Trong mục này, chúng ta sẽ đưa ra một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị trong không gian hữu hạn chiều (trong n
R )
Định nghĩa 2.8. Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian
n
R ; G U: 2Rn là ánh xạ đa trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, kí hiệu
( , )
VIP G U , là bài toán đi tìm điểm u*U sao cho:
* *
g G u
, g*,uu* 0, u U.
Tập nghiệm của VIP G U( , ) có liên quan nhiều đến tập nghiệm của bài toán:
*
*
, 0, , ( ).
t×m ®iÓm u U sao cho:
g u u u U g G u
Bài toán này còn được gọi là bài toán đối ngẫu của VIP G U( , ) và được ký hiệu là ( , )
DVIP G U . Ta ký hiệu *
U là tập nghiệm của VIP G U( , ) và Ud là tập nghiệm của DVIP G U( , ).
Định nghĩa 2.9.Cho W và V là các tập lồi trong không gian R , Wn V; và cho
: 2Rn
Q V là ánh xạ đa trị. Ánh xạ Q được gọi là:
(a)Nửa liên tục trên trên W , nếu với mỗi điểm v W và với mỗi tập mở Z sao cho G v Z, có một lân cận X của v sao cho Z G w với w X W ;
(b)Một K - ánh xạ trên W, nếu nó là nửa liên tục trên trên W và có giá trị là một tập lồi khác rỗng.
Mệnh đề 2.3 (Xem [9]). Cho G U: 2Rn là một K - ánh xạ. Giả sử rằng ít nhất một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
(a) Tập hợp U là bị chặn; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(b) Tồn tại một tập con W khác rỗng, bị chặn của tập U sao cho với mọi
\
u U W , có v W để:
, 0
g u v , g G u .
Khi đó VIP G U( , ) có một nghiệm.
Định nghĩa 2.10. Cho W và V là các tập lồi trong n
R , W V, và cho
: 2Rn
Q V là ánh xạ đa trị. Ánh xạ Q được gọi là:
(a) Đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm u v W, phân biệt và mọi qQ u ,
qQ v , ta có:
, 0
qq u v ;
(b) Đơn điệu chặt trên W nếu với mọi u v W, phân biệt và mọi qQ u ,
qQ v , ta có
, 0
qq u v ;
(c) Đơn điệu mạnh trên W với hằng số 0 nếu mỗi cặp u v W, và mọi
,
qQ u qQ v , ta có
2
,
qq u v uv ;
(d) Giả đơn điệu trên W nếu mỗi cặp điểm u v W, và mọi qQ u q , Q v ,
ta có
, 0
(e) Tựa đơn điệu trên W nếu mỗi cặp điểm u v W, và mọi qQ u q , Q v , ta có: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
, 0
q u v kéo theo q u , v 0;
(f) Đơn điệu rõ trên W nếu nó giả đơn điệu trên W và với mọi u v W, phân biệt và mọi qQ u , qQ v , quan hệ
, 0
q u v kéo theo q u, v 0 với một vài qQ z z , 0.5uv u, .
Mệnh đề 2.4 (Xem [9]). Giả sử rằng G U: 2Rn là ánh xạ tựa đơn điệu rõ và tồn tại một tập con bị chặn W của U, và một điểm v W sao cho, với mọi u U W \
và mọi gG v , ta có:
, 0
g v u .
Khi đó d
U .
Mệnh đề 2.5 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian R , n G U: 2Rn là ánh xạ đa trị.
(a) Tập hợp Ud là lồi và đóng.
(b) Nếu G là unửa liên tục và có giá trị là một tập lồi, khác rỗng và compact,
khi đó d *
U U .
(c) Nếu G là giả đơn điệu thì U*Ud.
Mệnh đề 2.6 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian R , n G U: 2Rn là ánh xạ đa trị. Khi đó:
(a) Nếu G là ánh xạ đơn điệu chặt thì VIP G U( , ) có nhiều nhất một nghiệm.
(b) Nếu G là K - ánh xạ đơn điệu mạnh thì VIP G U( , ) có duy nhất một nghiệm.
Định lý sau đây, cho chúng ta thấy một cách tương đối toàn diện về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều.
Định lý 2.8 (Xem [12]). Cho K H, là tập khác rỗng, lồi và đóng. Cho
: 2H
F H là toán tử đơn điệu đa trị. Giả sử rằng tồn tại aK và 0 sao cho: *
, 0
xa x với *
, ,
xD F K x x F x . Đồng thời một trong năm điều kiện sau được thỏa mãn:
(a) D F K và F là đơn trị và hemi-liên tục trên K ; (b) F là đơn điệu cực đại và KintD F ;
(c) F là đơn điệu cực đại và D F intK ; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(d) F bị chặn địa phương tại một số điểm x K clD F và F là đơn điệu cực đại;
(e) H là không gian hữu hạn chiều, F là đơn điệu cực đại và riD F riK . Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân VIP K F ; có ít nhất một nghiệm, hay tồn ít nhất một điểm xD F K sao cho, với *
x F x , x* là véc tơ chuẩn tắc của K tại x .