)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2 Đápứng xung biểu diễn hệthống LTI tích chập Đápứng xung hệthống LTI: làđápứng hệthống vớiδ(t)
Ví dụ: (a) hệthốngđơn vịy(t)=f(t) h(t)=δ(t)
(b) hệthống có phương trình: t
-y(t)= f ( )dτ τ
∞
∫
h(t)= -t δ τ( )dτ u(t) ∞
=
∫
Đápứng hệthống LTI với xungδ∆(t):
0
lim h (t)=h(t)
τ ∆ ∆ → ⇒
2.2.2 Đápứng xung biểu diễn hệthống LTI tích chập Đápứng hệthống LTI với tín hiệu gầnđúng f(t)
~ n
f (t)= f(n τ δ) (t n τ) τ
+∞
∆ =−∞
∆ − ∆ ∆
∑
Với: Do hệthống LTI nên:
~ n
y (t)= f(n τ)h (t n τ) τ
+∞
∆ =−∞
∆ − ∆ ∆
(4)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2 Đápứng xung biểu diễn hệthống LTI tích chập Đápứng hệthống LTI với tín hiệu vào f(t)
~
f(t) lim f (t)= f( ) (t )d
τ
τ δ τ τ
+∞ −∞ ∆ →
=
∫
−Ta có:
Suy ra:
~
0
n
y (t)= lim y (t)= lim f(n )h (t n )
τ τ
τ τ τ
+∞
∆ ∆ → ∆ →
=−∞
∆ − ∆ ∆
∑
⇒ y(t) +∞f( )h(tτ τ)dτ−∞
=
∫
− ⇔ y(t)=f(t) h(t)∗ (tích chập)Trong phân tích thiết kếngười ta hay biểu diễn mơ hình hệ
thống LTI theo tích chập vớiđápứng xung h(t)
2.2.2 Đápứng xung biểu diễn hệthống LTI tích chập Tính tích chập: f(t) h(t)= +∞f( )h(tτ τ)dτ
−∞
∗
∫
−(Lưu ý: ta sẽtính tích phân tính theo thang thời gianτcịn t là
tham sốcũng biến thời gian của kết quả)
Xácđịnh h(t-τ) theo biếnτ:
(5)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2 Đápứng xung biểu diễn hệthống LTI tích chập Ví dụ: cho f(t)=e-atu(t); a>0 ngỏvào của hệthống LTI cóđáp
ứng xung h(t)=u(t) Xácđịnhđápứng y(t) hệthống?
f(t) h(t)=0∗
t a at
1 a
f(t) h(t)= e−τdτ (1-e− )
∗
∫
=at a
y(t)=f(t) h(t)= (1-e∗ − )u(t) t<0
t>0
2.3 Các tính chất hệthống LTI
Tính giao hốn: y(t)=f(t) h(t)= +∞f ( )h(tτ τ)dτ
−∞
∗
∫
−Đặt: τ1= −t τ
1 t
τ τ
⇒ = −
1 dτ dτ
⇒ = −
1 1 1
+
y(t)= −∞f (t τ )h( )dτ τ ∞h( )f(tτ τ )dτ =h(t) f(t)
∞ −∞
⇒ −
∫
− =∫
− ∗ (6)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2.3 Các tính chất hệthống LTI
Tính kết hợp: y(t)=[f(t) h (t)] h (t)=f(t) [h (t) h (t)]∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2
Hệthống LTI không nhớ: h(t)=Kδ(t) y(t)=f(t) h(t)=f(t) K (t)=Kf(t)δ
⇒ ∗ ∗
Tính khảngịch: ta dễdàng chứng minhđược hệthống nghịchđảo hệthống LTI hệthống LTI Do hệthống LTI khảnghịch tồn hi(t) cho h(t) h (t)= (t)∗ i δ
2.3 Các tính chất hệthống LTI
Tính nhân quả: hệthống LTI nhân quảkhi h(t)=0 t<0
+ +
0
y(t)=f(t) h(t)= ∞f ( )h(tτ τ)dτ ∞h( )f(tτ τ)dτ
−∞
⇒ ∗
∫
− =∫
−Tínhổnđịnh: giảsửtín hiệu vào bịchặn |f(t)|≤B
+ +
| y(t)|=|f(t) h(t)|=| ∞f ( )h(tτ τ)d | |τ ∞h( )f(tτ τ)d |τ
−∞ −∞
⇒ ∗
∫
− =∫
−+
| y(t)| ∞|h( ) || f(tτ τ)|dτ
−∞
⇒ ≤
∫
− | y(t)| B +∞|h( ) | dτ τ−∞
⇒ ≤
∫
Vậy hệthống LTI ổnđịnh khi:
+
|h( ) | dτ τ
∞