PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 15/12/2018 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải (5,0 điểm) � 24 x x � �: Biến đổi A � ( x 1)( x 2) x 2� x � a) 2đ A 24 x x x ( x 1)( x 2) Vậy A b) (3,0 đ điểm) A x 24 x 1 x 24 x 1 Với x ≥ x 1 : x2 x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 0; x 1 x 24 ( x 2) x 24 x 1 với x �0; x �4 x 1 25 25 0,75 25 x 1 �2 ( x 1) Dấu “=” xảy x 1 0,25 25 x 1 x 1 25 x 1 2 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: 25 x 1 25 x 1 10 � x 1 25 x 1 0,25 �8 A �8 � x 1 � x � x 16 ( t/m ĐK) Vậy Min A = x = 16 0,25 0,25 M 2( x2 y2 x)( x2 y2 y) x2 y2 với x, y > x y 2018 2 2 2 2 Biến đổi M (x y x y ) x y x y x y x y (2,0 Với x; y > (x y)2 x2 y2 2xy x2 y2 � x y x2 y2 điểm) Khi M x y x2 y2 x2 y2 x y 2018 Vậy M 2018 với x, y > x y 2018 Câu 0,5 0,5 0,5 (4,0 điểm) x2 7x 10 x x (1) ĐKXĐ: x �5 (2 điểm) 0,5 0,25 (1) � ( x 1)( x 2) 0,75 � x 1 � x � x 2 � x 3( loaïi) �� �� �� �� x 5 � x (t/m ÑK) � � x 5 2 � � x � 0,75 Vậy phương trình có nghiệm x 0,25 x2y2 6x2 4y2 4xy +/ Nếu x � y nghiệm phương trình 0,5 +/ Nếu x �0 ta có: x2y2 6x2 4y2 4xy � x2 (y2 7) (x 2y)2 (1) Vì x,y Z, x2 �0 nên từ(1) y2 số phương, ta có y2 a2 ( a N) � (y a)(y a) 7 (2) Vì y Z, a N y a �y a y a; y a ước – mà (2 7 (7).1 (1).7 điểm) Ta có trường hợp �y a 7 �y 3 �� thay vào (1) tính x (loại) ; x 2 ( t/mãn) � a �y a � �y a 1 �y �� thay vào (1) tính x (loại) ; x ( t/mãn) � y a a � � Vậy (x; y) � (0;0);(2; 3);(2;3) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (4,0 điểm) A n4 3n2 2n 12 (2,0 điểm) A n4 3n2 2n 12 (n2 2n 3)(n2 2n 4) 0,5 � A � (n 1)2 2� (n 1)2 3� � �� � 0,5 Với n N ta có : (n 1)2 �0 � (n 1)2 �2 (n 1)2 �0 � (n 1)2 �3 0,75 Vậy A n4 3n2 2n 12 hợp số Vi a b M( p 1) � a b k ( p 1) ( với k N*) 0,25 a b b a a b bb ba bb (a b bb ) bb (b a b 1) (ab bb ) bb (b k ( p 1) 1) 0,5 Vì b lẻ nên a b M(a b) Mp (1) (2,0 Theo Femart ta có: điểm) b p 1 � 1(mod �� p) bk ( p 1) 1(mod p) b b Từ (1) (2) ta có: a b b a Mp KL… Câu 0,25 0,5 b k ( p 1) 1Mp ba b (b k ( p 1) 1) Mp (2) 0,5 0,25 (0,6 điểm) 1.(2 điểm) Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh MCO vng C MCO nội tiếp đường trịn đường kính MO (1) 0,5 Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh MDO vuông D MDO nội tiếp đường trịn đường kính MO.(2) 0,5 Xét (O:R) có AB dây, H AB, HA = HB (GT) OH AB ( tính chất đường kính dây) MHO vng góc H MHO nội tiếp đường trịn đường kính MO (3) 0,5 Từ (1), (2) (3) điểm M, C, O, H, D thuộc đường tròn 0,5 Chứng minh MO CD E 0,25 Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MOC chứng minh được: MC MK MO (4) 2.(1,5 điểm) Chứng minh ∆MKE ∆ MHO đồng dạng MK MO ME.MH (5) 0,5 Từ (4) (5) ta có: MC ME.MH Gọi N giao điểm CD OH Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MCO chứng minh OK OM OC R2 (6) OH ON OK OM (7) 3.(1,5 Chứng minh ∆OHM ∆OKN đồng dạng điểm) R2 Từ (6) (7) OH ON R2 � ON Khơng đổi ( OH cố định) OH N điểm cố định OA ON Từ OH ON R2 � OH ON OA2 � OH OA � OHA � 900 Chứng minh ∆OAN đồng dạng ∆OHA ( c-g-c) OAN NA OA Gọi Q giao điểm OE với MN 4.(1 Chứng minh E trực tâm ∆OMN OQ MN Q 2 điểm) Ta có MC= MD ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) MD MC MK MO (8) Chứng minh ∆MKN đồng dạng ∆MQO MK MO MQ.MN (9) Sử dụng hệ thức lượng vào ∆NAO NA2 NH NO (10) Chứng minh ∆NHM đồng dạng ∆NQO NH NO NQ.NM (11) 0,25 Từ (8); (9); (10) (11) ta có: MD2 NA2 MQ.MN NQ.NM MN(MQ NQ) MN.MN MN Câu (1,5 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) a b c � (1) a 4bc b 9ca c 36ab 2bc 3ca 6ab 36abc � Đặt x 2bc 3ca 6ab 1 6� 6 6abc 3a 2b c 1 ; y ; z � x y z ( x; y; z ) 3a 2b c Khi (1) trở thành: yz zx xy � yz 6x zx 6y xy 6z 0,25 0,25 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: yz yz 6x yz yz 1� y z � � � � (2) yz x(x y z) (x y)(x z) �x y x z � Chứng minh tương tự ta có: 0,25 zx 1� z x � � � � (3) zx 6y �y z y x � xy 1� x y � � � �(4) xy 6z �x z y z � Cộng vế (2); (3) (4) ta có: yz zx xy x y y z z x � ( ) yz 6x zx 6y xy 6z x y y z z x 1 Điểm toàn Dấu “=” xảy x y z � a ; b ; c 0,25 (20 điểm) Lưu ý chấm bài: - Điểm tồn làm trịn đến 0,25 điểm - Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Riêng câu học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm chứng minh