Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier. Nội dung chính trong bài này gồm: Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier, các tính chất của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn.
Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier Lecture-7 4.1 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn dùng biến đổi Fourier 4.2 Các tính chất biến đổi Fourier 4.3 Biến đổi Fourier tín hiệu tuần hồn Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn dùng biến đổi Fourier 4.1.1 Biến đổi Fourier 4.1.2 Điều kiện tồn biến đổi Fourier 4.1.3 Biến đổi Fourier số tín hiệu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1 Biến đổi Fourier Tín hiệu khơng tuần hồn xem tín hiệu tuần hồn có chu kỳ dài vơ hạn Xét f(t) tín hiệu khơng tuần hồn: f (t ) fT0(t) tín hiệu tuần hoàn tạo thành lặp lại f(t) với chu kỳ T0: f (t ) T0 T0 Ta có quan hệ f(t) fT0(t) sau: f(t)= lim f T0 (t) T0 →∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1 Biến đổi Fourier Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier Dn = T0 ∫ T0 /2 -T0 /2 f T0 (t)e-jnω0 t dt= T0 ∫ S -S e-jnω0 t dt= T0 Dn sinnω0S T0 nω0 2sin ω S ω ω = nω0 = n 2π T0 nω0 ω0 = 2π /T0 Gấp đôi T0: T0 Dn 2sin ω S ω ω = nω0 = n 2π T0 nω0 ω0 = 2π /T0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1 Biến đổi Fourier T0 Dn Tiếp tục tăng T0 2sin ω S ω = nω0 = n ω 2π T0 nω0 ω0 = 2π / T0 Khi T0 ∞, T0Dn hàm liên tục T0 /2 ∞ lim [ T0 D n ] = lim ∫ f T0 (t)e-jnω0t dt = ∫ f(t)e-jωt dt=F(ω) -∞ T0 →∞ T0 →∞ -T0/2 Phổ tín hiệu khơng tuần hoàn: F(nω0 ) = F(ω) lim [∆ω] = T0 →∞ ∆ω→0 T0 2π D(ω)= lim [D n ] = lim T0 →∞ Phổ tín hiệu khơng tuần hồn có tính chất phân bố Hàm mật độ phổ tín hiệu, F(ω), xem phổ tín hiệu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1 Biến đổi Fourier Tích phân Fourier ∞ f(t) = lim f T0 (t) = lim T →∞ f(t) = T →∞ ∑De jnω0 t n n =−∞ ∞ = lim ∆ω →∞ ∑ 2π F(n∆ω)e jn ∆ωt ∆ω n =−∞ ∞ F(ω)e jωt dω ∫ −∞ 2π Tóm lại ta có kết quả: f(t) ↔ F(ω) F(ω )= ∫ f(t)= ∞ −∞ f(t)e − jω t dt ∞ F(ω)e jωt dω ∫ −∞ 2π Phương trình phân tích – Biến đổi Fourier thuận Phương trình tổng hợp – Biến đổi Fourier ngược Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ thành phần tần số, ejωωt Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.2 Điều kiện tồn biến đổi Fourier Tín hiệu f(t) có lượng hữu hạn tồn F(ω) hữu hạn lượng sai số Điều kiện Dirichlet: Điều kiện 1: ∫ |f(t)|dt0: ∞ ∞ F(ω)= ∫ e u(t)e −∞ − at − jωt ∞ dt= ∫ e − (a+jω)t e−at u(t); a>0 ↔ − (a+jω)t dt= − e = a+jω a+jω a+jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3 Biến đổi Fourier số tín hiệu F (ω ) = a2 + ω ∠F (ω ) = − tan −1 (ω / a ) F (ω ) 1/ a ∠F (ω ) π /2 ω −π / ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3 Biến đổi Fourier số tín hiệu f(t)=u(t): +∞ F (ω ) = ∫ u (t )e −∞ − jωt +∞ dt = ∫ e − jωt − jωt dt = − e jω +∞ =? u (t ) e − at u (t ) u (t ) = lim e − at u (t ) a →0 t +∞ ⇒ F (ω ) = lim ∫ e − at u (t )e − jωt dt = lim a →0 −∞ a + a →0 a + ω jω ⇒ F (ω ) = πδ (ω ) + jω ⇒ F (ω ) = lim a →0 a − jω = lim 2 a → a + jω a + ω Diện tích π u(t ) ↔ πδ (ω) + 1/ jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3 Biến đổi Fourier số tín hiệu f(t) xung cổng đơn vị: r e ct ( τt ) = +∞ F (ω ) = ∫ rect ( τ )e t t >τ / t : F1 (ω)= ∞ f(τ)e a ∫−∞ f(at) ↔ ω F |a| a Phép đảo thời gian: ∞ f(t) ↔ F(ω)= ∫ f(t)e − jωt dt −∞ Ví dụ: e − at u(t) ↔ 1/(a + jω) f( − t) ↔ F( − ω) eat u( − t) ↔ 1/(a − jω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2 Các tính chất biến đổi Fourier Tích chập miền thời gian: f1 (t) ↔ F1 (ω); f (t) ↔ F2 (ω) +∞ f(t)=f1 (t) ∗ f (t) ↔ F(ω)= ∫ f1 (t) ∗ f (t)e − jωt dt −∞ +∞ F(ω)= ∫ ∫ f1 (τ)f (t − τ)dτ e − jωt dt −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ = ∫ f1 (τ) ∫ f (t − τ)e − jωt dt dτ = ∫ f1 (τ)F2 (ω)e − jωτ dτ -∞ −∞ -∞ +∞ +∞ = F2 (ω) ∫ f1 (τ)e − jωτ dτ = F1 (ω)F2 (ω) −∞ f1 (t) ∗ f (t) ↔ F1 (ω)F2 (ω) Ví dụ: rect( 2tT ) ↔ T2 sinc ( ωT4 ) Có: rect( 2tT ) ∗ rect( 2tT )= T2 ∆ ( Tt ) ↔ ∆ ( Tt ) ↔ T T2 sinc ( ωT ) sinc ( ωT ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2 Các tính chất biến đổi Fourier Tích chập miền tần số: f1 (t) ↔ F1 (ω); f (t) ↔ F2 (ω) +∞ f(t)= ∫ [F1 (ω) ∗ F2 (ω)]e jωt dω 2π −∞ +∞ +∞ = [ ∫ F1 (τ)F2 (ω-τ)dτ]e jωt dω ∫ −∞ −∞ 2π +∞ +∞ = F ( τ )[ F2 (ω-τ)e jωt dω]dτ ∫ ∫ −∞ −∞ 2π = +∞ +∞ F1 (τ)e jτt [ ∫ F2 (x)e jxt dx]dτ ∫ −∞ −∞ 2π +∞ = f (t) ∫ F1 (τ)e jτt dτ = 2πf1 (t)f (t) −∞ 2πf1 (t)f2 (t) ↔ F1 (ω) ∗ F2 (ω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2 Các tính chất biến đổi Fourier Đạo hàm miền thời gian: f(t) ↔ F(ω) df(t) = dt f(t) = ∫ 2π +∞ −∞ 2π ∫ +∞ −∞ F(ω)e jωt dω df(t) ↔ jωF(ω) dt jωF(ω)e jωt dω d n f(t) ↔ (jω) n F(ω) n dt Tích phân miền thời gian: +∞ t −∞ −∞ f(t) ∗ u(t) = ∫ f(τ)u(t − τ)dτ = ∫ f(τ)dτ f(t) ∗ u(t) ↔ F(ω)[πδ(ω)+1/jω] = πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω ∫ t −∞ f(τ)dτ ↔ πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2 Các tính chất biến đổi Fourier Liên hiệp phức tính đối xứng liên hiệp phức: ∞ f(t) ↔ F(ω)= ∫ f(t)e − jωt dt f(t) = −∞ 2π +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ +∞ −∞ F(ω)e jωt dω f * (t) = [ 2π1 ∫ F(ω)e jωt dω]* = 2π1 ∫ F* (ω)e − jωt dω = 2π ∫ +∞ −∞ F* ( − ω)e jωt dω f * (t) ↔ F* ( − ω) F( − ω)=F* (ω) f(t):Real |F(ω)| : even function of ω ∠F(ω) : odd function of ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 10 4.2 Các tính chất biến đổi Fourier Định lý Parseval: +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ E f = ∫ |f(t)|2 dt = ∫ f(t)f * (t)dt = ∫ f(t)[ 21π = 2π ∫ +∞ −∞ +∞ F* (ω)[ ∫ f(t)e-jωt dt]dω = −∞ 2π ∫ +∞ −∞ ∫ +∞ −∞ F(ω)e jωt dω]∗dt F* (ω)F(ω)dω +∞ E f = 2π1 ∫ |F(ω)|2dω Định lý Parseval −∞ |F(ω)|2 Mật độ phổ lượng Ví dụ: f(t)=sinc(t) ↔ F(ω)=2πrect( ω2 ) Ef = 2π ∫ +∞ −∞ 4π rect ( ω2 )dω = 2π ∫ dω = 4π −1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.3 Biến đổi Fourier tín hiệu tuần hồn Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier: +∞ f(t)= ∑ D n e jnω0t với: D n = ∫ f(t)e − jnω0t dt T0 T0 n= −∞ Biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hồn: +∞ f(t) ↔ F(ω)= ∑ 2πD n δ(ω − nω0 ) n= −∞ Ví dụ 1: f(t) T0=4S T0 nπ D n = sinc( ) 2 +∞ F(ω)= ∑ πsinc( n= −∞ nπ )δ(ω − nω0 ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 11 4.3 Biến đổi Fourier tín hiệu tuần hồn F(ω) π 2 −ω ω ω0 ∞ Ví dụ 2: xác định phổ hàm phân bố lược f(t)= ∑ δ(t − kT) k= −∞ f(t) t -2T -T T 2T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.3 Biến đổi Fourier tín hiệu tuần hồn Dn = T +∞ 2π 2nπ δ(ω − ) T n= −∞ T F(ω)= ∑ F(ω) 2π T − 4π T − 2π T 2π T 4π T ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 12 ... Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/1 0-1 1 4. 2 Các tính chất biến đổi Fourier Ví dụ: −ωτ / Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/1 0-1 1 4. 2 Các tính chất... Ef = 2π ∫ +∞ −∞ 4 rect ( ω2 )dω = 2π ∫ dω = 4 −1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/1 0-1 1 4. 3 Biến đổi Fourier tín hiệu tuần hồn Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng.. .4. 1.1 Biến đổi Fourier Tín hiệu khơng tuần hồn xem tín hiệu tuần hồn có chu kỳ dài vơ hạn Xét f(t) tín hiệu khơng tuần hồn: f (t ) fT0(t) tín hiệu tuần hồn tạo thành lặp