[r]
(1)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-7: Đápứng tần sốcủa hệthống LTI thiết kếbộlọc tương tự
Lecture-14
7.3 Bộlọc Butterworth 7.4 Bộlọc Chebyshev
7.5 Các phép biếnđổi tần số
7.2 Bộlọc Butterworth
Trên thực tế người ta tìm được phép biếnđổiđểthiết
kế bộlọc thông cao, thông dãi, chắn dãi dựa vào bộlọc
thông thấpTập trung khảo sát thiết kếbộlọc thông
(2)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộlọc Butterworth
Đápứng biênđộcủa bộlọc thông thấp Butterworth bậc n:
( )2
1
| ( ) |
1
c
n H j
ω ω ω =
+
Tại tần sốωc, đápứng biênđộbằng 1/(2)1/2 hoặc -3dB cơng
suất suy giảm ½ : gọi làtần sốcắt, tần số3dBhoặctần số½ cơng suất
Trong thiết kế, ta dùngđápứng chuẩn hóa (ωc=1) nhưsau:
2
1
| ( ) |
1 n
jω
ω
=
+
H
7.3 Bộlọc Butterworth
Đápứng biênđộcủa bộlọc chuẩn hóa:
Xácđịnh hàm truyền của bộlọc chuẩn hóa:
s= jω
Các poles củaH(s)H(-s) phải thỏa: 2 2
( )
n n
s = − j
(2 1)
1 ejπ k−
− =
/ 2
j
j = e π
2n j (2k n 1)
s =e π + −
2
1
| ( ) |
1 n
jω
ω
=
+
H
2
1
( ) ( )
1 n
jω jω
ω
− =
+
H H
2
1
( ) ( )
1 ( / ) n
s s
s j
− =
+
(3)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộlọc Butterworth
Re Im
-1
1 j
-j
( 2 1)
2 ; 1, 2, 3, , 2
j
k n n k
s e k n
π
+ −
= =
Kết luận: n poles củaHHHH(s): Vậy poles củaH(s)H(-s) là:
( 2 1)
2 ; 1, 2, 3, ,
j
k n n k
s e k n
π
+ −
= =
Re Im
-1
1 j
-j
H H H H(-s) H
H H
H(s) HHHH(s) HHHH(-s)
7.3 Bộlọc Butterworth Vậy H(s) có dạng:
( 2 1)
2 ; 1, 2, 3, ,
j
k n n k
s e k n
π
+ −
= =
1 2 3
1 ( )
( )( )( ) ( n)
s
s s s s s s s s
=
− − − −
H
Ví dụ: xét trường hợp n=4
5 /8
1 0.3827 0.9239
j
s =e π = − +j
7 /8
2 0.9239 0.3827
j
s =e π = − +j
9 /8
2 0.9239 0.3827
j
s =e π = − −j
11 /8
1 0.3827 0.9239
j
s =e π = − −j
Re Im
-1
j
-j s1
s2
s3
(4)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộlọc Butterworth
1 ( )
( 0.3827 0.9239)( 0.3827 0.9239)( 0.9239 0.3827)( 0.9239 0.3827)
s
s j s j s j s j
=
+ − + + + − + +
H
2 2
1 ( )
( 0.7654 1)( 1.8478 1)
s
s s s s
=
+ + + +
H
⇒
⇒
4 3 2
1 ( )
2.6131 3.4142 2.6131 1
s
s s s s
=
+ + + +
H
Làm tương tựta có thểtínhđược cho trường hợp bậc n bất kỳ:
1
1 1
1 1
( )
( ) n n 1
n n
s
B s s a s− − a s
= =
+ + + +
H
Bn(s): Gọi làđa thức Butterworth!!!
7.3 Bộlọc Butterworth
Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+a
n-1sn-1+…+a1s+1
(5)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộlọc Butterworth
Butterworth Polynominal in Factorized Form
n ( )
n B s
7.3 Bộlọc Butterworth
Xácđịnh hàm truyền H(s) của bộlọc:
( )s
H s←s/ωc H s( )
Thiết kếbộlọc Butterworth bậc vớiωc=10
2
1 ( )
2 1
s
s s
=
+ +
H
( )s 2 ( )s
10 10
1 H(s)=
+ 2 +1
/ c
s←s ω
2
100 H(s)=
s +10 2s+100
(6)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộlọc Butterworth
Xácđịnh bậc n của bộlọc vàωctheo yêu cầu thiết kế:
Độlợi (dB) tại tần sốωx: 1 lo g1 0 1 ( )x c
n x
G = − + ωω
Độlợi (dB) tại tần sốωp: ( )2
1
1 lo g 1 p 0
c
n p
G ≤ − + ωω ≤
Độlợi (dB) tại tần sốωs: ( )2
1 0
0 1 lo g 1 s
c
n s
G ωω
≥ ≥ − +
( )2 /
1 0 1
s s c n G ω ω − ≥ −
( )2 / 0
1 0 1
p p c n G ω ω − ≤ −
⇒ ( )2 1 0 / 0/ 0 1
1 0 1
s s p p G n G ω ω − − − ≥ − ⇒
/ /
lo g (1 0 1) /(1 0 1)
2 lo g ( / )
p s G G s p n ω ω − − − − ≥ ⇒
/ 0 1 / 2
(1 0 p 1)
p
c G n
ω
ω ≥ −
− (10 s/10 1)1/ 2
s
c G n
ω
ω ≤ −
−
⇒
7.3 Bộlọc Butterworth
Các bước thiết kếbộlọc thông thấp Butterworth:
Ví dụ: Thiết kếbộlọc thơng thấp Butterworth thỏa mãn yêu cầu sau: Độlợi dãi thông (0≤ω<10) không nhỏhơn -2dB; độlợi dãi chắn (ω≥20) không vượt -20dB
Bước 1: Xácđịnh
Bước 2: Xácđịnhωc:
/ /
lo g (1 0 1) /(1 0 1)
2 lo g ( / )
p s G G s p n ω ω − − − − ≥
/ 0 1 / 2
(1 0 p 1)
p
c G n
ω
ω ≥ −
− (10 s/10 1)1/ 2
s
c G n
ω
ω ≤ −
−
và
Bước 3: XácđịnhHHHH(s): dùng n (bước 1) tra bảng (hoặc tính)
(7)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộlọc Butterworth
Bước 1:
Bước 2:
2
l o g (1 0 1) / (1 0 1)
3 1 2 l o g 2
n
− −
≥ =
0 / 1 0
1 4 (1 0 1)
c
ω ≥ =
−
Bước 3:
Bước 4:
chọn n=4
2 / 2 0
1 6 (1 0 1)
c
ω ≤ =
−
chọnωc=11
( ) ( )1
1 1
1 lo g 1 1 6 2
p d e sig n
G = − + = − d B > − d B
( ) ( )2
1 1
1 lo g 1 2 8 2 0
s d es ig n
G = − + = − d B < − d B
2
1 ( )
( 0 6 6 1)( 1 7 7 1)
s
s s s s
=
+ + + +
H
( )11 ( )11 ( )11 ( )11 1
( )
[ s 0.76536686 s 1][ s 1.84775907 s 1]
H s =
+ + + +
2
14641 ( )
( 8.41903546 121)( 20.32534977 121)
H s
s s s s
=
+ + + +
⇒
7.4 Bộlọc Chebyshev
Đápứng biênđộcủa bộlọc thông thấp Chebyshev:
2 2
1
| ( ) |
1 ( )
c
n
H j
C ω ω
ω
ε
=
+
Trong thiết kế, ta dùngđápứng chuẩn hóa (ωc=1):
2 2
1
| ( ) |
1 n ( )
j
C
ω
ε ω
=
+
H
Vậy cóH(s)H(s) bằng cách:
( )s