Định nghĩa 2.11. Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H. Một song hàm:
:U U R
được gọi là một song hàm cân bằng nếu:
u u, 0, u U
.
Định nghĩa 2.12. Cho tập U là tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H và :U U R là một song hàm cân bằng. Bài toán cân bằng, kí hiệu là (EP), là bài toán:
*
*
, 0, .
t×m ®iÓm u U sao cho:
u v v U
Bằng cách đặt:
( , )u v F u v u( ),
.
Hiển nhiên (.) là một song hàm cân bằng. Vì thế, bài toán bất đẳng thức biến phân VIP F U( , ) chỉ là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng (EP).
Mệnh đề 2.7 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong n
R và cho :U U R là một song hàm cân bằng sao cho .,v là nửa liên tục dưới với mỗi v U , u,. là tựa lồi với mỗi u U . Giả sử rằng có ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(a) Tập U là bị chặn;
(b) tồn tại một tập con Wkhác rỗng, bị chặn của U sao cho với mọi u U W \ , có v W mà u v, 0.
Khi đó (EP) có nghiệm.
Định nghĩa 2.13. Cho W và V là các tập lồi, khác rỗng trong R , Wn V, và cho
:V V R
là một song hàm cân bằng. Song hàm được gọi là:
(a)Đơn điệu mạnh trên W với hằng số 0 nếu mỗi cặp điểm u v W, , ta có:
2
, ,
u v v u u v (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
;
(b) Đơn điệu chặt trên W nếu với mỗi cặp điểm u v W, phân biệt, ta có:
u v, v u, 0
;
(c) Đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm u v W, , ta có:
u v, v u, 0
;
(d) Giả đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm u v W, , ta có:
u v, 0
kéo theo v u, 0; (e) Tựa đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm u v W, , ta có:
u v, 0
Mệnh đề 2.8 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong n
R và cho :U U R là một song hàm cân bằng.
(i) Nếu là đơn điệu chặt thì (EP) có nhiều nhất một nghiệm.
(ii) Nếu .,v là nửa liên tục dưới với mỗi v U , u,. là lồi và nửa liên tục trên với mỗi u U , và là đơn điệu mạnh, thì (EP) có duy nhất một nghiệm.
Định nghĩa 2.14. Cho U là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong không gian Hilbert H; F U: H là ánh xạ liên tục. ánh xạ :H R là hàm lồi chính thường, nửa liên tục trên. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, kí hiệu là
MVI, là bài toán:
*
* * *
, 0, .
t×m ®iÓm u U sao cho:
F u v u v u v U
Hiển nhiên, bài toán bất đẳng thức biến phân VIP F U( , ) chỉ là một trường hợp riêng của MVI khi hàm ( )x 0, x H .
Ngoài ra, nếu ta đặt:
u v, F u v , u v u (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thì hiển nhiên là một song hàm cân bằng. Vì thế, bài toán MVI cũng chỉ là một trường hợp riêng của bài toán (EP).
Như là hệ quả của các mệnh đề 2.7 và 2.8, ta có được hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.9 (Xem [9]). Cho U là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong R , n
: n
F U R là ánh xạ liên tục. ánh xạ :Rn R là hàm lồi chính thường, nửa liên tục trên.
Giả sử rằng có ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: (a) Tập U là bị chặn;
(b) Tồn tại một tập con W khác rỗng, bị chặn của U sao cho với mọi u U W \ , có v W mà:
, 0
Khi đó MVI có một nghiệm.
Mệnh đề 2.10. Cho U là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong n
R , F U: Rn là ánh xạ liên tục. ánh xạ :Rn R là hàm lồi chính thường, nửa liên tục trên. Khi đó
(i) Nếu F là ánh xạ đơn điệu chặt thì bài toán MVI có nhiều nhất một nghiệm. (ii) Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh thì bài toán MVI có duy nhất một nghiệm.
Chứng minh.
Đặt:
u v, F u v , u v u . (i) Với mỗi cặp ,u v U phân biệt và do F là ánh xạ đơn điệu chặt, ta có u v, v u, F u v , u v u F v u , v u v
F u v , u F v u , v
F u F v v , u
F u F v u , v 0.
Vậy là đơn điệu chặt, theo Mệnh đề 2.8, (EP) có nhiều nhất một nghiệm nên
MVI có nhiều nhất một nghiệm.
(ii) Tương tự, nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh thì là đơn điệu mạnh, theo theo Mệnh đề 2.8, (EP) có duy nhất một nghiệm nên MVI có duy nhất một nghiệm. Mệnh đề được chứng minh.
Sau đây chúng ta sẽ trình bày mói quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và nghiệm của bài toán tối ưu.
Cho K Rn là một tập lồi, đóng; hàm f C K1( ) và đặt:
( ) ( )
F x f x . Xét bài toán tối ưu:
min ( ).
x K f x
(2.16)
Mệnh đề 2.11. (i) Nếu *
x là nghiệm tối ưu của bài toán (2.16) thì x* cũng là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(K, F). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(ii) Ngược lại, nếu f là hàm lồi thì nghiệm của VIP(K,F) cũng là nghiệm của (2.16).
Chứng minh. (i) Giả sử *
x là nghiệm tối ưu của bài toán (2.16). Hiển nhiên, với mọi xK và 0 t 1 ta có:
* *
( )
z x t xx K. Từ giả thiết suy ra hàm một biến:
* *
( )t f x t x( x) , 0 t 1
là hàm khả vi và đạt cực tiểu tại điểm t 0. Vì vậy ta có:
* * * *
0(0) f x( ), xx F x( ), xx . Điều đó chứng tỏ *
x là nghiệm của VIP(K,F).
(ii) Ngược lại, giả sử f là hàm lồi và x là nghiệm của VIP(K, F). Theo định nghĩa ta có: ( ), 0, . F x y x y K (2.17) Mặt khác, do f là hàm lồi nên: ( ) ( ) ( ), ( ), f y f x f x yx F x yx .
Kết hợp với (2.17) suy ra:
( ) ( ),
f y f x y K .
Mệnh đề 2.12.Véc tơ *
x là nghiệm của VIP K F khi và chỉ khi nó là nghiệm của ;
bài toán tối ưu:
*
min ,
x K F x x
(2.18)
Chứng minh.
Hiển nhiên từ định nghĩa ta có:
* * * ; , 0, x SOL VIP K F F x xx x K * * * , , , . F x x F x x x K Điều này tương đương với *
x là nghiệm của bài toán tối ưu (2.18). Mệnh đề được chứng minh.
Chương 3
MÔ HÌNH NASH-COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3. 1. Phát biểu mô hình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Có n hãng cùng tham gia sản xuất một loại sản phẩm thuần nhất. Ký hiệu
i i
x U R là sản lượng sản phẩm mà hãng i i 1,2,...,n dự định sẽ thực hiện. Ta giả sử rằng giá của một đơn vị sản phẩm do hãng i cung cấp là pi, và nó phụ thuộc vào tổng sản lượng của tất cả các hãng ký hiệu là
1 : n i i x , nghĩa là ta có i i
p p . Đặt h xi i là tổng chi phí sản xuất của hãng i khi hãng thực hiện kế hoạch sản lượng xi và hàm lợi nhuận của hãng được xác định bởi:
1 2 1 , ,..., , 1, 2, ..., . n i n i i i i i i f x x x x p x h x i n (3.1)
Mỗi hãng đều có chung một mong muốn là cực đại hàm lợi nhuận của hãng mình. Ta gọi U ii ( 1, 2, ..., )n là tập chiến lược sản phẩm của hãng i và đặt:
1 2 ... n
U U U U
là tập chiến lược của tất cả các hãng. Từ đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1. Điểm * * * *
1, 2, ..., n
x x x x U được gọi là một điểm cân bằng của mô hình (cân bằng Nash - Cournot) nếu với mọi i1, 2, ...,n ta đều có:
* * * * * * * * *
1,..., 1, , 1,..., 1,..., 1, , 1,..., , .
i i i i n i i i i n i i
f x x y x x f x x x x x y U (3.2) Từ Định nghĩa 3.1 ta nhận thấy điểm cân bằng có ý nghĩa kinh tế như sau: Tại điểm cân bằng, nếu một hãng i0(1 i0 n) nào đó tự ý thay đổi sản lượng sản phầm của hãng mình, trong khi các hãng còn lại (ii0) vẫn giữ nguyên sản lượng cân bằng, thì lợi nhuận của hãng i0 sẽ không tăng thêm.
Vấn đề tiếp sau đây là việc xác định sự tồn tại của điểm cân bằng cho mô hình và xây dựng cơ sở cho các thuật toán tìm điểm cân bằng. Muốn vậy, chúng ta mô tả mô hình dưới dạng một số lớp bài toán có liên quan.