Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 Ch-6: Phân tích hệthống liên tục dùng biếnđổi Laplace
Lecture-10
6.1 Biếnđổi Laplace
6.1 Biếnđổi Laplace
6.1.1 Biếnđổi Laplace thuận
6.1.2 Biếnđổi Laplace sốtín hiệu thơng dụng 6.1.3 Các tính chất biếnđổi Laplace
(2)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.1 Biếnđổi Laplace thuận
Biếnđổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng thành phần tần sốphân tích hệthốngđơn giản & trực quan miền tần số
| ( ) |f t dt & | ( ) |h t dt
∞ ∞
−∞ < ∞ −∞ < ∞
∫ ∫
Biếnđổi Fourier cơng cụchủyếuđểphân tích TH & HT nhiều lĩnh vực (viễn thông, xửlýảnh, …)
Muốn áp dụng biếnđổi Fourier tín hiệu phải suy giảm & HT vớiđápứng xung h(t) phảiổnđịnh
Đểphân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) hệ
thống khôngổnđịnhdùng biếnđổi Laplace (là dạng tổng quát biếnđổi Fourier)
6.1.1 Biếnđổi Laplace thuận
Xét tín hiệu f(t) hàm tăng theo thời giantạo hàm mớiφ(t) từ
f(t) cho tồn biếnđổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R
Biếnđổi Fourier củaφ(t) nhưsau:
( )ω [ ( )]φ t ∞ f t e( ) −σte−j tωdt
−∞
Φ =F =∫ ( ) ( j )t
f t e σ ω dt
∞ − +
−∞
=∫ Đặt s=σ+jω: ( ) ( ) st
f t e dt
ω ∞ −
−∞
Φ =∫ F(s)=Φ(ω)
Hay: F(s)= ∞ f(t)e dt−st
−∞
∫ (Biếnđổi Laplace thuận)
( )t f t e( ) σt
φ = −
t
( )
f t
t
( ) ( )]
F s =L[f t
(3)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.1 Biếnđổi Laplace thuận
Miền hội tụ(ROC) biếnđổi Laplace: tập hợp biến s mặt phẳng phức cóσ=Re{s} làm choφ(t) tồn biếnđổi Fourier Ví dụ: tìm ROC đểtồn F(s) tín hiệu f(t) sau:
( ) ( ) at ( );
a f t =e− u t a> ( ) ( ) at ( );
b f t =e− u −t a> ( ) ( )c f t =u t( )
6.1.2 Biếnđổi Laplace sốtín hiệu thơng dụng (a) f(t)=δ(t)
-at
(b) f(t)=e u(t); a>0
-at
(c) f(t)=-e u(-t); a>0
( ) 1; ROC: s-plane F s
⇒ =
1
( ) ; : Re{ }
F s ROC s a
s a
⇒ = > −
+
1
( ) ; : Re{ }
F s ROC s a
s a
⇒ = < −
+
(d) f(t)=u(t) F s( ) 1;ROC: Re{ }s
s
(4)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3 Các tính chất biếnđổi Laplace
Tính chất tuyến tính:
1( ) 1( )
f t ↔F s ⇒
1 1( ) 2( ) 1( ) 2( )
a f t +a f t ↔a F s +a F s
2( ) 2( )
f t ↔F s
Dịch chuyển miền thời gian:
( ) ( )
f t ↔F s ⇒
0
( ) ( ) st
f t t− ↔F s e−
2
: ( ) ( ) ; : Re{ }
1
t t
Ex e u t e u t ROC s
s s
− + − ↔ + > −
+ +
( )
4
: ( 3) ( 5)
2
s s
t
Ex rect u t u t e e
s − − − = − − − ↔ −
6.1.3 Các tính chất biếnđổi Laplace Dịch chuyển miền tần số:
( ) ( )
f t ↔F s ⇒
0 ( ) s t ( )
f t e ↔F s s−
( ) 2
: cos ( ) s Ex bt u t
s b ↔
+ cos( ) ( ) 2
( )
at s a
e bt u t
s a b
− +
⇒ ↔
+ + Đạo hàm miền thời gian:
( ) ( ) f t ↔F s
⇒ ( ) (1) ( 1)
( ) (0 ) (0 ) (0 )
n
n n n n
n d f t
s F s s f s f f
dt
− − − − − −
↔ − − − −
(1)
( )t s
δ
⇒ ↔
( )t
δ ↔ ( ) ( ) n n t s δ ⇒ ↔ ( ) t f t =rect −
2
( ) ?
