PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có: 01trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 15/12/2018 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (6,0 điểm) (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 2x + x2 − 6x + = b) x2 − 7x + 10 − x − − x − + = ( 2,0 điểm) Cho a ∈ Z, chứng minh Q = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + số tự nhiên Câu (4,0 điểm) 24 − x x+2 x x+2 x +4 − (3,0 điểm) Cho biểu thức A = với x ≥ 0; x ≠ ÷: − x x − x − x x − a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A (1,0 điểm) Cho a,b > 0, chứng minh: 2( a2 + b2 − a)( a2 + b2 − b) + a2 + b2 = a + b Câu (3,0 điểm) (1,5 điểm) Cho x + y = Tính giá trị biểu thức M = (x2 + y2 )(xy + 1) + 2(x2y2 + 4) ( 1,5 điểm) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2y2 + 6x2 = 4y2 + 4xy Câu (5,0 điểm) Cho đường thẳng d cắt (O; R) A B ( d không qua O ) Điểm M d thuộc tia đối tia AB Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( O; R) ( D thuộc cung nhỏ AB ) Gọi H trung điểm AB , E giao điểm CD với AB , K giao điểm MO với CD (2,0 điểm) Chứng minh điểm M ,C,O, H , D thuộc đường tròn (2,0 điểm) Chứng minh: MC = ME.MH (1,0 điểm) Chứng minh M thay đổi d đường thẳng CD qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) (1,0 điểm) Cho p số nguyên tố lớn a,b hai số tự nhiên lẻ cho a + bMp a − bM ( p − 1) Chứng minh ab + ba Mp (1,0 điểm) Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn 2bc + 3ca + 6ab = 36abc Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a + 4bc b + 9ca c + 36ab HẾT - Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh:….… Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký)