THÔNG TIN TÀI LIỆU
Vấn đề Một số toán liên quan đến nón – trụ - cầu Câu (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Cho hình thang A AB = BC = B ABCD vuông AD = a với Quay hình thang miền quanh đường thẳng BC V chứa cạnh Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành V= A 4πa 3 V= B 5πa3 V = πa C Lời giải V= D πa 3 ABID BI Thể tích khối trụ sinh hình chữ nhật quay cạnh là: V1 = π AB AD = 2πa CID CI Thể tích khối nón sinh tam giác quay cạnh là: πa V2 = π.ID CI = 3 5πa V = V1 − V2 = Vậy Câu (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình nón có chiều cao ( cm ) nội tiếp hình cầu có bán kính nón khối cầu Tính tỉ số V1 V2 ( cm ) Gọi V1 ,V2 thể tích khối A 81 125 B 81 500 27 125 C Lời giải Gọi hình cầu có tâm O bán kính R D 27 500 r= Gọi hình nón có đỉnh S, tâm đáy H, bán kính đáy HA Vì hình nón nội tiếp hình cầu nên đỉnh S thuộc hình cầu, chiều cao SH hình nón qua tâm O S' hình cầu, đồng thời cắt hình cầu điểm SH = OS = ⇒ OH = Theo đề chiều cao hình nón , bán kính hình cầu , từ ta có HA = OA2 − OH = 52 − 42 = Thể tích khối nón 1 V1 = hπ r = SH π HA2 = 9π 32 = 27π 3 4 500π V2 = π R = π 53 = 3 Thể tích khối cầu V1 27π 81 = = V2 500π 500 Tỉ số Câu (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một khối gỗ hình trụ trịn xoay có bán kính đáy , chiều cao Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn đáy khối gỗ đường tròn lớn nửa khối cầu Tỉ số thể tích phần lại khối gỗ khối gỗ ban đầu A B C Lời giải Theo toán ta có hình vẽ D V = π 12.2 = 2π Thể tích khối trụ Vì đường trịn đáy khối trụ đường trịn lớn nửa khối cầu nên bán kính R =1 nửa khối cầu Thể tích hai nửa khối cầu bị khoét 4π 13 4π V1 = × × = 3 4π 2π V2 = V − V1 = 2π − = 3 Thể tích phần lại khối gỗ 2π V2 = = V 2π Vậy tỉ số thể tích cần tìm Câu (CHUN LAM SƠN THANH HÓA LẦN NĂM 2018-2019) Một khối trụ bán kính đáy A a , chiều cao 2a 6π a B Xét hình hình chữ nhật I 6π a OABO ' trung điểm đoạn thẳng 3π a C Lời giải O, O ' hình vẽ, với OO ' Khi IA 2 2 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ là: tâm hai đáy khối trụ Gọi V= π 3 D π a3 bán kính khối cầu ngoại tiếp khối trụ IA = OA + OI = 3a + 3a = 6a ⇒ IA = 6a Ta có: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ ( 6a ) = 6π a Câu (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một khối cầu pha lê gồm hình cầu r, l ( H1 ) A ( H1 ) thỏa mãn bán kính R hình nón r= l l= R B 1 3 r= l= R= R 2 16cm ( H2 ) Diện tích mặt cầu Diện tích tồn phần hình nón có bán kính đáy đường sinh xếp chồng lên (hình vẽ) Biết tổng diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình nón 104 cm ( H2 ) 91cm 64cm C Lời giải Tính diện tích mặt cầu D ( H1 ) 26 cm S1 = 4π R 3 27π R S = π rl + π r = π R R + π R = 16 16 27π R 91π R 4π R + = 91 ⇔ = 91 ⇔ π R = 16 16 16 Theo giả thiết: Vậy