d f t dt
(5)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3 Các tính chất biếnđổi Laplace
Tích phân miền thời gian:
( ) ( ) f t ↔F s ⇒
0
( ) ( )
t F s
f d
s τ τ
− ↔
∫
0
( ) ( ) ( )
t f d F s
f d
s s
τ τ τ τ
−
−∞
−∞ ↔ +
∫ ∫
Tỷlệthời gian:
( ) ( )
f t ↔F s ⇒ f at( ) 1F s ;a 0
a a
↔ >
6.1.3 Các tính chất biếnđổi Laplace Tích chập miền thời gian:
1( ) 1( ); 2( ) 2( )
f t ↔F s f t ↔F s ⇒ f t1( )∗f t2( )↔F s F s1( ) ( )2 Tích chập miền tần số:
1( ) 1( ); 2( ) 2( )
f t ↔F s f t ↔F s ⇒ f t f t1( ) ( )2 ↔21πj[F s1( )∗F s2( )] Đạo hàm miền tần số:
( ) ( )
f t ↔F s ⇒ tf t( ) dF s( )
ds ↔−
( )
1
t e u t
s
− ↔
+ ( )2
1 ( )
1 t
te u t s
−
⇒ ↔
+
( ) ?
(6)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4 Biếnđổi Laplace ngược
Tín hiệu f(t) tổng hợp nhưsau: ( ) ( ) t f t =φ t eσ
1 1
2
( ) [ ( )] t ( ) j t t
f t − ω eσ π ∞ F s eωdω eσ
−∞
= Φ =
∫
F
1
( ) j j ( ) st j
f t π σ F s e ds
σ + ∞ − ∞
= ∫ (Biếnđổi Laplace ngược)
Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!
Mơ tảF(s) vềcác hàmđơn giản màđã có kết quảtrong bảng cặp biếnđổi Laplace Thực tếta quan tâm tới hàm hữu tỷ!!!
Zero F(s): giá trịcủa s đểF(s)=0
Pole F(s): giá trịcủa s đểF(s)→∞
Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm P(s)=0 zero & nghiệm Q(s)=0 pole
Ký hiệu: f(t)=L-1[F s( )]
6.1.4 Biếnđổi Laplace ngược
Dùng bảng
Dùng ?
Ví dụ:
2
3
2 1
3 2
s
s s s s s s
−
= − + +
+ + + +
( )
2
-1 -1
3
2 1
1 ( )
3 2
t t
s
e e u t
s s s s s s
− −
−
⇒ = − + + = − + +
+ + + +
(7)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4 Biếnđổi Laplace ngược
start
m<n
m≥≥≥≥n Polynomicaldividing;
in case m=n F(s)/s
Expend the proper The result depends on n unknown coefficients (k1, k2,…)
Find unknown coefficients by using: [1] Clearing func [2] Heaviside [3] Mixing boths Xét hàm hữu tỷsau:
1
1
1
1
( )
( )
( )
m m
m m
n n
n
b s b s b s b P s F s
s a s a s a Q s
− −
− −
+ + + +
= =
+ + + +
m≥n: improper; m<n: proper, tập trung vào proper!!!
6.1.4 Biếnđổi Laplace ngược
( ) ( ) / ( )
F s ====P s Q s
Xácđịnh zero & pole F(s); zero & pole phải khác
Khai triển hàm proper:
Giảsửcác pole là: s=λ1,λ2,λ3,…
Khai triển F(s) dùng quy luật sau: • Các pole khơng lặp lại:
3
1
1
( )
( ) ( ) ( )
k
k k
F s
s λ s λ s λ
= + + +
− − −
• Các pole lặp lại, giảsửλ2lặp lại r lần
1
2 3
1
0
1
( )
( ) ( ) ( )
r
j r j j
k k
k F s
s λ s λ s λ
−
− =
= + + +