CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 24

Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình vuông A′B′C ′D′ điểm M thuộc đoạn OI cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng 85 A 85 17 13 B 65 ( MC ′D′) 85 C 85 Lời giải ( MAB ) 13 D 65 Chọn C Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cạnh hình lập phương , ta tọa độ điểm sau : 1 1 M ; ; ÷  2  , C ′ ( 0;1;0 ) , D′ ( 1;1;0 ) A ( 1; 0;1) , B ( 0;0;1) Khi r r n( MC ′D′) = ( 0;1;3) ; n( MAB) = ( 0;5;3) 5.1 + 3.3 = · cos ( ( MAB ) , ( MC ′D′ ) ) 52 + 32 12 + 32 nên = Câu 85 · 85 Suy sin ( ( MAB ) , ( MC ′D′ ) )  85  85 = −  ÷ ÷ = 85   85 [2H3-6.6-3] (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình vng A′B′C ′D′ M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC ′D′) ( MAB) MO = 13 A 65 85 B 85 85 C 85 17 13 D 65 Trang 1/24 - Mã đề 144 Lời giải Khơng tính tổng qt ta đặt cạnh khối lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho A′(0;0; 0), B′(1;0; 0), D′(0;1;0) A(0; 0;1) (như hình vẽ) 1 1 M  ; ; ÷  2 3 Khi ta có: uuur uuur  1  uuu r uuur  1 r AB = (1; 0; 0), MA =  ; ; − ÷ ⇒  AB, MA =  0; − ; ÷⇒ n1 = (0; −4;3) 2 2 3  Suy ra: VTPT mặt phẳng ( MAB ) uuuur uuuur  1  uuuur uuuur  1  r D′C ′ = (1;0; 0), MD′ =  ; − ; ÷⇒  D′C ′, MD′ =  0; ; − ÷ ⇒ n2 = (0; 2; −3)  2 3  2 VTPT mặt phẳng ( MC ′D′) cosin góc hai mặt phẳng ( MAB ) ( MC ′D′) bằng: r r n1.n2 0.0 − 4.2 + 3.(−3) r r 17 13 cos(n1 , n2 ) = r r = = n1 n2 65 02 + (−4) + 32 02 + 22 + (−3)2 Câu [2H3-2.5-3] (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình ( ABCD ) hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ , có AB = a, AD = a 2, góc A′C mặt phẳng 30° Gọi H hình chiếu vng góc A A′B K hình chiếu vng góc A A′D Tính góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABB′A′ ) Trang 2/24 - Mã đề 144 A 60° B 45° C 90° Lời giải D 30° Do ABCD A′B′C ′D′ hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C · ' C ' = 300 ( ABCD) ⇒ ( A ' C , ( ABCD)) = ( A ' C , A ' C ') = CA · ' C ' = CC ' ⇒ CC ' = a AC = AB + AD = a 3; tan CA A'C ' Ta có Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E , F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có 1 a A ' K = A ' A2 − AK = a ; = + ⇒ AK = ; 2 AK A ' A AD 1 a a = + ⇒ KF = ; KE = A ' K − KF ⇒ KE = 2 KF KA A'K 3 ′ ′ Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O ≡ A ' D , B , A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy , Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a ), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3 r ABB ' A ') ( ( yOz ) n Mặt phẳng mặt phẳng nên có VTPT = (1;0;0); uuur uuur a2 r r  AK , AH  = n , n (2; 2; 2)   Ta có r Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n = (2; 2; 2); ( AHK ) ( ABB′A′) Gọi α góc hai mặt phẳng r r cosα = cos (n1 , n ) = ⇒ α = 450 Ta có Trang 3/24 - Mã đề 144 Câu [2H3-4.1-3] (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác ( SAB ) vng góc với ( ABCD ) Tính cos ϕ ( SAC ) ( SCD ) với ϕ góc tạp A B C Lời giải D Chú ý: Ta giải tốn với cạnh hình vng a = ( SAB ) vng góc Gọi O, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác với ( ABCD ) nên SO ⊥ ( ABCD ) 3    O ( 0;0;0 ) , M ( 1;0;0 ) , A  0; ;0 ÷, S  0;0; ÷ ÷    Oxyz  Khi Xét hệ trục có  −1    C  1; ;0 ÷, D 1; ;0 ÷     uur  −  uuur uuu r  −1 −  uuur SA =  0; ; , AC 1; − 1;0 , SC = 1; ; ( ) ÷ ÷ ÷ ÷, CD = ( 0;1; ) 2 2     Suy ur uur uuur  − − −1  n1 =  SA, AC  =  ; ; ÷ 2 ÷ SAC ) (   Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến ur uuu r uuur   n1 =  SC , CD  =  ; 0;1÷ ÷ ( SAD ) có véc tơ pháp tuyến   Mặt phẳng ur uu r n1.n2 cos ϕ = ur uu r = n1 n2 Vậy Câu [2H3-4.1-3] (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết MN = a Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SBD ) Trang 4/24 - Mã đề 144 A B C D Lời giải ( ABCD ) , suy I trung điểm AO Gọi I hình chiếu M lên Khi CI = 3a AC = 4 Xét ∆CNI có: CN = a · = 45o , NCI Áp dụng định lý cosin ta có: NI = CN + CI − 2CN CI cos 45o = Xét ∆MIN vuông I nên Mà MI / / SO, MI = a 9a a 3a 2 a 10 + − = 4 MI = MN − NI = 3a 5a a 14 − = a 14 SO ⇒ SO = 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ:      2    B  0; ;0÷ D 0; − ;0 C ; 0;0 N ; ;0÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ ÷ 2 4 O ( 0; 0; ) ,  ,  ,  , Ta có: ,      14  14  A  − ;0;0 ÷ S  0; 0; M  − ; 0; ÷ ÷ ÷ ÷  4 ÷  ,    , uuuu r  2 r  14  uur  14  uuu 14  MN =  ; ;− SB = 0; ; − SD = 0; − ; − ÷  ÷  ÷   ÷ 2 ÷ 2 ÷   ,  ,   Khi r uur uuu r SBD ) n = SB ∧ SD = − ;0;0 ( Vectơ pháp tuyến mặt phẳng : ( ) Trang 5/24 - Mã đề 144 sin ( MN , ( SBD ) ) Suy Câu uuuu rr − MN n = uuuu = r r = MN n [2H3-2.5-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng ( A ' B ' CD ) ( ACC ' A ' ) 60° B 30° C 45° D 75° A Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O ≡ A ', Ox ≡ A ' D ', Oy ≡ A ' B ', Oz ≡ A ' A Khi đó: A '(0; 0; 0) , D '( a; 0; 0) , B '(0; a; 0) , C '(a; a;0) , A(0; 0; a) , D (a; 0; a ) , B (0; a; a ) , C ( a; a; a ) uuuuu r uuuur uuuur uuuuu r ⇒ A ' B ' = (0; a; 0), A ' D = (a;0; a ), A ' A = (0; 0; a), A ' C ' = ( a; a;0) uuuuu r uuuur  A ' B ', A ' D  = ( a ; 0; −a )   ur ( A ' B ' CD ) n = (1; 0; −1) Chọn vectơ pháp tuyến mặt phẳng uuuur uuuur  A ' A, A ' C  = (−a ; a ;0)   uu r n = (−1;1;0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ACC ' A ' ) Chọn ( A ' B ' CD ) ( ACC ' A ' ) là: Góc hai mặt phẳng ur uu r −1 cosα = cos n1 , n2 = = ⇒ α = 60° 2 ( Câu ) [2H3-4.1-3] (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi M trung điểm cạnh uuur uuuu r AB Góc tạo hai vectơ BC OM A 135° B 150° C 120° D 60° Lời giải Trang 6/24 - Mã đề 144 Cách 1: r uuu r uuu r  uuuu uuuu r uuur a2 OM = OA + OB 2 ⇒ OM BC = − OB = −  uuur uu ur uuur 2  BC = OC − OB  Ta có ( ) 1 a AB = OA2 + OB = BC = OB + OC = a 2 a uuuu r uuur − uuuu r uuur OM BC uuuu r uuur cos OM , BC = = = − ⇒ OM BC = 120° OM BC a 2 a 2 Do đó: Cách 2: OM = ( ) ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ a a  M  ; ;0 ÷ A ( 0; a ; ) B ( a ;0;0 ) C ( 0; 0; a ) 2  Ta có: , , , , uuuu r a a  uuur OM =  ; ; ÷ BC = ( −a ;0; a ) 2  Khi ta có: , a2 − uuur uuuu r = u u u r u u u u r r BC.OM a · ·uuur uuuu =− a cos BC ; OM = BC ; OM = 120° ⇒ BC.OM 2⇒ O ( 0; 0;0 ) ( Câu ) ( ) [2H3-6.6-3] (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi α hai mặt phẳng A 30° góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) B 60° ( SBD ) ( ABCD ) Nếu tan α = góc C 45° D 90° Trang 7/24 - Mã đề 144 Lời giải Gọi I = AC ∩ BD Hình vng ABCD có độ dài đường chéo a suy hình vng có cạnh a Ta có ( SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD   SI ⊥ BD  AI ⊥ BD ¶ ⇒ (· ( SBD ) ; ( ABCD ) ) = (·SI ; AI ) = SIA  ¶ = SA ⇔ SA = a tan α = tan SIA AI Ta có A 0;0;0 ) B ( a;0;0 ) C ( a; a;0 ) S ( 0;0; a ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có ( , , , uur uuu r uur SA = ( 0;0; − a ) SC = ( a; a; − a ) SB = ( a;0; − a ) Khi ; ; r ( SAC ) có vectơ pháp tuyến n1 = ( −1;1;0 ) Mặt phẳng r SBC ) n2 = ( 1;0;1) ( Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến r r n n cos (·SAC ) ; ( SBC ) = r r2 = = ⇒ (·SAC ) ; ( SBC ) = 60° n1 n2 2 Suy ( Câu ) ) ( [2H3-6.7-3] (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a , SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: A arccos B arccos 5 C arccos D arccos 15 Lời giải Gọi O = AC ∩ BD Tam giác SAO vng : Gắn tọa độ hình vẽ SO = SA2 − AO = a Trang 8/24 - Mã đề 144  a a   a a a ÷ O  ; ;0 ÷ S  ; ; 2 ÷ A ( 0;0;0 ) B ( a;0;0 ) C ( a; a;0 ) D ( 0; a;0 )  , , , ,  2 ,   a 5a a  G ; ; ÷ 6   G SCD Vì trọng tâm tam giác nên uuu r a a a 6 uuur  − a 5a a  a a AS =  ; ; ÷ ÷ = 1;1; BG =  ; ; ÷ = −3;5; 2     Ta có : , BG SA Góc đường thẳng với đường thẳng bằng: uuur uuu r −3 + + BG AS = = cos ( BG; SA ) = 40 BG AS ( Câu 10 ( ) ) [2H3-6.6-4] (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có A′ ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA′ BB′ Tính tan góc hai mặt phẳng A ( ABC ) B ( CMN ) 2 C D 13 Lời giải O 0;0;0 ) Gọi O trung điểm AB Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho ( ,       1    a ⇒ A′  0; ; ÷ ;0 ÷ H 0; ;0  ÷ A  ; 0; ÷ B  − ;0;0 ÷ C  0; ÷  ÷ A′H =  ÷   2 ,   ,  ,   ,  6 ur uuur uuuur ⇒ B′  −1; ; ÷ ÷ n = ( 0;0;1) ABC ( )   ′ ′ Ta có AB = A B Dễ thấy có vtpt Trang 9/24 - Mã đề 144 1   −3  ⇒ M  ; ; ⇒ N  ; ; ÷ ÷ ÷ ÷ 12 12     M trung điểm AA′ , N trung điểm BB′ uuuu r  −5  uuuu r CM =  ; ; ÷ 12 ÷ MN = ( −1;0;0 )   , uu r  3 n2 =  0; ; ÷ 0; 2;5 ÷= 12 CMN ( )   12 ⇒ có vtpt ( cos ϕ = Câu 11 ) ⇒ tan ϕ = −1 = 2 cos ϕ 33 (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi α , β , γ góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ( ABC ) (hình vẽ) Khi giá trị nhỏ biểu thức A 48 B 125 M = ( + cot α ) ( + cot β ) ( + cot γ ) C Số khác Lời giải D 48 Chọn B Gọi H trực tâm tam giác ABC , tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc nên 1 1 = + + 2 OA OB OC ta có OH · · · β = (·OB; ( ABC ) ) = OBH γ = (·OC ; ( ABC ) ) = OCH α = (·OA; ( ABC ) ) = OAH Ta có , , OH OH OH sin α = sin β = sin γ = OA , OB , OC Nên OH ⊥ ( ABC ) 1 1 = 2+ 2+ 2 a b c Đặt a = OA , b = OB , c = OC , h = OH h Trang 10/24 - Mã đề 144   =  + ÷  + M = ( + cot α ) ( + cot β ) ( + cot γ )  sin α   sin β 2   ÷  + ÷ sin γ    a2   b2   c2  =  + ÷  + ÷  + ÷ = + ( a + b + c ) + ( a 2b + b 2c + c a ) + a 2b 2c h  h  h   h2 h4 h6 (a Ta có: + b2 + c2 ) = a + b2 + c2  + +  ( )  a b2 c2 ÷ ≥ 3 a b2 c 3 a12 b12 c12 = h  1 1 ( a b + b c + c a ) h14 = ( a 2b2 + b2c2 + c 2a )  a + b2 + c2 ÷ 2 2 2   1  ≥ a b b c c a  3  ÷÷ = 3 a 4b c = 27  a b c ÷   a 4b c 2 2 2   1  1 1 = a b c  + + ÷ ≥ a 2b c  3  2 2 abc  a b c a b c   h 2  ÷÷ = 27 ÷  Do đó: 1 + ( a 2b + b c + c a ) + a 2b c h h h ≥ + 4.9 + 2.27 + 27 = 125 M = + ( a + b2 + c ) Dấu đẳng thức xảy a = b = c , hay OA = OB = OC Vậy M = 125 Trang 11/24 - Mã đề 144 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH Câu 12 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu I ( −1; 2;1) ( S) có tâm ( S ) cho AB, AC , AD Xét điểm B, C , D thuộc đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn qua điểm A ( 1;0; −1) 32 B A 64 64 C Lời giải D 32 Chọn B D N I C A M B ( S ) có bán kính r = IA = + + = Mặt cầu Đặt AB = a; AC = b; AD = c Ta có IA2 = a + b2 + c a + b2 + c = 12 Do a + b + c 3 a 2b c ≥ 4 Theo BĐT Cơ-si ta có: 1 32 V = abc ≤ 163 = 6 Do Dấu xảy a = b = c Câu 13 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu I ( −1;0; ) ( S) có tâm ( S ) cho AB , AC , Xét điểm B , C , D thuộc AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A qua điểm A ( 0;1;1) B 4 C Lời giải D Chọn C Trang 12/24 - Mã đề 144 Đặt: AD = a , AB = b , AC = c Ta có: • R = IA = • AM = b2 + c2 a b2 + a2 + c2 ; IM = ⇒ R = IA2 = =3 2 b +a +c ≥3 b a c ⇒b a c AD BĐT Cosi: 1 ⇒ V = abc ≤ = 6 Câu 14 2 2 2 2 (b ≤ + a2 + c2 ) 27 ⇔ abc ≤ [2H3-4.1-3] (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B (a; 0; 0) , D(0; a;0) , A′(0;0; b) với a, b > a + b = Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Thể tích khối tứ diện BDA′M có giá trị lớn 64 32 A 27 B 27 C 27 D 27 Lời giải z A' D' B' C' M y A D x B C b C (a; a; 0), C '(a; a; b), M (a; a; ) Tọa độ điểm uuur uuuu r uuuu r b BA ' = (-a; 0; b), BD = (-a; a;0), BM = (0; a; ) Trang 13/24 - Mã đề 144 uuuuruuur  BA ', BD  = (− ab; − ab; −b )   nên VBDA ' M = r a 2b  uuur uuur  uuuu BA ', BD BM =  6 32  a + a + 2b  64 a.a.(2b) ≤  ⇒ a 2b ≤ ⇒ VBDA ' M ≤ ÷ = 27 27   27 Ta có: Câu 15 [2H3-4.1-4] (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N trung điểm BC A′B′ Mặt phẳng ( MND ') chia khối lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi ( H ) Tính thể tích khối ( H ) 55a A 72 55a B 144 181a C 486 Lời giải 55a D 48 Thể tích khối lập phương a ( MND′ ) Mặt phẳng cắt cạnh DC E thỏa V = VC ′ D′NPME + VC ′.CEM + VC ′ B′PN Khi ( H ) Có VB′.C ′NP EC = 1 DC BP = BB′ ; cắt BB′ P cho a 2a a = a = 18 a a a3 a = 48 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ; lấy đơn vị trục đơn vị a 1 1       E  ;0; ÷ M  0; ; ÷ R  0;0; − ÷ Q  − ;1;0 ÷ C ( 0;0;0 ) C ′ ( 0;0;1) 4 ,  ,  ,   , D′ ( 1; 0;1) Ta có , ,  VC C ′ME = Trang 14/24 - Mã đề 144 x y ( MND′ ) : + + Mặt phẳng z = ⇔ x + y − 3z − = 29 − ⇒ d ( C ′, ( MND ′ ) ) = 29 29 29 11 29 − = 12 48 11 = d ( C ′, ( MND′ ) ) S D′NPME = a 3 36 S MPND′E = S EQND′ − S PMQ = VC ′.D ′NPME Vậy Câu 16 V( H ) = 55 a 144 [2H3-6.18-4] (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có A trùng với gốc tọa độ O B ( m;0;0 ) , D ( 0; m;0 ) , A′ ( 0; 0; n ) với m, n > m + n = Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Khi thể tích tứ diện BDA′M đạt giá trị lớn 64 75 245 A B 27 C 32 D 108 Lời giải đỉnh n  M  m; m; ÷ 2  uuur BA′ = ( −m;0; n ) uuur BD = ( − m; m; ) uuuu r  n BM =  0; m; ÷ 2  Ta có uuur uuur  BA′; BD  = ( − mn; − mn; − m )   uuur uuur uuuu r n  BA′; BD  BM = − m n − m2 = − m n   2 r  uuur uuur  uuuu 1   64 VBA′DM =  BA′; BD  BM = m n = m ( − m ) = m.m ( − 2m ) ≤  ÷ = 4 8   27 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH Câu 17 [2H3-6.9-2] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa A 0;0;0 ) D ( 2; 0; ) độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết ( , , Trang 15/24 - Mã đề 144 B ( 0; 4; ) S ( 0; 0; ) , Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( CDM ) A C d ( B, ( CDM ) ) = d ( B, ( CDM ) ) d B, CDM ) ) = 2 B ( ( = D d ( B, ( CDM ) ) = Lời giải  x A + xC = xB + xD  xC =    y A + yC = yB + yD ⇒  yC = z + z = z + z  z = ⇒ C ( 2; 4;0 ) B D  C Tứ giác ABCD hình chữ nhật nên  A C M trung điểm SB ⇒ M ( 0; 2; ) CDM ) Viết phương trình mặt phẳng ( : uuur uuuu r uuur uuuu r CD = ( 0; −4; ) CM = ( −2; −2; ) ⇒ CD ∧ CM = ( −8; 0; −8 ) , r ( CDM ) có véc tơ pháp tuyến n = ( 1;0;1) CDM ) Suy ( có phương trình: x + z − = 0+0−2 d ( B; ( CDM ) ) = = 2 2 + + Vậy Câu 18 [2H3-4.1-2] (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân, AB = AC = a , AA′ = h Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB′ BC ′ theo a , h ah A a + 5h ah B 5a + h ah 2 C 2a + h Lời giải ( a, h > ) ah D a2 + h2 Trang 16/24 - Mã đề 144 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A ( 0;0;0 ) A′ ( 0;0; h ) C ( 0; a;0 ) B ( a;0; ) B′ ( a;0; h ) C ′ ( 0; a; h ) ; ; ; ; ; uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AB′ = ( a;0; h ) BC ′ = ( −a; a; h )  AB′; BC ′ = ( − ah; −2ah; a ) AB = ( a;0;0 ) ; ; ; uuur uuuu r uuu r  AB′; BC ′ AB ah   d( AB′; BC ′ ) = = uuur uuuu r  AB′; BC ′  a + 5h   Câu 19 [2H3-4.1-3] (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC · tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với ASB = 120 nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN 327 a 79 A B 237a 79 237a 79 C 237a D 316 Lời giải Trang 17/24 - Mã đề 144 Gọi O trung điểm AB , ∆SAB cân S ⇒ SO ⊥ AB Ta có: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ( gt )  ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB ⇒ SO ⊥ ( ABC )   SO ⊥ AB ( cmt ) OB · OSB = 600 ⇒ SO = =a tan 600 Xét ∆SOB vuông O có Ta có: OC đường cao tam giác cạnh 2a nên: OC = 3a Gắn hình chóp S.ABC lên hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi ta có: uuu r O ( 0; 0; ) ,B a ; 0; , A − a ; 0; ;C ( 0; 3a; ) ; S ( 0; 0;a ) ⇒ AB = 2a ; 0; ( ) ( ) (  3a a   0; ; ÷ M trung điểm SC nên M có tọa độ:  2   9a a   0; ; ÷ N trung điểm MC nên N có tọa độ:  4  uuuu r r 3a a  AM  a ; ; ÷hay a ; 3;1 2  AM có véc tơ phương uuur  r 9a a  BN  − a ; ; ÷hay b −4 ; 9;1 4  BN có véc tơ phương r r uuu r  a,b  AB 237   d ( AM ; BN ) = = a r r 79  a,b    Ta có: ( ( Câu 20 ) ) ) [2H3-4.1-3] (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB , hình chiếu ABC ) S lên mặt phẳng ( trung điểm CI , góc SA mặt đáy 45 (hình Trang 18/24 - Mã đề 144 vẽ bên) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Khoảng cách hai đường thẳng SA CG a 21 A 14 a 14 B a 77 C 22 Lời giải a 21 D Chọn B a   a   a ;0 ÷ A  ;0;0 ÷ B  − ; 0; ÷ C  0; ÷ I 0; 0;0 )  ,  ,  Đặt hệ trục tọa độ Oxyz cho ( , 2 Ta có CI = a a a IH = AH = , ,  a  H  0; ;0÷ ÷   CI H trung điểm suy 45 = ( SA, ( ABC ) )   a ⇒ S  0; a ; a ÷ ⇒ SH = ·  4 ÷ = ( SA, AH ) = SAH   uur  a a a  uuur  a a a  uuu r a a  SA =  ; − ;− CG = − ; − ; CA =  ; − ;0÷ ÷  ÷ ÷ 4 ÷ 12 ÷ 2       Ta có: , , uur uuur  a 21 a  uur uuur a  SA, CG  =     12 ; 0; 12 ÷ ÷ ⇒  SA, CG  =   uur uuur uuu r  SA, CG  CA a 14   = uur uuur  SA, CG   Khoảng cách SA CG :  Câu 21 [2H3-6.12-3] (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN - 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi K trung điểm DD′ Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A′D 4a a A B 2a C Lời giải ⇒ CK // ( A′MD ) Gọi M trung điểm BB′ Ta có: CK // A′M d CK , A′D ) = d ( CK , ( A′MD ) ) = d ( C , ( A′MD ) ) Khi đó: ( Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ: 3a D Trang 19/24 - Mã đề 144 A′ ( 0;0; a ) B′ a; 0; a ) C ( a; a;0 ) , ( , , A 0;0; ) B ( a;0;0 ) D ( 0; a;0 ) Ta có: ( , , , uuuur uuuu r uuuur   a2  a r  A′M , A′D  =  ; a ; a ÷ A′M =  a; 0; − ÷ uuuu    , A′D = ( 0; a; −a ) ,    r n = ( 1; 2; ) A′MD ) Vậy mặt phẳng ( nhận làm vectơ pháp tuyến A′MD ) : x + y + z − 2a = Phương trình mp ( a + 2a − 2a a d ( C , ( A′DM ) ) = = 3 Do đó: a  M  a;0; ÷ 2  Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU Câu 22 [2H3-1.3-4] (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN a 93 A 12 a 29 B 5a C 12 Lời giải a 37 D Trang 20/24 - Mã đề 144 Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ 3 1     M ( 1;0;0 ) , N  ; ;0 ÷, C  1; ;0 ÷, S  0;0; ÷  2     I ( x ; y ; z) Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN ⇒ MI = NI = CI = SI uuu r uur  1  uur   uur  3 MI = ( x − 1; y ; z ) , NI =  x − ; y − ; z ÷, CI =  x − 1; y − ; z ÷, SI =  x ; y ; z − ÷ 2       Ta có: Từ MI = NI = CI = SI ta có hệ: 2  1  1  2  ( x − 1) + y + z =  x − ÷ +  y − ÷ + z 2  2 x =     2 1  1 1    2  x − ÷ +  y − ÷ + z = ( x − 1) +  y − ÷ + z ⇔  y = 2  2 2      ( x − 1) +  y −  + z = x + y +  z − ÷ z =  ÷  12  2      uuur  1  ⇒I ; ; ÷ ⇒ IM =  ; − ; − ÷ 12   4 12  4 ⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN là: Câu 23 R = IM = 93 12 [2H3-6.0-3] (CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 5; 0; ) B 3; 4; ) hai điểm ( ( Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A B C Lời giải D Trang 21/24 - Mã đề 144 Ta có C ( 0;0; c ) E = ( 4; 2; ) Dễ thấy tam giác ABC cân C Gọi trung điểm AB  AB ⊥ OC  OCE ) Ta có mặt phẳng ( vng góc với AB (do  AB ⊥ CE ) mặt phẳng cố định Oxy ) Gọi K trực tâm tam giác OAB , A , B K nằm mặt phẳng ( nên uuur uuur x = OK AB =  x ( −2 ) + y.4 = ⇔     ⇔ r  uuur uuu K =  3; ;0 ÷ y=  x − = BK OA =      Tìm  HK ⊥ AB  AB ⊥ ( OEC ) ⇒  CA ⊥ ( BHK ) KH ⊥ ( CAB )  HK ⊥ CA Ta chứng minh  Suy · KHE = 90° Suy H thuộc mặt cầu đường kính KE = + = ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) OCE ) thuộc mặt phẳng ( cố định Vậy H thuộc đường trịn cố định có bán kính Câu 24 R= [2H3-6.0-3] (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng A ( ABC ) tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu B C D Lời giải Trang 22/24 - Mã đề 144 S ABC S ABC = VOABC S d O, ABC = ( ) ( ) ABC d ( O, ( ABC ) ) Ta có S ABC = V nên d ( O, ( ABC ) ) = OABC Mà ( ABC ) tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R = Vậy mặt phẳng Câu 25 [2H3-6.5-4] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d3 ) : ( d1 ) : x −1 y −1 z −1 x − y +1 z − = = = = ( d2 ) : −2 , 2 , x − y − z −1 = = −2 Mặt cầu bán kính nhỏ tâm I ( a; b; c ) , tiếp xúc với đường d d d thẳng ( ) , ( ) , ( ) Tính S = a + 2b + 3c A S = 10 B S = 11 C S = 12 Lời giải B d2 D S = 13 I A d1 C d3 ur u1 = ( 2;1; − ) qua điểm có VTCP uu r ( d ) qua điểm B ( 3; − 1; ) có VTCP u2 = ( 1; 2; ) uu r ( d3 ) qua điểm C ( 4; 4;1) có VTCP u3 = ( 2; − 2;1) ur uu r uu r uu r uu r ur u1.u2 = u2 u3 = u3 u1 = Ta có , , ⇒ ( d1 ) ( d ) ( d3 ) , , đôi vng góc với ( d1 ) A ( 1;1;1) Trang 23/24 - Mã đề 144 ur uu r uuu r uu r uu r uuur uu r ur uuu r u1 , u2  AB ≠ u2 , u3  BC ≠ u3 , u1  CA ≠     ,  ,  ⇒ ( d1 ) d d , ( ) , ( ) đôi chéo uuu r uuu r ur uuu r uu r AB = ( 2; − 2;1) AB u1 = d d d AB u2 = Lại có: ; nên ( ) , ( ) , ( ) chứa cạnh hình hộp chữ nhật hình vẽ I a; b; c ) d d d Vì mặt cầu tâm ( tiếp xúc với đường thẳng ( ) , ( ) , ( ) nên bán kính R = d ( I , d1 ) = d ( I , d ) = d ( I , d ) ⇔ R = d ( I , d1 ) = d ( I , d ) = d ( I , d ) uur ur uur uu r uur uu r   AI , u     BI , u    CI , u   1 2 3  ÷ =   uu ÷ =   uu ÷ ⇔ R2 =  ur r r ur uu r uu r2  ÷  ÷  ÷ u1 u2 u3 ÷  ÷  ÷ u = u = u =9       , với , uur ur uur AI = ( a − 1; b − 1; c − 1)  AI , u1  = ( −2b − c + 1; 2a + 2c − 4; a − 2b + 1) , uur uu r uur BI = ( a − 3; b + 1; c − )  BI , u2  = ( 2b − 2c + 6; − 2a + c + 4; 2a − b − ) , uur uu r uur CI = ( a − 4; b − 4; c − 1) CI , u3  = ( b + 2c − 6; − a + 2c + 2; −2 a − 2b + 16 ) , ur ur 9 R =  u  AI  , u1    uur uu r 2 9 R =  BI , u2   uur uu r uur ur uur uu r uur uu r 9 R = CI , u        3 ⇔ 27 R = AI , u + BI , u + CI , u  3       ⇔ 27 R = 18 ( a + b + c ) − 126a − 54b − 54c + 423 2 7 3  243 243    ⇔ 27 R = 18  a − ÷ + 18  b − ÷ + 18  c − ÷ + ≥ 2 2 2 2    7 3 ⇒ Rmin = a= b=c= ⇒I ; ; ÷ 2 2 2, 2 Khi S = a + 2b + 3c = 11 Trang 24/24 - Mã đề 144 ... 423 2 7 3  243 243    ⇔ 27 R = 18  a − ÷ + 18  b − ÷ + 18  c − ÷ + ≥ 2 2 2 2    7 3 ⇒ Rmin = a= b=c= ⇒I ; ; ÷ 2 2 2, 2 Khi S = a + 2b + 3c = 11 Trang 24/ 24 - Mã đề 144 ... ( SCD ) ) OCE ) thuộc mặt phẳng ( cố định Vậy H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính Câu 24 R= [2H3-6.0-3] (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A , B , C (không trùng... a = b = c , hay OA = OB = OC Vậy M = 125 Trang 11 /24 - Mã đề 144 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH Câu 12 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho