chuyen de rut gon bieu thuc chua can bac hai

Chuyên đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ I- KIẾN THỨC LÝ THUYẾT LIÊN QUAN 1, KIẾN THỨC 6, 7, QUAN TRỌNG CẦN NHỚ a, Tính chất phân số (phân thức): A.M A  ( M  0, B  0) B.M B b, Các đẳng thức đáng nhớ: +) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 +) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 +) A2 - B2 = (A - B)(A + B) +) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 +) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 +) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) +) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) 2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a 2)Để A có nghĩa A ≥ 3) A2  A 4) AB  A B ( với A  B  ) A A  ( với A  B > ) B B 5) 6) A B  A B (với B  ) 7) A B  A B ( với A  B  ) A B   A B ( với A < B  ) 9) 10) 11) 12) A  B A AB ( với AB  B  ) B  A B ( với B > ) B B C C ( A  B)  ( Với A  A  B2 ) A B AB C C( A  B )  ( với A  0, B  A  B ) A B A B II CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN 1.1/Rút gọn nhờ sử dụng đẳng thức A2  A *)Ví dụ 1: Rút gọn: a) (3)  (8) ; c) (1  )  (1  ) b) (3  ) d) (  3)  (2  ) Giải: a) (3)  (8)2  3  8    11 b) (3  5)2     c) (1  2)2  (1  2)      1     1     2 d)  (  3)2  (2  5)     3     3  1 *)Ví dụ 2: Rút gọn: a) A= 42 b) B = c) C = 74 + 14  d) D = 74 3 ( 2  6) ; 52 72 Giải: a) A =    (  1)  b) B = 14  = c) C =  6) = 74 3 + +2+ 74 3 =  2.2   2.2  (2  )  (2  ) =4 52 72       (  1)   2(  1)   = 14  48 (2  ) =   6.(  ) (  ) (  )  (  )(  )    = 2d) D = ( 1  1 (  1)   *)Ví dụ 3: Rút gọn A= 2  2 Giải: Cách1: 2A Suy A = =      1   1       1      1    1 Cách 2: Ta có: A2 =  Do A > nên A = 2 43 2  6 *)Bài tập: 1   Bài 1: Tính: a) Bài 2: Tính: a)   b) b) 2  3  4  4 Bài 3: Rút gọn A =   21  12 Bài 4: Rút gọn A = 62 32 2 1   c) 3  3 1.2/ Rút gọn vận dụng quy tắc khai phương, nhân chia bậc hai: *)Ví dụ 1:Tính a) 14 56 b) a) 14 56 b) 3 12  c)    3 12 c) 4 4 Giải: = *)Ví dụ 2: Rút gọn: 14.56  14.14.4  14 2.4  14  14.2  28 24 12  7 24 12  12  12       16    a)  20  80 b)  12  24 Giải: a)  20  80     (1   4)   b)  12  24    3.2.2  (1   12)  15 *) Bài tập: Bài 1: Tính: a) e) 24 36 25 25 b) 12 75 c) 0,04.25 ; d ) 90.6,4  17  17 Bài 2: Rút gọn: a) 12   48 c) 32   18 e) b) 12  75  27 5  20  45 d) 12  27  48 f) 18   162 1.3/ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai mẫu vận dụng trục thức mẫu phương pháp nhân liên hợp *)Ví dụ 1: Trục mẫu biểu thức sau a) b) 3 1 c) 2 d) 1 1  1 Giải: 3 3    1; 3  (  2)(  2) a) b) 2   2 43 2 c) 1   (1  2) 1 1 d) = 1  1 = 1 (1  )(1  )  1 (1  )(1  )      (1  )   1 1 2  1  3   2 2 *)Ví dụ 2: Trục mẫu: a) 53 b) 11 1 Giải:       a) 53 53    53 25  18  (5  2)  b) 11  11  11    1 12   (2  1)        *)Ví dụ 3: Rút gọn: A =   5  2   : 5  32  *)Bài tâp: Rút gọn biểu thức sau: a) d)  2 b) 2  1 1 c)   1 1 1 1 1 1 1        1 2 3 4 5 6 7 8 1.4/ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai mẫu nhờ phân tích thành nhân tử: *) Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a) 3 3 1 c)  3   3        1      b) d) 3 2  1 1  11  11   11 Giải: a) b) c)   3 1 3   3 1 1     1 2 1 3 2     2 1 1 1 1       3 1  3   3           1   1   1      1   1        2  3 1 d) 5  11  11    11  57  11   11  11    11 *)Bài tâp: Rút gọn biểu thức sau: 15  12 52 a) c)  5   5             b) d)  10  1 23 5  1 RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN: Bước: Tìm ĐKXĐ biểu thức (Nếu tốn chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để có nghĩa, nhân tử mẫu khác phần chia khác 0) Bước :Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được) Bước :Quy đồng, gồm bước: + Chọn mẫu chung: tích củc nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung Bước : Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Bước : Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Bước : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên) Bước :Rút gọn Lưu ý: Bài tốn rút gọn tổng hợp thường có tốn phụ: tính giá trị biểu thức cho giá trị ẩn; tìm điều kiện biến để biểu thức lớn (nhỏ hơn) số đó; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức Do ta phải áp dụng phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho loại tốn 2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP: a a  a 2 a   1 :   1  a 1   a   *)Ví dụ 1: Cho biểu thức: A   a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A a  a     a   a  Bài giải: ĐKXĐ: Ta có: a a  a2 a   a ( a  1)   a ( a  2)  A  1 :   1    1 :   1 a 1 a 2  a 1   a        ( a  1) : ( a  1) a 1 Vậy A = a 1 b) Tìm a để A = (Dạng tốn phụ thứ nhất) Phương pháp: Thay A biểu thức vừa rút gọn vào giải phương trình: a 1   a   5( a  1)  a   a   a  a 1  a Vậy với a = 9 a (TMĐK) A = c) Tính giá trị A a = + 2 (Dạng toán phụ thứ hai) Phương pháp: Thay giá trị biến vào biểu thức vừa rút gọn thực phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị Ta có: a thay vào) a   2   ( 2)2  2.1  12  (  1)2 Suy A= a 1  1 Do thay vào biểu thức A ta được: 11 22   1 2  1 d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng toán phụ thứ ba) Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu ước phần dư (một số), ý điều kiện xác định Ta có: A = a 1 a 1 Để A nguyên        =1+ a 1 a 1 nguyên, suy ước a 1 a   1 a    a  a 1   a  a   2 a 1  (TMĐK) Vậy a = 0; 4; A có giá trị ngun e) Tìm a để A < (Dạng toán phụ thứ tư) Phương pháp: Chuyển vế thu gọn đưa dạng M N < (hoặc M N > 0) dựa vào điều kiện ban đầu ta biết M N dương hay âm, từ dễ dàng tìm điều kiện biến a 1 a 1 0; x  A x x 1   x 1 x x 1      x 1 x x   x 1   x 1  x   x 1  x 1 x A x x 1 b) A  A  A   x 1   x   (vì x x  0)  x   x  Kết hợp với điều kiện xác định < x 0; x  :   x  P  1     x 1 x  x  x 1  x x 1      P    b) P  6. x  1  x  2005      x 1   2  x   x  2005      x  2005    x  2005 (TMĐK) Vậy x = 2005 P   x  1  x  2005   2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho biểu thức   A  : x 3 x 3  x 3 a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị x A > c) Tìm x để A đạt giá trị lớn 1  Bài Cho biểu thức P    :  x x    x 1  x 1 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x  12 x 1 P  x x 3x   x      1  x  x  x  x     Bài Cho biểu thức: D   a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < - c) Tìm giá trị nhỏ D a2 a  a a   1 :   1  a 2   a 1  Bài Cho biểu thức: P   a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a  Z để P nhận giá trị nguyên Bài Cho biểu thức B     2 x  1  x  1 a) Tìm x để B có nghĩa rút gọn B b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên Bài Cho biểu thức P  x2  x 2x  x  x  1   x  x 1 x x 1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức Q  x nhận giá trị nguyên P 1 x 1  Bài Cho biểu thức: P    : x  x  x   1  x  a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P >    a 1 a 2 Bài Cho biểu thức P       : a   a 2 a 1   a 1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị a để P > Bài (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012) Cho A  x 10 x   , x  x  25 x 5 với x  x  25 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x = 3) Tính x để A < Bài 10 Cho biểu thức: P  x x 4   x 1 x 1 x 1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P <  x   :  x 1 x  x  x 1 Bài 11 Cho biểu thức A   a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm tất giá trị x cho A <  1   Bài 12 Cho biểu thức: P     1 với a > a    a  a a    a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị a P > Bài 13 Cho biểu thức: A = x 2x  x  x 1 x  x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức x  3 2 với ( x > x ≠ 1) Bài 14 Cho biểu thức  P =    x x  x :  x  1 x  x a) Rút gọn P b) Tính GT P x= 13 c) Tìm GT x để P = (Đề thi Hà Nội năm 2008-2009) Bài 15 Cho biểu thức: A = x 1 x x  x  x 1 x 1 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A 2) Với giá trị x A < -1 Bài 16 Cho biểu thức: A = (1  x x x x )(1  ) x 1 x 1 (Với a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1 Bài 17 Cho biểu thức: B = x 2  x 2  x 1 x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B với x = c) Tính giá trị x để Bài 18 Cho biểu thức: A  P= x 1 x 2  x x 2  25 x 4 x a) Tìm TXĐ rút gọn P b) Tìm x để P = Bài 19 Cho biểu thức: Q = ( 1 a 1 a2  ):(  ) a 1 a a 2 a 1 a) Tìm TXĐ rút gọn Q b) Tìm a để Q dương c) Tính giá trị biểu thức a = - x  0; x  )  a  a  a a  a       2 a  a   a      Bài 20 Cho biểu thức: M = a) Tìm TXĐ rút gọn M b) Tìm giá trị a để M = - MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3 a A  3  2  2 2 2 5+ 5- b B = + 5- 5+ 1 c C = + 20 + 5 HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 a A  3  2  2 2 2 2(  3) 2(  3)   42  4 4 2(  3) 2(  3)   1  1 2(  3)  2(  3)  39 24   4 6 5+ 5- (5 + )2 + (5 - )2 b B = + = 5- 5+ (5 - )(5 + ) 25 + 10 + + 25 - 10 + 60 = = =3 25 - 20 c C = = 1 + 20 + = 5 4.5 + + 5 + + =3 5  Bài 2: Cho biểu thức A =  x x    : x 1 x 1   x 1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện  x  x 1 Với điều kiện đó, ta có: A  x b) Để A = Vậy x  x 1 x   x 1 :  x 1  x 1  x x 1  x   x  (thỏa mãn điều kiện) A = c) Ta có P = A - x =    x  9 x   1 x x  x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ –si cho hai số dương ta có: x  Suy ra: P  6   5 Đẳng thức xảy x  Vậy giá trị lớn biểu thức P  5 x  Bài 3: 1) Cho biểu thức A  x x x  x x 6 9 x 4 Tính giá trị A x = 36 x 2  x  x  16  (với x  0; x  16 )  : x  x  x    2) Rút gọn biểu thức B   3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36  1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 36   10  2) Với x  0, x  16 ta có :  x( x  4) 4( x  4)  x  (x  16)( x  2) x 2  =   x  16  x  16 (x  16)(x  16) x  16  x  16 B =  3) Ta có: B( A  1)  x 2  x 4  x 2 2      x  16  x   x  16 x  x  16 Để B( A  1) nguyên, x nguyên x  16 ước 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x  16 1 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x  0, x  16 , để B( A  1) nguyên x  14; 15; 17; 18  Bài 4: Cho biểu thức: P ( x  x y )(1  y )  x  y  y) x 1    a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P xy x  1 y   b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện để P xác định : x  ; y  ; y  ; x  y  x(1  P     x  x )  y (1   1  x  y  x  y x  y )  xy y x x 1 y   1  y        x  y 1 y  1  y  x  xy   ( x  y )  x x  y y  xy   x 1 x  y  y  y x y xy  y  xy  y 1 Vậy P = x  1  y  x   y 1  x  y   x  1  y  x  1  y 1  x 1  x  1  x 1  y  y 1  y   x  xy  y x    x 1 y y b) ĐKXĐ: x  ; y  ; y  ; x  y  P =  x  xy  y =     x1    y   y 1 1  x 1 1 y 1 Ta cã: + y   x     x   x = 0; 1; 2; ; Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mÃn) x 9 Bài 5:Cho biểu thức M = x5 x 6  x 1 x 3  x3 2 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x  Z để M  Z HƯỚNG DẪN GIẢI: M= x 9 x5 x 6  x 1 x 3  x 3 2 x a.