Giải một số bài tập điện động lực học vĩ mô

Từ những đặc điểm nêu trên Tôi đã chọn đề tài :”Giải một số bài tập điện động lực học vĩ mô” để làm luận văn tốt nghiệp của mình.. Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại và giải một số bài tập

Trang 1

1 Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói chung và

lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiếu sâu sắc hơn về phần lý thuyết đã học

Một trong những học phần trong chuyên ngành vật lý được học ở Đại học

đó là môn Điện động lực học Với số lượng bài tập tương đối nhiều và đa dạng tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì khá phức tạp Chính vì vậy việc tìm hiểu, phân loại các bài tập cơ bản trong phạm vi kiến thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực Từ những đặc điểm nêu trên

Tôi đã chọn đề tài :”Giải một số bài tập điện động lực học vĩ mô” để làm luận

văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số dạng bài tập Điện động lực học cơ bản

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và giải một số bài tập thuộc các dạng bài tập cơ bản của Điện động lực học

4 Đối tượng nghiên cứu

Bài tập Điện động lực học

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp vật lý lý thuyết và phương pháp toán học

Trang 2

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH VECTƠ

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của gradiên

Građiên của một hàm vô hướng là một vectơ:

Tại mỗi điểm của không gian , vectơ grad u thẳng góc với mặt đẳng thế của hàm u,

và hướng theo chiều tăng của u

1.1.2.Định nghĩa và tính chất của dive

Dive của một hàm vectơ là một vô hướng

div A

= 0

Trang 3

Định lý Ôstrôgratski – Gauxơ : Nếu các thành phần A A A x, y, z của hàm véctơ A

và các đạo hàm của chúng là liên tục trong thể tích V bất kì nào đó , và nếu  là mặt kín bao quanh thể tích V đó, ta có:

1.1.3 Định nghĩa và tính chất của rôta

Rôta của một hàm vectơ là một vectơ:

0

1 lim

1.1.4 Toán tử Hamintơn (toán tử nabla)

 là một vectơ tượng trưng được định nghĩa bằng hệ thức :

Trang 4

Bản thân vectơ  không đổi có một giả trị thực nào Nó có ý nghĩa khi ta nhân nó với một hàm vô hướng hoặc một hàm vectơ :

 u grad u

 A div A

Arot A

Về bản chất  là toán tử của một phép đạo hàm nếu nó tuân theo những qui tắc của các phép tính đạo hàm , và chỉ tác dụng nên những vetơ hoặc vô hướng đứng sau nó Như vậy  vừa có tính chất của vectơ , vừa có tính chất của đạo hàm Sau đây , trong các phép tính trung gian , chúng ta sẽ qui ước những lượng chịu tác dụng của  được biểu diễn bằng những chữ in đậm , và trong kết quả cuối cùng chúng ta chỉ đặt sau  những lượng chịu tác dụng lên nó

Thí dụ :

            u v  u v  u v v u u v

= grad u + u grad v

 u v    u v grad u + grad v

1.1.5 Toán tử Laplaxơ (laplaxiên)

Tích vô hướng của  với chính nó là một vô hướng gọi là laplaxiên , và ký hiệu là

 hoặc  2 Toán tử  2 có tính chất của vô hướng và của đạo hàm :

Trang 5

1.1.6 Gradiên, diva , rôta và laplaxiên trong hệ toạ độ cầu

- Góc  giữa mặt phẳng cố định x0z và nửa mặt phẳng giới hạn

bởi trục 0z và chứa điểm M

- Các toạ độ r , và  biến thiên trong các giới hạn :

là những vectơ đơn vị theo chiều tăng của r , ,

Trong toạ độ cầu ta có :

Trang 6

- Khoảng cách z từ điểm M tới mặt phẳng x0y vuông góc với trục 0z

- Các toạ độ r,  và z biến thiên trong các giới hạn :

Trang 7



 M z





+ u k z





Trang 8

Trang 9

div [I

[R

.M

]] = I M y yI M z zI M z z I M x xI M x xI M y y

Trang 10

= 2 I

.M

(đpcm) Bài 4:

Trang 11

Trang 12

2 2

x x y z

P R  xP yP zP  R x i+ 3   3

2 2

Trang 13

Trang 14

=

2 5 3

2 2 2 2

c azx bzy cz R

Bài giải

Ta có thông lượng của bán kính vecto R

là N=

3

Trang 15

CHƯƠNG 2 TĨNH ĐIỆN TRƯỜNG

2.1 Cơ sở lý thuyết

2.1.1 Hệ các phương trình Macxoen tổng quát :

Điện từ rường được đặc trưng bằng bốn vectơ : vectơ cường độ điện trường

Bốn vectơ trên không độc lập với nhau Đối với môi trường đẳng hướng , chúng liên hệ với nhau bằng những hệ thức :

t D rot H j

t divD

Điện từ trường có năng lượng được phân bố liên tục trong không gian mà

    năng lượng tuân theo định luật bảo toàn năng lượng.Với một hệ cô lập chỉ có điện tích và điện từ trường tương tác với nhau , thì xung lượng của điện tích và điện từ trường là một lượng không đổi

Trang 16

Trường tĩnh là những trường thoã mãn điều kiện :

- Các đại lượng đặc trưng không biến đổi theo thời gian

- Các điện tích không chuyển động

Khi áp dụng các phương trình Macxoen cho các trường tĩnh , ta phải cho các đạo hàm theo thời gian của các đậi lượng đặc trưng cho trường tĩnh bằng 0

Vậy trường tĩnh điện là điện trường của các điện tích đứng yên

Trong môi trường đồng chất, các phương trình (*),(**) của tĩnh điện trường

trong tĩnh điện trường, và C1 và C2

là hai đường đi bất kì từ A đến B,

Trang 17

là công của điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị

(e= +1C) trên nguyên tố đường d, nên vế trái và vế phải (2.1.1.2) biểu diễn công

của tĩnh điện trường để di chuyển điện tích e= +1C từ A và B theo các đường

1

C vàC2

Vậy : trong tĩnh điện trường công để di chuyển một điện tích từ điểm này

đến điểm khác không phụ thuộc vào đường đi , chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và

điểm cuối Đó là tính chất của trường thế

Từ phương trình Macxoen:

rotE

= 0 Và: rotgrad = ( )=(  )  = 0

=-grad (2.1.1.3) Trong đó = (r

) là một hàm vô hướng của tọa độ Hàm  luôn thỏa mãn phương trình:

Rot(-grad) = 0 Tức là thỏa mãn phương trình : rotE

=0 Hàm  được đinh nghĩa bằng (2.1.1.3) gọi là thế vô hướng của tĩnh điện

trường (thế tĩnh điện hay điện thế)

E

= .

B A

grad d l

B A

   (2.1.1.4)

Theo định nghĩa nếu biết  , có thể xác định được trường E

một cách đơn giá Nhưng ngược lại nếu, nếu biết trường E

, ta không xác định được thế một cách đơn giá

Trang 18

Nếu C là một hằng số tùy ý , ta luôn có:

Grad(+C) = grad

Như vậy , nếu xác định trường E

thì +C cũng xác định trườngE

đó Chính vì vậy ta cần định cỡ điện thế Sau khi định cỡ , điện thế ở mọi điểm được xác định một cchs đơn giá

Để thuân tiện cho các phép toán , tùy từng trường hợp cụ thể , ta có thể qui ước cho tại mỗi điểm nào đó một giá trị xác định nào đó Cách làm đó gọi là phép định cỡ điện thế Sau khi đã định cỡ , điện thế tại mỗi điểm được xác định một cách đơn giá

Trong vật lý lý thuyết, ta thường cho ở vô cực bằng 0

Nếu cho ()= (A)- () =

Tức là: điện thế tại một điểm bát kì bằng công của điện trường để di chuyển

một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực (cũng bằng công mà ta

phải cung cấp để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ vô cực đến điểm đó)

2.1.3 Các phương trình vi phân của thế vô hướng

Trong phương trình Macxoen: divE

=

 , ta thay E



bằng -grad: divgrad = -

Đó là phương trình Poatxông của thế vô hướng

Đối với một điểm không chứa điện tích thì phương trình Poatxong trở thành phương trình Laplaxơ:

2 

 =0

Trang 19

Nghiệm của phương trình Poatxong cần thỏa mãn các điều kiện : là một hàm hữu hạn , liên tục và có tọa độ theo tọa độ hữu hạn để choi các phương trình có ý nghĩa vật lý

2.2.Bài tập

Bài 1 :Tính điện thế và điện trường do một bản song song vô tận tích điện đều Bề

dày của bản bằng 2a, mật độ điện tích trong bản là  = const Hằng số điện môi trong bản và ngoài bản đều bằng 

Bản vô tận chia không gian thành 3 miền(hình vẽ)

Bài giải

Vì điện tích được phân bố đối

xứng với mặt trung bình của bản, nên

điện thế và điện trường cũng đối

xứng với mặt đó Bản là vô tận nên

vecto điện trường có phương song

song với trục Oz Chọn mặt trung

bình là x0y

Điện thế chỉ phụ thuộc vào tọa độ z

Viết các phương trình Laplaxơ và phương trình Poatxông cho ba miền không gian

Đối với miền 1(z<-a):

2 0

d dz

 

(1) Đối với miền 2 (-a<z<+a):

d dz



  (2) Đối với miền3 (z>+a)

d dz



= 0 (3) Nghiệm của ba phương trình đó là:

)1 A z1 B1 (1a)

z +a

Trang 20

Đặt 2  0khi z = 0 (điều kiện định cỡ) Từ phương trình (2a) ta rút ra :



0

z =0 Lấy đạo hàm của phương tình (2a) theo z và cho z=0, ta rút ra :

2 0

A Điều kiện về sự liên tục của thế  :

Khi z=-a thì: 1(  a) 2( a)

Vì không có điện tích mặt nên E1E2, tức là:

1

d dz

z a z a

d dz

z a z a

d dz

Trang 21

2 1

Do dây dài vô hạn nên D

có phương vuông góc với dây dẫn nên ta có:

Trang 22

Trang 23

Trang 24

2

Trang 25

Hai vành tròn mảnh bán kính R, tích điện đều và được sắp đặt như hình vẽ

Bài giải:

Xét tại O1:

Thế vô hướng O1 được gây ra bởi

hai vành tích điện e v1 à e2 với khoảng cách

e

12

Trang 26

Trang 27

=A

(r

) là một hàm vectơ của tọa độ Hàm A

luôn thỏa mãn phương trình:

divrot A

=0 Vì:

divrotA

=  ( A) = 0 Hàm vec tơ A

được định nghĩa bằng (3.1.1.1) gọi là thế vectơ của từ trường dừng

=0 (3.1.1.3)

Trang 28

Phương trình (3.1.1.2) viết lại thành:

 2 A

= - j (3.1.1.4) (3.1.1.4) là phương trình Poatxông của thế vec tơ viết cho những miền có dòng điện khối (j

0)

- Ở những miền không có dòng điện khối(j

=0) thế vectơ thỏa mãn phương trình Laplaxơ:

A

4

i dS

r'

Trang 29

Vì A

là thế vectơ của điểm qua sát , là hàm của nên rotA,

phải lấy theo tọa

 B

=

4

j rot dV r

Ta biến đổi được:

rot j 1rot j jgradu1

Trang 30

3.1.3.Thế vec tơ và từ trường dòng nguyên tố

Dòng nguyên tố là một dòng khép kín chảy trong miền có kích thước rất nhỏ

so với khoảng cách từ dòng đến điểm quan sát Như vậy bất kì một dòng khép kín

nào cũng có thể được gọi là dòng nguyên tố

Đối với dòng nguyên tố , thế vectơ tại

dr I

A

=

4

I dr R



   + 3

4

I R

 '

r

Trang 31

Số hạng đầu là vi phân toàn phần của một vec tơ , tích phân theo đường kín của nó bằng 0 Do đó:

Thế vec tơ:A(r,,z)=A(r)

Áp dụng phương trình Poat xong cho thế vecto A

+0<r<R

2

A

  =0 (2)

Trang 32

A   jr C rC

(2) 1 2

0

dA d r

A jr

   Điều kiện về tính liên tục

Trang 33

Mỗi phần tử dòng điện gây ra tại điểm M một

vec tơ cảm ứng từ dB

có độ lớn là:

0

dB2t

dB1t

dB1

dB1ndB

2

dl

Trang 34

3

4

dl r I r

đối xứng qua 0 như hình vẽ Hai phần tử này gây ra tại M các

dl c r

Trang 35

H=

2 3

Bài giải

Bỏ qua hệ só cảm ứng ở bên trong dây nên từ trường bên trong các dây bằng

0 giả sử 2 dòng điện chạy trong 2 dây cùng chiều với cường độ I (hình vẽ)

