Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai dưới đây sẽ là tài liệu giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho kỳ kiểm tra.

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Để rút gọn biểu thức chứa bậc hai ta thường thực bước sau: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức (nếu đề chưa cho điều kiện) Chú ý điều kiện thức, điều kiện mẫu, điều kiện phần chia - Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử, kết hợp phân tích tử phép biến đổi đơn giản - Bước 3: Bỏ ngoặc, thu gọn biểu thức cách hợp lý Kết hợp điều kiện tốn để kết luận Ví dụ minh họa 1: Rút gọn biểu thức sau x x 1 x  10    x  0, x   x4 x 2 x 2 a) A b) B  13    20  43  24    Lời giải a) Với  x  0, x   ta có: A x    x 2   x 1  x   x  10 x4    2x  2 x4  b) B  13    20  43  24   2  3      1 2  20   4  3     3   20   3  3   28   3  8 3  1    43  24  3   35 a a  a2 a   1 :   1 Ví dụ minh họa 2: Cho biểu thức P    a 1   a   a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm a để P  c) Tính giá trị P a   2 d) Tìm a để P số ngun 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      e) Tìm a để P  Lời giải a   a   a) Điều kiện:  a   a   a a  a2 a   1 :   1 Rút gọn: P    a 1   a        a a 1   a a 2  a 1   1 :   1      a 1 a 2 a 1     a  b) Với  a  P5 a 1   a 1  a 1   a 1  a 1  a   a   a  Vậy với a  P  c) Khi a   2    a 1 P  a 1  1 1 1 1  d) Ta có: P     1  2  , thay vào biểu thức P rút gọn, ta có: 2 1 1 1 11 22   1 2 1 1 a 1 a 1  a 1 2     1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Để P số ngun    Do đó:      a  (thỏa điều kiện)   a 1    a   1   a   2  a 1  2 phải số nguyên, suy a 1 a 3 a 2 a 0 a  1 Vô nghiệm  a    a   a  Vậy với a  0; 4;9 P đạt giá trị nguyên 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      a  phải ước nguyên a 1 1 a 1 e) Để P   a 1   a 1 1  a 1  0 a 1 a 1 0 a 1  a 1   a   a  Kết hợp điều kiện suy ra:  a  Vậy với  a  P  Ví dụ minh họa 3: x y yy x x Cho biểu thức M   xy a) Tìm điều kiện xác định rút gọn M b) Tính giá trị M, biết x     y   Lời giải a) Điều kiện: x  0; y  M  x y yy x x xy  xy    x y  x y  xy  b) Với x   M  1     x yy x x y   xy x y   xy y     2    1  1   xy     1 x y  1   B CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA I CÁC DẠNG TỐN Bài tốn rút gọn tổng hợp thường có tốn phụ: tính giá trị biểu thức cho giá trị ẩn; tìm điều kiện biến để biểu thức lớn (nhỏ hơn) số đó; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức,… Do vậy, ta phải áp dụng phương pháp tương ứng, thích hợp cho dạng toán (Vd 2) Dạng Rút gọn biểu thức  1 a a   1 a  Bài 1: Rút gọn biểu thức: A    a    (với a  0; a  )  a  a    a a  a  a   1 1  Bài 2: Rút gọn biểu thức: M    với a  0; a  a 1 a      3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      x       Bài 3: Rút gọn biểu thức: B    : 1   với x  x 3  x x3 x   x3 x Bài 4: Rút gọn biểu thức: P  2x  x  với x  0; x  x2 xx a a  a 1   Bài 5: Rút gọn biểu thức: Q   với a  0; a  : a 2 a4 a 4 a2 a  x  x4  Bài 6: Rút gọn biểu thức: P   với x  0; x   : x x x    2     x2 x  Bài 7: Rút gọn biểu thức: M   với x  0; x   x  x4 x4 x 4  b a   Bài 8: Rút gọn biểu thức: N    a b  b a (với a  0; b  0; a  b ) ab  b   a  ab   HƯỚNG DẪN Bài Với a  0; a  Ta có:    2     1 a a   1 a   1 a 1 a  a 1 a  A    a    a       a 1 a  1 a        a  a      1  a   1  a  1  a   1 a  a 2  1 Vậy A  Bài Với a  0; a  , ta có:       a a 1  a  a  a  a   a a      1     1 M      a 1  a 1  a    a         a 1 1 a  1 a Vậy M   a Bài Với x  : x     B    : 1   x 3  x x3 x   x3 x    x      : 1  x x 3 x 3  x x x 3       4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com                 x   x 2     :   x 3  x x x 3  x 3    x 1      :   x           x  3    x  x  3  x 2  x 1   x  x  x        :     x  x x        x 1   x  x    :   x    x x        x    x 1  :   x   x     x  3 x 1 x 1 x 1 : 1 x 3 x 3 Vậy x  B  Bài Với x  0; x  , ta có: P   x 2x   x2 xx x 2 x  2 x     x x   x  x  1 2 x x Vậy P  Bài Với a  0; a  : a a  a 1  Q  : a 2 a4 a 4 a2 a   a a    :  a a 2 a 2      a a  a 2 a 2  a   a 1  a    a 1 a a        a a   a 2  a 1 a a 2  . a 2  a 1 a 2 Vậy, Q  a 2  5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       