ĐK x  0; x  4; x  Rút gọn M = x 9 0,5đ     x  x   x 1 x 2 x 3  Biến đổi ta có kết quả: M = M=  x       x2  x   x   x   x    x   x   x  M  x 1 x 3 x  b M   x   x    x    16     x   x  15 x 16   x  16 x  Đối chiếu ĐK: x  0; x  4; x  c M = x 1 x 3  x 3 x 3 Vậy x = 16 M =  1 x 3 x  ước  Do M  z nên x  nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; Lập bảng giá trị ta được:  x  1;4;16;25;49 x   x  1;16;25;49 Bài 6: Cho biểu thức P = ( a a-1 a+1 ) ( ) Với a > a ≠ 2 a a+1 a-1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( P ( a a-1 a+1 ) ( ) Với a > a ≠ 2 a a+1 a-1 a a 1 a 1  ) (  ) 2 a a 1 a 1 a a  ( a  1)2  ( a  1)2 P ( ) a ( a  1)( a  1) P ( P a 1 a  a 1 a  a 1 ) a 1 a (a  1)4 a  a  4a a Vậy P = 1 a Víi a > a ≠ a b) Tìm a để P < Với a > a ≠ nên a >  P= 1-a <  - a <  a > ( TMĐK) a a a b -(1+ 2 ): a -b a -b a - a2 - b2 Bài 7: Cho biểu thức: Q = a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: Q= a a b -(1+ 2 ): a -b a -b a - a - b2 a a - b2 + a a - a - b2 = 2 b a -b a - b2 = a b a-b 2 = a -b a -b a - b2 ( a - b )2 = = (a - b)(a + b) a-b a+b b) Khi có a = 3b ta có: 3b - b = 3b + b Q= 2b = 4b Bài 8: Cho biểu thức  1  A      y  x  y x  x 1 : y  x3  y x  x y  y3 x y  xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y >  1  1    : a) A   y  x  y x y   x  x y x  y    :   xy xy x  y    x  y    :  xy  xy     x  y xy   x  x3  y x  x y  x y  xy  x  y    x  y x  xy  y  xy x  y  xy x  y  y x  y  xy  x  y  xy y3 x  xy y    b) Ta có   y     x x  y 2  Do A  x  y  xy xy x  xy xy  y 2 16 ( xy = 16 ) 1 16 xy  x  y  x  y   xy   Vậy A = Bài 9: Cho biểu thức:  x   x 2  P      2x  x   x  x 1 x 1    x a) Tìm điều kiện để P có nghĩa c) Tính giá trị P với x  3 2 b) Rút gọn biểu thức P HƯỚNG DẪN GIẢI:    a Biểu thức P có nghĩa :     x  x  x       x  x  x    x  x  x 1   x  x 1   b) Đkxđ : x  1; x  2; x   P        x  x 1  x  x 1 x  x 1       x3 x 1   x  x 1    2 x x  3       x 1    x x 1  x 1   2  x  x  x    x  x  x   x  3 x    x  x     x  1  x 2 x  x   x  1         x  x  x   x    x  x 1 x3 c) Thay x   2   x          x  x  x   1   x  x 1  x 1     x   1 x  1 vào biểu thức P    2 x  x 2 x x 2 x , ta có: x   P 2   1 1   2 1   2 1 1  1 1  1 Bài 10: Cho biểu thức: x 8x x 1  ):(  ) P =( 2 x 4 x x2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = -1 c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x  3) P  x  HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có: x  x  x ( x  2) x   x   x 0     ĐKXĐ:  x  x    x 2   Với x > x  ta có: P= ( x 8x x 1  ):(  ) 2 x x4 x( x  2) x  x ( x  2)  x : ( x  2)( x  2)  4x  8x  8x : ( x  2)( x  2)   ( 4 x  x : x  )( x  ) x   2( x  2) x( x  2) x 1 x  x ( x  2)  x 3 ( Đk: x  9) x ( x  2) 4 x ( x  2) x ( x  2) ( x  2)( x  2) 3 x 4 x x ( x  2) (3  x )( x  2) 4x  x 3  Với x > , x  4, x  P = 4x x 3 b) P = - 4x   1 ( ĐK: x > 0, x  4, x  ) x 3  4x   x  4x   x  Đặt x  y đk y > Ta có phương trình: y  y   Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0  y1  1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), Với y  y2  ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)  x x = ( thoả mãn đkxđ) 16 Vậy với x = c) m ( x  3) P  x   m ( x  3) P = - 16 (đk: x > 0; x  4, x  ) 4x  x 1 x 3  m x  x  x 1  m 4x ( Do 4x > 0) x 1 x 1      Xét 4x 4x 4x 4x Có x > (Thoả mãn ĐKXĐ)     1  ( Hai phân số dương tử số, phân số có mẫu số lớn nhỏ hơn) x 1  x 36 1 1    4 x 36 1   4 x 18  x 1 18  x m Theo kết phần ta có :  18 m  x   4x Kết luận: Với m  , x  m ( x  3) P  x  18 ... 12 Bài 4: Rút gọn A = 62 32 2 1   c) 3  3 1.2/ Rút gọn vận dụng quy tắc khai phương, nhân chia bậc hai: *)Ví dụ 1:Tính a) 14 56 b) a) 14 56 b) 3 12  c)    3 12 c) 4 4 Giải:... b) 12  75  27 5  20  45 d) 12  27  48 f) 18   162 1.3/ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai mẫu vận dụng trục thức mẫu phương pháp nhân liên hợp *)Ví dụ 1: Trục mẫu biểu thức sau a) b)...   1 1 1 1 1 1 1        1 2 3 4 5 6 7 8 1.4/ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai mẫu nhờ phân tích thành nhân tử: *) Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a) 3 3 1 c)  3   3 