Bài tập Điện động lực học vi mô

Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng : Rot grad u = 0 Div rot A ur = 0 Bài giải: Ta có: Grad u r = u u u i j k x y z ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ur r ur Rot A ur = = Div A ur = + + 1. Rot grad u = = i y ∂ ∂ r j z ∂ ∂ r + k x ∂ ∂ r u u u y z x i j k z x y   ∂ ∂ ∂      ÷  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂       ∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ur r ur = 2 2 2 2 2 2 . . . . . . u u u u u u i j k y z z y z x x z x y y x        ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ur r ur = 0 2. Div rot A ur = A A A A A A y y x x z z x y z y z x z x y        ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 . . . . . . A A A A A A y y x x z z x y x z y z y z z x z y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 0 Đề 2. Tính div .I R     r ur =? Trong đó I r là vector không đổi, R ur là bán kính vector. 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L Bài giải: Ta có: x y z I iI jI kI= + + r r r r và R xi y j zk = + + ur r r r . x y z i j k I R I I I x y z    ÷   ⇒ =  ÷    ÷   r r r r ur = ( ) ( ) ( ) y z x z x y i I z I y j I z I x k I y I x − − − + − r r r ( ) ( ) ( ) . 0 y z x z x y x y z div I R I z I y I z I x I y I x x y z y z z x x y I I I z y x z y x ∂ ∂ ∂   = − − − + −   ∂ ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = − + − + − =  ÷  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       r ur Đề 3. Tính .div I R M         r uruur , Trong đó I va M r uur # là vector không đổi, R ur là bán kính vector. Bài giải: Ta có: x y z M iM jM kM = + + uur r r r và R xi y j zk = + + ur r r r .M R   ⇒   uur ur = ( ) ( ) ( ) z y z x y x x y z i j k x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM M M Z    ÷ = − − − + −  ÷  ÷   r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . x y z z y z x y x y y x z z x x y x z z y x z x y z y i j k I R M I I I yZ zM xZ zM xM yM i I xM yM I xZ zM j I xM yM I yZ zM k I xZ zM I yZ zM    ÷     ⇒ =  ÷      ÷  ÷ − − −      − − −       = − − − −       + − − −     r r r r uuruur r r r 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L ( ) . 2 2 y y z z x x x x z z y y x x y y z z div I R M I M I M I M I M I M I M I M I M I M IM     = + + + + +     = + + = r uuruur Đề 4. Tính: ( ) { } . R rot U R va rot I R     ur r ur # Trong đó: I r là vector không đổi và R ur là bán kính vector. Bài giải: a/ Ta có: ( ) ( ) ( ) R R U R U xi y j zk= + + ur r r r ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R R R R R R R i zU yU y z i j k rot U R j zU xU x y z x z xU yU zU k yU xU x y U R U R R R i z y R y R z U R U R R R j z x R x R z U R R k y x R x    ∂ ∂ −      ∂ ∂     ÷  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ÷ ⇒ = = − −     ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ÷   ÷   ∂ ∂   + −    ∂ ∂     ∂ ∂   ∂ ∂ −   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂ = − −   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ + − ∂ ∂ r r r r ur r r r r r ( ) ( ) ( ) 1 U R R R y U R R R R R R R z y i z x j y x k R y z x z x y         ∂   ∂    ∂ ∂       ∂     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = − − − + −    ÷  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂         r r r mặt khác ta có: 2 2 2 2 ; ; R x R y R z R x y z x R y R z R   ∂ ∂ ∂ = + + ⇒ = = =   ∂ ∂ ∂   14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L ( ) 2 R R