Khảo sát hàm số: Một số bài toán Max Min

Tài liệu thông tin đến các bạn và các em học sinh các bài toán về phương pháp hàm số cho bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và bất đẳng thức hai biến số.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT: 0935.785.115 Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế Hoặc Trung tâm Km 10 Hng Tr Hoài niệm Tự luận: KHảO SáT HàM Số MộT Số BàI TOáN MAX MIN Huế, tháng 8/2020 Chuyờn đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Chủ đề: Luyện thi THPT Quốc gia 2016 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Kỹ thuật 1: Thế biến đưa khảo sát hàm biến Bước 1: Rút biến biểu diễn theo biến Xác định miền giá trị biến rút Bước 2: Thay biến rút vào biểu thức giả thiết Khảo sát đưa kết luận Bài tập 1: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện y  0, x  x  y  12  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy  x  y  17 Bài giải: Từ giả thiết ta có: y  x  x  12   x   4;3     Khi đó: P  x x  x  12  x  x  x  12  17  x  3x  x  x  Xét hàm số f  x   x  3x  x  7, x   4;3 , ta có: f /  x   3x  x      x  3 Ta có: f  4   13, f  3  20, f 1  12, f  3  20 Suy ra: max f  x   f  3  f  3  20 , f  x   f 1  12  4;3  4;3 Vậy giá trị nhỏ P 12 đạt  x; y   1; 10  Bài tập 2: (HSG Quốc gia 1998) Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x   y  1  x   y  3 2 Bài giải: Từ giả thiết ta có: y  x  Thay vào biểu thức P ta có: Khi đó: P  5x  x   5x  20 x  25 Xét hàm số f  x   5x  x   5x  20 x  25 , ta có: f / x  5x  5x  x   5x  10 5x  20 x  25 f /  x     5x   5x  20 x  25  10  5x  5x  x   2   5x  10  5x    x   ;2    x 5  2 2  5x   5x  20 x  25  10  5x  5x  x  24 x  16 x   2 Từ suy ra: P  f  x   f    3 2 2 Vậy giá trị nhỏ P đạt  x; y    ;   3 3 Bài tập 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu     thức P   a2  40  9b2 Bài giải: Từ giả thiết ta có: a   b   b   0;1 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_1 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Khi đó: P   1  b   40  9b2 Xét hàm số f  b    1  b   40  9b2 , b   0;1 , ta có: f /  b   b  1 2b  4b   18b  9b  40    1  b  9b2  40  3b 2b2  4b       1  b  9b2  40  9b2 2b2  4b    b   3b   3b  10b  10   b  2 2 Từ suy ra: P  f  b   f    11 3 1 2 Vậy giá trị nhỏ P 11 đạt  a; b    ;  3 3 Bài tập 4: Cho a, b số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  3b  Tìm giá trị lớn a 3b giá trị nhỏ biểu thức P   1 a 1 b Bài giải: Ta có: a  3b   a   3b Do a, b không âm nên  b   3b 3b Khi đó: P    4   3b  b  3b  b  4 Xét hàm số f  b     , b  0;   3b  b  3 Ta có: f /  b     3b   b  2 ; f /  b      3b   1  b    1 b b  Lập BBT ta suy GTLN P a  1, b  , đạt b  0, a  ; GTNN P 2, đạt Bài tập 5: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  xy   x  3y  14 Tìm   giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  3x y  xy  x x  Bài giải:  x2   x2  y    y  x  x  Từ giả thiết suy ra:  2 x  x   14  x  1;   5 x      x2    x2   Khi đó: P  x    x   x x   5x  x  x   x    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_2 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016  9 Xét hàm số f  x   x  , x  1;  x  5  9  x  1;  Do hàm số đồng biến x  5 Ta có: f /  x     9 1;    9 Suy ra: max f  x   f    4, f  x   f 1  4  9  9 x1;  x1;  5 5     52 Vậy GTNN P 4 đạt x  1, y  ; GTLN P đạt x  , y  15 Bài tập 6: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x   y   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x   y  Bài giải: Đặt y   b Ta có: a  b  4, a  0, b  Suy ra: b   a  a  0;  x   a, Khi đó: P  a2  a2  a2    b2     b2    2 4  a 6 a2     a   , a  0;  a 4a  , a  0;  Ta có: f /  a   2 a 1 4  a  Xét hàm số f  a     Ta có: f /  a    a   a 1  4a 4  a 6 , a  0;  a  0;   a  0;     2 2 2 a   a   6a  a    a  a  8a  12a  16  a    a  0;    a2 a  a  a  16      Ta có: f      10 34  22 , f    , f  4   2 Vậy GTNN P 10 đạt x  , y  ; GTLN P 2  22 đạt x   , y  13 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_3 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Kỹ thuật 2: Xử lý biểu thức đối xứng hai biến Bước 1: Từ điều kiện đặt t  x  y (hoặc t  xy ) rút xy theo t (hoặc x  y theo t ) Tìm miền giá trị t , giả sử t  D Bước 2: Thay biến rút vào biểu thức giả thiết hàm số theo t , với t  D Bài tập 1: Cho x , y số thực không âm thỏa mãn thay đổi thỏa mãn điều kiện   x  y  xy    x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  x  y  x  y Bài giải:  x  y xy   x  y  , x y 2 1 2  xy Khi đó: P     x  y   x  y    x  y  x  y   Đặt t  x  y , t   P   t  t 2 Từ điều kiện toán ta có:  x  y  xy     x  y    x  y    x  y    xy   x  y  Ta có: 2    3t  2t    t    ;1  t   0;1   Xét hàm số f  t    t  t, t   0;1 Ta có: f /  t   t   0, t   0;1  f  t   f 1  3 P 4  x  y  1 1   x; y    ;  Vậy giá trị lớn P đạt  2 2  x  y Bài tập 2: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy   x  y  biểu thức P  x y  Tìm giá trị lớn xy 16 x  y2  2 Bài giải: Ta có: 2  x y2   x y3   3x y  3xy  x y3  3x y  3xy   xy xy 1    xy  1 xy  1 xy     xy   ;2  , xy  2  16 1  Khi đó: P  x y  Đặt t  xy, t   ;2  đó: P  f  t   t   x y2  t 1 xy  xy  2  8 1    t  Xét hàm số f  t   t  , t   ;2  , ta có: f /  t   2t  t 1 2  t    3xy   x  y  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_4 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 20 20 11   67 Ta có: f    , f    , f 1  suy P  f  t   f    3   12 20 Vậy giá trị lớn P đạt x  y  Bài tập 3: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ  x 1  y 1 2  4 biểu thức P      x y y x     Bài giải: Sử dụng BĐT a3  b3  ab  a  b  ,   16 x  y  x  y  x 1 y 1 x 1 y 1 2   x y   x  y2 ta có: P      2 x  x y  y  x  y 16  xy   xy  16  xy  3   xy   xy x y2 x y2 Từ giả thiết ta có:  xy  x  y  xy  xy  xy    xy   0;1  xy   0;1 Đặt t  xy, t  t   0;1 đó: P  f  t   Khảo sát GTNN f  t   16  t  3 x  y  t2 16  t  3 t2  2t , t   0;1  2t , t   0;1 , ta có: Giá trị lớn P 64  đạt Bài tập 4: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu    thức P   x   y   y  x   Bài giải: 1 2 Ta có: P   xy    Đặt t   xy  ,  x  y  xy  xy     xy   16  xy   1 t2 1  1 Khảo sát hàm f  t   t   2, t   0;  , có f /  t    0, t   0;  suy f  t  nghịch biến t t  16   16   1  0; 16     1 289 Vậy P  f  t   f    đạt x  y   1 16 16   0;    16  Bài tập 5: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P   x y xy Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_5 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Ta có: P  Luyện thi THPT Quốc gia 2016 1 1 1      2  x  y  x  xy  y xy  x  y   3xy xy  3xy xy   Đặt t  xy ,  x  y  xy  xy  Khảo sát hàm f  t   1   xy  4 1  1  , t   0;  , có f /  t    3t t  4 1  3t   3  1   0;  t   4   0  3 t t   Lập BBT ta dễ dàng suy ra:  3  1 3  1  ; y  1 P  f  t   f    đạt x        1  2 2  0;         3     Bài tập 6: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   xy  xy Bài giải:  x  y Đặt t  xy ,  t  xy    t   0;1 Khi đó: P   t, t   0;1 1 t 1 Khảo sát hàm f  t    t, t   0;1 , ta có f /  t     0, t   0;1 1 t  t  1 Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN P , đạt x  y  Vì f  t  không tồn GTNN  0;1 nên P không tồn GTNN Bài tập 7: (CĐ 2008) Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn   giá trị nhỏ biểu thức P  x  y3  3xy Bài giải:   Ta có: P   x  y  x  xy  y  3xy   x  y   x  y   3xy   3xy   Từ giả thiết suy ra:  x  y   xy  Như ta đặt t  xy x  y chưa thể rút theo t x  y có nhận giá trị âm giá trị dương  t2   t2   t  t  6t  Do ta đặt t  x  y , đó: P  2t  t     2    Ta có: t   x  y   x  y   t   2;  t  t  2 Khảo sát hàm f  t   t  t  6t  3, t   2;2  , ta có f /  t   3t  3t     Lập BBT ta dễ dàng suy ra: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_6 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN 13 GTLN P , đạt Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x  y  1 1    x ; y     ;   xy       1 1    x; y    ;       x  y  2  x  y  1 GTNN P 7 , đạt   xy  Bài tập 8: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện y  x  x  y  12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  xy  x  y  17 Bài giải: Ta có: y  x  x  12   x   4;3 Thay y vào biểu thức P ta được: P  f  x   x  x  x  12   x   x  x  12   17  x  3x  x  7, x   4;3  x  3 x  Ta có: f /  x   3x  x     Ta có: f  4   13, f  3  20, f  3  20, f 1  12 Vậy GTLN P 20 đạt x  3, y  6 x  3, y  GTNN P 12 đạt x  1, y  10 Bài tập 9: Cho x , y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ x  xy  y  x  biểu thức P  3x  xy  Bài giải: Ta có: y   x   x  0;2  Thay y vào biểu thức P ta được: P  f x  x2  x 2  x   2  x   x  Ta có: f /  x   3x  x   x   2x2  x   x 1 Vậy GTNN P  x2  x 1 , x  0;2 x2  x 1  x  1   0;2  Ta có: f    1, f    , f 1   x  1 đạt x  y  Bài tập 10: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  1, x  y  xy  x  y  Tìm giá trị xy lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y 1 Bài giải: Ta có: x  y  xy  x  y   xy   x  y    x  y   Đặt t  x  y , ta có:  x  y   xy   x  y    x  y  2  x  y   xy     3t  4t    t   ;2    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_7 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 t  t 1   Khi P trở thành: P  f  t   , t    ;2  t 1   t  t  2t  2 / Ta có: f  t   0    Ta có: f     , f    , f    1  t  2    ;2   3 t  2    1 Vậy GTLN P đạt x  y   x  y  1, GTNN P 1 đạt 3 x  1, y  x  1, y  1 Bài tập 11: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x, y  0, xy  x  y   x  y  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  1  x y Bài giải: Ta có: xy  x  y    x  y   xy   x  y   t  2t  4t    t   ; 2   2;   t2 t  2t Khi P trở thành: P  f  t   , t   ; 2  2;   t t 2 t  3t  4t  / 0  Ta có: f  t   Lập BBT ta dễ dàng suy kết 2  t   t  t  2  Vậy GTLN P đạt x  y  Đặt t  x  y , ta có:  x  y   xy  Bài tập 12: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện  y  x  x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y6  x y  xy3 Bài giải: Ta có:  x  y  xy  xy  xy  xy  xy  Mặt khác:  x  y  xy   x  y   3xy   x  y    3xy   xy   Ta có: P  x  y 1  x y  xy3 6 x 2   2  y  x  y  3x y   xy   3x y  1      2 2 xy xy 1  xy  xy x  y xy x  y       Đặt t  xy, t    ;1   2t    , t    ;1 Khi P trở thành: P  f  t   t 1   2t  4t    25  Ta có: f     , f 1  Ta có: f /  t   2  3  t  1 Vậy GTLN P 25 đạt x   y   , GTNN P đạt x  y  1 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_8 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 13: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện  x  y   xy  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị x  y4 nhỏ biểu thức P  xy  Bài giải: Ta có: xy    x  y   xy    x  y   xy   4 xy  xy      xy    x  y   xy   xy  xy    Mặt khác: xy    x  y   xy    x y2 2 2 4   x  y  x y x y  Ta có: P    xy  xy  xy    7t  2t   1  1 Đặt t  xy, t    ;  Khi P trở thành: P  f  t   , t   ;   2t  1  3  3 t   t  t   1 1 / f     , f    , f 0  Ta có: f  t   Ta có: 0  1   t  1   ;   15   15  2t  1  3    Vậy GTLN P , GTNN P 15 Bài tập 14: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  1, y   x  y   xy Tìm giá trị lớn  1 nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y3     y  x Bài giải: 3a 3a (1) , a  Suy x , y nghiệm phương trình: t  at  0 4 Vì (1) có nghiệm    a2  3a   a  3a Vì x, y  nên  x  1 y  1   xy   x  y      a    a  Vậy a  3;4  1 Mặt khác từ giả thiết suy ra:   x y Đặt x  y  a  xy  1 1 16 Lúc đó: P   x  y   3xy  x  y        a3  a2   , a  3;4 a  x y  xy 16 Xét hàm số f  a   a3  a2   , a  3;4  a 3 113 94  Ta có: f /  a   3a2  a   3a  a     0, a  3;4 Ta có: f  3  , f 4  a 2 a 12   x  1, y  94 113 Vậy GTLN P đạt  , GTNN P đạt x  y  12  x  3, y  Bài tập 15: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x   0;1 , y   0;1 , x  y  xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M  x  y  xy Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_9 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x 1 x a b Áp dụng BĐT:   a  b Lúc đó: P    x   x  f  x  , x   0;1 b a 1 x x 1 Ta có: f /  x      x    0;1 2 x 1 x 1 Lập BBT ta có kết max f  t   f    Suy GTNN P đạt x  y   0;1 2 2 Bài tập 23: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ   biểu thức M  x  y3  3xy Bài giải: Ta có: x  y    x  y  2 Mặt khác:  x  y  2  x  y  xy   xy   x  y   2 2 2  x  y   2;2  Đặt t  x  y, t   2;2    Ta có: M  x  y3  3xy   x  y  x  xy  y  3xy   x  y   xy   3xy   x  y  3  x  y    x  y    t  t  6t   f  t  , t  2;2 2 t  13 Ta có: f  2   7, f 1  , f    t  2 Ta có: f /  t   3t  3t     1 1 1 1 13 đạt x  x  , GTNN , y , y 2 2 M 7 đạt x  y  1 Vậy GTLN M Bài tập 24: (Thi thử Chuyên Quốc Học Huế 2011) Cho a, b số thực thay đổi  a   Tìm giá trị nhỏ biểu thức T   a  b    ln a  b  2 Bài giải: 2 Xét hàm số f  b    b  a    b  ln a  , b  Ta có: f /  b    b  a    b  ln a    b  a  ln a  a  ln a   a  ln a  Lập BBT f  b  ta có: f  b   f     Xét hàm số g  a   a  ln a, a   g /  a      a  a Tiếp tục lập BBT g  a   0;  ta có: g  a   g 1   g  a   1 Từ suy ra: f  b    đạt a  1, b   Vậy GTNN T 2 2 3 Bài tập 25: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức A  x  y Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_13 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016   Ta có: x  y3   y3   x  y   x Vì x, y dương nên x  y3   x  0;   Do đó: A  f  x   x    x  , x  0; Ta có: f /  x   2x  2x2 2x   2x    x3  x 2x     x    x  x 3    x   0; Lập BBT f  x  0; ta có: A  f  x   Vậy GTLN A đạt x  y  Bài tập 26: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức A  x  y   x y Bài giải: Cách 1: (Rút trực tiếp) Ta có: x  y   y   x   x   0;1 Do đó: A  f  x   x  1  1  x   , x   0;1 2 x 1  x     x  1 x  x  x  1  x  2   x  1    x  1  0 Ta có: f  x   x  1  x    3 x 1  x 3 x 1  x  x 1  x  /  x2  x 1    x  1 1     x    0;1  x 1  x   17 17 Vậy GTLN A đạt x  y  2 Lập BBT f  x   0;1 ta có: A  f  x   Cách 2: (Đổi biến vận dụng đạo hàm)   1   Ta có: A  x  y    x  y2   2   xy   2   xy  x y x y  x y  xy      1  t   0;   4 2  1  1 Xét f  t   2t  , t   0;   f /  t     0, t   0;  t t  4  4  1 1 Lập BBT f  t   0;  ta có: A  f  t   f    4  4 17 Vậy GTLN A đạt x  y  2 Đặt t  xy  ,  x  y  xy  xy  Bài tập 27: (Dự bị B 2002) Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S   x 4y Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_14 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 5  5  5 Ta có: x  y   y   x   x   0;  Do đó: S  f  x    , x   0;  4 x  4x  4  4 x  4 / Ta có: f  x       x  5  4x     x    0;  x 5  4x      4  5 Lập BBT f  x   0;  ta có: S  f  x   f 1  Vậy GTNN S đạt  4 x  4, y  Bài tập 28: Cho x , y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn x y giá trị nhỏ biểu thức A   y 1 x 1 Bài giải: Cách 1: (Rút trực tiếp) x 1 x  , x  0;1  x x 1  x    0;1 Ta có: x  y   y   x   x  0;1 Do đó: A  f  x   Ta có: f /  x   2  x    x  1 1    x  1    x  2 2 Ta có: f    f 1  1, f    2 Vậy GTLN A đạt x  0, y  x  1, y  , GTNN A đạt x  y  Cách 2: (Đổi biến vận dụng đạo hàm) x y x  x  y  y  x  y   xy   xy     Ta có: A  y  x  x  y  xy   xy  xy  1  t  0;   4  2t  1  1 Xét f  t   , t  0;   f /  t     0, t   0;  2t  4  4 2  t  Đặt t  xy  ,  x  y  xy  xy  1 suy ra: max f  t   f    1, f  t   f     1  1 4 0;  0;   4  4 Vậy GTLN A đạt x  0, y  x  1, y  , GTNN A đạt x  y  Kỹ thuật 3: Đổi biến đẳng cấp Bài tập 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  xy  y , với x  y  2 3x  xy  y Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_15 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: + Nếu y  x  A  + Nếu y  , ta chia tử mẫu cho y Đặt t  x Khi t  y A  2t  3t  2t  2t  3t  2t  6t  t  1 t    Ta có: f /  t   lim f  t   lim f  t    t  t  t    3t  2t  Xét hàm số f  t     Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN A 1, đạt x  0, y  * ; GTNN A  , đạt x   y  Bài tập 2: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  xy  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y Bài giải: P x  xy  y Ta có:  x  xy  y + Nếu y  x  P  P t  2t  x + Nếu y  , ta chia tử mẫu cho y Đặt t  Khi t   4t  2t  y t  2t  Xét hàm số f  t   4t  2t  t  0 Ta có: f  t   lim f  t   lim f  t   t  t  t   4t  2t   Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN P 1, đạt x  y  đạt x   y  / 6t  10t    * ; GTNN P 6 , Bài tập 3: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  xy  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  3y Bài giải: Đặt f  x , y   x  xy  y + Nếu y  từ giả thiết ta có:  x  Suy P  x  0; 3 + Nếu y  , ta có  f  x , y   x  xy  y  Khi đó: P  f  x , y  Đặt x  ty , ta có P  f  x, y  x  xy  3y x  xy  y t2  t  t2  t  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_16 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 t2  t  t2  t  t  2  t  4t  / Ta có: g  t   lim g  t   lim g  t      t  t  t  t 1 t  2  Xét hàm số g  t       3  3   g t   , t  3 Vì  f  x , y    3   P  f  x , y  g  t   3  Lập BBT ta dễ dàng suy ra:    x  2  y  Suy ra: GTLN P 3  , đạt  ; GTNN P 3  ,  x  xy  y     x  2  y  đạt   x  xy  y  Bài tập 4: Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  xy x  4y 2  , với x  0, y  Bài giải: Do y  , ta chia tử mẫu cho y Đặt t  Xét hàm số f  t   Ta có: f / t   t  t t 4  t  t t 4   0;  t   3t  x Khi t  P  y t2  t  t2     t   3t  t    0;   , đạt y  x  32 Kỹ thuật 4: Đánh giá kết hợp đổi biến Trong nhiều toán tìm GTLN, GTNN biểu thức F mà biến bị buộc điều kiện dạng BĐT, thân biểu thức F khơng có tính đối xứng, đẳng cấp; biểu thức F điều kiện toán chứa nhiều đại lượng phức tạp cần xử lú biểu thức F thơng qua số đánh giá Bài tập 1: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  xy Tìm giá trị nhỏ 3x  3y  biểu thức P     3x  y  3y  x  9y  9x2  Bài giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN P Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_17 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN     Luyện thi THPT Quốc gia 2016 2 3y   3y  1 x  x   x  1 y    3y  ;   x  4 9x2  9y  Cộng hai BĐT ta được:     2 x  3y   x  1 y   3y  1 x      3 x  y   4 9y2  x   3x  1  y   3y  1 9 x 1  3 x y 1      3x  y  3y  x  4 27 3   xy  x  y    x  y   10 xy  x  y  4 2 27 3 27   xy.6 xy  xy  10 xy   x  y   xy      xy   22 xy     4 4 2 1  t  xy  Đặt t  xy Từ x  y  xy     x y xy Suy ra: P    Xét hàm số f  t    27 1 t  22t  , t  Ta có: f /  t   27t  22  0, t  2 9   34 34 Suy f  t   f    Suy ra: P  , dấu "=" xãy x  y  1  9  ;  9  Vậy GTNN P 34 , dấu "=" xãy x  y  Bài tập 2: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  y  x  Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  y   12  x  1 y  1  xy Bài giải: a2  b2 x2   y2 y2   x2 2 Áp dụng BĐT: ab  y  x  , a, b , ta có: x  y  2 Cộng hai BĐT ta suy ra:  x  y  y  x   x   y  x  0, y  Do đó, dấu "=" xãy    2 x  y     y   x   Đặt t  x  y Khi đó: t  x  y  Ta có: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy  x  y   x  12   x  y   12  x  y   y2   12  x  y  t  12t  6t   t  6t  12t  2 Xét hàm số f  t   t  6t  12t  1, t  0;  Ta có: f /  t   3t  12t  12  0, t   0;  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_18 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Suy hàm số f  t  đồng biến 0;  Do đó: max f  t   f    0;2  Vậy GTLN P , dấu "=" xảy x  y  Nhận xét: Với cách giải trên, khơng tìm GTNN biểu thức P Để tìm GTLN GTNN P, ta tiến hành sau:  x  0, y  Tương tự ta có:  Đặt t  x  y Khi đó: t  x  y   x  y  2 Mặt khác: t   x  y   x  y   t   t   2;      x  y   x Ta có: xy  2  y2 t 2   Suy ra: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy  t2  t2 t2   x  y   12  x  y   12   1  12    t  6t  12t   1, t   ;    2   t2 Xét hàm số f  t   t  6t  12t   1, t   2;    t Ta có: f /  t   3t  12t  12   0, t  ; Suy hàm số f  t  đồng biến  ;    t 1  Do đó: max f  t   f    f  t   f 0;2  0;2      14  12 Bài tập 3: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy   x  y  biểu thức P  x y  Tìm giá trị lớn xy 16 x  y2  Bài giải: Đặt t  xy  Từ giả thiết ta có: 3xy   x  y  hay 3t   2t  2  x y2  xy xy 1   2t  3t  3t    t   ;  , t  t 2  Ta lại có: P  x y  1  16  t2  , t   ; 2 xy  t 1 2  Xét hàm số: f  t   t  (1) 1  1  8   t  1  ;  , t   ; 2 Ta có: f /  t   2t  t 1 2  2   t  1   67 20 Ta có: f    ; f    ; f 1    12 (2) Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_19 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Từ (1) (2) suy ra: P  Vậy GTLN P Luyện thi THPT Quốc gia 2016  xy  20  x  y  Dấu "=" xảy   x  y   20 , đạt x  y  Bài tập 4: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  biểu thức P   xy  Tìm giá trị lớn xy 2   2  x  y  xy Bài giải: Đặt t  xy  Từ giả thiết ta có: xy   x  y  1  x y2  xy xy 1  hay t   2t   2t  t  2t    t   ;1 , t  t 2  Với x  0, y  xy  1, ta có: 1   2  x  y  xy  x  y   xy  1  , Thật vậy: (1)  1  x 1  y2  1  xy  (1) Khi đó: P  1  4    , t   ;1  xy  xy  t  2t 2  Xét hàm số: f  t   Ta có: f / x  0, y  xy  t    (2) 1   , t   ;1  t  2t 2   1  t  1  2t  2  2 5t  2t  1  t  1  2t  2 1   0, x   ;1 2  1  Suy hàm số f  t  nghịch biến  ;1 Do đó: max f  t   1  2   ;1   1 f  2 (3)   xy  Từ (1) (2) suy ra: P  Dấu "=" xãy   xy x  y   , đạt x  y  Bài tập 5: Cho a, b số thực thuộc  0;1 , thoả mãn điều kiện: Vậy GTLN P a   b3  a  b   ab  a  1 b  1  Tìm giá trị lớn biểu thức P  1  a2  1  b2  5ab   a  b  Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_20 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN  Ta có: a  b a Vì 3   a  b   ab  a  1 b  1   b3  a  b  ab a 0   b3  a  b  ab Luyện thi THPT Quốc gia 2016  1  a 1  b  (1)  a2 b2       a  b   ab ab  4ab a   b  1  a 1  b     a  b   ab   ab  ab nên từ (1) suy ra: 4ab   ab  ab (2)  1 Đặt t  ab , (2) trở thành: 4t   t  t  3t  t    t   0;   9  a  b   ab  1  , 1  Ta có với a  0, b  , ta có:    a2  b2  ab 1  a2 1  b2  1  ab  a, b   0;1  2   2     2  ab  ab 1 a 1 b   a2  b2  1 2 2 5ab   a  b   ab   a  b   ab nên suy ra: P   ab   t, t   0;   ab 1 t  9  1  1 Xét hàm số f  t     0, t   0;   t, t   0;  Ta có: f /  t    1 t  9  9 1  t   t Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:   1 1  Suy hàm số f  t  đồng biến  0;  Do đó: max f  t   f     1 10  9 9  0;     1 ab  Suy ra: P   Dấu "=" xãy   ab 10 a  b   Vậy GTLN P  , đạt a  b  10 Bài tập 6: Cho a, b số thực dương phân biệt, thoả mãn điều kiện: ab  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    a b  a  b 2 Bài giải: a2b2  2  ab  a2 b2           16  a b   a  b 2  b a  a b  2 b a a b 1 1  t2   , t   2;   Đặt t    t  P  t   b a t2 t2 1  , t   2;   Xét hàm số f  t   t  t2 Từ giả thiết  ab   P    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_21 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Ta có: f /  t   t    t  t     t    2;   4  t  2 Vì lim f  t   lim f  t    nên f  t   f  3   2;  t  t 2 13 ab   a   1, b   ab  13  Suy ra: P  , dấu "=" xãy   a b     a  b    a   , b      b a 13 Vậy GTNN P BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Cho a, b không âm thoả mãn điều kiện: a  b  Chứng minh ab  27 Bài tập 2: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  11 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy Bài tập 3: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  x  y Tìm GTLN, GTNN biểu thức M  x  y3  x y  xy2 Bài tập 4: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu Bài tập 5: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1,  x  y   xy Tìm GTLN, GTNN biểu  1  thức P  x  y     y  x Bài tập 6: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y   x   y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P   x  y    x  y  xy   Bài tập 7: Cho a, b số thực dương thoả mãn điều kiện: a  b  20ab   a  b  ab  3  a4 b4   a3 b3   a2 b2  Tìm GTNN biểu thức P      16     25    a  a  b b a  b a, b Bài tập 8: Cho số thực dương thoả a  2b     mãn điều kiện:  3a b  a  b a  2b  a  b  2a  5b   a  b  2a  5b    a  b 8b     Tìm GTNN biểu thức P    b3 a3 ab a  2b 3   Bài tập 9: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  xy  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy  y Bài tập 10: Cho x , y thoả mãn điều kiện: xy  0, x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức x y  4y3 P x  8y Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_22 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 11: Cho x , y số thực lớn Tìm GTNN biểu thức P x  y3  x  y  x  y  16 xy  x  1 y  1   Bài tập 12: Cho a, b số dương thoả mãn điều kiện: a  2b  12 Tìm GTNN biểu thức 4 P  4 a b 8 a  b2 GỢI Ý: Bài tập 1: Cho a, b không âm thoả mãn điều kiện: a  b  Chứng minh ab  27 Gợi ý: Rút a   b  b  0;1 Khi BĐT trở thành: 1  b  b2  4  b3  b  0 27 27 Khảo sát hàm f  b   b3  b  , b  0;1 , dễ thấy kết cần chứng minh 27 Bài tập 2: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  11 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy Gợi ý: Ta có: x  y  11  y  11  x  x    11; 11    Lúc đó: P  x  x 11  x   x  12 x , x    11; 11   Khảo sát hàm f  t    x  12 x , x    11; 11     Ta có yêu cầu toán: P  16 x  2; y   max P  16 x  2; y   Bài tập 3: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  x  y Tìm GTLN, GTNN biểu thức M  x  y3  x y  xy2 Gợi ý:   Đặt t  x  y  t   x  y   x  y  2t  t  2t   t  0;  Ta có:  x  y   xy  x  y  xy  t2  t  t2  t  t2  t t  t Lúc đó: M   x  y  x  y  xy  xy  x  y   t  t     Khảo sát hàm f  t   t , t  0;     x  y   x  y  max M  Ta có yêu cầu toán: M   2  x  y  x  y  x  y   x  y 1  2  x  y  x  y Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_23 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 4: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức M  x2  y2  x2y2 Gợi ý: xy t2 Đặt t  x  y   x  y  xy  x  y      t    t  t     9 Mặt khác x  1, y    x  1 y  1   xy   x  y     x  y  Suy t   4;   2 Lúc đó: M   x  y   xy  x y  t    t   8  t   2t  14t  48 2  9 Khảo sát hàm f  t   2t  14t  48, t   4;   2 Ta có yêu cầu toán: M  24 x  y  xy2   xy  max M  51   x  y  x  1; y    2  x  ; y   xy   2  Bài tập 5: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1,  x  y   xy Tìm GTLN, GTNN biểu  1  thức P  x  y     y  x Gợi ý: 3t Đặt t  x  y  xy  , t  từ giả thiết ta có:  x  y   xy   x  y   t  3t Mặt khác x  1, y    x  1 y  1   xy   x  y      t    t  Suy 1 t  3; 4 Mặt khác từ giả thiết:   x y 1 1 16  t  t   , t  3;  Lúc đó: P   x  y   xy  x  y       t  x y  xy 16 Khảo sát hàm f  t   t  t   , t  3; 4 t  x  1; y  65 74 Ta có u cầu tốn: M  x  y  max M   12 x  ; y   Bài tập 6: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y   x   y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P   x  y    x  y  xy Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_24 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Gợi ý: Điều kiện x  2, y  1,  x  y  Ta có:  x  y  1   2x   y    Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x   y 1    x  y  1 Suy ra:  x  y     x  y  Đặt t  x  y  1;  Lúc đó: P  t   t  t , t  1; 4 Khảo sát hàm f  t   t   t  t , t  1; 4 Ta có yêu cầu toán: M   2 x  2; y  1 max M  33  x  4; y  Bài tập 7: Cho a, b số thực dương thoả mãn điều kiện:   a  b  20ab   a  b  ab  3  a4 b4   a3 b3   a2 b2  Tìm GTNN biểu thức P      16     25    a  a  b b a  b Gợi ý: a b ab Ta có: a2  b2  20ab   a  b  ab  3      20   a  b   15 ab b a   75  a  b  a b  ab 2  10     Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:  a  b   15 ab ab b a  a b a b  a b 10 Suy ra:     20  10     Đặt t   , ta có: 6t  20  10  t    t  b a b a b a  10 Lúc đó: P  t   16t t   25 t  , t  10 Xét hàm số: f  t   t   16t t   25 t  , t  15156 Ta có yêu cầu toán: M  a  1; b  a  3; b  27 Bài tập 8: Cho a, b số thực dương thoả mãn điều kiện:  a  2b                 3a b  a  b a  2b Tìm GTNN biểu thức P  Gợi ý:  Ta có: a2  2b  a  b 8b   b3 a  3   a  b  2a  5b   a  b  2a  5b           ab a  2b    3a b  a  b a  2b  4ab a  2b   Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_25 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016  a 2b   a 2b  a 2b Suy ra:           3 b a b a  b a   a 2b   a b   a 2b  Lúc đó: P              1 b a   b a   b a  a  2b b a  a 2b   a 2b  4      3      t  3t   , t  t b a   b a  a  2b b a Xét hàm số: f  t   t  3t   , t  t 97 Ta có u cầu tốn: M  a  b  Bài tập 9: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  xy  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy  y Gợi ý: Đặt f  x , y   x  xy  y + Nếu y  từ giả thiết ta có:  x  , suy ra: P  x  0; 3 x  xy  y + Nếu y  , ta có:  f  x , y   x  xy  y  Khi đó: P  f  x , y  x  xy  y 2 Đặt x  ty , ta có: P  f  x, y  t2  t  , t t2  t  t2  t  , t  Khảo sát g  t  , ta có kết sau: t2  t  1  1   g t   , t  3 Vì  f  x , y    1   P  f  x , y  g  t   1  Xét hàm số g  t   x 3   Suy ra, GTNN P 1  , đạt  y  2  x  xy  y  Bài tập 10: Cho x , y thoả mãn điều kiện: xy  0, x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức x y  4y3 x  8y Gợi ý: Từ giả thiết tốn ta có: y  0, x  + Với y  , ta có P  P Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_26 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x  y 4 t2  x   + Với y  , ta có: P  Đặt t   , xét hàm f  t   , t  y t 8 x  y  8   Kết toán: P  f     1 max P  f    Bài tập 11: Cho x , y số thực lớn Tìm GTNN biểu thức x  y3  x  y P  x  y  16 xy  x  1 y  1   Gợi ý: Đặt t  x  y   xy   t  t  xy  3t   Khi đó: P  t2 , x2  y2  t2 xy   t     x  y  16 xy  t3  t  t2  3t  2  t  8t t2 1 t t2  t  8, t  t2 t2 Khảo sát f  t    t  8, t  , ta có kết quả: GTNN P 8 đạt x  y  t2 Bài tập 12: Cho a, b số dương thoả mãn điều kiện: a  2b  12 Tìm GTNN biểu thức 4 P  4 a b 8 a  b2  Gợi ý:   Từ giả thiết áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 16  a   2b  4a  2b  4a.2b  ab   0; 8 4 a2b2 4 ab  a2 b2    4     Lúc đó: P    64 a 8  a  b  16  b a b 8 a  b b a  64 a b  2 b a a b 1 1 t 2   t2   , t 2 Đặt t    P  b a 16 64 t  16 64 t  1 27  , t  , ta có kết quả: GTNN P Khảo sát f  t   t  đạt 16 64 t  64 a  2; b    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_27 ...Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Chủ đề: Luyện thi THPT Quốc gia 2016 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Kỹ thuật 1: Thế biến đưa khảo sát hàm biến Bước 1: Rút...  Khảo sát hàm f  t   t , t  0;     x  y   x  y  max M  Ta có yêu cầu toán: M   2  x  y  x  y  x  y   x  y 1  2  x  y  x  y Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO -Số. .. t   t  t , t  1; 4 Khảo sát hàm f  t   t   t  t , t  1; 4 Ta có yêu cầu toán: M   2 x  2; y  1 max M  33  x  4; y  Bài tập 7: Cho a, b số thực dương thoả mãn điều