HDC_ chinh thuc

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 15/12/2018 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải a) 2đ (3,0 điểm) (6,0 điểm) 2x + x2 − 6x + = ⇔ 2x + (x − 3)2 = 0,5 ⇔ 2x + x − = 0,25 +/ Nếu x ≥ ⇒ x − ≥ phương trình có dạng 2x + x − = ⇔ 3x = ⇔ x = ( không t/m ĐK) 0,5 +/ Nếu x < ⇒ x − < phương trình có dạng 2x − x + = ⇔ x = ( t/m ĐK) 0,5 Vậy phương trình có nghiệm x = 0,25 x2 − 7x + 10 − x − − x − + = (1) ĐKXĐ: x ≥ b) 2đ (1) ⇔ ( x − − 1)( x − − 2) = 0,75  x − − 1=  x − =  x − =  x = 3( loaïi) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x − − =  x − =  x − =  x = (t/m ÑK) 0,75 Vậy phương trình có nghiệm x = (2,0 điểm) 0,25 Q = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + = (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 0,25 Q = (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 0,5 Q = (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 0,5 Q = (a2 + 3a + 1)2 = a2 + 3a + ∈ N ( a ∈ Z ) 0,5 KL 0,25 Câu (3 điểm) 0,25 (4,0 điểm)  24 − x x  + : a)Biến đổi A =  x − 2 x −  ( x + 1)( x − 2) A= 24− x + x + x ( x + 1)( x − 2) : x−2 = x + 24 ( x + 1)( x − 2) ( x − 2) = x + 24 x +1 0,75 Vậy A = b) A = x + 24 x +1 x + 24 x +1 Với x ≥ x + 1+ = với x ≥ 0; x ≠ x − 1+ 25 x +1 x + 1> 0; 25 x +1 = x − 1+ 25 x +1 x + 1= 25 x +1 = x + 1+ 25 x +1 −2 0,25 > Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: 25 ≥ ( x + 1) Dấu “=” xảy ⇔ 0,25 x +1 25 x +1 = 10 ⇒ x + 1+ 25 x +1 0,5 − ≥ 8⇒ A ≥ ⇔ x + 1= ⇔ x = ⇔ x = 16 ( t/m ĐK) Vậy Min A = x = 16 0,25 Đặt K = 2( a2 + b2 − a)( a2 + b2 − b) + a2 + b2 2) điểm 2 2 2 2 Biến đổi K = (a + b − a + b ) + a + b = a + b − a + b + a + b 0,25 Với a, b > ⇒ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab > a2 + b2 ⇒ a + b > a2 + b2 0,25 Khi K = a + b− a2 + b2 + a2 + b2 = a + b 0,25 Vậy 2( a + b − a)( a + b − b) + a + b = a + b với a, b > Câu (3,0 điểm) M = (x2 + y2 )(xy + 1) + 2(x2y2 + 4) = x3y + x2 + xy3 + y2 + 2x2y2 + 0,25 M = xy(x + 2xy + y ) + x + y + = xy(x + y) + x + y + 0,25 M = xy( 2)2 + x2 + y2 + ( x + y = ) 0,25 M = 2xy + x2 + y2 + = (x + y)2 + 0,25 M = (x + y)2 + = ( 2)2 + = + = 10 0,25 Vậy M = 10 x + y = 0,25 (1,5 điểm) 0,25 2 2 2 x2y2 + 6x2 = 4y2 + 4xy (1,5 x = ⇒ y = nghiệm phương trình điểm) +/ Nếu +/ Nếu x ≠ ta có: x2y2 + 6x2 = 4y2 + 4xy ⇔ x2 (y2 + 7) = (x + 2y)2 (1) 0,25 Vì x,y ∈ Z, x2 ≠ nên từ(1) ⇒ y2 + số phương, ta có 0,25 y + = a ( a ∈ N) ⇔ (y − a)(y + a) = −7 (2) Vì y ∈Z, a ∈N ⇒y − a ≤ y + a y − a; y + a ước – mà −7 = (−7).1= (−1).7 0,25 2 Ta có trường hợp  y − a = −7  y = −3 ⇔ thay vào (1) tính x = (loại) ; x = −2 ( t/mãn)  y+ a = a = 0,25  y − a = −1  y = ⇔ thay vào (1) tính x = − (loại) ; x = ( t/mãn)  y+ a = a = Vậy (x; y) ∈ { (0;0);(−2; −3);(2;3)} 0,25 Câu 1.(2 điểm) (5,0 điểm) Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh ∆MCO vng C ⇒ ∆MCO nội tiếp đường trịn đường kính MO (1) 0,5 Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh ∆MDO vuông D ⇒ ∆MDO nội tiếp đường trịn đường kính MO.(2) 0,5 Xét (O:R) có AB dây, H ∈ AB, HA = HB (GT) ⇒ OH ⊥ AB ( tính chất đường kính dây) ⇒ ∆MHO vng góc H ⇒ ∆MHO nội tiếp đường trịn đường kính MO (3) 0,5 Từ (1), (2) (3) ⇒ điểm M, C, O, H, D thuộc đường tròn 0,5 Chứng minh MO ⊥ CD E 0,5 Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MOC chứng minh được: MC = MK MO (4) 2.(2 điểm) Chứng minh ∆MKE ∆ MHO đồng dạng ⇒ MK MO = ME.MH (5) 3.(1 điểm) 0,25 Từ (4) (5) ta có: MC = ME.MH Gọi N giao điểm CD OH Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MCO chứng minh OK OM = OC = R2 (6) Chứng minh ∆OHM ∆OKN đồng dạng ⇒ OH ON = OK OM (7) Từ (6) (7) ⇒ OH ON = R2 ⇒ ON = R2 Khơng đổi ( OH cố định) OH 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 ⇒ N điểm cố định Câu (2,0 điểm) Vi a − bM( p − 1) ⇒ a − b = k ( p − 1) ( với k ∈ N*) (1 a b + b a = a b + bb + b a − b b = (a b + b b ) + b b (b a −b − 1) = (a b + b b ) + bb (b k ( p −1) − 1) điểm) Vì b lẻ nên a b + b b M(a + b)Mp (1) Theo Femart ta có: b p −1 ≡ 1(mod p ) ⇒ b k ( p −1) ≡ 1(mod p) ⇒ b k ( p −1) − 1Mp ⇒ b a −b (b k ( p −1) − 1) Mp (2) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) ta có: a b + b a Mp 0,25 KL… 2bc + 3ca + 6ab = 36abc ⇔ Đặt x = 2bc + 3ca + 6ab 1 = 6⇔ + + =6 6abc 3a 2b c 1 ; y = ; z = ⇒ x + y + z = ( x; y; z > ) 3a 2b c Khi (1) trở thành: 0,25 yz zx xy + + ≤ yz + 6x zx + 6y xy + 6z Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: yz = yz + 6x yz yz 1 y z  = ≤  + ÷ (2) yz + x(x + y + z) (x + y)(x + z)  x + y x + z  Chứng minh tương tự ta có: (1 điểm) zx 1 z x  ≤  + ÷ (3) zx + 6y  y + z y + x  0,25 xy 1 x y  ≤  + ÷ (4) xy + 6z  x + z y + z  Cộng vế (2); (3) (4) ta có: yz zx xy x + y y + z z+ x + + ≤ ( + + )= yz + 6x zx + 6y xy + 6z x + y y + z z + x 1 Điểm toàn Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = ⇔ a = ; b = ;c = 0,25 (20 điểm) Lưu ý chấm bài: - Điểm tồn làm trịn đến 0,25 điểm - Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Riêng câu học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm chứng minh