Câu S1 = 4π R = 64cm (KTNL GV THUẬN THÀNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình thang cân ABCD BC = DA = AB = CD = có đáy nhỏ , đáy lớn , cạnh bên Cho hình thang quay AB quanh vật trịn xoay tích p p p p 3 3 A B C D Lời giải Chọn C A B H D C DC Thể tích khối trịn xoay thể tích hình trụ đường cao bán kính đường trịn AH AH = DH = đáy DH AH Trừ thể tích hai khối nịn trịn xoay chiều cao bán kính đường trịn đáy Ta tích khối trịn xoay cần tìm là: V = 3.p.12 - .1.p.12 = p 3 Câu (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Một hộp đựng mỹ phẩm thiết kế r = 5cm (tham khảo hình vẽ) có thân hộp hình trụ có bán kính hình trịn đáy , chiều cao h = 6cm nắp hộp nửa hình cầu Người ta cần sơn mặt ngồi hộp (khơng S sơn đáy) diện tích cần sơn A S = 110π cm B S = 130π cm S1 = Diện tích nắp hộp cần sơn là: Diện tích than hộp cần sơn là: Diện tích S cần sơn là: C Lời giải 4π r = 50π cm 2 S = 160π cm S2 = 2π rh = 60π cm2 S = S1 + S2 = 50π + 60π = 110π cm D S = 80π cm Câu (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn ( O) ( O; R ) A ( O′ ) R chiều cao bán kính Một hình nón đỉnh O′ đáy hình trịn Tỉ lệ thể tích xung quanh hình trụ hình nón B C Lời giải Ta có diện tích xung quanh hình trụ là: D S1 = 2π R.R = 2π R S1 = π R Ta có diện tích xung quanh hình nón là: Câu R ( R ) + R = 2π R Suy S1 = S2 (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình trụ có bán kính đáy , gọi O O' tâm hai đường tròn đáy với hình trụ A O O' Gọi B VC VT OO′ = 2r Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy thể tích khối cầu khối trụ Khi C Lời giải πr VC = = VT π r 2r r D VC VT Câu 10 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một đồ vật thiết kế nửa khối cầu khối nón úp vào cho đáy khối nón thiết diện nửa mặt cầu chồng khít lên hình vẽ bên Biết khối nón có đường cao gấp đơi bán kính đáy, thể tích tồn khối đồ vật 36p cm3 p A ( 9p C Diện tích bề mặt tồn đồ vật ) + cm ( 9p B ) + cm p D ( ( ) + cm ) + cm Lời giải Chọn B Thể tích khối nón V1 = p.R 2 R = p.R 3 Thể tích nửa khối cầu V2 = p.R = p.R 3 Thể tích tồn khối đồ vật V1 + V2 = 36p ⇔ p.R = 36p ⇔ R = S1 = pR R + R = pR = 5p Diện tích xung quanh mặt nón S2 = 4pR = 18p Diện tích nửa mặt cầu S1 + S2 = 9p Diện tích bề mặt toàn đồ vật Câu 11 ( ) + cm (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho khối cầu thể tích A R 4π 3 R nội tiếp khối cầu B R ( S) có bán kính R Một khối trụ có Chiều cao khối trụ C ( S) R D R Lời giải Gọi r bán kính khối trụ 2 chiều cao khối tru, ta có h h r = R − ÷ = R2 − 2 h h2 V = π r h = π R − ÷h 4 Thể tích khối trụ Theo đề thể tích khối trụ 4π 3 R nên ta có phương trình 4π 3 h2 h h R = π R − ÷h ⇔ ÷ − 36 ÷+ 16 = 3 ⇔ 9h − 36 R h + 16 3R = R R ⇒ h 3 = ⇔h= R R 3 h= Vậy chiều cao khối trụ Câu 12 R Tính thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục E DF F a β = 30° A B a a D A 10π a B π a C Lời giải Lời giải Chọn D C 5π a D 10π a Khi quay mơ hình quanh trục vuông ABCD DF AFE Tam giác (N ) tạo khối nón trịn xoay hình (T ) tạo khối trụ tròn xoay (N ) AF = a, có chiều cao bán kính đáy ỉa ö pa3 ÷ ÷ EF = AF tan 30 = ị V( N ) = p ỗ a = ç ÷ ç ÷ ç è ø 3 (T ) có chiều cao a AD = a, bán kính đáy AB = a Þ V(T ) = pa2.a = pa3 pa3 10pa3 V = V( N ) +V(T ) = pa + = 9 Vậy thể tích cần tính là: Câu 13 (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho mặt cầu ( P) Hình nón V1 V2 , A mặt phẳng cách ( N) có đáy ( C) O khoảng cắt , đỉnh thuộc thể tích khối cầu B ( S) ( S) ( S) , đỉnh cách khối nón 16 C Lời giải 4 32 V1 = π R3 = π 23 = π 3 ( P) ( N) ( S) ( S) O khoảng lớn Tỉ số , bán kính theo đường trịn V1 V2 D Thể tích khối cầu ( N) r = 22 − 12 = h=3 Khối nón có bán kính đáy , chiều cao V1 32 2 = V = π r h = π 3 = π ( N) V 3 Thể tích khối nón Do ( ) tâm 32 ( C) Kí hiệu (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho mặt cầu Câu 14 cách O khoảng giao điểm tia V= A HO 32π với cắt ( S) B ( S) ( S) tâm O , bán kính theo giao tuyến đường trịn , tính thể tích V khối nón có đỉnh V= V = 16π C Lời giải 16π R=3 ( C) T Mặt phẳng có tâm H T Gọi đáy hình trịn D ( P) ( C) V = 32π Chọn A Gọi ; r bán kính đường trịn r bán kính đáy hình nón ta có: r = R − OH = HT = HO + OT = + = = h Suy ra: Câu 15 ( C) Vn = h.S( C ) chiều cao hình nón 32π = 4.π = 3 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Một hình trụ có hai đường trịn đáy R nằm mặt cầu bán kính có đường cao bán kính mặt cầu Diện tích tồn phần hình trụ ( 3+ 3) π R A ( 3+ 3) π R B ( 3+ 2) π R C Lời giải Chọn B 10 ( 3+ 2) πR D VC 2π OH 18π = = ⇔ OH = 3 Lại có: 1 = + ⇔ OB = 12 2 OH OS OB Vn = Thể tích bình nước ( thể tích nước ban đầu): Thể tích nước cịn lại là: Câu 19 24π − 18π = 6π ( dm ) π OS OB = 24π ( dm ) (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Người ta thả viên 4,5cm billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ vào cốc hình trụ chứa nước viên billiards tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt nước sau dâng 5, cm (tham khảo hình vẽ bên) Biết bán kính phần đáy cốc chiều cao 4,5cm mực nước ban đầu cốc Bán kính viên billiards bằng? A 4, cm Gọi B 3, cm r 2, cm C Lời giải D 2, cm bán kính viên billiards snooker Vbi = π r 3 Thể tích viên billiards V = π ( 5, ) ( 2r − 4,5) Phần thể tích nước dâng lên sau bỏ viên billiards vào Vì thể tích nước dâng lên thể tích viên billiards nên ta có π r = π ( 5, ) ( 2r − 4, ) 0< r < 4,5 ⇔ r = 2, Ta có phương trình Câu 20 Vbi = Vn (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tam giác ABC ( O; r ) có đường trịn nội tiếp , cắt bỏ phần hình trịn cho hình phẳng thu quay AO r quanh Tính thể tích khối trịn xoay thu theo 14 A πr Gọi H B chân đường cao Vì tam giác ABC AH ABC BC C Lời giải VN = AO D π r ABC AH = 3OH = 3r quanh trục đó: thể tích hình nón là: π r 3 tam giác nên ta có: Khi quay tam giác trịn đường kính πr AH = BC , ⇔ BC = AH = r 3 ta hình nón tích là: S N = π HC = π r VN , có đáy đường , chiều cao hình nón là: 1 AH S N = 3r.