Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 4 - ThS. Đinh Thị Thái Mai

Phần 3 bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biến đổi Laplace và các ứng dụng trong phân tích hệ thống thời gian liên tục bao gồm các nội dung: Biến đổi Laplace của tín hiệu, hàm truyền của hệ thống LTI thời gian liên tục, biến đổi Laplace một phía, phân tích hệ thống.

CHƯƠNG 4: BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG THỜI GIAN LIÊN TỤC GV: ThS Đinh Thị Thái Mai CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt • Biến đổi Laplace tín hiệu • Hàm truyền hệ thống LTI thời gian liên tục • Biến đổi Laplace phía • Phân tích hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Biến đổi Laplace • Biến đổi Laplace tín hiệu liên tục 𝑥𝑥(𝑡𝑡) định nghĩa sau: +∞ 𝑋𝑋 𝑠𝑠 = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞ đó, s biến phức: 𝑠𝑠 = 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 • Biến đổi Laplace ngược: 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = CuuDuongThanCong.com 𝜎𝜎+𝑗𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑋𝑋(𝑠𝑠)𝑒𝑒 ∫ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝜎𝜎−𝑗𝑗𝑗 https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Vùng hội tụ biến đổi Laplace • Vùng hội tụ biến đổi Laplace vùng không gian s cho với giá trị s vùng này, biến đổi Laplace ln ln hội tụ: Ví dụ:  ROC biến đổi Laplace tín hiệu u(t) mặt phẳng bên phải mặt phẳng s  ROC biến đổi Laplace tín hiệu 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = −𝑢𝑢(−𝑡𝑡) mặt phẳng bên trái mặt phẳng s • Hai tín hiệu khác có biểu diễn Laplace vùng hội tụ phải khác CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Vùng hội tụ biến đổi Laplace • ROC biến đổi Laplace phụ thuộc vào phần thực s • ROC biến đổi Laplace khơng bao gồm điểm cực • Nếu tín hiệu có chiều dài hữu hạn tồn giá trị s cho biến đổi Laplace tín hiệu hội tụ, ROC biến đổi Laplace toàn mặt phẳng s CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Vùng hội tụ biến đổi Laplace • Nếu tín hiệu phía phải có ROC biến đổi Laplace chứa đường thẳng 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎0 , ROC chứa tồn phía phải 𝜎𝜎0 mặt phẳng s • Nếu tín hiệu phía trái có ROC biến đổi Laplace chứa đường thẳng 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎0 , ROC chứa tồn phía trái 𝜎𝜎0 mặt phẳng s CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Các tính chất biến đổi Laplace • Tính tuyến tính: ℒ 𝛼𝛼𝑥𝑥1 𝑡𝑡 + 𝛽𝛽𝑥𝑥2 (𝑡𝑡) = 𝛼𝛼𝛼 𝑥𝑥1 (𝑡𝑡) + 𝛽𝛽𝛽 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡) với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋1 𝑠𝑠 ∩ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋2 𝑠𝑠 • Tính dịch thời gian: ℒ 𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0 ) = 𝑒𝑒 −𝑠𝑠𝑡𝑡0 𝑋𝑋(𝑠𝑠) với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 • Dịch mặt phẳng s: ℒ 𝑒𝑒 𝑠𝑠0 𝑡𝑡 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑠𝑠 − 𝑠𝑠0 ) với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 dịch khoảng 𝑠𝑠0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Các tính chất biến đổi Laplace • Thay đổi thang thời gian: ℒ 𝑥𝑥(𝛼𝛼𝛼𝛼) = với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 • Vi phân: ℒ với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 CuuDuongThanCong.com 𝛼𝛼 𝑠𝑠 𝑋𝑋( ) 𝛼𝛼 thay đổi với hệ số 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠) https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Các tính chất biến đổi Laplace • Tích phân: 𝑡𝑡 ℒ[∫−∞ 𝑥𝑥(𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝑑𝑑]= 𝑋𝑋(𝑠𝑠) 𝑠𝑠 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 ∩ 𝜎𝜎 > • Tích chập: ℒ 𝑥𝑥1 𝑡𝑡 ∗ 𝑥𝑥2 𝑡𝑡 = 𝑋𝑋1 (𝑠𝑠)𝑋𝑋2 (𝑠𝑠) với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋1 𝑠𝑠 ∩ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋2 𝑠𝑠 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.1 Biến đổi Laplace tín hiệu Các tính chất biến đổi Laplace • Định lý giá trị đầu: Nếu 𝑥𝑥 𝑡𝑡 tín hiệu nhân liên tục 𝑡𝑡 = 0, 𝑥𝑥 = lim 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠) 𝑠𝑠→∞ • Định lý giá trị cuối: Nếu 𝑥𝑥 𝑡𝑡 tín hiệu nhân liên tục 𝑡𝑡 = 0, lim 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = lim 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠) 𝑡𝑡→∞ CuuDuongThanCong.com 𝑠𝑠→0 https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Hàm truyền hệ thống LTI liên tục Định nghĩa hàm truyền • Đáp ứng xung hệ thống xác định cách thực biến đổi Fourier ngược hàm truyền hệ thống: ℎ 𝑡𝑡 = ℒ −1 𝐻𝐻(𝑠𝑠) = ℒ −1 CuuDuongThanCong.com 𝑌𝑌(𝑠𝑠) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Hàm truyền hệ thống LTI liên tục Định nghĩa hàm truyền • Một hệ thống LTI thường biểu diễn tổng quát phương trình vi phân tuyến tính hệ số có dạng sau: 𝑁𝑁 𝑀𝑀 𝑑𝑑 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑑𝑑 𝑗𝑗 𝑥𝑥(𝑡𝑡) � 𝑎𝑎𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑗𝑗 𝑖𝑖=0 𝑖𝑖 𝑗𝑗=0 • Thực biến đổi Laplace hai phía phương trình trên, ta có: 𝑖𝑖 𝑌𝑌 𝑠𝑠 = ∑𝑀𝑀 𝑏𝑏 𝑠𝑠 𝑗𝑗 𝑋𝑋(𝑠𝑠) ∑𝑁𝑁 𝑎𝑎 𝑠𝑠 𝑖𝑖=0 𝑖𝑖 𝑗𝑗=0 𝑗𝑗 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Hàm truyền hệ thống LTI liên tục Định nghĩa hàm truyền • Hàm truyền hệ thống tính sau: 𝑗𝑗 𝑌𝑌(𝑠𝑠) ∑𝑀𝑀 𝑗𝑗=0 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑠𝑠 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = = 𝑁𝑁 𝑋𝑋(𝑠𝑠) ∑𝑖𝑖=0 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑖𝑖 • Hàm truyền xác định hệ thống, dựa nghiệm phương trình vi phân sử dụng biến đổi Laplace biến đổi Laplace ngược: 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = ℒ −1 𝐻𝐻 𝑠𝑠 𝑋𝑋(𝑠𝑠) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Hàm truyền hệ thống LTI liên tục Hàm truyền hệ thống kết nối • Kết nối liên tục: 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝐻𝐻1 (𝑠𝑠)𝐻𝐻2 (𝑠𝑠) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Hàm truyền hệ thống LTI liên tục Hàm truyền hệ thống kết nối • Kết nối song song: CuuDuongThanCong.com 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝐻𝐻1 𝑠𝑠 + 𝐻𝐻2 (𝑠𝑠) https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Hàm truyền hệ thống LTI liên tục Hàm truyền hệ thống kết nối • Hệ thống với phản hồi âm: CuuDuongThanCong.com 𝐻𝐻1 𝑠𝑠 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = + 𝐻𝐻1 𝑠𝑠 𝐻𝐻2 (𝑠𝑠) https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Hàm truyền hệ thống LTI liên tục Hàm truyền hệ thống kết nối • Hệ thống với phản hồi dương: CuuDuongThanCong.com 𝐻𝐻1 𝑠𝑠 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = − 𝐻𝐻1 𝑠𝑠 𝐻𝐻2 (𝑠𝑠) https://fb.com/tailieudientucntt 4.3 Biến đổi Laplace phía Định nghĩa • Biến đổi Laplace phía tín hiệu 𝑥𝑥(𝑡𝑡) định nghĩa là: ∞ 𝑋𝑋1 𝑠𝑠 = ℒ1 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Nếu 𝑥𝑥(𝑡𝑡) nhân quả: Biến đổi Laplace hai phía biến đổi Laplace phía giống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.3 Biến đổi Laplace phía Các tính chất biến đổi Laplace phía • Hầu hết tính chất biến đổi Laplace phía tương tự với biến đổi Laplace hai phía: • Điểm khác nằm phương trình vi phân: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) ℒ = 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥(0) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) ℒ = 𝑠𝑠 𝑋𝑋 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑠𝑠 − � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡=0 • Ứng dụng: giải phương trình vi phân có điều kiện đầu → áp dụng với hệ thống