Bài tập Điện động lực học

Tài liệu tham khảo bài tập Điện động lực học về có lời giải

Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng :Rotgrad u = 0Div rot Aur= 0Bài giải: Ta có: Grad ur = u u ui j kx y z∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂urr urRot Aur = = Div Aur= + + 1. Rot grad u = = iy∂∂rjz∂∂r + kx∂∂r u u uy z xi j kz x y ∂ ∂ ∂       ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂− − −∂ ∂ ∂urr ur = 2 2 2 2 2 2. . . . . .u u u u u ui j ky z z y z x x z x y y x                    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂urr ur = 02. Div rot Aur = A AA AA Ay yx xz zx y z y z x z x y               ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂− + − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 22 22 2. . . . . .A AA AA Ay yx xz zx y x z y z y z z x z y∂ ∂∂ ∂∂ ∂− + − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 0 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạmĐề 2. Tính div .I R  r ur =? Trong đó Ir là vector không đổi, Rur là bán kính vector.Bài giải:Ta có: x yzI iI jI kI= + +r r r r và R xi y j zk= + +ur r r r.x y zi j kI R I I Ix y z   ⇒ =    r r rr ur = ( )( )( )y z x z x yi I z I y j I z I x k I y I x− − − + −r r r ( )( )( ).0y z x z x yx y zdiv I R I z I y I z I x I y I xx y zy z z x x yI I Iz y x z y x∂ ∂ ∂ = − − − + − ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + − = ⇒    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    r urW 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạmĐề 3. Tính .div I R M    r ur uur, Trong đó I va Mr uur# là vector không đổi, Rur là bán kính vector.Bài giải:Ta có: x yzM iM jM kM= + +uur r r r và R xi y j zk= + +ur r r r.M R ⇒ uur ur = ( )( )( )z y z x y xx y zi j kx y z i yZ zM j xZ zM k xM yMM M Z  = − − − + −   r r rr r r( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ).x y zz y z x y xy y x z z xx y x z z yx z x y z yi j kI R M I I IyZ zM xZ zM xM yMi I xM yM I xZ zMj I xM yM I yZ zMk I xZ zM I yZ zM    ⇒ =     − − −  − − −  = − − − −  + − − − r r rr uuruurrrr( ).22y y z z x x x x z z y yx x y y z zdiv I R M I M I M I M I M I M I MI M I M I MIM  = + + + + +  = + += ⇒r uuruurWĐề 4. Tính: 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạm( ){ }.Rrot U R va rot I R  ur r ur#Trong đó: Ir là vector không đổi và Rur là bán kính vector.Bài giải:a. Ta có: ( ) ( )( )R RU R U xi y j zk= + +ur r r r( ){ }( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )R RR R RR R RR Ri zU yUy zi j krot U R j zU xUx y z x zxU yU zUk yU xUx yU R U RR Ri z yR y R zU R U RR Rj z xR x R zU RRk y xR x ∂ ∂−  ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ⇒ = = − −  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ −∂ ∂rr r rur rrrrr( )( )( )1U RRR yU RR R R R R Rz y i z x j y x kR y z x z x y∂ ∂ ∂ ∂  ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − − + −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     r r rMặc khác, ta có: 2 2 2 2; ;R x R y R zR x y zx R y R z R ∂ ∂ ∂= + + ⇒ = = = ∂ ∂ ∂  2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạm( )2R Ry zz yz yy zR RR R x zz x z xx z R Rx yR Ry xy xR Rx y∂ ∂−−∂ ∂∂ ∂ ⇒ − = − ∂ ∂ ∂ ∂ −− ∂ ∂Từ (1) và (2), ta được: ( ){ }0Rrot U R= ⇒urWb. Ta có: x yzI iI jI kI= + +r r r r và R xi y j zk= + +ur r r r( )( )( ).x y z y z x z x yi j kI R I I I i I z I y j I z I x k I y I xx y z   ⇒ = = − − − + −    r r rr ur r r r ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )2x y x zx y y zy z x z x yx z y zx x y y z zx yi I y I x I z I xy zi j krot I R j I y I x I z I yx y z x zI z I y I z I x I y I xk I z I x