Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự. Bài giảng này sẽ trình bày 3 nội dung chính, đó là: Bộ lọc Butterworth, bộ lọc Chebyshev, các phép biến đổi tần số. Mời các bạn cùng tham khảo.
Ch-7: Đáp ứng tần số hệ thống LTI thiết kế lọc tương tự Lecture-14 7.3 Bộ lọc Butterworth 7.4 Bộ lọc Chebyshev 7.5 Các phép biến đổi tần số Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.2 Bộ lọc Butterworth Trên thực tế người ta tìm phép biến đổi để thiết kế lọc thông cao, thông dãi, chắn dãi dựa vào lọc thông thấp Tập trung khảo sát thiết kế lọc thông thấp (xem lọc mẫu – Prototype Filter) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Đáp ứng biên độ lọc thông thấp Butterworth bậc n: | H ( jω ) |= 1+ ( ) ω ωc 2n Tại tần số ωc, đáp ứng biên độ 1/(2)1/2 -3dB cơng suất suy giảm ½ : gọi tần số cắt, tần số 3dB tần số ½ cơng suất Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa (ωc=1) sau: | H ( jω) |= + ω 2n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Đáp ứng biên độ lọc chuẩn hóa: | H ( jω) |= 1 + ω 2n Xác định hàm truyền lọc chuẩn hóa: s = jω H ( jω) H (− jω) = + ω 2n H ( s ) H (− s ) = 1 + (s / j )2n Các poles H(s)H(-s) phải thỏa: s n = −( j ) n −1 = e jπ (2k −1) j = e jπ / s2n = e jπ (2k +n−1) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Vậy poles H(s)H(-s) là: sk = e H(s) jπ ( k + n −1) 2n ; k = 1, 2, 3, , n Im j H(-s) Im j H(s) H(-s) -1 Re -1 Re -j -j Kết luận: n poles H(s): s k =e jπ ( k + n −1) 2n ; k = 1, 2, 3, , n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Vậy H(s) có dạng: H (s) = sk = e ( s − s1 )( s − s2 )( s − s3 ) ( s − sn ) jπ ( k + n −1) 2n ; k = 1, 2, 3, , n s1 Ví dụ: xét trường hợp n=4 s1 = e j 5π /8 = −0.3827 + j0.9239 s2 = e j 7π /8 = −0.9239 + j0.3827 s2 = e j 9π /8 = −0.9239 − j0.3827 s1 = e j11π /8 = −0.3827 − j0.9239 Im j s2 Re -1 s3 s4 -j Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth H(s) = (s +0.3827− j0.9239)(s +0.3827+ j0.9239)(s +0.9239− j0.3827)(s +0.9239+ j0.3827) ⇒ H(s) = (s + 0.7654s +1)(s2 +1.8478s +1) ⇒ H(s) = s + 2.6131s + 3.4142s2 + 2.6131s +1 Làm tương tự ta tính cho trường hợp bậc n bất kỳ: H ( s) = 1 = n Bn (s) s + an−1s n−1 + + a1s + Bn(s): Gọi đa thức Butterworth!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+an-1sn-1+…+a1s+1 n a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Butterworth Polynominal in Factorized Form n Bn (s) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Xác định hàm truyền H(s) lọc: H ( s) s ← s / ωc H (s) Thiết kế lọc Butterworth bậc với ωc=10 H (s) = s ← s / ωc 1 H(s)= 2 s + 2s + ( 10s ) + ( 10s ) +1 ⇒ H(s)= 100 s +10 2s+100 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Xác định bậc n lọc ωc theo yêu cầu thiết kế: Độ lợi (dB) tần số ωx: G x = − lo g 1 + Độ lợi (dB) tần số ωp: G p ≤ − lo g 1 + Độ lợi (dB) tần số ωs: ⇒ ⇒ ωp ωc 2n ( ) 2n ( ) ωs ωc ≤ 10 − G p /10 ≥ G s ≥ − lo g −1 ⇒ ( ) ωs ωp ≥ − G s /10 − n ωp ≤ ωc 1 + ω s n ωc ( ) ωx ωc 2n ( ) ( ) − G s /10 − 2n ≥ 10 − G p / 10 −1 − G /10 lo g (1 − G s / − 1) /(1 p − 1) n≥ lo g ( ω s / ω p ) ⇒ ωc ≥ ωp (10 − G p / 10 − 1) 1/ n ωc ≤ ωs (10 − G s /10 − 1)1/ n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3 Bộ lọc Butterworth Các bước thiết kế lọc thông thấp Butterworth: Ví dụ: Thiết kế lọc thơng thấp Butterworth thỏa mãn yêu cầu sau: Độ lợi dãi thông (0≤ω − d B = − lo g 1 + ( 1 ) = − d B < − d B Bước 3: H ( s ) = Bước 4: H ( s ) = ⇒ H (s) = ( s + 76536 686 s + 1)( s + 1.8 47759 07 s + 1) 2 [ ( 11s ) + 0.76536686 ( 11s ) + 1][ ( 11s ) + 1.84775907 ( 11s ) + 1] 14641 ( s + 8.41903546 s + 121)( s + 20.32534977 s + 121) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Đáp ứng biên độ lọc thông thấp Chebyshev: | H ( jω ) | = 1 + ε C n2 ( ωωc ) Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa (ωc=1): | H ( j ω ) |= Vậy có H(s) H ( s) 1 + ε C n2 ( ω ) H(s) cách: s ← s / ωc H (s) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Xét đáp ứng biên độ lọc thơng thấp chuẩn hóa Chebyshev : | H ( jω ) |= 1 + ε C n2 (ω ) C n ( ω ) = cos ( n cos − ω ) ; | ω |< C n ( ω ) = cosh ( n cosh − ω ) ; | ω |> Cn(ω) đa thức thỏa tính chất sau: C n (ω ) = ω C n −1 ( ω ) − C n − ( ω ) ; n ≥ Có: C ( ω ) = C ( ω ) = ω ⇒ C (ω ) = 2ω − Một cách tương tự ta tính bảng Cn(ω)!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Chebyshev Polyminals n C n (ω ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev | H ( jω ) |= Đáp ứng biên độ lọc Chebyshev: + ε 2C n2 (ω ) ω p ≡ ωc Pass-band Pass-band Độ gợn r (Độ lơi max/Độ lơi min) dãi thông: r = 10 log 10 (1 + ε ) (dB) (dB) -r ↔Gp (Butterworth) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Xác định ε bậc(n) lọc Chebyshev thỏa yêu cầu thiết kế: Xác định ε: ( r )design = 10 log 10 (1 + ε ) ≤ r ⇒ ε ≤ 10 r /10 − Độ lợi tần số ω: G = − lo g [1 + ε C n ( ωωp )] Độ lợi tần số ωs: − lo g [1 + ε C n2 ( ωω sp )] ≤ G s ≤ ⇒ c o s h n c o s h ⇒ n ≥ ⇒ε ≥ −1 ( ) ω ω s p − G s /10 −1 ≥ 10 r / −1 10 c o s h − (ω s / ω p ) cosh −1 1/2 − G s /10 − r /10 −1 10 1/ − G s /10 − c o s h [ n c o s h − ( ω s / ω p )] Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Xác định hàm truyền H(s) lọc: Người ta tính poles H(s) sau: ( k − 1) π ( k − 1) π s in h x + j c o s cosh x 2n 2n k = 1, , 3, , n s k = − s in H(s) 1 x = s in h − n ε Im 600 H(-s) 600 a = s in h x ; b = c o s h x Re 600 600 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev ⇒ H (s) = Kn ( s − s1 )( s − s ) ( s − s n ) ⇒ H (s) = Kn Kn = n ' n −1 C n ( s ) s + a n −1 s + + a1 s + a Kn lựa chọn để bảo đảm độ lợi DC: a0 Kn = a0 1+ε n odd n even Để việc thiết kế đơn giản, người ta thành lập bảng C’n(s) giá trị poles với số độ gợn r thường gặp Tra bảng!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 10 7.4 Bộ lọc Chebyshev Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal C n' = s n + a n −1 s n −1 + a n − s n − + + a1 s + a n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0.5 d B ripple r = d B d B ripple r = 1d B Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal C n' = s n + a n −1 s n −1 + a n − s n − + + a1 s + a n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 dB ripple r = 2dB dB ripp le r = 3dB Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Chebyshev Filter Poles Locations n r = dB r = 1d B r = 2dB r = 3dB Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Chebyshev Filter Poles Locations n r = dB r = 1d B r = 2dB r = 3dB Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 12 7.4 Bộ lọc Chebyshev Các bước thiết kế lọc thông thấp Chebyshev: Ví dụ: Thiết kế lọc thơng thấp Chebyshev thỏa mãn yêu cầu sau: r dãi thông (0≤ω≤10) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≥20) Gs≤ -20dB Bước 1: Xác định: n ≥ Bước 2: Chọn ε: cosh − (ω s / ω p ) cosh −1 10 − G s /10 − r /10 −1 10 − G s /10 − ≤ε ≤ c o sh [ n c o s h − ( ω s / ω p )] 1/ r /10 − Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4 Bộ lọc Chebyshev Nếu ε cho r=0.5dB, 1dB, 2dB 3dB khơng thỏa tính C’n(s): s k = − sin ( k −1) π 2n sinh x + j cos k = 1, 2, 3, , n ; x = n tra bảng C’n(s); ( k −1) π 2n cosh x sinh − ( ε1 ) C n' ( s ) = ( s − s1 )( s − s ) ( s − s n ) Bước 3: Xác định H(s): H ( s ) = a0 K n = a0 1+ε Bước 4: Xác định H(s): Kn C n' ( s ) n odd n even H ( s) s ← s / ωp H (s) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 13 7.4 Bộ lọc Chebyshev 102 − co sh −1 Bước 1: n ≥ −1 − cosh (2) 10 Bước 2: 102 − ≤ε ≤ c o sh [3 co s h − ( )] 1/ = chọn n=3 0 − ⇔ ≤ ε ≤ chọn ε=0.764 (r)design=2dB Tra bảng: C ( s ) = s + 0.7 378 s + 1.022 s + 0.3 269 ' n Bước 3: n od d ⇒ K n = a = 0.32 69 0.3 269 ⇒ H (s) = s + 0.7 378 s + 1.022 s + 0.3 269 326 Bước 4: H ( s ) = ( 1s0 ) + 0.73 78 ( 1s0 ) + 1.0 222 1s0 + 0.3 269 ⇒ H (s) = 32 6.9 s + 378 s + 02.2 s + 326 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.5 Các phép biến đổi tần số Bộ lọc thông cao (High-pass Filter): Prototype Filter High-pass Filter Hp (s) s ← T (s) H (s) Pass-band T ( s) = Stop-band ωp s Ví dụ 1: Thiết kế lọc thơng cao Chebyshev thỏa mãn yêu cầu sau: r dãi thông (ω≥200) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≤100) Gs≤ -20dB? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 14 7.5 Các phép biến đổi tần số Bộ lọc thông dãi (Band-pass Filter): Prototype Filter Band-pass Filter Pass-band Stop-band ωp1ωp − ωs21 ωs22 − ωp1ωp ωs = ; ω ω ω ω ω ω − − ( ) ( ) p1 s2 p2 p1 s1 p Hp (s) s ← T (s) H (s) T ( s) = s + ω p1ω p (ω p − ω p1 ) s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.5 Các phép biến đổi tần số Ví dụ 2: Thiết kế lọc thông dãi Chebyshev thỏa mãn yêu cầu sau: r dãi thông (1000≤ω≤2000) ≤ 1dB; độ lợi dãi chắn (ω≤450 ω≥4000) Gs≤ -20dB? Ví dụ 3: Thiết kế lọc thơng dãi Butterworth thỏa mãn yêu cầu sau: Độ lợi dãi thông (1000≤ω≤2000) ≥ -1dB; độ lợi dãi chắn (ω≤450 ω≥4000) Gs≤ -20dB? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 15 7.5 Các phép biến đổi tần số Bộ lọc chắn dãi (Band-stop Filter): Band-stop Filter Prototype Filter Pass-band Stop-band ωs1 (ωp − ωp1 ) ωs (ωp − ωp1 ) ; ωs = − − ω ω ω ω ω ω s2 p1 p p1 p s1 Hp (s) s ← T (s) H (s) T ( s) = (ω p − ω p1 ) s s + ω p1ω p Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.5 Các phép biến đổi tần số Ví dụ 4: Thiết kế lọc chắn dãi Butterworth thỏa mãn yêu cầu sau: Độ lợi dãi chắn (100≤ω≤150) ≤ -20dB; độ lợi dãi thông (ω≤60 ω≥260) ≥ -2.2dB? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 16 ... 76 536 686 s + 1)( s + 1.8 477 59 07 s + 1) 2 [ ( 11s ) + 0 .76 536686 ( 11s ) + 1][ ( 11s ) + 1.8 477 59 07 ( 11s ) + 1] 14641 ( s + 8.41903546 s + 121)( s + 20.32534 977 s + 121) Signal & Systems -. .. Im j H(-s) Im j H(s) H(-s) -1 Re -1 Re -j -j Kết luận: n poles H(s): s k =e jπ ( k + n −1) 2n ; k = 1, 2, 3, , n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/1 0-1 1 7. 3 Bộ lọc... 5π /8 = −0.38 27 + j0.9239 s2 = e j 7? ? /8 = −0.9239 + j0.38 27 s2 = e j 9π /8 = −0.9239 − j0.38 27 s1 = e j11π /8 = −0.38 27 − j0.9239 Im j s2 Re -1 s3 s4 -j Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE,