Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG MẠNH HÙNG GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MA TRẬN VỚI RÀNG BUỘC ĐA TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG MẠNH HÙNG GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MA TRẬN VỚI RÀNG BUỘC ĐA TẠP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân 1.1.1 Phương pháp Runge-Kutta 1.1.2 Phương pháp Runge-Kutta phân hoạch 1.1.3 Phng phỏp Nystrăom Khái niệm đa tạp 1.2.1 Đa tạp khả vi 1.2.2 Đa tạp 10 1.2.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc 12 Đa tạp Riemann 13 1.3.1 Khái niệm 13 1.3.2 Khoảng cách 14 1.2 1.3 Bảo tồn tích phân phương pháp giải 16 2.1 Khái niệm bất biến tích phân 16 2.2 Bất biến bậc hai 20 2.3 Phương pháp chiếu 23 2.4 Tích phân phương trình vi phân đa tạp Stiefel 26 2.4.1 Sơ lược đa tạp Stiefel 26 2.4.2 Cung trắc địa đạ tạp Stiefel 27 i 2.5 2.6 2.4.3 Di chuyển song song 29 2.4.4 Tích phân số 30 2.4.5 Phương pháp kiểu Runge-Kutta bậc hai 32 2.4.6 Phương pháp giải số mặt cầu đơn vị 34 Phương trình vi phân nhóm Lie 36 2.5.1 Sơ lược nhóm Lie 36 2.5.2 Phương trình vi phân nhóm ma trận Lie 38 2.5.3 Phương pháp Crouch-Grossmann 38 Ví dụ số 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Bảng ký hiệu ⊗ tích tenxơ khơng gian vectơ C ∞ (M) tập tất hàm trơn M Hx = ∇x H gradiant theo biến số x PM hình chiếu M sym(A) phần đối xứng ma trận vuông A skew(A) phần phản đối xứng ma trận vuông A ΠTY (Z) hình chiếu từ Rn×k lên khơng gian C k (U, Rm ) tập tất ánh xạ khả vi liên tục tới cấp k C ∞ (U, Rm ) tập tất ánh xạ trơn C ω (U, Rm ) tập tất ánh xạ giải tích từ U vào Rm Mở đầu Với phương trình vi phân (PTVP) ma trận thơng thường, nghiệm chúng hàm ma trận khả vi biến thỏa mãn phương trình Tuy nhiên, PTVP mơ hình tốn học mơ tả tượng học, hóa học, thiên văn học ràng buộc ma trận thường xuất Về mặt tốn học, chúng đơn giản biểu thức đại số Nhưng chúng biểu thị quy luật bất biến, chẳng hạn bất biến lượng, bất biến khối lượng, bất biến thể tích Trong ngành khoa học tương ứng, định luật bảo tồn tiếng Trong nhiều trường hợp, ràng buộc nghiệm tạo lên đa tạp không gian pha Chẳng hạn, Định lý 1.2.7 Chương ra, đa tạp nhúng Rn mơ tả biểu thức dạng g(x) = c, g : Rn → Rm Do đó, ta gọi chung phương trình loại PTVP với ràng buộc đa tạp Phương pháp giải số PTVP với ràng buộc đa tạp, ngồi việc đảm bảo u cầu tính xác tính ổn định thơng thường phương pháp số phải đảm bảo nghiệm xấp xỉ ln nằm đa tạp Cụ thể giả sử x0 điều kiện ban đầu phương trình, tức g(x0 ) = c với nghiệm xk bước, xk nói chung ta phải có g(xk ) = c Lẽ đương nhiên, phương pháp trình bày Chương khơng đảm bảo việc Ta cần phải có điều chỉnh, thay đổi thích hợp q trình giải số Những điều chỉnh tương đối đơn giản nhiều hồn cảnh khác lại địi hỏi kiến thức sâu sắc đa tạp liên quan Với luận văn “Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp ”, mục tiêu chúng tơi trình bày số cách tiếp cận giải số cho phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp Để đạt điều đó, chúng tơi bố cục luận văn sau Chương giành để trình bày kiến thức chuẩn bị Trước tiên, chúng tơi tóm lược số phương pháp giải số phương trình vi phân thường phổ biến phương pháp BDF, Nystrăom, Runge-Kutta