π r = 3π r 3 AH = 3r , (đvtt) VC = π r 3 ( O; r ) AO Thể tích khối cầu quay hình trịn quanh trục là: V ABC Vậy thể tích khối tròn xoay thu quay tam giác cắt bỏ phần hình trịn quanh trục Câu 21 AO là: V = VN − VC = 3π r − π r = π r 3 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho bình hình trụ có bán kính đáy R có cam hình cầu, có cam có bán kính cam bán kính với đáy bình Lần lượt bỏ vào bình cam bán kính cho chúng đơi tiếp xúc với nhau, cam tiếp xúc với với đáy bình tiếp xúc với đường sinh bình; Bỏ tiếp cam thứ tư cịn lại vào bình tiếp xúc với mặt nắp bình Chiều cao bình ( − +1 R ( ) A C ) R + +1 R ( R ( B D ) − −1 ) + −1 Lời giải 15 A, B, C r R IJ Gọi tâm ba cam có bán kính K tâm cam có bán kính chiều cao hình trụ Khi có 2r r OA = = 3 R = OA + r = Do ba cam tiếp xúc với ba đường sinh hình trụ nên ta ( 2r + r ⇒ r = R −3 R Do cam có bán kính ) ( OA = R − tiếp xúc với ba cam có bán kính OK = KA2 − OA2 = ( ABC ) ) ( R + r) ( ( ) IJ = IO + OK + KJ = R − + R − + R = R Câu 22 nên khoảng cách từ tâm − 2R − đến mặt phẳng Vậy chiều cao hình trụ ( r ( )) K = 2R − ) − +1 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hình cầu tâm O bán ( P) ( P) , tiếp xúc với mặt phẳng Một hình nón trịn xoay có đáy nằm , có h = 15 R chiều cao , có bán kính đáy Hình cầu hình nón nằm phía mặt ( P) (Q ) ( P) phẳng Người ta cắt hai hình mặt phẳng song song với thu hai ( P) (Q ) (0 < x ≤ 5) x S thiết diện có tổng diện tích Gọi khoảng cách , Biết kính S A R=5 x= đạt giá trị lớn T = 17 B a b (phân số T = 19 a b tối giản) Tính giá trị T = 18 C Lời giải 16 T = a +b D T = 23 Gọi ( Q) G tâm thiết diện cắt mặt phẳng mặt cầu OA = OB = OH = R = HG = x GF Theo giả thiết ta có bán kính đường trịn thiết GF = 52 − ( 5− x ) = 10x − x 2 diện Khi S1 ( Q) Gọi tâm thiết diện cắt mặt phẳng mặt cầu ( Q) MI = x M Gọi tâm thiết diện cắt hình nón Theo giả thiết ta có SM ML SM ID ( 15− x ) x = ⇒ ML = = = 5− SI ID SI 15 Gọi S2 Ta có Vậy S diện tích thiết diện mặt phẳng x S = π 5− ÷ 3 ( Q) hình nón x 20 S = S1 + S = π 10x − x + 5− ÷ = π − x + x + 25÷ 3 20 f ( x ) = − x + x + 25 đạt giá trị lớn a 15 x= = ⇒ T = a + b = 19 b Theo đề ta có Câu 23 ⇔x= đạt giá lớn 15 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Một khối đồ chơi gồm (T ) (N ) khối hình trụ gắn chồng lên khối hình nón , có bán kính đáy chiều 17 r1 h1 r2 h2 r2 = 2r1 h1 = 2h2 cao tương ứng , , , thỏa mãn , (hình vẽ) Biết thể tích khối nón A (N ) 20 cm3 Thể tích tồn khối đồ chơi 140 cm3 B Ta tích khối trụ 120 cm3 V1 = π r 21.h1 30 cm3 , mà C Lời giải r2 = 2r1 , h1 = 2h2 D 50 cm r V1 = π ÷ 2h2 = π r22 h2 2 Mặt khác thể tích khối nón V1 = 60 = 30 cm3 Suy V2 = π r22 h2 = 20 ⇒ π r22 h2 = 60 ( cm3 ) Vậy thể tích tồn khối đồ chơi Câu 24 V1 + V2 = 30 + 20 = 50 cm (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Thả cầu đặc có bán kính ( cm ) vào vật hình nón (có đáy nón khơng kín) (như hình vẽ bên) Cho biết khoảng cách từ ( cm ) tâm cầu đến đỉnh nón Tính thể tích (theo đơn vị cm 3) phần khơng gian kín giới hạn bề mặt cầu bề mặt vật hình nón 12π B 14π C 16π A Lời giải 18 D 18π Xét hình nón cầu hình vẽ bên OI = IK 32 = = ( cm ) SI 5 Thể tích chỏm cầu tâm I có bán kính OK là: IK − OI V2 = π ( IK − OI ) IK − 9 ÷ = π − ÷ 5 − 95 468π − = ÷ 125 ( cm ) Thể tích hình nón có đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, bán kính đáy OK là: 16 12 768π V1 = SO.S(O ;OK ) π ÷ = 5 125 ( cm ) Thể tích phần khơng gian kín giới hạn bề mặt cầu bề mặt vật hình nón là: V1 − V2 = Câu 25 768π 468π 12π − = 125 125 ( cm ) 2R (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình nón có chiều cao bán kính đáy R Xét hình trụ nội tiếp hình nón cho thể tích trụ lớn Khi bán kính đáy trụ A 2R B R C Lời giải 19 3R D R Gọi D, E tâm đáy nhưu hình vẽ Đặt bán kính đáy GC FG R − x FG = ⇒ = CE AE R R ⇒ FG = ( R − x ) = h r = x ∈ ( 0; R ) Ta có Ta tích trụ là: x x + + R − x ÷ 8π R 8π ÷ = x x 27 ÷ V = π r h = 2π x ( R − x ) = 8π ( R − x ) ≤ Dấu Câu 26 '' = '' xảy x 2R = R−x⇔ x= (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một xoay thiết kế (T1 ) (T2 ) (N) gồm hai khối trụ , chồng lên khối nón (Tham khảo mặt cắt ngang qua trục hình vẽ) Khối trụ đáy 2r (cm) hn = 4h1 (cm) A 5(cm3 ) (T1 ) có bán kính đáy , chiều cao h2 = 2h1 (cm) r (cm) , chiều cao (N) Khối nón Biết thể tích tồn xoay B 3(cm3 ) C Lời giải Khối trụ có bán kính đáy 31(cm3 ) 4(cm3 ) 20 h1 (cm) (T2 ) có bán kính r (cm) Thể tích khối nón D 6(cm3 ) , chiều cao (N) 1 hn = 4h1 ⇒ h1 = hn ; h2 = 2h1 = hn Theo ta có Thể tích toàn xoay V = V(T1 ) + V(T2 ) + V( N ) = π r h1 + π (2r )2 h2 + π r hn 1 ⇔ 31 = π r hn + π 4r hn + π r hn 31 31 1 ⇔ 31 = π r hn ÷+ π r hn ÷+ π r hn ⇔ 31 = π r hn ÷ ⇔ π r hn = 43 3 3 (N ) Vậy thể tích khối nón Câu 27 là: V( N ) = 4(cm3 ) A ( 5;5 ) I AA′ M Cho tam giác có đỉnh nội tiếp đường trịn tâm đường kính , BC ABM AA′ trung điểm Khi quay tam giác với nửa hình trịn đường kính xung quanh AM đường thẳng (như hình vẽ minh họa), ta khối nón khối cầu tích ABC V1 V2 V1 Tỷ số V2 A 32 B Gọi độ dài cạnh tam giác ABC C Lời giải a 27 32 D r = BM = Khi khối nón tạo thành có bán kính đáy là: 21 a h = AM = ; chiều cao a 2 Thể tích khối nón 1 a a π a3 V1 = π r h = π ÷ = 3 2 24 R= Khối cầu tạo thành có bán kính a AM = 3 Thể tích khối cầu là: Suy ra: Câu 28 4 a 3 4π a 3 V2 = π R = π = ÷ 3 ÷ 27 V1 π a 3 4π a 3 = : = V2 24 27 32 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho mặt cầu tâm ( P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn mặt cầu, có đáy đường trịn tạo nên A ( N) có chiều cao bán kính Hình nón h ( h > R) Tính R ( N) h B 4R h= C Lời giải 3R D h = 3R Cách 1: Gọi Ta có ( C) H r tâm mặt cầu , tâm bán kính IH = h − R Thể tích khối nón r = R − IH = R − ( h − R ) = Rh − h π V = hπ r = h ( Rh − h ) 3 Ta có có đỉnh 3 4R h + h + R − 2h R h ×h ×( R − 2h ) ≤ ÷ = ÷ ⇒ h ( 2R − h ) ≤ ÷ 2 22 S nằm để thể tích khối nón Chọn B I Xét mặt phẳng có giá trị lớn h= h = 2R ( C) ( C) O V Do lớn Cách 2: Gọi I Ta có h = R − 2h ⇔ h = 4R ( C) H r tâm mặt cầu , tâm bán kính IH = h − R r = R − IH = R − ( h − R ) = Rh − h π π V = hπ r = h ( Rh − h ) = ( 2h R − h3 ) 3 Thể tích khối nón f ( h ) = −h + 2h R , h ∈ ( R , R ) f ′ ( h ) = −3h + 4hR Xét hàm , có 4R h= f ′ ( h ) = ⇔ −3h + 4hR = ⇔ h = Bảng biến thiên max f ( h ) = Câu 29 32 R 27 h= , 32 32 V= π R = πR 27 81 4R Vậy thể tích khối nón tạo nên h= 4R ( N) có giá trị lớn (TRƯỜNG THPT HỒNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Một thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh hình nón mặt phẳng vng góc với trục hình nón Miệng thùng đường trịn có bán kính ba lần bán kính mặt đáy thùng Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao 54 3π thùng nước đo thể tích nước tràn (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với mặt thùng nửa khối cầu chìm nước (hình vẽ) Thể tích nước cịn lại thùng có giá trị sau đây? 23 A 46 3π (dm3) B 18 3π (dm3) C Lời giải 46 3π (dm3) D 18π (dm3) Gọi R bán kính khối cầu Khi thể tích nước tràn ngồi thể tích nửa khối cầu nên π R = 54 3π ⇔ R = 3 Do chiều cao thùng nước h = R = 3 ABCD AB = 3CD Cắt thùng nước thiết diện qua trục ta hình thang cân với Gọi O BC OAB O AD giao điểm tam giác cân OH CD → I H AB I Gọi trung điểm đoạn thẳng giao điểm trung DI = AH DC điểm nên OI DI = = → OH = HI = OH AH Ta có Gọi K hình chiếu H OA HK = R = 3 24 OHA HK Tam giác vng H có đường cao nên 1 1 1 = + → = − = 2 2 2 HK HO AH AH HK HO 36 → AH = → DI = hπ ( AH + DI + AH DI ) Thể tích thùng đầy nước Do thể tích nước cịn lại Câu 30 = 3π ( 62 + 22 + 6.2 ) 208 3π 46 3π − 54 3π = ( dm3 ) 3 = 208 3π (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Chiều cao khối trụ tích R lớn nội tiếp hình cầu có bán kính 4R R 2R R 3 3 A B C D Lời giải Gọi AB O tâm hình cầu bán kính R I, I′ tâm hai hình trịn đáy khối trụ với đường cao khối trụ hình vẽ O II ′ Dễ thấy trung điểm x < x < 2R AB = II ′ = x Đặt chiều cao khối trụ ta có Tam giác OAI có x x AI = AO − OI = R − ÷ = R − 2 2 x x3 f ( x ) = π IA2 AB = π R − ÷x = π R x − ÷ 4 Thể tích khối trụ 25 2R x = f ′( x) = ⇔ 2R 2R f ′ ( x ) = π