Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biếnđổi Fourier
Lecture-7
4.1 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn dùng biếnđổi Fourier 4.2 Các tính chất của biếnđổi Fourier
4.3 Biếnđổi Fourier của tín hiệu tuần hồn
4.1 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hoàn dùng biếnđổi Fourier 4.1.1 Biếnđổi Fourier
4.1.2 Điều kiện tồn tại biếnđổi Fourier
(2)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1 Biếnđổi Fourier
0( ) T
f t
0 T
Tín hiệu khơng tuần hồnđược xem nhưtín hiệu tuần hồn có chu kỳdài vơ hạn
Xét f(t) tín hiệu khơng tuần hồn: ( )
f t
Ta có quan hệgiữa f(t) fT0(t) nhưsau:
0
T T
f(t)= lim f (t)
→∞
và fT0(t) tín hiệu tuần hồnđược tạo thành sựlặp lại f(t) với chu kỳT0:
0 n
T D 2sinωS
ω
0 2
n n
T
π
ω= ω =
2 /T
ω = π
0 nω
0 n
T D 2sinωS
ω
0 2
n n
T
π
ω= ω =
0 2 /T0
ω = π
0 nω
4.1.1 Biếnđổi Fourier
Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier
0
0
0
T /2 -jnωt S -jnωt
0
n -T /2 T -S
0 0 0 0
sinnω S
1 1 2
D = f (t)e dt= e dt=
T ∫ T ∫ T nω
(3)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
0 n
T D 2sinωS
ω 0 2 n n T π ω= ω =
0 2 /T0
ω = π
0 nω
4.1.1 Biếnđổi Fourier Tiếp tục tăng T0
[ ]
0 0
0
T /2 -jnωt -jωt
0 n -T /2 T
-Tlim T D = limT f (t)e dt = f(t)e dt=F(ω)
∞ ∞ →∞ →∞ ∫ ∫
Khi T0∞, T0Dnhàm liên tục
Phổcủa tín hiệu khơng tuần hoàn:
0
0 n
T T ∆ω 0
0
F(nω ) 1
D(ω)= lim [D ] lim F(ω) lim [∆ω]
T 2π
→∞ = →∞ = → =0
Phổcủa tín hiệu khơng tuần hồn có tính chất phân bố
Hàm mậtđộphổtín hiệu, F(ω), được xem phổtín hiệu
4.1.1 Biếnđổi Fourier
Tích phân Fourier
0
T T
f(t) lim f (t)
→∞
= jn ωt
n 1
lim F(n ω)e ω
2 ω π ∞ ∆ ∆ →∞ =−∞ = ∑ ∆ ∆ 0 jnωt n T n
lim D e
∞ →∞ =−∞ = ∑ jωt 1
f(t) F(ω)e dω
2π
∞ −∞
= ∫
Tóm lại ta có kết quả: f(t)↔F(ω) jωt
F(ω)= ∞ f(t)e− dt
−∞
∫ Phương trình phân tích – Biến
đổi Fourier thuận
jωt
1
f(t)= F(ω)e dω
2π
∞ −∞
∫ Phương trình tổng hợp – Biến đổi Fourier ngược
(4)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.2 Điều kiện tồn tại biếnđổi Fourier
Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạnđều tồn tại F(ω) hữu hạn và năng lượng sai sốbằng
Điều kiện Dirichlet:
Điều kiện 1:
T|f(t)|dt<∞
∫
Điều kiện 2: f(t) có hữu hạn cựcđại cực tiểu khoảng thời gian hữu hạn
Điều kiện 3: f(t) có hữu hạn sốgiánđoạn khoảng thời gian hữu hạn giánđoạn phải cóđộlớn hữu hạn
4.1.3 Biếnđổi Fourier của một sốtín hiệu cơbản f(t)=δδδδ(t):
-jωt
F(ω)= ∞δ(t)e dt= ∞ δ(t)dt=1
−∞ −∞
∫ ∫ δ(t) ↔1
( )t
δ
t
0 0 ω
↔ 1
f(t)=e-atu(t); a>0:
at jωt (a+jω)t (a+jω)t
0
0
1 1
F(ω)= e u(t)e dt= e dt= e =
a+jω a+jω
∞
∞ − − ∞ − −
−∞ −
∫ ∫
at 1
e u(t); a>0
a+jω
−
(5)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3 Biếnđổi Fourier của một sốtín hiệu cơbản
2 1 ( ) F a ω ω = + ( ) tan ( / )
F ω − ω a
∠ = − ( ) F ω 1/a ω ω / 2 π / 2 π − ( ) F ω ∠
4.1.3 Biếnđổi Fourier của một sốtín hiệu cơbản
f(t)=u(t):
0
0 1
( ) ( ) j t j t j t ?
F u t e dt e dt e
j ω ω ω ω ω +∞ +∞ − +∞ − − −∞ =∫ =∫ = − = ( ) at
e− u t
( ) u t t 0 1 2 2
0 0 0
1
( ) lim at ( ) j t lim lim
a a a
a j
F e u t e dt
a j a
ω ω ω ω ω +∞ − − −∞ → → → − ⇒ = = = + + ∫ 0
( ) lim at ( )
a
u t e− u t
→
=
2 2
0
1 ( ) lim
a a F a j ω ω ω → ⇒ = +
+ Diện tích bằngππππ 1 ( ) ( ) F j ω πδ ω ω ⇒ = +
( ) ( ) 1/
(6)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3 Biếnđổi Fourier của một sốtín hiệu cơbản
f(t) xung cổngđơn vị:
( )
e t
r ct τ =
0 / 2 1 / 2
t t
τ τ > <
/ 2 / 2 / 2
/ 2 / 2
/ 2 1
( ) ( )
j j
j t j t j t
t e e
F rect e dt e dt e
j j
τ ωτ ωτ
τ
ω ω ω
τ τ
τ
ω
ω ω
−
+∞ − −
−∞ −
−
−
=∫ =∫ = − =
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2sin sin
( ) j sin
F c
j
ωτ ωτ
ωτ ωτ
ω τ τ
ω
⇔ = = = ⇒ rect( )τt ↔τsinc( )ωτ2
4.2 Các tính chất của biếnđổi Fourier Tính chất tuyến tính:
1 1 2 2
f (t)↔F (ω); f (t)↔F (ω)
1 1 2 2 1 1 2 2
a f (t)+a f (t)↔a F (ω)+a F (ω)
Phép dịch thời gian:
jωt
f(t) F(ω)= ∞ f(t)e− dt
−∞
↔ ∫
0
0
( ) ( ) j t
f t t− ↔F ω e−ω Linear phase shift
jωt
1 0 1 0
f (t)=f(t t ) F (ω)= ∞ f(t t )e− dt
−∞
− ↔ ∫ −
0
jω( +t )
= ∞ f( )eτ − τ dτ
−∞
(7)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2 Các tính chất của biếnđổi Fourier
Ví dụ:
/ 2
ωτ −
4.2 Các tính chất của biếnđổi Fourier Phép dịch tần số(điều chế):
0
jωt
0
f(t)e ↔F(ω ω− )
jωt
f(t) F(ω)= ∞ f(t)e− dt
−∞
↔ ∫
0
jωt jωt jωt
1 1
f (t)=f(t)e F (ω)= ∞ f(t)e e− dt
−∞
↔ ∫ j(ω ω0)t
0
= ∞f(t)e− − dt F(ω ω )
−∞ = −
∫
Ví dụ: 0 0 0
1 1
f(t)cosω t F(ω ) F(ω+ )
2 ω 2 ω
↔ − +
0 0 0
1 1
f(t)sinω t F(ω ) F(ω+ )
j2 ω j2 ω