I z I yx yi I I j I I k I IiI jI ∂ ∂− − −  ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ⇒ = + − − − −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   − − − ∂ ∂ + − − − ∂ ∂ = + + + + += +rr r rrur rrr r rr r( )2zkI I+ = ⇒r rW 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạmĐề 5. Tính: 3PRgradRururTrong đó: Pur là vector không đổi Rur là bán kính vector.Bài giải:Ta có: ( )33 2 2 22x y zPR xP yP zPR x y z= + += + +urur 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạm( ) ( ) ( )( )( )( )3 3 332 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2363633.223.223.22x y z x y z x y zx x y zy x y zz x y zxP yP zP xP yP zP xP yP zPPRgrad i j kR x y zx y z x y z x y zP R xP yP zP R xiRP R xP yP zP R yjRP R xP yP zP Rk     + + + + + +∂ ∂ ∂     ⇒ = + +     ∂ ∂ ∂     + + + + + +     − + +− + +=− + +ururr r rrrr( )( ) ( )( )63 53 5313x y zzRPR xi y j zkiP jP kPR RPRPRR R+ += + + −= − ⇒urur r r rr r rururururW Đề 6: Tính thông lượng của bán kính vector Rur qua một mặt trụ có bán kính a và chiều cao h,đặt như hình vẽ ( Tính bằng công thức O – G và bằng phương pháp trực tiếp).Bài giải:a. Tính bằng định lí O – G:Định lí O – G: S VRdS divRdV=∫ ∫ur ur urÑ 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạmTa biết: yx zRR RR xi y j zk div Rx y z∂∂ ∂= + + ⇒ = + +∂ ∂ ∂ur r r r ur23 3S VRd S dV a hπ⇒ = = ⇒∫ ∫ur urWÑb. Tính trực tiếp:( )1 2 31S S S SRdS Rd S RdS Rd S= + +∫ ∫ ∫ ∫ur ur ur ur ur ur ur urÑ( )( )1 12 23321 1122 22coscos02. 20S SS SSSSRdS R dSRdS R dSRdS vi R ShR dS hS h aRhR dS hS h aRϕϕππ=∫ ∫=∫ ∫= ⊥∫= =∫= = =∫ur urur urur ur ur ur#Từ (1) và (2), ta được: 23SRdS a hπ= ⇒∫ur urWÑ 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạmĐề 7. Hai vòng tròn mảng, bán kính cùng bằng R, tích điện đều và xếp đặt như hình vẽ. Điện tích vành ngoài 1O là 1e điện tích vành ngoài2O là 2e. Công cần thiết để đưa điện tích e từ vô cực đến 1O và 2O lần lượt là 1A và 2A. Tính các điện tích 1e và 2eBài giải:- Xét vành 1O:Thế vô hướng tại 1O gây bởi 2 vành điện tích 1e và 2e với khoảng cách R và 2 2R a+:11122212 21.414.4r reRe drEdlerR aϕπεϕπεϕπε∞ ∞== = ⇒∫ ∫=+ur rTheo nguyên lý chồng chất điện trường ta có: - Thế vông hướng tại O1 do 1e và 2e gây ra là: 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa sư phạm1 21 11 212 214e eRR aϕ ϕ ϕπε = + = + + Với 1 110Oϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∞ ∞= ⇒ = − = là hiệu điện thế tại 1OĐiện thế 1ϕ bằng công dịch chuyển 1 điện tích dương từ 1O∞ →( )1 1 212 2114A e ee RR aϕπε = = + + - Tương tự đối với vành 2O: ( )2 2 112 2124A e ee RR aϕπε = = + + Từ (1) và (2), ta được: ()()2 2 2 21 1 222 2 2 22 2 1244e R R a A R a A Reae R R a A R a A Reaπεπε= + + −= + + − [...]... R2 R1 e  1 1 −   4πε  R2 R1  - Điện dung của tụ cầu: e U R1R2 = e 4πε = 1 1 e  1 1 − −   4πε  R2 R1  R1 R2 →W ( R1 p R2 ) Đề 14 Hai tụ điện có điện dung bằng C1 , C2 ; điện tích bằng e1 , e2 , được mắc song song với nhau Tính và giải thích sự biến đổi điện tích tĩnh điện của chúng? Bài giải: - Năng lượng các tụ khi chưa đấu nối với nhau: Điện Động Lực Học | 12/17/2010 C= 2 Sv: Đinh Văn Đô...   Điện Động Lực Học | 12/17/2010 - Ta được: 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm - Vậy phương trình Macxell dạng: u r u r u r u r  ∂A ∂B ∂rot A rot E = − =− = −rot   ∂t ∂t ∂t   u r u r u r rr ∂A →E=− = − A0 ωi.exp i k r − ωt ∂t u r = − ωi A ( ) R1 , R2 , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau Bài giải: - Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện. .. Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích ρ , hệ số điện môi ε là: Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Đề 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là: 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm r u r e r E= 4πε r 3  R1 ≤ r  e : dien tich hinh cau ban kinh R - Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: r R2 u r r e r r e = − ∫ Ed r = − ∫ dr = − 3 4πε r 4πε R1 R1 R2... = 0 d 2I 1 + I =0 dt 2 LC → I •• + ω 2 I = 0 ⇔ I = A.sin ( ω.t + ϕ ) Trong đó: Tần số dòng: 1   2  if ω =  LC   Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Ta có: 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm ω = 2π f = 2π = T 1 LC → T = 2π LC = 2π L εs d Thay số, ta được: Điện Động Lực Học | 12/17/2010 2ε 0 s 0,1.5.10−2.2 → T = 2π L = 2π = 9,4.10−5 ( sec ) −3 9 d 10 4π 9.10 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm...  2 C 2 C1 + C2 2 - Sự biến đổi năng lượng tĩnh điện: 2 1 ( e1 + e2 ) 1  e12 e2  ∆W = W − W = −  +  2 C1 + C2 2  C1 C2  2 ' 1 − ( e1C1 − e2C2 ) = ≤0 2 C1C2 ( C1 + C2 ) 2 - Vậy năng lượng của hai tụ giảm Bài giải: Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Đề 15 Một vật dẫn hình trụ dài vô tận, có một lỗ rỗng hình trụ dài vô tận Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ là j Tính từ trường trong phần rỗng?... hình trụ lớn gây ra tại M: uu r uu jR r H1dl1 = I1 = j.S ⇒ 2π RH1 = jπ R 2 ⇒ H1 = Ñ ∫ 2 C1  2 Theo công thức Bioxava: rr  j.r  uu r I   H1 = dV 4π ∫ r 3 Điện Động Lực Học | 12/17/2010  1 Áp dụng công thức dòng toàn phần dưới tích phân do dòng điện không đổi: 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm Do: uu r rr H1 ⊥ j , r Ta được:  ( ) uu 1 r r r H1 =  j.r  2  Từ trường do hình trụ rỗng gây ra: Với... Dd S = q = ∫ Dd S + ∫ Dd S + ∫ Dd S Ñ ∫ S S S2 S3 ur u r ur u 1 r ur r Vì D = r , nên: ∫ Dd S = ∫ Dd S = 0 S1 S2 ur u r ∫ Dd S = q ⇒ D.2π r.d = q S3 ⇒D= q q ⇒E= 2π r.d 2ε π r.d ( R1 p r p R2 ) Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Bài giải: 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm Mặt khác, ta có: E = − gradϕ ⇒ϕ = − q ln r + C1 2πε d Với q  ϕ R1 = − ln R1 + C1  2πε1d q a  R1 p r p a ⇒  ⇒ ∆ϕ1 = ϕ R1 −... 1  2πε 2 d  Vậy hiệu điện thế giữa hai bản tụ là: ∆ϕ = ∆ϕ1 − ∆ϕ2 = q  1 a 1 R2   ln + ln  2π d  ε1 R1 ε 2 a  Điện dung của tụ là: q 2π d = ∆ϕ 1 ln a + 1 ln R2 ε1 R1 ε 2 a ⇒W Điện Động Lực Học | 12/17/2010 C= 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm Đề 10 Một hình cầu bán kính R, tích điện đều trên bề mặt ngoài với mật độ bằng ρ và quay quanh trục của nó với vận tốc... → A =  r u r uu  rr 4π S r 4π  S r  i = δ V = δ ω.R     u r Ñn.ϕ.dS = ∫ ∇ϕ dV ∫ V S uur u r dS 1 r 4 3 4 r ⇒ Ñ = ∫ ∇ dV = π r = π r ∫ 33 3 r S r V r Từ (1) và (2), ta được: ( 2) Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Theo định lý O – G : ( 1) 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm u µ0 r r r  u 4 r µ0δ R  u r A= δ R ω π r  = ω.r 4π 3    3  u r u µ δR r ur r → B = rot A = 0 rot ω.r ... u r r r r u r u rr rot ω.r  = divrω − ω.∇ r + r.∇ ω − divω r     uu ru u r r u r r u r r 2  divrω = 3ω , ω.∇ r = ω  → B0 = µ0δ Rω 3  r u r u rr r.∇ ω = 0, divω r = 0   ( ) ) ( ) ( ) Điện Động Lực Học | 12/17/2010 ( 2 Sv: Đinh Văn Đô AGU-Khoa sư phạm Đề 11.Một mạch dao động gồm cuộn tự cảm L và một tụ điện phẳng có điện tích mỗi bản bằng S, môi trường giữa các bản có . trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích ρ, hệ số điện môi ε là: 2Điện Động Lực Học | 12/17/2010 Sv: Đinh Văn ĐôAGU-Khoa. 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là: 1 2,R R , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau .Bài giải:- Điện trường