Năng lượng do dây 1 gây ra là W1

Năng lượng do dây 2 gây ra là W2

Trang 36

Ta chia khung dây thành 2 nửa bằng nhau là ACB và ADB

*Xét nửa khung dây ABD

Trang 37

Do khung dây biến dạng nên lực này sẽ kéo xuống phía dưới và nó tác dụng

nen 2 vị trí A, B , mỗi vị trí chịu tác dụng 1 lực bằng

 suy ra BIR f0

0

IR

f B

 

Bài 5:

Một hình cầu bán kính R tích điện đều trên mặt ngoài với mật độ bằng  và quay quanh trục của nó với vận tốc góc bằng w.Tính cảm ứng từ ở bên trong hình cầu

0

M r'' r'

?

Trang 38

Thế vecto gây ra tại một điểm bất kì

là :

ids A

Trang 39

là điện trường tạo ra trong môi trường có hằng số điện môi  của

quả cầu tích điện đều với mật độ điện khối là  mà ta đã biết 1

Trang 40

4.1.1 Điều kiện chuẩn dừng

Trường chuẩn dừng là những trường biến thiên chậm theo thời gian , tức

là thỏa mãn 2 điều kiện sau đây :

Trang 41

- Điều kiện thứ nhất : dòng điện dịch rất nhỏ có thể bỏ qua được so với dòng điện dẫn :

ax ax m m D j t      - Điều kiện thứ hai : trong miền quan sát , có thể bỏ qua được các hiệu ứng trễ phụ thuộc vào vận tốc truyền hữu hạn của sóng điện từ

4.1.2 Các phương trình của trường chuản dừng Nếu bỏ qua dòng điện dịch so với dòng điện dẫn các phương trình Macxoen của trường chuẩn dừng có dạng : rot E B t       (1)

rot Hj (2)

divD  (3)

divB 0 (4)

Như vậy điện trường và từ trường có quan hệ với nhau không thể tách rời Nhưng mối quan hệ đó ở đây mới chỉ thể hiện một mặt , do hiện tượng cảm ứng từ Faraday Từ phương trình : divB 0 Rút ra được định nghĩa thế vectơ A , giống như đối với từ trường dừng: Brot A (5)

Ở đây A A r t , hàm của các tọa độ lẫn thời gian và được gọi là thế vectơ của điện từ trường Điều kiện định cỡ cho thế vecto A : div A 0 (6)

Từ phương trình :

Trang 42

rot E B rot E rot A rot E A 0

Hàm vô hướng     r t, định nghĩa bằng (7) là hàm của cả tọa độ lẫn thời

gian , và được gọi là thế vô hướng của điện từ trường

Sau khi đã định nghĩa được thế vô hướng và thế vectơ ta cũng thành lập được phương trình của thế tương đương với các phương trình Macxoen

Trang 43

Các phương trình trên giống như phương trình của trường tĩnh và trường dừng là vì ta đã bỏ qua hiệu ứng trễ của sự truyền sóng điện từ

4.2 Bài tập

Bài 1:

Một khung dây có điện tích bằng S và quay đều quanh một từ trường đều B,

số vòng quay trong một giây là N tính thế điện động cực đại trong khung dây

Trang 44

Trang 45

Vì thế vectơ A

là một hàm liên tục và khoảng cách giữa 2 bản tụ điện là rất nhỏ so với độ dài của toàn mạch , vì vậy coi tích phân thứ 2 trong vế phải của phương trình (2) là tích phân theo đường kín :

Biến đổi (2) thành:

IR=  n   2  1 

d dt



      (5) Theo công thức tính điện dung của tụ điện :

1 2

e C

được cường độ dòng điện I trong mạch một cách đơn giá

Bài 3:

Trang 46

Một cuộn cảm có điện trở R=5 và hệ số tự cảm L=100mH Sau thời gian bao lâu kể từ khi nối cuộn tự cảm với nguồn điện dòng điện trong cuộn sẽ bắng nửa dòng điện ổn định

Vì  0 là suất điện động ngoại lai của nguồn ta nối vào

Tại t=0 tác dụng vào mạch chỉ có  0 =const

Tại t=0 thì I t0=0

Nghiệm của (*) là :

   0

R t L t

   0 1

R t L t

Ta thấy cường độ dòng điện trong mạch tăng theo thời gian

Khi t khá lớn để có thể coi t= thì I0  0 const

R



Trong đó I0 là dòng diện ổn định

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	0,94 MB