R2 − x2 ÷ x= ∈ ( 0; R ) x = − x>0 , với nên Ta có bảng biến thiên: x= Từ bảng biến thiên ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao Câu 31 2R 3 Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy) đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn 18π dm3 Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước Tính thể tích nước cịn lại bình A 27π dm3 B 6π dm3 9π dm3 C Lời giải D 24π dm3 Vì nửa khối cầu chìm nước nên thể tích khối cầu gấp lần thể tích nước tràn ngồi π R =36π ⇔ R3 = 27 R Gọi bán kính khối cầu , lúc đó: ABC AC AC = R Xét tam giác có chiều cao bình nước nên ( Vì khối cầu có đường kính chiều cao bình nước) Trong tam giác ABC có: 1 1 1 4R2 = + ⇔ = + ⇔ CB = CH CA2 CB R R CB 26 Thể tích khối nón: 1 4R2 8π Vn = π CB AC = π R = R = 24π dm3 3 Vậy thể tích nước cịn lại bình: Câu 32 24π − 18π = 6π dm (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho khối nón có độ lớn góc π đỉnh Một khối cầu ( S1 ) nội tiếp khối nối nón Gọi tất đường sinh nón với khối nón với Gọi V1, V2 ,… S2 ;… ; , Vn−1, Vn Sn S1 nón Tính giá trị biểu thức A T= khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh thể tích khối cầu n→+∞ B khối cầu tiếp xúc với khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh nón với T = lim T= ; S3 ( S2 ) 13 S1, S2, S3, , Sn V C Lời giải T= D l Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh Do bán kính đường trịn nội r1 = tiếp tam giác bán kính mặt cầu nội tiếp chọp Áp dụng định lí Ta-Let ta có: l l − AA′ AH′ AH − HH′ =1 = = = AB AH AH l ⇒ AA′ = 3 27 thể tích khối V1 + V2 + + Vn V T= Sn−1 1l l = Tương tự ta tìm Tiếp tục ta có l l r1 r2 = = = 18 1 r3 = r2, r4 = r3, , rn = rn−1 3 3 V1 = 4 r 1 πr1 , V2 = πr23 = π ÷ = V1,V3 = V1, , Vn = πrn3−1 = V1 3 n−1 3 3 3 3 ( ) Ta có ( ) 1 V1 1+ + + + n−1 33 V1 + V2 + + Vn = lim V1.S T = lim = lim n→+∞ n →+∞ n→+∞ V V V ( ) Do S = 1+ Đặt 1 + + + n−1 3 3 3 ( ) ( ) q= Đây tổng CSN lùi vô hạn với công bội 33 27 27 l 3 ⇒ V1 + V2 + + Vn = V1 = π = πl ÷ ÷ 26 26 52 1 l l 3πl V = πr 2h = π ÷ = 3 2 24 Vậy ( ) 3 πl T = 52 = 3 13 πl 24 28 ⇒ lim S = n→+∞ 27 = 1− 26 ... ; r bán kính đường trịn r bán kính đáy hình nón ta có: r = R − OH = HT = HO + OT = + = = h Suy ra: Câu 15 ( C) Vn = h.S( C ) chiều cao hình nón 32π = 4.π = 3 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ -... hình trụ S xq = 2π rh = 2π h=R r = R2 − nên ta có bán kính đáy hình trụ R R = π R2 Stp = S xq + 2S đáy = π R Vậy Câu 16 ( (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2 017) Cho mặt cầu chiều cao hai đường tròn đáy nằm... quanh trục Câu 21 AO là: V = VN − VC = 3π r − π r = π r 3 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho bình hình trụ có bán kính đáy R có cam hình cầu, có cam có bán kính cam bán kính với
Ngày đăng: 24/10/2020, 19:42
Xem thêm: