CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 15

Vấn đề Hình trụ -Khối trụ Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện Câu (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay có bán kính l r đáy độ dài đường sinh A 4πrl B 2πrl C Lời giải πrl D πrl Chọn B Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay: Câu S xq = 2πrl (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong khơng gian, cho hình chữ nhật AB = ABCD AD = Gọi xung quanh trục M,N MN lần lượt trung điểm AD BC ABCD có Quay hình chữ nhật , ta được hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ A Stp = 10π B Stp = 2π C Lời giải Stp = 6π D Stp = 4π Chọn D r = AM = MN xung quanh nên hình trụ có bán kính Stp = 2π r AB + 2π r = 2π + 2π = 4π Vậy diện tích tồn phần hình trụ Quay hình chữ nhật Câu ABCD AD =1 50π (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình trụ có diện tích xung quanh độ dài r đường sinh đường kính đường trịn đáy Tính bán kính đường trịn đáy A r=5 π B r= r=5 C Lời giải Chọn D 2π r= D 2 2πrl l l = 2r ( : độ dài đường sinh) Có Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrl ⇔ 2πrl = 50π ⇔ 2πr 2r = 50π ⇔ r = Câu Câu (T) (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối trụ V = 5π R =1 có bán kính đáy , thể tích Tính diện tích tồn phần hình trụ tương ứng S = 12π S = 11π S = 10π S = 7π A B C D Lời giải Chọn A V h= =5 V = S h S =πr =π S Ta có với nên Stp = 2π Rh + 2π R = 2π 1.5 + 2π 12 = 12π Diện tích tồn phần trụ tương ứng là: (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy A 2π a B a đường cao a π a2 π a2 C Lời giải D 2π a Chọn D Diện tích xung quanh hình trụ là: Câu S xq = 2π rl = 2π rh = 2π a.a = 2π a (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta được thiết diện hình vng có cạnh toàn phần khối trụ Stp = A 13a 2π Stp = a π Stp = B C Lời giải a 2π 3a Tính diện tích Stp = D 27a 2π 3a Thiết diện qua trục hình vng có cạnh r= bán kính đường trịn đáy 3a nên ta có độ dài đường sinh l = 3a 3a 27 a 2π  3a  Stp = 2π rl + 2π r = 2π 3a + 2π  ÷ = 2   Câu Từ ta tính được (THPT CHUN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình trụ có diện tích xung quanh trụ A a B 2a 4π a bán kính đáy a Tính độ dài đường cao hình 3a C Lời giải 4a D Chọn B h a Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy chiều cao Sxq 4π a Sxq = 2π ah ⇔ h = = = 2a 2π a 2π a h = 2a Vậy độ dài đường cao hình trụ Câu (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một hình trụ có bán kính đáy 2cm có thiết diện qua trục hình vng Diện tích xung quanh hình trụ A 8p cm3 B 4p cm3 32 p cm3 C Lời giải Cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy Cơng thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy R D R 16p cm3 , chiều cao , chiều cao h h S xq = p rh V = p R 2h h = 2r = 4cm S xq = p rh = p 2.4 =16 p cm Vì thiết diện qua trục hình vng nên ta có Câu (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cắt hình trụ mặt 3a phẳng qua trục nó, ta được thiết diện hình vng có cạnh Tính diện tích tồn phần hình trụ cho A 13π a B 27π a 2 9π a C Lời giải D 9π a 2 ABCD AB = AD = 3a Gọi thiết diện qua trục hình vng Theo đề AB 3a R= = 2 Bán kính đáy hình trụ l = AD = 3a Đường sinh hình trụ Áp dụng cơng thức diện tích tồn phần hình trụ, ta có 2 3a  3a  27π a Stp = 2π Rl + 2π R = 2π 3a + 2π  ÷ = 2   Câu 10 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, AD = Quay hình chữ nhật xung quanh trục hình trụ A Stp = 4π B Gọi MN Stp = 6π M,N AD BC ta được hình trụ Tính diện tích tồn phần C Lời giải lần lượt trung điểm Stp = 2π D Stp = 10π Stp AB Hình trụ cho có chiều cao N đáy hình trịn tâm Câu 11 BN Stp = S xq + S đáy = AB.2π BN + 2π BN = 1.2π + 2π = 4π Do đó: bán kính (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu được có diện tích 12 A Diện tích xung quanh hình trụ cho 10π B 34π 10π C Lời giải D 34π Chọn A Ta có: S ABCD = 12 = 2.CD ⇒ CD = ⇒ CI = ⇒ CO = CI + IO = = r S xq = 2π rl = 10π Câu 12 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng , thiết diện thu được có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho A 10 3π B 39π C Lời giải Chọn C 20 3π D 10 39π Gọi O , O′ lần lượt tâm hai đáy ABCD thiết diện song song với trục với A, B ∈ ( O ) C , D ∈ ( O′ ) H AB ⇒ OH = d ( OO′, ( ABCD ) ) = ; Gọi trung điểm 30 S ABCD = 30 ⇔ AB.BC = 30 ⇒ AB = = ⇒ HA = HB = Vì Bán kính đáy r = OH + HA2 = + = Diện tích xung quanh hình trụ Câu 13 S xq = 2π rh = 2π 2.5 = 20 3π (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình trụ có chiều cao 2 phẳng song song với trục cách trục khoảng 16 Diện tích xung quanh hình trụ cho A 16 2π B 2π 12 2π C Lời giải Cắt hình trụ cho mặt , thiết diện thu được có diện tích D 24 2π Chọn A Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục, ta được thiết diện hình chữ nhật ABCD O AB (với dây cung hình trịn đáy tâm ) Do hình trụ có chiều cao Diện tích hình chữ nhật h = OO′ = ⇒ ABCD l = AD = hình trụ có độ dài đường sinh 16 16 AB = = =2 AD AB.CD = 16 ⇒ Gọi K trung điểm đoạn hình trụ AB OK ⊥ AB ⇒ OK ⊥ mp( ABCD) ⇒ , lại có mp( ABCD ) khoảng cách giữa OO′ vng góc với mặt phẳng đáy mp( ABCD) Xét tam giác vuông  AB  R = OA = OK + AK = OK +  ÷ =   AOK Diện tích xung quanh hình trụ Câu 14 (T) Cắt hình trụ tích 30cm A OK = ( 2) +( 2) 2 =2 mặt phẳng qua trục được thiết diện hình chữ nhật có diện chu vi mặt đáy hình trụ 23π ( cm ) S = 2π R.l = 2π 2.4 = 16π (T) 26 cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính Diện tích toàn phần B 23π cm ) ( (T) C Lời giải là: 69π cm ) ( D 69π ( cm ) Chọn C Gọi h, r hình trụ lần lượt đường cao bán kính đáy hình trụ (T) hình chữ nhật ABCD (T) Thiết diện mặt phẳng Khi theo giả thiết ta có     h > 2r  h > 2r  h > 2r  h > 2r     ⇔ hr = 15 ⇔ h = 13 − 2r ⇔  h = 13 − 2r  S ABCD = h.2r = 30 C  h + 2r = 13  −2r + 15r − 15 =  r = ⇒ h = 3(l )   ABCD = 2(h + 2r ) = 26      r = ⇒ h = 10(TM )  Vậy Câu 15 50 50 AB Một hình trụ có bán kính đáy cm có chiều cao cm Một đoạn thẳng có 100 d chiều dài cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ A d = 50 cm d = 50 B cm C Lời giải d = 25 cm D d = 25 cm OO ¢ C B Qua kẻ đường thẳng song song với cắt đường trũn ỏy ti OO Â// BC ị OO Â// ( ABC ) ị d ( OO Â, AB) = d ( OO ¢, ( ABC ) ) = d ( O, ( ABC ) ) = OH = d ( trung điểm đoạn thẳng AC AC = AB - BC = 50 Vậy Câu 16 H ) cm d = OH = OC - HC = 25 cm (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một hình trụ trịn xoay có hai đáy hai đường trịn ( O, R ) ( O′, R ) Biết tồn dây ( O, R ) O′AB AB cung đường trịn cho tam giác góc giữa hai mặt phẳng ( O′AB ) ( O, R ) 60° mặt phẳng chứa đường tròn Tính diện tích xung quanh hình trụ cho A 4πR B 3πR C Lời giải Chọn D πR D πR Gọi K Ta có : AB trung điểm AB ⊥ OK ⇒ 3a = ( R − a 2 AB = 2a AB ⊥ OO′ , đặt ) ⇒ a2 = nên · ′ = 60° ⇒ O′K = 2OK ⇒ O′K = 4OK OKO 4R2 OO′2 = O′B − OB = 4a − R = Mặt khác : 4R2 R2 πR − R2 = ⇒ O′O = 7 S xq = 2πRl = Vậy diện tích xung quanh hình trụ cho : Câu 17 πR (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối trụ có bán kính đáy ( cm ) chiều cao ta dựng mặt phẳng ( cm ) ( P) Gọi AB dây cung đáy cho ( A ( 4π − 3 C ) ( cm ) ( 4π − ) Người 60° A B qua hai điểm , tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc hình vẽ Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng 4π − 3 AB = ( cm ) B ( 4π − ( cm2 ) D ) ( cm ) ) ( cm ) ( P) Lời giải S′ diện tích thiết diện, diện tích hình chiếu thiết diện lên mặt phẳng S ′ = S cos 60° đáy Khi OA2 + OB − AB AB = ⇒ cos ·AOB = = − ⇒ ·AOB = 120° 2.OA.OB Ta có  4π − 3  SOAB = OA.OB.sin120° = ⇒ S ′ = SOAmB − SOAB =  16π S π OA2 = OAmB =  3 ⇒ Gọi S ( S= ⇒ ( 4π − 3 S′ = cos 60° ) ) Dạng Thể tích Câu 18 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy A Bh B Bh 3Bh C Lời giải B chiều cao D Bh h Chọn D Câu hỏi lý thuyết Câu 19 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Thể tích khối trụ trịn xoay có bán kính đáy h chiều cao A πr h Chọn B Vtru = π r h Câu 20 πr h B C Lời giải πr h A 2π rh (Mã 102 - BGD - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy Bh D B Bh 3Bh C Lời giải 10 B chiều cao D Bh h r Câu 43 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có 200 cạnh đáy mm chiều cao mm Thân bút chì được làm gỗ phần lõi được làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình a 8a 1 m3 m3 trịn có bán kính đáy mm Giả định gỗ có giá (triệu đồng), than chì có giá (triệu đồng) Khi giá ngun liệu làm bút chì gần với kết đây? A 9, 07a (đồng) B 97, 03a (đồng) 90, 7a C (đồng) Lời giải D 9, 7a (đồng) Chọn D  3 S =  ( 3.10−3 ) ÷ ÷   m2 Diện tích khối lăng trụ lục giác ( )  3 V = S h =  ( 3.10−3 ) 200.10−3 = 27 3.10−7 ÷ ÷   m3 Thể tích bút chì là: ( ) V1 = π r h = π ( 10−3 ) 200.10−3 = 2π 10−7 Thể tích phần lõi bút chì ( ) V2 = V − V1 = 27 − 2π 10 Suy thể tích phần thân bút chì Giá nguyên liệu làm bút chì là: ( ) −7 ( m3 ( m3 ) ) ( ) −7 −7 V2 a.106 + V1.8a.106 = 27 − 2π 10 a.10 + 2π 10 8a.10 = 2, + 1, 4π a ; 9, 07a (đồng) Câu 44 (Mã 102 - BGD - 2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, 1m 1, m bán kính đáy lần lượt Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao có thể tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 1, m B 1,5 m 1,9 m C Lời giải Chọn A 23 D 2, m Ta có: V = V1 + V2 ⇔ hπ R = hπ r12 + hπ r2 ⇒ R = r12 + r2 ≈ 1, 72 m Câu 45 (Mã 103 - BGD - 2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, 1,8m 1m bán kính đáy lần lượt Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao có thể tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 2,8m B 2, 6m 2,1m C Lời giải D 2,3m Chọn C Gọi hai bể nước hìnhtrụ ban đầu lần lượt có chiều cao h V = V1 + V2 Ta có bể nước có chiều cao , ⇒ π r h = π r12 h + π r2 h ⇒ π r h = π 12.h + π 1,82.h ⇔ r = Câu 46 h , bán kính r1 , r2 106 ≈ 2,1m 25 , thể tích V1 ,V2 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm 50cm , người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao , theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): • Cách 1: Gị tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng • Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng V1 V2 Kí hiệu thể tích thùng gị được theo cách tổng thể tích hai thùng gị được theo cách Tính tỉ số V1 V2 24 A V1 = V2 B V1 =1 V2 V1 =2 V2 C Lời giải D V1 =4 V2 Chọn C R Ban đầu bán kính đáy , sau cắt tơn bán kính đáy Đường cao khối trụ không đổi R 2 V1 R  R V = h π = h π =2  ÷ V1 = hπR 2 V2  2 Ta có , Vậy tỉ số Câu 47 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có mm 200 mm cạnh đáy chiều cao Thân bút chì được làm gỗ phần lõi được làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao bút đáy hình trịn m3 mm m3 7a có bán kính Giã định gỗ có giá (triệu đồng), than chì có giá (triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 85,5.a (đồng) B 9, 07.a a (đồng) 8, 45.a C (đồng) Lời giải Chọn C V1 = π 0, 0012.0, = 2π 10 −7 m3 Thể tích phần lõi than chì: −7 T1 = (2π 10 )7 a.10 = 1, 4π a Số tiền làm lõi than chì (đồng) Thể tích phần thân gỗ bút (0, 003) V2 = .0, − 2π 10−7 =  3.27.10−7 − 2π 10−7  m3 Số tiền làm phần thân gỗ bút T2 =  27 3.10−7 − π 2.10 −7  a.106 =  2, − π 0,  a 25 (đồng) D 90, 07.a (đồng) Vậy giá vật liệu làm bút chì là: Câu 48 T = T1 + T2 ≈ 8, 45.a (đồng) (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì được làm gỗ phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính 1m3 1m3 9a mm Giả định gỗ có giá (triệu đồng) than chì có giá (triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 103,3a đồng a B 97,03a đồng 10,33a C đồng Lời giải D 9,7a đồng Chọn D 3mm = 0,003m;200mm = 0, 2m;1mm = 0,001m Diện tích đáy phần than chì: S1 = π r = π 10−6 ( m2 )  32  −6  27  −6 S = SOAB − S1 =  −π ÷ 10 = − π  ÷ ÷  ÷.10 ( m )     Diện tích đáy phần bút gỗ: V1 = S1.h = π r 0, = 0, 2π 10−6 ( m3 ) Thể tích than chì cần dùng: Thể tích gỗ làm bút chì: Tiền làm bút:  27  −6 V2 = S h =  −π ÷ ÷.0, 2.10 ( m )      27  −6 V1.9a + V2 a = ( 9V1 + V2 ) a =  9.0, 2π 10−6 +  −π ÷ 0, 2.10 a = 9,7 a ÷ ÷  ÷     Câu 49 (đồng) (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Người ta làm tạ tập tay hình vẽ với hai đầu hai khối trụ tay cầm khối trụ Biết hai đầu 30 12 hai khối trụ đường kính đáy , chiều cao , chiều dài tạ bán kính tay cầm Hãy tính thể tích vật liệu làm nên tạ tay A 108π Gọi B 6480π 502π C Lời giải D 504π h1 R1 V1 , , lần lượt chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối trụ nhỏ đầu 26 V1 = h1 π R12 = 6.π 62 = 216π Gọi h2 R2 V2 , , lần lượt chiều cao, bán kính đáy, thể tích tay cầm V2 = h2 π R22 = ( 30 − 2.6 ) π 2 = 72 π Thể tích vật liệu làm nên tạ tay Câu 50 V = V1 + V2 = 504 π (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Để làm cống nước 200 cho đường người ta cần đúc ống hình trụ bê tơng có đường kính lòng 1m 2m 8cm m3 ống chiều cao ống , độ dày thành ống Biết 10 200 bê tơng cần bao xi-măng Hỏi cần bao xi-măng để đúc ống (kết làm tròn đến hàng đơn vị)? 1086 1025 2091 523 A bao B bao C bao D bao Lời giải V = π ( 0,5 + 0,08 ) − π ( 0,5 ) = 2 Ta có thể tích ống 108π 200.10 = 1085,73 625 Như vậy cần tất là: bao xi-măng Câu 51 108π m3 ) ( 625 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một người thợ có khối MN ⊥ PQ MN PQ đá hình trụ Kẻ hai đường kính , hai đáy cho Người thợ cắt khối M , N , P, Q MNPQ đá theo mặt qua điểm để khối đá có hình tứ diện Biết MNPQ = 30 dm MN = 60 cm thể tích khối tứ diện Hãy tính thể tích lượng đá cắt bỏ (làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) A 101,3dm3 B 111, 4dm3 121,3dm3 C Lời giải Chọn B 27 D 141,3dm3 O′ PQ MN lần lượt trung điểm OO′ ⊥ MN ⇒ MN ⊥ ( OPQ ) OO ' Khi trục hình trụ OO′.6 VMNPQ = MN SOPQ = = 6OO′ ( dm ) VMNPQ = 30dm3 ⇒ OO′ = 5dm Theo ta có Vtru = π ≈ 141, 4dm Thể tích khối trụ Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ Gọi O V = Vtru − VMNPQ ≈ 111, 4dm3 Câu 52 (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Công ty X định làm 1m3 X téc nước hình trụ inox (gồm nắp) có dung tích Để tiết kiệm chi phí cơng ty chọn loại téc nước có diện tích tồn phần nhỏ Hỏi diện tích tồn phần téc nước nhỏ (kết làm tròn đến chữ số sau dấu phẩy)? A 5,59 m Ta có: B 5,54 m 5,57 m C Lời giải  π Rh =   R V = π R2h = ⇒  π R =  h Stp = 2π Rh + 2π R = Diện tích tồn phần téc nước: S ′ = 4π R − Xét =0⇔R= R2 Lập bảng biến thiên ta có Stp 2π + 2π R R R= đạt giá trị nhỏ 28 2π D 5,52 m ⇒ S( ) = 2π + Câu 53 2π 4π ≈ 5,54 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Một trục lăn 5cm sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy , chiều dài lăn 23cm 10 (hình bên) Sau lăn trọn vịng trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích A 2300π cm B 1150π cm 862,5π cm C D Lời giải Khi lăn trọn vòng trục lăn tạo tường phẳng lớp sơn có diện tích diện tích xung quanh trục lăn 5230π cm = 2π 23 = 115π (cm ) S = 2π R.h 10 Vậy sau lăn trọn vịng trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích Dạng Bài toán cực trị Câu 54 10 S = 1150π (cm ) (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Một hình trụ có độ dài đường cao ( O;1) , đường tròn đáy lần lượt ( O;1) tứ diện A CD ABCD Vmax = đường kính thay đổi B Vmax = ( O ';1) C 29 Giả sử AB Tìm giá trị lớn Vmax = Lời giải Chọn A ( O ';1) đường kính cố định Vmax D thể tích khối Vmax = Gọi α Ta có Do Câu 55 CD AB số đo góc giữa 1 VABCD = AB.CD.d ( AB; CD ) sin α = 2.2.3.sin α = 2sin α ≤ 6 VABCD đạt giá trị lớn AB ⊥ CD , đạt được (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cần sản xuất vỏ V hộp sữa hình trụ có thể tích cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải A V 2π B V C Lời giải V π D V 3π h R, h > , chiều cao ( ) V V = π R2h ⇒ h = V π R2 Vì thể tích vỏ hộp nên ta có Để tiết kiệm vật liệu hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích tồn phần Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy Stp = 2π Rh + 2π R = 2V + 2π R R R nhỏ Cách 1: Stp = Ta có Stp 2V V V + 2π R = + + 2π R ≥ 3 2π V R R R V V = 2π R ⇔ R = R 2π đạt giá trị nhỏ Cách 2: 2V f ( R) = + 2π R ( 0; +∞ ) R Xét hàm số khoảng 30 f ′( R) = − Ta có Bảng biến thiên: Từ BBT ta thấy 2V 4π R − 2V + π R = R2 R2 f ( R) f ′( R) = ⇔ R = V 2π R= đạt nhỏ V 2π Vậy để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy vỏ hộp phải Câu 56 V 2π Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 Giá trị lớn thể tích khối trụ là: A 64π cm3 B 16π cm3 8π cm3 C Lời giải D 32π cm3 cm x y ( x, y > ) Gọi chiều cao bán kính đáy hình trụ lần lượt , Khi ta có thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có kích x 2y , ( x + y ) = 12 ⇔ x + y = Theo giả thiết ta có Cách thước lần lượt V = π y x = π y ( − y ) = 2π ( − y + y ) Thể tích khối trụ: x + y = ⇒ < y < ⇔ < y < Vì Xét hàm số f ( y ) = − y3 + y khoảng ( 0;3) y = ⇒ f ′( y) = ⇔  f ′ ( y ) = −3 y + y y = 2 Ta có Bảng biến thiên: 31 max f ( y ) = f ( ) = ( 0;3) Suy Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ Cách 2π = 8π cm3 3  x+ y+ y  x + 2y  6 V = π y x = π x y y ≤ π  ÷ =π  ÷ = π  ÷ = 8π     3 Thể tích khối trụ: x= y=2 Dấu “=” xảy Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ Câu 57 V = 8π cm3 (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trên mảnh đất hình 81m vng có diện tích người ta đào ao ni cá hình trụ (như hình vẽ) cho tâm hình trịn đáy trùng với tâm mảnh đất Ở giữa mép ao mép mảnh đất người ta để lại khoảng đất trống để lại, biết khoảng cách nhỏ giữa mép ao mép mảnh đất x ( m) A Giả sử chiều sâu ao V = 13,5π ( m3 ) B x ( m) V = 27π ( m3 ) Tính thể tích lớn V ao V = 36π ( m3 ) C Lời giải D V = 72π ( m3 ) Chọn A Phương pháp Xác định bán kính đáy chiều cao hình trụ, sử dụng cơng thức hình trụ +) Lập BBT tìm GTLN hàm thể tích Cách giải 32 V = π R 2h tính thể tích Ta có: Đường kính đáy hình trụ − 2x ⇒ Bán kính đáy hình trụ − 2x Khi ta có thể tích ao π π  − 2x  V =π  ÷ x = ( − 2x) x = f ( x ) 4   f ( x ) = ( − x ) x = x − 36 x + 81x 0< x< Xét hàm số  x = f ' ( x ) = 12 x − 72 x + 81 = ⇔  x =  với ta có: BBT: f ( x ) max = 54 ⇔ x = Dựa vào BBT ta thấy Câu 58 Vmax = Khi π 27π 54 = = 13,5π ( m3 ) (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy hai đường O O′ 2a O tròn tâm , bán kính đáy chiều cao Trên đường trịn đáy có tâm O′ α tan α A B AB lấy điểm , đường tròn tâm lấy điểm Đặt góc giữa đáy Tính OO′AB thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn A tan α = tan α = B tan α = C Lời giải Cách 1: 33 D tan α = Gọi D hình chiếu vng góc AH ⊥ OD H ∈ OD Kẻ , B lên mặt phẳng VOO′AB = ( O) 2a 2a 4a AH S∆OO′B = AH ≤ AO = 3 3 OO′AB Ta có thể tích khối chóp : ( VOO′AB ) max ⇔ H ≡ O AD = 2a Suy = · tan α = tan BAD Suy ra: OO′AB OO ' AB Nhận xét: Nên thêm giả thiết chéo với để tứ diện tồn Gọi Gọi D C hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa đường trịn A hình chiếu vng góc lên mặt phẳng chứa đường trịn O ' CB.OAD Ta có hình lăng trụ đứng 34 ( O) ( O ') Ta có thể tích khối chóp OO′AB : 1 4a VOO′AB = VO ' BC OAD = 2a.S∆OAD = 2a .2a.2 a.sin ·AOD ≤ 3 ( VO ' ABCD ) max ⇔ ·AOD = 900 ⇔ AD = Suy ra: Câu 59 · tan α = tan BAD = 2a (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy hai đường O O′ 2a O trịn tâm , bán kính đáy chiều cao Trên đường trịn đáy có tâm lấy điểm AD = 3a C A D D , cho ; gọi hình chiếu vng góc lên mặt phẳng ( O ') O′ α CD B AB chứa đường tròn ; đường tròn tâm lấy điểm ( chéo với ) Đặt góc tan α CDAB AB giữa đáy Tính thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn A tan α = Gọi H tan α = B hình chiếu vng góc B C Lời giải tan α = lên mặt phẳng chứa đường tròn D ( O) ( O ') A hình chiếu vng góc lên mặt phẳng chứa đường trịn HAD.BKC Ta có hình lăng trụ đứng CDAB Ta có thể tích tứ diện 1 1 1 VABCD = VHAD.BKC = 2a.S ∆HAD = 2a AD.d ( H ; AD ) = 2a .2a 3.d ( H ; AD ) 3 3 Gọi 3 tan α = K 35 ( VABCD ) max ⇔ ( d ( H ; AD ) ) max ⇔ Theo định lý sin ta có Câu 60 điểm giữa cung lớn »AD đường trịn AD AD 3a = 2.2a ⇔ sin ·AHD = = = 4a 4a sin ·AHD Do (1) xảy Suy ra: H ∆AHD ⇔ AH = AD = 3a BH 2a · tan α = tan BAH = = = AH 2a 3 nên ( O) ·AHD = 600 (1) (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy hai đường O O′ O 2a trịn tâm , bán kính đáy chiều cao Trên đường trịn đáy có tâm O′ AB //CD A D B C AB lấy điểm , đường tròn tâm lấy điểm , cho không cắt OO ' O ' ABCD AD Tính để thể tích khối chóp đạt giá trị lớn A AD = 2a B AD = AD = 4a O' C Lời giải AB a D Kẻ đường thẳng qua song song với cắt mặt phẳng chứa đường tròn AO1D.BO ' C 2a Lúc hình lăng trụ chiều cao S∆BO 'C = S∆OAD AD = BC Vì nên O ' ABCD Ta có thể tích khối chóp : AD = 2a (O ) 2 8a VO ' ABCD = VAO1D BO 'C = 2a.S∆BO 'C = 2a.S∆OAD = 2a .2a.2a.sin ·AOD ≤ 3 3 ( VO ' ABCD ) max ⇔ ·AOD = 900 ⇔ AD = 2a 36 O1 37 ... h.2r = 30 C  h + 2r = 13  −2r + 15r − 15 =  r = ⇒ h = 3(l )   ABCD = 2(h + 2r ) = 26      r = ⇒ h = 10(TM )  Vậy Câu 15 50 50 AB Một hình trụ có bán kính đáy cm có chiều cao cm Một... 60° ) ) Dạng Thể tích Câu 18 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy A Bh B Bh 3Bh C Lời giải B chiều cao D Bh h Chọn D Câu hỏi lý thuyết Câu 19 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM... trụ: Sxq = 2πrl ⇔ 2πrl = 50π ⇔ 2πr 2r = 50π ⇔ r = Câu Câu (T) (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho khối trụ V = 5π R =1 có bán kính đáy , thể tích Tính diện tích tồn phần