Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier
Lecture-6
3.3 Chuỗi Fourier tính chất 3.4 Chuỗi Fourier hệthống LTI
3.3 Chuỗi Fourier tính chất
3.3.1 Chuỗi Fourier
(2)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.1 Chuỗi Fourier
Xét tập tín hiệu: {ejnω0t}; n=0, ±1, ±2,
Ta có: 0 0
1 t T
jnωt jmωt jnωt jmωt t
(e , e )=∫ + e e− dt
0 2 T ω π = 0
t T j(n m)ωt t
=∫ + e − dt
1 0
1 t T j(n m)ωt
t
1
= e
j(n m)ω
+ − −
0 0 j(n m)ωt j(n m)ωT
0
1
= e [e 1]
j(n m)ω
− −
−
− =0
Và: 0 0
1 t T
jnωt jnωt jnωt jnωt
0 n
t
(e , e )=∫ + e e− dt=T =E
Vậy tập tín hiệu khơng gian tín hiệu trực giao
Dùng kết quảphần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t) khoảng t1<t<t1+T0
0
jnωt n n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑
0
t +T -jnωt
n t
0 1
D = f(t)e dt T ∫
với
3.3.1 Chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hồn:
0
jnωt n n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑
0
t +T jnω t
n t
0 1
D = f(t)e dt T
− ∫
với Ta có:
chỉ khoảng t1<t<t1+T0 Trên toàn trục thời gian:
0
jnωt n n=
(t)= D e
ϕ
∞
−∞
∑ jnω0(t+T )0
0 n
n=
(t+T )= D e (t)
ϕ ϕ
∞
−∞
⇒ ∑ =
Suy chuỗi Fourier biểu diễn cho tín hiệu tuần hồn Tóm lại, f(t) tuần hồn với chu kỳT0sẽ biểu diễn chuỗi Fourier nhưsau:
0
jnωt n n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑
0
jnωt
n T
0 1
(3)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.1 Chuỗi Fourier
Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hồn nhưhình vẽ
1 T -T 2T 1
D = dt
T∫ = T =3
1
1
0
1
T jnωt jnωtT
n -T T
0
1
D = e dt e
T jnω T
− −
−
= −
∫ (e jnω0 1T ejnω0 1T)
j2nπ − = − − 1
sin(nωT ) nπ
= sin n
n π π = n sinc 3 π =
jnωt n=
1 n
f(t)= sinc e
3 3 π ∞ −∞ ∑
3.3.1 Chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier lượng giác: trường hợp f(t) tín hiệu thực *
f(t)=f (t) jnω0t
n n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑ * jnω0t
n n= D e ∞ − −∞
= ∑ * jnω0t
n n= D e ∞ − −∞ = ∑ n n
D =D∗− D*n =D−n
chuỗi Fourier viết lại nhưsau:
0
jnωt jnω t
0 n n
n=1
f(t)=D (D e D e )
∞
− −
+∑ + jnω0t * jnω0t
0 n n
n=1
=D (D e D e )
∞
−
+∑ +
0 n n
n=1
f(t)=C C cos(nω t+θ )
∞
+∑
0 n n n n
(4)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.1 Chuỗi Fourier
Phổcủa tín hiệu tuần hồn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành tổng thành phần tần số Phân bốgiá trịcủa thành phần thang tần sốgọi phổtần số(thường gọi phổ) tín hiệu Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổbiênđộvà phổpha
0
jnω t n=
1 n
f(t)= sinc e
3 3
π
∞
−∞
∑
Xét ví dụtrước:
3.3.2 Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Các tín hiệu tuần hồn có lượng chu kỳhữu hạnđều có thểbiểu diễn chuỗi Fourier (Dnhữu hạn & lượng sai sốbằng 0) Thực tếf(t) & chuỗi Fourier sẽkhơng có sựphân biệt hệthống vật lý chúngđápứng cơsởnăng lượng Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụvềgiá trịtrung bình
điểm giánđoạn
Điều kiện 1: Dnhữu hạn T|f(t)|dt<∞
∫
(5)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.2 Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Điều kiện 2: có sốcựcđại cực tiểu hữu hạn chu kỳ
Ex: f(t)=sin(2 /t); 0<tπ ≤1 Thỏa ĐK khơng thỏa
Điều kiện 3: có số điểm giánđoạn giá trịgiánđoạn hữu hạn chu kỳ
Không thỏa ĐK
3.3.2 Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Hiện tượng Gibbs: phát hiện: nhà vật lý Michelson giải thích: nhà tốn học Gibbs
9% 9%
(6)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.3 Các tính chất của chuỗi Fourier
Tính tuyến tính:
1 1n
2 2n
f (t) D
f (t) D
↔
↔ f(t)=k f (t)+k f (t)1 2 ↔D =k Dn 1n +k D2 2n
Phép dịch thời gian: n
f(t)↔D jnω0 0t
0 n
f(t−t )↔e− D
Phépđảo thời gian: n
f(t)↔D
n
f(−t)↔D−
Phép tỷlệthời gian: n
f(t)↔D jnaω0t
n n
f(at) D ; f(at)= D
n
e ∞
=−∞
↔ ∑
3.3.3 Các tính chất của chuỗi Fourier
Nhân tín hiệu:
1 1n
2 2n
f (t) D
f (t) D
↔
↔ n 1n 2(n-k)
k=
f(t)=f (t)f (t) D = D D
∞
−∞
↔ ∑
Liên hiệp phức: n
f(t)↔D * *
n
f (t)↔D−
Định lý Parseval :
2
f T n
n=
1
P |f(t)| dt= |D |
T
∞
−∞
(7)Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.4 Chuỗi Fourier hệthống LTI
Xét hệthống LTI vớiđápứng xung h(t)
và f(t) tín hiệu tuần hồn thỏađiều kiện Dirichlet Khiđó biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier tổng thành phần TS ejnωot
0
jnωt n n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑
0
jnω t n n=
y(t)=f(t) h(t)= D [e h(t)]
∞
−∞
∗ ∑ ∗
0
jnω (t τ) n
n=
y(t)= D h(τ)e dτ
∞ ∞
− −∞
−∞
∑ ∫ jnω τ0 jnω0t
n n=
= D h(τ)e dτ e
∞ ∞
− −∞ −∞
∑ ∫
0
jnωt
n
n=
y(t)= D H(nω )e
∞
−∞
∑ jωt
H(ω)= ∞h(t)e− dt
−∞
∫
3.4 Chuỗi Fourier hệthống LTI
Nhận xét đápứng hệthống LTI với tín hiệu tuần hồn y(t) cũngđược biểu diễn dạng chuỗi Fourier với hệsốlà
DnH(nω0)y(t) tín hiệu tuần hoàn tần sốvới f(t)
Các thành phần tần sốkhác f(t) qua HT LTI sẽbịthay đổi khác vềbiênđộvà pha tùy thuộc vào H(ω) HT LTI đóng vai trị bộchọn lọc tần số; H(ω): đápứng tần số Ví dụ: xácđịnh chuỗi Fourier ngỏra HT LTI cóđápứng xung
h(t)=e-2tu(t) với ngõ vào f(t) nhưví dụphần 3.3.1 có T=π
jωt
; H(ω)= ∞ h(t)e− dt
−∞
∫
0
jnωt n=
1 n
f(t)= sinc e
3 3
π
∞
−∞
∑ 1
2+jω
=
j2nt
n=
1 n
f(t)= sinc e
6(1+jn) 3
π
∞
−∞