Tip ú, chỳng tụi nhc li mt s kiến thức đa tạp Riemann Do việc trình bày tương đối dài, chúng tơi tóm lược mang tính diễn giải Chương chương luận văn Trước tiên, chúng tơi xác hóa khái niệm việc trình bày khái niệm bất biến tích phân, lấy ví dụ minh họa Sau đó, chúng tơi trình bày phương pháp chính, phương pháp chung để giải số phương trình vi phân với ràng buộc đa tạp Thêm vào đó, chúng tơi trình bày phương pháp giải số cho hai loại ràng buộc cụ thể đa tạp Stiefel nhóm Lie Chúng tơi cố gắng đưa số ví dụ số để minh họa cho vấn đề trình bày Cuối cùng, luận văn kết thúc phần kết luận tài liệu tham khảo Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn khó tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hoàn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K11C; Nhà trường phòng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Đặng Mạnh Hùng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày hai mảng kiến thức riêng biệt vốn sử dụng phần luận văn Mục chương dành để nhắc lại vài phương pháp giải số phương trình vi phân quen thuộc Tài liệu cho mục Chương II sách [5] Mục thứ hai chương số kiến thức liên quan đến đa tạp Để cho tiện, chúng tơi tham khảo hai tài liệu [1] [2] 1.1 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân Trong mục này, chúng tơi xét phương trình vi phân thường cấp phụ thuộc vào thời gian y˙ = f (t, y), y (t0 ) = y0 (1.1) Ở đây, ta hiểu y = y(t) ∈ Rn véctơ cỡ n Hàm f phụ thuộc vào n + biến f (t, y1 , , yn ) hàm véctơ n thành phần f = (f1 , , fn ) Ta giả sử hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện để có nghiệm Các lập luận y f ma trận có cấp tương thích với 1.1.1 Phương pháp Runge-Kutta Định nghĩa 1.1.1 Cho bi , aij (i, j = 1, , s) số thực cho ci = s j=1 aij Một phương pháp Runge-Kutta s-bước tính cách lấy s ki = f aij kj t0 + ci h, y0 + h , i = 1, , s j=1 (1.2) s bi ki y1 = y0 + h i=1 Các hệ số phương pháp Runge-Kutta s-bước thường viết dạng bảng Butcher sau: c1 a11 a1s (1.3) cs as1 ass b1 bs Định nghĩa 1.1.2 Phương pháp Runge-Kutta (hay phương pháp 1-bước tổng quát) có p bậc, với toán đủ trơn (1.1) sai số địa phương y1 − y (t0 + h) thỏa mãn y1 − y (t0 + h) = O hp+1 h → Để kiểm tra bậc phương pháp Runge-Kutta phải khai triển chuỗi Taylor y (t0 + h) y1 quanh điểm h = Điều dẫn đến điều kiện đại số cho hệ số có bậc 1, 2, tương ứng sau: i thêm vào thêm vào i i bi = cho bậc 1; bi ci = 1/2 cho bậc 2; bi c2i i,j (1.4) = 1/3 bi aij cj = 1/6 cho bậc Người ta tìm điều kiện phương pháp có độ xác cao Song, có ý nghĩa mặt lý thuyết Trong thực tế, phương pháp bậc không tương đối tốt để giải toán nảy sinh ... phương pháp chính, phương pháp chung để giải số phương trình vi phân với ràng buộc đa tạp Thêm vào đó, chúng tơi trình bày phương pháp giải số cho hai loại ràng buộc cụ thể đa tạp Stiefel nhóm... hợp q trình giải số Những điều chỉnh tương đối đơn giản nhiều hồn cảnh khác lại địi hỏi kiến thức sâu sắc đa tạp liên quan Với luận văn ? ?Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp. .. ràng buộc vi phân chưa đủ để dẫn tới tính Chính ràng buộc đại số (các bất biến) giúp cho phương trình vi phân có nghiệm nghiệm 2.4 Tích phân phương trình vi phân đa tạp Stiefel Trong mục này, trình