nhân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.3 Biến đổi Laplace phía Giải phương trình vi phân tuyến tính • Cho hệ thống LTI biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính hệ số có dạng sau: 𝑁𝑁 � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑖𝑖=0 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑀𝑀 𝑑𝑑 𝑗𝑗 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑗𝑗 𝑗𝑗=0 • Thực biến đổi Laplace phía hai vế phương trình trên, ta có: 𝑁𝑁 𝑀𝑀 𝑖𝑖=0 𝑗𝑗=0 � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑖𝑖 𝑌𝑌1 (𝑠𝑠) − 𝐼𝐼 𝑠𝑠 = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑠𝑠 𝑗𝑗 𝑋𝑋1 (𝑠𝑠) đó, 𝐼𝐼 𝑠𝑠 tạo từ điều kiện đầu 𝑡𝑡 = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.3 Biến đổi Laplace phía Giải phương trình vi phân tuyến tính • Đáp ứng 𝑦𝑦(𝑡𝑡) hệ thống LTI nghiệm tổng qt phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, gồm đáp ứng khởi đầu đáp ứng trạng thái 0: 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦0 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦𝑠𝑠 (𝑡𝑡) • Hoặc: 𝑌𝑌1 𝑠𝑠 = 𝑌𝑌01 𝑠𝑠 + 𝑌𝑌𝑠𝑠 𝑠𝑠 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.3 Biến đổi Laplace phía Giải phương trình vi phân tuyến tính • Đáp ứng trạng thái với tín hiệu đầu vào nhân (tức là: 𝑋𝑋1 𝑠𝑠 = 𝑋𝑋(𝑠𝑠)): 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑡𝑡 = ℒ −1 • Đáp ứng khởi đầu: 𝑗𝑗 ∑𝑀𝑀 𝑗𝑗=0 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ∑𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = ℒ −1 𝐻𝐻 𝑠𝑠 𝑋𝑋(𝑠𝑠) 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦0 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦𝑠𝑠 (𝑡𝑡) 𝐼𝐼(𝑠𝑠) 𝑦𝑦0 𝑡𝑡 = ℒ −1 [∑𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖=0 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑠𝑠 CuuDuongThanCong.com ] https://fb.com/tailieudientucntt 4.4 Phân tích hệ thống Phân tích tính ổn định • Một hệ thống LTI có hàm truyền 𝐻𝐻(𝑠𝑠) với điểm cực 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 → 𝐻𝐻(𝑠𝑠) biểu diễn dạng sau (nếu điểm cực khác nhau): 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = ∑𝑘𝑘 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘  Nếu hệ thống nhân quả, đáp ứng xung có dạng: ℎ 𝑡𝑡 = ∑𝑘𝑘 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑢𝑢(𝑡𝑡)  Nếu hệ thống phản nhân quả, đáp ứng xung có dạng: ℎ 𝑡𝑡 = − � 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑢𝑢(−𝑡𝑡) CuuDuongThanCong.com 𝑘𝑘 https://fb.com/tailieudientucntt 4.4 Phân tích hệ thống Phân tích tính ổn định • Nếu hệ thống nhân quả, điều kiện để ổn định là: ∀𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 : lim 𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 = → 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 < 𝑡𝑡→+∞ tức là, tất điểm cực 𝐻𝐻 𝑠𝑠 phải nằm mặt phẳng bên trái mặt phẳng s • Nếu hệ thống phản nhân quả, điều kiện để hệ thống ổn định là: ∀𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 : lim 𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 = → 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 > 𝑡𝑡→+∞ tức là, tất điểm cực 𝐻𝐻 𝑠𝑠 phải nằm mặt phẳng bên phải mặt phẳng s CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.4 Phân tích hệ thống Phân tích tính ổn định • Một phương pháp khác để phân tích tính ổn định hệ thống nhân biểu diễn hàm truyền: sử dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz  Khơng cần phải giải phương trình đặc trưng để tìm điểm cực  Một bảng Routh – Hurwitz tạo từ hệ số đa thức đặc trưng Bảng sử dụng để xác định tính ổn định hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... https://fb.com/tailieudientucntt 4. 1 Biến đổi Laplace tín hiệu Các tính chất biến đổi Laplace • Định lý giá trị đầu: Nếu