a 2  a 1 Bài Với x  0; x  :  x  x4 P     : x  x    x 2  x        x  2  :  x   x    x 2 2 x4 x 2   x2 x 2 x 4 x 2    x 2  x4 x 2       x4  x 2  x 2  x 2  x4  x 2 x 2 Vậy, P  Bài Với x  0; x  :   x2 x  M   x  x4 x4 x 4              x 2  x 2 x 2  x 2   x   x 2       x 2       1   x 2 x 2  1     x 2  x x 2    x  2   x  2 x  2 x  x 2  Bài Với  a  0; b  0; a  b   b a   N    a b  b a ab  b   a  ab     a   b a b   b     ab a b   a   a b 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com         ba  ab   ab a  b       a b  ba Vậy biểu thức có giá trị N  b  a Dạng Rút gọn biểu thức – tính giá trị biểu thức cho giá trị ẩn Các bước thực hiện: - Rút gọn, ý điều kiện biểu thức - Rút gọn giá trị biến cần - Thay vào biểu thức rút gọn Bài Cho biểu thức: P  x  x x 1 x  x  với x  0, x    x4 x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị P x   Bài Cho biểu thức: A  1 4x    với x  1 x 1 x  x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x A  2015  x 1  x2  Bài Cho biểu thức: P  với x  0; x   x   x 1  x2 x a) Chứng minh P  x 1 x b) Tìm giá trị x để P  x  Bài Cho biểu thức: Q  x3  y x y với x  y 2 x  xy  y x  y a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị P x   ; y   Bài Cho biểu thức: P  x 1 x 25 x   với x  0; x  4 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x để P  HƯỚNG DẪN 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Bài a) Với x  0, x  , ta có: P      x  x x 1 x  x    x4 x 2 x 2  x  x     x  2  x   x  2 x  2 x   x 1 x 4 x x  2x  x  x  2x  x  x   x  x   x 2  x 2  x x  2x  x   x 2  x 2   x  2  x    x  1  x  2  x  2 x  2  x  2 x  2 x x 1 x 2 Vậy với x  0, x  P   x 1 x 2 b) Ta có: x      thỏa mãn điều kiện xác định  x  2 Khi P    10   2 54 2 2 Vậy với x   P   Bài a) Với x  1 A  1 4x  x 1 x 1 4x  x 1  x 1  4x        x  x  x 1 x2  x2  x2   x  1 x  1  x  1 4x  4   với x  1  x  1 x  1  x  1 x  1 x  Vậy: A  với x  1 x 1 b) Khi A  4    x   2015 2015 x  2015  x  2016 (TMĐK) 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Vậy A  x  2016 2015  x 1  x2  Bài Cho biểu thức P  với x  0; x   x   x 1  x2 x a) Với x  0; x  1  x 1  x2  Ta có: P   x   x 1  x2 x  x2    x x 2 x          x 1 x      x 1   x   x x   x 1  x x    x    x   x 1    x 1 x 2      x 1  x 1  x 1  đpcm  x  x 1 b) Ta có: P  x      x 5 x    x   2x  x  2x  x      1 1  x   x     x   x  (thỏa điều kiện) 2  Vậy x  P  x  Bài Với x  y :  x  y   x  xy  y  x3  y x y x y x y   a) Q  2 2 x  xy  y x  y x  xy  y  x  y  x  y  x  y b) Với x    y  42  Suy ra: Q     1 2  2  1   1 x y   x y   1  3  3  3   Vậy Q  2  3     3 3 3 3 Bài 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      a) Với x  0; x  : x 1 x 25 x   4 x x 2 x 2 P        x  2  x   x  2 x  2 x 1 x 2  3x  x   x 2  x 2 x 2    3x  x    x  x   x 2  x 2 x 2 x 2   x 2      25 x  x 2 25 x x 2   x x4 x  x  x   2x  x    25 x 2  x 2     3x  x x 2 x 2 x 2  x x 2 b) Với x  0; x  , để P   x   x  x   x   x  16 (thỏa điều kiện) x 2 Vậy với x  16 P  Dạng Rút gọn biểu thức – tìm x để biểu thức rút gọn đạt giá trị nguyên - Rút gọn biểu thức - Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng số nguyên biểu thức có tử số nguyên - Trong biểu thức tạo thành, ta cho mẫu ước nguyên tử để suy x  a a 1 a a   a   Bài Cho biểu thức: P   với  a  0; a  1; a    :  a a a a  a2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên  x  x  x  x   x  2017   Bài Cho biểu thức: P   với x  0; x  1  x2 1  x  x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị ngun 10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ... Dạng Rút gọn biểu thức – tìm x để biểu thức rút gọn đạt giá trị nguyên - Rút gọn biểu thức - Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng số nguyên biểu thức có tử số nguyên - Trong biểu thức. .. biểu thức có giá trị N  b  a Dạng Rút gọn biểu thức – tính giá trị biểu thức cho giá trị ẩn Các bước thực hiện: - Rút gọn, ý điều kiện biểu thức - Rút gọn giá trị biến cần - Thay vào biểu thức. .. Rút gọn biểu thức – tìm x để biểu thức thỏa lớn (nhỏ hơn) số cho trước - Rút gọn - Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện ta phương trình bất phương trình, ý điều kiện ẩn toán  x   Bài Cho biểu