y z z y z y y z R R R R x z z x z x x z R R x y R R y x y x R R x y ∂ ∂   − −   ∂ ∂   ∂ ∂   ⇒ − = −   ∂ ∂   ∂ ∂   − −   ∂ ∂   Từ (1) và (2), ta được: ( ) { } 0 R rot U R = ur b/ Ta có: x y z I iI jI kI= + + r r r r và R xi y j zk = + + ur r r r ( ) ( ) ( ) . x y z y z x z x y i j k I R I I I i I z I y j I z I x k I y I x x y z    ÷   ⇒ = = − − − + −  ÷    ÷   r r r r ur r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x z x y y z y z x z x y x z y z x x y y z z x y i I y I x I z I x y z i j k rot I R j I y I x I z I y x y z x z I z I y I z I x I y I x k I z I x I z I y x y i I I j I I k I I iI jI    ∂ ∂ − − −      ∂ ∂     ÷  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ÷   ⇒ = + − − − −       ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ÷  ÷  − − −   ∂ ∂   + − − −    ∂ ∂     = + + + + + = + r r r r rur r r r r r r r ( ) 2 z kI I+ = r r Đề 5. Tính: 3 PR grad R urur Trong đó: P ur là vector không đổi R ur là bán kính vector. Bài giải: Ta có: ( ) 3 3 2 2 2 2 x y z PR xP yP zP R x y z  = + +    = + +  urur 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L , ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z xP yP zP xP yP zP xP yP zP PR grad i j k R x y z x y z x y z x y z       + + + + + + ∂ ∂ ∂       ⇒ = + +       ∂ ∂ ∂       + + + + + +       urur r r r ( ) ( ) ( ) 3 6 3 6 3 6 3 .2 2 3 .2 2 3 .2 2 x x y z y x y z z x y z P R xP yP zP R x i R P R xP yP zP R y j R P R xP yP zP R z k R  − + +     − + +  =    − + +     r r r ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 3 1 3 x y z PR xi y j zk iP jP kP R R PR P R R R + + = + + − = − urur r r r r r r urur ur ur Đề 6: Tính thông lượng của bán kính vector R ur qua một mặt trụ có bán kính a và chiều cao h, đặt như hình vẽ ( Tính bằng công thức O – G và bằng phương pháp trực tiếp). Bài giải: a/ Tính bằng định lí O – G: Định lí O – G: S V RdS divRdV= ∫ ∫ ur ur ur Ñ Ta biết: y x z R R R R xi y j zk div R x y z ∂ ∂ ∂ = + + ⇒ = + + ∂ ∂ ∂ ur r r r ur 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L 2 3 3 S V RdS dV a h π ⇒ = = ∫ ∫ ur ur Ñ a. Tính trực tiếp: ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2. 2 0 S S h R dS hS h a R h R dS hS h a R π π  = = ∫    = = = ∫      Từ (1) và (2), ta được: 2 3 S Rd S a h π = ∫ ur ur Ñ Đề 7. Hai vòng tròn mảng, bán kính cùng bằng R, tích điện đều và xếp đặt như hình vẽ. Điện tích vành ngoài 1 O là 1 e điện tích vành ngoài 2 O là 2 e . Công cần thiết để đưa điện tích e từ vô cực đến 1 O và 2 O lần lượt là 1 A và 2 A . Tính các điện tích 1 e và 2 e Bài giải: ( ) 1 2 3 1 S S S S RdS RdS Rd S Rd S = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ur ur ur ur ur ur ur ur Ñ ( ) 1 1 2 2 3 3 cos cos 0 S S S S S RdS R dS RdS R dS RdS vi R S ϕ ϕ  = ∫ ∫    = ∫ ∫    = ⊥ ∫   ur ur ur ur ur ur ur ur # 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L - Xét vành 1 O : Thế vô hướng tại 1 O gây bởi 2 vành điện tích 1 e và 2 e với khoảng cách R và 2 2 R a + : Theo nguyên lý chồng chất điện trường ta có: - Thế vông hướng tại O1 do 1 e và 2 e gây ra là: 1 2 1 11 21 2 2 1 4 e e R R a ϕ ϕ ϕ πε   = + = +  ÷ +   Với 1 1 1 0 O ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∞ ∞ = ⇒ = − = là hiệu điện thế tại 1 O Điện thế 1 ϕ bằng công dịch chuyển 1 điện tích dương từ 1 O ∞ → ( ) 1 1 2 1 2 2 1 1 4 A e e e R R a ϕ πε   = = +  ÷ +   - Tương tự đối với vành 2 O : ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 4 A e e e R R a ϕ πε   = = +  ÷ +   Từ (1) và (2), ta được: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 4 e R R a A R a A R ea e R R a A R a A R ea πε πε = + + − = + + − 1 11 2 2 21 2 2 1 . 4 1 4 . 4 r r e R e dr Edl e r R a ϕ πε ϕ πε ϕ πε ∞ ∞  =   = = ⇒ ∫ ∫   =  +  ur r 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L Đề 8. Dùng định lý O – G để tính điện trường ở trong và ngoài một quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt ρ =const. Hằng số điện môi ở trong và ngoài quả cầu đều bằng ε . Bài giải: - Theo định lý O – G ta có: divD divE D E ρ ρ ε ε  =  ⇒ =  =   ur ur ur ur - Xét trong hệ tọa độ cầu, do điện tích trong quả cầu phân bố đều: ( ) E E r = ur ur ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1 3 . 3 3 r divE r E r E r r r r E r r r E E r ρ ρ ρ ε ε ε ρ ρ ε ε ∂ ∂  = = ⇒ =  ∂ ∂  ⇒ =   ⇒ = ⇒ =   ur uur r - Xét những điện tích ngoài quả cầu: S DdS e = ∫ ur ur Ñ Do D ur cùng phương với vector pháp tuyến của mặt cầu, ta có: 2 3 3 3 3 3 2 2 4 4 3 3 3 3 S N DdS D r R R E r r R R D E r r π ρ π ρ ε ρ ρ ε  = = ∫   ⇒ =   ⇒ = ⇒ =   ur ur Ñ uuur r Đề 9. Tính điện dung của một tụ điện có chiều dài bằng d và khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau. Bài giải: - Theo định lý O – G ta có: 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L 1 2 3 S S S S DdS q DdS Dd S DdS = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ur ur ur ur ur ur ur ur Ñ Vì D r = ur r , nên: 1 2 0 S S DdS DdS = = ∫ ∫ ur ur ur ur ( ) 1 2 3 .2 . 2 . 2 . . S DdS q D r d q R r R q q D E r d r d π π ε π = ⇒ = ∫ ⇒ = ⇒ = ur ur p p Mặt khác, ta có: E grad ϕ = − 1 ln 2 q r C d ϕ πε ⇒ = − + Với 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 R R a a q R C d q a R r a q d R a C d ϕ πε ϕ ϕ ϕ πε ϕ πε  = − +   ⇒ ⇒∆ = − =   = − +   p p 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 ln 2 ln 2 ln 2 R a R a q R C d Rq a r R q d a a C d ϕ πε ϕ ϕ ϕ πε ϕ πε  = − +   ⇒ ⇒∆ = − =   = − +   p p Vậy hiệu điện thế giữa hai bản tụ là: 2 1 2 1 1 2 1 1 ln ln 2 Rq a d R a ϕ ϕ ϕ π ε ε   ∆ = ∆ − ∆ = +  ÷   Điện dung của tụ là: 2 1 1 2 2 1 1 ln ln q d C R a R a π ϕ ε ε = = ∆ + 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp: DH9L Đề 10. Một hình cầu bán kính R, tích điện đều trên bề mặt ngoài với mật độ bằng ρ và quay quanh trục của nó với vận tốc ω . Tính cảm ứng từ bên trong hình cầu? Bài giải: Ta có: Theo định lý O – G : . .n dS dV V S ϕ ϕ = ∇ ∫ ∫ ur Ñ ( ) 2 1 4 4 3 . 3 3 3 dS r dV r r r r r V S π π ⇒ = ∇ = = ∫ ∫ uuur r r Ñ Từ (1) và (2), ta được: 4 0 0 . . 4 3 3 0 . 3 R A R r r R B rot A rot r µ µ δ δ ω π ω π µ δ ω     = =         → = =   ur ur r ur r ur ur ur r ( ) 0 . 0 0 4 . 1 4 4 . dS A i R dS I mat r A dS R S r r S S i V R µ δ ω µ µ π δ ω π π δ δ ω    =  ∫      → = = ∫ ∫         = =     uuuuuuuuur ur r ur ur ur ur ur r ur ur ur [...]... Đề 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là: R1 , R2 , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau - Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích ρ , hệ số điện môi ε là: r u r  R1 ≤ r e r E=  4πε r 3 e : dien tich hinh cau ban kinh R - Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: Long Xuyên, 03/02/2011 Bài giải: 14 Điện động lực học Lớp: DH9L.. .Điện động lực học Lớp: DH9L ur r ru u r r r r u r u rr rot ω.r  = divrω − ω.∇ r + r.∇ ω − divω r     uu ru u r r u r r u r r 2  divrω = 3ω , ω.∇ r = ω  → B0 = µ0δ Rω 3  r u r u rr r.∇ ω = 0, divω r = 0   ( ) ( ) ( ) ( ) Đề 11 .Mô t mạch dao động gồm cuộn tự cảm L và mô t tụ điện phẳng có điện tích mô i bản bằng S, môi trường giữa các bản có... R1R2 = R2 1 r e dr = ∫ r 2 4πε r R1 R2 R1 e  1 1  − ÷ 4πε  R2 R1  - Điện dung của tụ cầu: C= e U R1R2 = e 4πε = 1 1 e  1 1 − − ÷  4πε  R2 R1  R1 R2 ( R1 p R2 ) Đề 14 Hai tụ điện có điện dung bằng C1 , C2 ; điện tích bằng e1 , e2 , được mắc song song với nhau Tính và giải thích sự biến đổi điện tích tĩnh điện của chúng? Bài giải: - Năng lượng các tụ khi chưa đấu nối với nhau: 1 q12 1 e12  W1... lượng tĩnh điện: 2 Long Xuyên, 03/02/2011 - Năng lượng các tụ khi được đấu nối song song với nhau: 14 Điện động lực học Lớp: DH9L 2 1 ( e1 + e2 ) 1  e12 e2  ∆W = W − W = −  + ÷ 2 C1 + C2 2  C1 C2  2 ' 1 − ( e1C1 − e2C2 ) = ≤0 2 C1C2 ( C1 + C2 ) 2 - Vậy năng lượng của hai tụ giảm Đề 15 Một vật dẫn hình trụ dài vô tận, có một lỗ rỗng hình trụ dài vô tận Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ... = iω A Bài giải: rr Ax = A0 x exp i k r − ωt rr u r u r Ay = A0 y exp i k r − ωt - Ta có: B = rot A , Trong đó: rr Az = A0 z exp i k r − ωt ( ( ( ) ) ) Long Xuyên, 03/02/2011 - Ta được: 14 Điện động lực học Lớp: DH9L - r r r  i j k  ÷ u r u  ∂ r  ∂ ∂ ÷ B = rot A =  ∂x ∂y ∂z ÷  A A A ÷ ÷ y z   x ∂   ∂ ∂  r ∂ r r ∂ = i  ∂y ∂z ÷− j  ∂x ∂z ÷+ k  ∂x ÷  ÷   A A ÷  Ax Az ÷  A ... = 0 ⇔ I = A.sin ( ω.t + ϕ ) Trong đó: Tần số dòng: 1   2  if ω = ÷ LC   Long Xuyên, 03/02/2011 Vi dòng điện chạy trong L, C, có R=0, coi không có thể điện động ngoại lai : 14 Điện động lực học Lớp: DH9L ω = 2π f = 2π = T 1 LC → T = 2π LC = 2π L εs d Thay số, ta được: 2ε 0 s 0,1.5.10−2.2 → T = 2π L = 2π = 9,4.10−5 ( sec ) −3 9 d 10 4π 9.10 u r Đề 12 Chứng minh rằng với các... ⇒ 2π RH1 = jπ R 2 ⇒ H1 = Ñ ∫ 2 C1 - Theo công thức Bioxava: rr uu r I  j.r    H1 = ∫ r 3 dV 4π Do: uu r rr H1 ⊥ j , r ( ) Long Xuyên, 03/02/2011 - Từ trường do hình trụ lớn gây ra tại M: 14 Điện động lực học Lớp: DH9L Ta được: uu 1 r r r H1 =  j.r  2  - Từ trường do hình trụ rỗng gây ra: Với mật độ j thì cảm ứng từ tại M do uuuur r phần rỗng O gây ra với O1M = r : r uur 1 r u' u  − j.r  H2... 0 , R=0 môi Bài giải: - Cường độ điện trường do mô i bản gây ra: E = Ta có: E = -grad ϕ = − σ ε dϕ → dϕ = − Edx dx d d 0 0 ⇒ ϕ = ∫ dϕ = − ∫ Edx = − Điện dụng của tụ C sẽ là: C= σd σ ∫ dx = − d ε 0 ε q σs εs = = ϕ σd d ε ξ( n ) = 0 Ta có: d 2I 1 + I =0 dt 2 LC → I •• + ω 2 I = 0 ⇔ I = A.sin ( ω.t + ϕ ) Trong đó: Tần số dòng: 1   2  if ω = ÷ LC   Long Xuyên, 03/02/2011 Vi dòng... tận Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ là j Tính từ trường trong phần rỗng? Bài giải: Từ trường trong phần rỗng là sự chồng chập của hai từ trường:  Từ trường do hình trụ lớn gây ra  Từ trường do phần trụ rỗng gây ra Xét điển M bất kì lắm trong lỗ rỗng - 1 Áp dụng công thức dòng toàn phần dưới tích phân do dòng điện không đổi: uu r uu jR r H1dl1 = I1 = j.S ⇒ 2π RH1 = jπ R 2 ⇒ H1 = Ñ ∫ 2 C1 - . độ điện tích ρ , hệ số điện môi ε là: 1 3 4 : R r e r E r e dien tich hinh cau ban kinh R πε ≤  =   r ur - Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực học Lớp:. Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là: 1 2 ,R R , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau. Bài giải: - Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện. của mô t tụ điện có chiều dài bằng d và khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau. Bài giải: - Theo định lý O – G ta có: 14 Long Xuyên, 03/02/2011 Điện động lực